自控实验指导书(2科院)

实验一 用MATLAB 进行部分分式展开

一、实验目的

1.掌握用MATLAB 进行部分分式展开的方法。

2.掌握用MATLAB 求零点和极点的方法。

二、实验说明

1.MA TLAB 有一个命令用来求B(S)/A(S)的部分分式展开，本实验介绍求B(S)/ A(S)的部分分式展开的MATLAB 方法。

2.MA TLAB 还有一个命令用来求B(S)/A(S)的零点和极点，本实验还介绍求B(S)/ A(S)的零点和极点的MA TLAB 方法。

三、实验步骤

1.用MATLAB 进行部分分式展开 考虑下列传递函数

n

n n n n n a s a s b s b s b den num s A s B ++++++==-- 11110)()(

式中，j i b a 和的某些值可能为零。在MATLAB 的行向量中，num 和den 分别表示传递函数的分子和分母的系数，即

[][]

n n a a den b b b num 1101==

命令 []),(,,den num residue k p r =

将求出多项式B(S)和A(S)之比的部分分式展开式中的留数、极点和余项。

B(S)/A(S)的部分分式展开式由下式给出： )()()

()2()2()1()1()()(s k n p s n r p s r p s r s A s B +-++-+-= 将上式和方程n

n

p s a p s a p s a s A s B s F ++

++++==

2211)()()(进行比较，可以看出 ，，，，；，，， 21121)2()1()1()()2()1(a r a r a r p n p p p p p n ===-=-=-=n a n r =)(。

是余项))((s k 再考虑下列传递函数：6

1166

352)()(2

3

23++++++=s s s s s s s A s B

对于该函数有：

[][]

611616352==den num 命令为：

[]),(,,den num residue k p r =

于是得到下列结果：

[]2

0000.10000.20000.30000.30000.40000.6)

,(,,=---=

--==k p r den num residue k p r

应当指出，留数变成列向量r ，极点位置变成列向量p ，而余项变为行向量k 。这就是B(S)/A(S)的下列部分分式展开的MATLAB 表达式：

21324366

1166

352)()(2323++++-++-=++++++=

s s s s s s s s s s A s B

利用留数命令，由部分分式展开式构成其多项式（分子和分母）：

[]),,(,k p r residue den num =

其中k p r 和、已在上述MA TLAB 的输出中给出，可以将部分分式展开式返回到多项式之比B(S)/A(S)，即得到：

[]3232,(,,)

Printsys (,,'').2536

6116

num den residue r p k num den s num den s s s s s s ==

++++++

命令：Printsys(,,'')num den s 将以s 的多项式之比的形式打印输出num/den 。 应当指出，如果

)1()1()(-+==+=m j p j p j p

即11-++===m j j j p p p ，则极点)(j p 是一个m 重极点。在这种情况下，部分分式展开式将包括下列各项：

m

j p s m j r j p s j r j p s j r )]([)1()]([)1()()(2--++

+-++-

例如用MA TLAB 将B(S)/A(S)展开成部分分式：

1

333

2)1(32)()(2

3

232+++++=+++=s s s s s s s s s A s B 对此函数，有

[][]

13313210==den num

应用命令

[]),(,,den num residue k p r =

将得到下列结果：

[][]

[][]

0000.10000.10000.10000.20000.00000.1)

,(,,13313210=

---=

=

===k p r den num residue k p r den num

这就是B(S)/A(S)的部分分式展开式的MA TLAB 表达式：

3

2)

1(2

)1(011)()(+++++=s s s s A s B 注意，这里的余项k 为零。

为了从k p r 和、得到原来的函数B(S)/A(S)，向计算机输入下列程序：

[],(,,)Printsys (,,'')

num den residue r p k num den s =

于是计算机将提供出num/den 如下：

1

333

2/23

2+++++=s s s s s den num 2.用MATLAB 求B(S)/A(S)的零点和极点 MATLAB 有一个命令是：

[]),(2,,den num zp tf K p z =

它可以求出B(S)/A(S)的零点、极点和增益K 。

考虑由下式定义的系统：

s

s s s s s s A s B 48441212

164)()(2

34

2+++++= 为了得到零点)(z 、极点)(p 和增益)(K ，将下列MA TLAB 程序输入进计算机：

[][][])

,(2,,048441211216400den num zp tf K p z den num === 于是计算机将在显示屏幕上显示下列输出：

4

0000.20000.40000.60

13=

---=

--=

K p z

零点是s 等于13--和，极点是s 等于2460---和，，

，增益K 是4。 如果给定零点、极点和增益K ，则下列MATLAB 程序将会给出原始函数num/den ，即

[]2432z [1;-3];p [0;-2;-4;-6];

