2018年秋高中数学第二章随机变量及其分布2.2二项分布及其应用2.2.1条件概率学案新人教A版选修2_3

2.2.1 条件概率

学习目标：1.了解条件概率的概念.2.掌握求条件概率的两种方法．(难点)3.能利用条件概率公式解一些简单的实际问题．(重点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．条件概率的概念

一般地，设A ，B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝

P AB

P A

为在事件A 发生的条件

下，事件B 发生的条件概率．P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率．

2．条件概率的性质 (1)0≤P (B |A )≤1；

(2)如果B 与C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．

[基础自测]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若事件A 与B 互斥，则P (B |A )＝0.

( )

(2)若事件A 等于事件B ，则P (B |A )＝1. ( ) (3)P (B |A )与P (A |B )相同．

( )

[解析] (1)√ 因为事件A 与B 互斥，所以在事件A 发生的条件下，事件B 不会发生．

(2)√ 因为事件A 等于事件B ，所以事件A 发生，事件B 必然发生． (3)× 由条件概率的概念知该说法错误． [答案] (1)√ (2)√ (3)×

2．若P (AB )＝35，P (A )＝3

4

，则P (B |A )＝( )

【导学号：95032141】

A ．5

4 B ．4

5 C ．35

D ．34

B [由公式得P (B |A )＝P AB P A ＝3

534＝4

5

.]

3．下面几种概率是条件概率的是( )

A ．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率

B ．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率

C ．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率

D ．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是2

5，则小明在一次上学中

遇到红灯的概率

B [由条件概率的定义知B 为条件概率．]

4．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．

0.5 [根据条件概率公式知P ＝0.4

0.8

＝0.5.]

[合 作 探 究·攻 重 难]

抽到黑球”为A ；事件“第二次抽到黑球”为B .

(1)分别求事件A ，B ，AB 发生的概率； (2)求P (B |A )．

[解] 由古典概型的概率公式可知 (1)P (A )＝2

5

，

P (B )＝

2×1＋3×25×4＝820＝2

5，

P (AB )＝

2×15×4＝110

. (2)P (B |A )＝P AB P A ＝1

1025＝1

4

.

1．设A ，B 为两个事件，且P (A )＞0，若P (AB )＝13，P (A )＝2

3

，则P (B |A )＝________.

12 [由P (B |A )＝P AB P A ＝1

323

＝12

.] 2．有一匹叫Harry 的马，参加了100场赛马比赛，赢了20场，输了80场．在这100场比赛中，有30场是下雨天，70场是晴天．在30场下雨天的比赛中，Harry 赢了15场．如果明天下雨，Harry 参加赛马的赢率是( )

A ．1

5 B ．12 C ．34

D ．310

B [此为一个条件概率的问题，由于是在下雨天参加赛马，所以考查的应该是Harry 在下雨天的比赛中的赢率，则P ＝1530＝1

2

.]

取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的的概率.

【导学号：95032142】

[思路探究] 本题可以用公式求解，也可以用缩小样本空间的方法直接求解． [解] 法一：(定义法)设A i ＝{第i 只是好的}(i ＝1,2)．由题意知要求出P (A 2|A 1)． 因为P (A 1)＝610＝35，P (A 1A 2)＝6×510×9＝1

3，

所以P (A 2|A 1)＝

P A 1A 2 P A 1 ＝5

9

.

法二：(直接法)因事件A 1已发生(已知)，故我们只研究事件A 2发生便可，在A 1发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P (A 2|A 1)＝

AB 发生的可能数A 发生的可能数＝5

9

.

如图所示，从而P

[跟踪训练]

3．一个大正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，求P (AB )、P (A |B )．

[解] 根据图形(如图)由几何概型的概率公式可知P (AB )＝19

P (A |B )＝n AB n B ＝1

4

.

1．掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？

[提示] 掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．

2．“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？

[提示] “第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．

3．先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？

[提示] 设第一枚出现4点为事件A ，第二枚出现5点为事件B ，第二枚出现6点为事件C ，则所求事件为B ∪C |A .

∴P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝16＋16＝13

.

在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，

从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率.

【导学号：95032143】

[解] 法一：(定义法)设“摸出第一个球为红球”为事件A ，“摸出第二个球为黄球”为事件B ，“摸出第三个球为黑球”为事件C .

则P (A )＝110，P (AB )＝1×210×9＝145，P (AC )＝1×310×9＝1

30.

所以P (B |A )＝

P AB P A ＝145÷110＝2

9

，

P (C |A )＝P AC P A ＝130÷110＝1

3

.

所以P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝29＋13＝5

9.

所以所求的条件概率为5

9

.

法二：(直接法)因为n (A )＝1×C 1

9＝9，n (B ∪C |A )＝C 1

2＋C 1

3＝5， 所以P (B ∪C |A )＝59.所以所求的条件概率为5

9.

4．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5

道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．

[解] 设事件A 为“该考生6道题全答对”，事件B 为“该考生答对了其中5道题而另一道答错”，事件C 为“该考生答对了其中4道题而另2道题答错”，事件D 为“该考生在这次考试中通过”，事件E 为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A ，B ，C 两两互斥，且

D ＝A ∪B ∪C ，

E ＝A ∪B ，由古典概型的概率公式及加法公式可知

P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝C 6

10C 620＋C 5

10C 1

10C 620＋C 4

10C 2

10C 620＝12 180

C 6

20

，P (E |D )＝P (A ∪B |D )＝P (A |D )＋P (B |D )＝P A P D ＋P B P D ＝210C 62012 180C 620＋2 520C 62012 180C 620

＝1358，即所求概率为13

58

.

[当 堂 达 标·固 双 基]

1．已知P (B |A )＝13，P (A )＝2

5

，则P (AB )等于( )