K 4;

num,den zp2tf(z,p,K)

Printsys (num,den,'s')num/den 41612124448s s s s s s

=-====

+++++

四、实验报告内容及基本要求

1.实验名称、学生姓名和班级学号；

2.实验目的；

3.实验过程；

4.实验原始记录；

5.实验分析及结论；

6.提出对实验的合理建议；

7.报告要独立完成，不要互相抄袭，图表要正规，记录要清晰，字迹要工整。

五、思考与练习题

把下列传递函数做部分分式展开，并求零点和极点 1. 4

4)(2++=s s s G 2. 2

54)(23+++=

s s s s

s G

3. )

52)(1(10)(2

+++=s s s s G 4. )

52)(1()1(10)(22

+++++=

s s s s s s G

5. 8

14715

8)(2

32+++++=s s s s s s G

实验二 MATLAB 求串联、并联、和反馈（闭环）传递函数

一、实验目的

掌握用MA TLAB 求串联、并联、和反馈（闭环）传递函数的方法。

二、实验说明

1.在控制系统分析中，我们经常需要计算串联连结传递函数、并联连结传递函数和反馈连结（闭环）传递函数。MATLAB 具有一些方便的命令，用来求解串联、并联、和反馈（闭环）传递函数。

假设有两个环节)( )(21s G s G 和，它们以不同的方式进行连结，如图2-1所示， 其中：

den2

num2

)(den1num1)(21=

=

s G s G ， 2.为了求解串联系统，并联系统或反馈（闭环）系统的传递函数，可以采用下列命令：

den2)

num2,den1,um1,feedback(n den][num,den2)num2,den1,um1,parallel(n den][num,den2)

num2,den1,1,series(num den][num,=== 三、实验步骤

1.考虑下列情况：

den2

num2

55)(den1num110

210)(221=

+==

++=

s s G s s s G ，

(a)

(b)

(c)

图2-1 (a)串联系统 (b)并联系统 (c)反馈（闭环）系统

2.MA TLAB Program2-1给出来针对)()(21s G s G 和中每一种排列的

d e n

num

s R s C =

)()(。 [][][][][][]322MATLAB Program 2-1num10010;den11210;num205;den215;

num,den series(num1,den1,num2,den2);

printsys (num,den)num/den 50

72050

num,den parallel(num1,den1,num2,den2);printsys (num,den)num/den 5s s s s ======

+++==

+[]32322010072050

num,den feedback(num1,den1,num2,den2);printsys (num,den)num/den 1050

72050

s s s s s s s s ++++==

++++ 下列命令：den)(num, printsys 显示出了所讨论系统的den num /[即传递函数)(/)(s R s C ]。

四、实验报告内容及基本要求

1.实验名称、学生姓名和班级学号；

2.实验目的；

3.实验过程；

4.实验原始记录；

5.实验分析及结论；

6.提出对实验的合理建议；

7.报告要独立完成，不要互相抄袭，图表要正规，记录要清晰，字迹要工整。

五、思考与练习题

求解下列串联连结、并联连结和反馈连结（闭环）系统的传递函数

1.

2.

3.

4.

5.

实验三 用MATLAB 进行数学模型变换

一、实验目的

掌握用MA TLAB 进行数学模型变换的方法。

二、实验说明

在将系统模型从传递函数变换到状态空间表达式，或者是相反的过程中，MATLAB 是相当有用的。首先讨论从传递函数变换向状态空间表达式的变换。

将闭环传递函数写成下列形式：

den

num s s s U s Y =

=为变量的分母多项式以为变量的分子多项式以)()(

如果得到上述传递函数，下列MATLAB 命令：

[]),(2,,,den num ss tf D C B A =

将会给出状态空间表达式。应当强调指出，对于任何系统，状态空间表达式都不是唯一的。同一系统可以有许多（无穷多）状态空间表达式。MA TLAB 命令给出的只是这些可能的状态空间表达式中的一种。

三、实验步骤

1.由传递函数变换为状态空间表达式

考虑下列传递函数系统：

232

()()(10)(416)1456160Y s s s

U s s s s s s s ==++++++ (1) 该系统有许多（无穷多）可能的状态空间表达式，其中一种可能的状态空间表达式为：

[][]u x x x y u x x x x x x 0 00114101456160100010321321321+????

?

?????=??????????-+????????????????????---=?????????? (2)

另外一种可能的状态空间表达式（无穷多可供选择的方案中的一种）是：

[][]u x x x y u x x x x x x 0 0010010100011605614321321321+????

??????=??????????+????????????????????---=?????????? (3)

MATLAB 将方程(1)表示的传递函数，变换为由方程(2)和方程(3)表示的状态空间表达式。对于这里所列举的系统，MATLAB Program3-1将产生出矩阵A ，B ，C 和D 。

[][]

[]0

0100010

1

0001160

5614den)

tf2ss(num,D C,B,A,16056141den 0100num 1

-Program3 MAT LAB ==

=---=

===D C B A

2.由状态空间表达式变换为传递函数

为了将状态空间表达式变换为传递函数，采用下列命令：

[])iu D,C,B,A,

ss2tf(den num,=

对于多输入的系统，必须在iu 中具体表明。

例如，如果系统具有三个输入量)3,2,1(u u u ，则iu 必须表示是1，2或3，其中1代表u 1，2代表u 2，3代表u 3。

如果系统只有一个输入量，则可以采用命令：

[])D C,B,A,

ss2tf(den num,=

也可以采用命令：

[])1D,C,B,A,

ss2tf(den num,=

对于具有多输入和多输出的系统，暂时不做考虑。

考虑下列状态空间方程描述的系统的传递函数：

[]????

??????=??????????-+????????????????????---=??????????321321321 0011202505255100010x x x y u x x x x x x

MATLAB Program3-2将给出上述系统的传递函数。这个传递函数由下式表示：

5

2555

25)()(2

2

++++=s s s s s U s Y [][][][]

[]MATLAB Program3-2

A 010;001;5255;

B 0;25;120;

C 100;

D 0num,den ss2tf(A,

B,C,D)

num 00.000025.0000 5.0000den 1.0000 5.000025.0000 5.0000

%**The same result can be obtained by entering the following command:=---=-=====

[]**

num,den ss2tf(A,

B,C,D,1)

num 00.000025.0000 5.0000

den 1.0000 5.000025.0000 5.0000

===

四、实验报告内容及基本要求

1.实验名称、学生姓名和班级学号；

2.实验目的；

3.实验过程；

4.实验原始记录；

5.实验分析及结论；

6.提出对实验的合理建议；

7.报告要独立完成，不要互相抄袭，图表要正规，记录要清晰，字迹要工整。

五、思考与练习题

将下列传递函数变换为状态空间表达式：

1. 4

4

)(2++=s s s G

2. 2

54)(23+++=s s s s

s G

3. )

52)(1(10

)(2+++=

s s s s G

4. )

52)(1()

1(10)(22+++++=s s s s s s G

5. 8

14715

8)(232+++++=s s s s s s G

实验四 控制系统的瞬态响应分析

一、实验目的

1.掌握用MATLAB 进行瞬态响应分析计算的方法。

2.掌握用MATLAB 求系统的单位阶跃响应的方法。

3.掌握用MATLAB 求系统的单位脉冲响应的方法。

4.掌握用MATLAB 求系统的单位斜坡响应的方法。

5.掌握用MATLAB 求系统对任意输入信号的响应的方法。

二、实验说明

1.在本实验中，我们将介绍用MATLAB 进行瞬态响应分析的方法。特别是将讨论阶跃响应、脉冲响应、斜坡响应，以及对其他简单输入信号的响应问题。

2.线性系统的MATLAB 表示

系统的传递函数用两个数组来表示。考虑下列系统：

25

425

2)()(2

+++=s s s s R s C (1) 该系统可以表示为两个数组，每一个数组由相应的多项式系数组成，并且以s 的降幂排列如下：

[][]

num 225den 1425==

另一种可供选择的表示方法是：

[][]

2541den 2520num == 在这个表达式中，零是填充符。注意，如果零被填充进去，则向量“num ”和向量“den ”的维数会变成相同。加进填充符零的优点是向量“num ”和向量“den ”可以直接相加。例如：

[][][]

506125412520den num =+=+

如果已知num 和den （即闭环传递函数的分子和分母），则命令

t)den,step(num,,den)step(num,

将会产生单位阶跃响应图（在阶跃命令中，t 为用户指定时间）。

3.对于一个以状态空间形式描述的控制系统，其状态空间方程中的状态矩阵A ，

控制矩阵B ，输出矩阵C 和直接传输矩阵D 均为已知，这时命令

D)C,B,step(A,

将会产生单位阶跃响应曲线。虽然t 没有显含在阶跃命令中，但时间向量会自动地予以确定。

应当指出，命令step (sys)可以用来获得系统的单位阶跃响应。首先，用下式定义系统：

den)tf(num,sys =

或D)C,B,ss(A,sys =

然后，为了求单位阶跃响应，向计算机输入下列命令：

step(sys)

当阶跃命令的左端含有变量时，如

[][][]t)

iu,D,C,B,step(A,t x,y,iu)D,C,B,step(A,t x,y,t)

den,step(num,t x,y,=== (2) 显示屏上不会显示出响应曲线。因此，必须利用plot 命令去查看响应曲线。矩阵y 和x 分别包含系统在计算时间点t 求出的输出响应和状态响应（y 的列数与输出量个数相同，每一行对应一个相应的时间t 单元，x 的列数与状态数相同，每一行对应一个相应的时间t 单元）。

在方程(2)中，标量iu 是系统输入量的一种标识，它说明采用什么输入量获取响应，t 则是用户指定的时间。如果系统含有多个输入量和多个输出量，则方程(2)给出的阶跃命令将产生一个阶跃响应曲线序列，其中每一个曲线都与方程：

Du

Cx y Bu Ax x

+=+=

中的一个输入量和一个输出量组合相对应。

三、实验步骤

1.标准二阶系统的MATLAB 描述

下列二阶系统被称为标准二阶系统：2

22

2)(n

n n

s s s G ωζωω++=，对于给定的n ωζ和 ，下列命令)den num,(printsys

或 )s den,num,(printsys 将以s 的多项式比值形式，打印出num/den 。

例如，考虑当5=n ω弧度/秒和0.4 =ζ的情况。MATLAB Program 4-1将产生出5=n ω弧度/秒和0.4 =ζ的情况下的标准二阶系统。

[]25

42^25

num/den )s''den,num,(printsys num0;*5^2num tio);

damping_ra ord2(wn,den num0,0.4

tio damping_ra 5;

wn 1-4 Program MAT LAB ++=

====s s

2.求传递函数系统的单位阶跃响应

考虑下列传递函数系统的单位阶跃响应：25

425

)(2++=

s s s G ，MA TLAB

Program 4-2将给出该系统的单位阶跃响应图，见图4-1所示曲线。

应当指出，在图4-1中，x 轴和y 轴的标注是自动确定的。如果希望对x 轴和y 轴进行不同的标注，则必须改变阶跃指令。例如，如果需要在x 轴上标注“t sec ”，在y 轴上标注“Input and Output ”，则应利用带有左端变量的阶跃响应命令，如：

)t den,step(num,c =，或者，更为普遍地利用

)t den,step(num,]t y,[x,=

例如，参见MA TLAB Program 4-2。

[][]MATLAB Program 4-2

%----------Unit-step response----------%**Enter the numerator and denominator of the transferfunction**num 0025;den 1425;

%*****Enter the following step-response command*****

step(num,==den)

%*****Enter grid and title of the plot*****grid

title('Unit-Step Response of G(s)25/(s^24s 25)')

=++

图4-1 MA TLAB Program 4-2 产生的单位阶跃响应曲线 3.求系统的单位脉冲响应

利用MATLAB 命令中的一种命令，可以得到控制系统的单位脉冲响应：

[][][][][](5)

t)iu,D,C,B,impulse(A,t x,y,(4) iu)D,C,B,impulse(A,t x,y,D)

C,B,impulse(A,t x,y, (3) t)den,m,impulse(nu t x,y,den)m,impulse(nu t x,y,D)C,B,impulse(A,den)

m,impulse(nu ===== 命令impulse(num,den)将在屏幕上画出单位脉冲响应。命令D)C,B,impulse(A,将产生一个单位脉冲响应序列图，每一个响应曲线对应于系统

Du

Cx y Bu Ax x

+=+=

的一种输入量和输出量组合，其中时间向量会自动地确定下来。应当指出，在方程(4)和方程(5)中，标量iu 是系统输入量的一种指标，它表明采用哪一个输入量产生脉冲响应。

还应指出，在方程(3)和方程(5)中，t 是用户提供的时间向量。向量t 表示脉冲响应进行计算的时间。

如果MATLAB 命令中附加有左端变量，如[]D)C,B,impulse(A,t x,y,=这种情况，该命令将产生系统的输出量和状态响应，以及时间向量t 。此时在计算机屏

幕上不画出图形。矩阵y 和x 包含在时刻t 计算出来的系统输出和状态响应（y 的列数与输出量个数相同，但仅有一行对应于t 的每一个元素。x 的列数与状态变量数相同，也只有一行与t 的每一个元素相对应）。

例如，求下列系统的单位脉冲响应：

[][]u

x x y u x x x x

0 01101110212121+??

?

???=??????+???????????

?--=?????? 在MA TLAB Program 4-3中给出了一种可行的MA TLAB 程序。由此得到的响应曲线表示在图4-2中。

[][][][]MATLAB Program 4-3A 0111;B 0;1;10;0;

impulse(A,B,C,D);

grid

title('Unit-Impulse Response')

;--C D ====

图4-2 MATLAB Program 4-3 产生的单位脉冲响应曲线

又例如，试求下列系统的单位脉冲响应：

12.01

)()()(2++==s s s G s R s C

MATLAB Program 4-4将产生单位脉冲响应。

[][]MATLAB Program 4-4num 001;den 10.21;impulse(num,den);

grid

title('Unit-Impulse Response of G(s)1/(s^20.2s 1)')

===++

由此得到的单位脉冲响应曲线如图4-3所示。

图4-3 MATLAB Program 4-4 产生的单位脉冲响应曲线 4.传递函数系统的单位斜坡响应

在MATLAB 中没有斜坡响应命令，因此，需要利用阶跃响应命令或lsim 命令求斜坡响应。特别是当求传递函数系统)(s G 的斜坡响应时，可以先用s 除)(s G ，再利用阶跃响应命令。例如，考虑下列闭环系统：1

1)()(2++=s s s R s C ，对于单位斜坡

输入量，)/(1)(2s s R =，因此，s s s s s s s s C 1)

1(1

1

11

)(22

2?++=

?

++=

。 为了得到系统的单位斜坡响应，往MATLAB 程序中输入下列分子和分母：

[][];

0111den ;

1000num ==

并且应用阶跃响应命令。

5.系统对任意输入信号的响应

为了对任意输入信号的响应，可以应用命令lsim 。下列一些命令：

t)

u,D,C,B,lsim(A,y or t)r,den,lsim(num,y t)

u,D,C,B,lsim(A,or t)r,den,lsim(num,==

将产生对输入时间函数r 和u 的响应。

例如，利用lsim 命令，求系统1

1)

()(2

++=

s s s R s C 的单位斜坡响应，将MATLAB

Program 4-5输入到计算机中，求单位斜坡响应。图4-4所示为求得的响应曲线。

[][]MATLAB Program 4-5

%----------Ramp response----------num 0

01;

den 111;t 0:0.1:8;

r t;

y lsim(num,den,r,t);plot(t,r,'-',t,y,'o')grid

title('Unit-Ramp Response Obtained by Use of Command"lsim"')xlabel('t sec =====')

ylabel('Unit-Ramp Input and System Output') text(2.1,4.65,'Unit-Ramp Input')text(4.5,2.0,'Output')

图4-4 利用MA TLAB Program 4-5求得的单位斜坡响应

又例如，考虑下列系统：

[][]u

x x y u x x x x 0 0110015.01212121+??

?

???=??????+???????????

?--=??????

当输入量u 由下式给定：1.u = 单位阶跃输入；2.t e u -=。（使用命令)exp(t u -=） 并且假设初试状态为0)0(=X 时，试利用MA TLAB 求响应曲线)(t y 。

四、实验报告内容及基本要求

1.实验名称、学生姓名和班级学号；

2.实验目的；

3.实验过程；

4.实验原始记录；

5.实验分析及结论；

6.提出对实验的合理建议；

7.报告要独立完成，不要互相抄袭，图表要正规，记录要清晰，字迹要工整。

五、思考与练习题

1.已知系统传递函数为)

10)(1(10

)(++=s s s G ，求其单位阶跃响应)(t h 。

2.某系统传递函数为6

51

)(2

+++=

s s s s G ，求其单位脉冲响应)(t g 。 3.已知单位负反馈系统的开环传递函数为212)(s

s s G +=，试求该系统的单位阶跃响应)(t h 和单位脉冲响应)(t g 。

4. 已知单位负反馈系统的开环传递函数为)6.0(14.0)(++=s s s s G ，试求系统单位阶跃

响应)(t h ，并求其上升时间r t 和最大超调量(%)p M 。

5. 已知负反馈系统的开环传递函数)

450(100

)(+=

s s s G ，反馈传递函数

02.0)(=s H ，画出该系统的单位阶跃响应曲线，并求其无阻尼自然频率n ω，阻尼

比ζ，超调量(%)p M ，峰值时间p t ，调整时间s t （进入5%±的误差带）。