金湖县高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案

金湖县高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前项和，公差为d ，若201717

100201717

S S -=，则d 的值为（ ） A ．

120 B ．110

C ．10

D ．20 2． 下列函数中哪个与函数y=x 相等（ ）

A ．y=（）2

B ．y=

C ．y=

D ．y=

3． 已知x ，y ∈R ，且，则存在θ∈R ，使得xcos θ+ysin θ+1=0成立的P （x ，y ）构成的区域面

积为（ ）

A ．4﹣

B ．4

﹣

C ．

D ．

+

4． 设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=4x+2y 的最大值为（ ）

A ．12

B ．10

C ．8

D ．2

5． 若a=ln2，b=5，c=

xdx ，则a ，b ，c 的大小关系（ ）

A ．a ＜b ＜c

B B ．b ＜a ＜c

C C ．b ＜c ＜a

D ．c ＜b ＜a

6． 给出下列各函数值：①sin100°；②cos （﹣100°）；③tan （﹣100°）；④．其中符号为

负的是（ ） A ．① B ．②

C ．③

D ．④

7． 函数

是（ ）

A ．最小正周期为2π的奇函数

B ．最小正周期为π的奇函数

C ．最小正周期为2π的偶函数

D ．最小正周期为π的偶函数

8． “x ≠0”是“x ＞0”是的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

9． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sinB=2sinC ，a 2﹣c 2=3bc ，则A 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 10．计算log 25log 53log 32的值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

11．对于区间[a ，b]上有意义的两个函数f （x ）与g （x ），如果对于区间[a ，b]中的任意数x 均有|f （x ）﹣g

（x ）|≤1，则称函数f （x ）与g （x ）在区间[a ，b]上是密切函数，[a ，b]称为密切区间．若m （x ）=x 2

﹣3x+4

与n （x ）=2x ﹣3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是（ ）

A ．[3，4]

B ．[2，4]

C ．[1，4]

D ．[2，3]

12．三个实数a 、b 、c 成等比数列，且a+b+c=6，则b 的取值范围是（ ） A ．[﹣6，2] B ．[﹣6，0）∪（ 0，2] C ．[﹣2，0）∪（ 0，6] D ．（0，2]

二、填空题

13．定义：[x]（x ∈R ）表示不超过x 的最大整数．例如[1.5]=1，[﹣0.5]=﹣1．给出下列结论： ①函数y=[sinx]是奇函数；

②函数y=[sinx]是周期为2π的周期函数； ③函数y=[sinx]﹣cosx 不存在零点；

④函数y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2，﹣1，0，1}．

其中正确的是 ．（填上所有正确命题的编号）

14．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1和平面BC 1D 的位置关系为 ．

15．设x ，y 满足约束条件

，则目标函数z=2x ﹣3y 的最小值是 ．

16．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是y=

x ，它的一个焦点在抛物线y 2=48x 的准

线上，则双曲线的方程是 ．

17．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定

(),A B k k A B AB

?-=

（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给

出以下命题：

①函数3

2

1y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ?>

②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线2

1y x =+上不同的两点，则(),2A B ?≤；

④设曲线x

y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1

t A B ??<

恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.

其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）

18．已知i 是虚数单位，复数的模为 ．

三、解答题

19．如图，边长为2的正方形ABCD 绕AB 边所在直线旋转一定的角度（小于180°）到ABEF 的位置． （Ⅰ）求证：CE ∥平面ADF ；

（Ⅱ）若K 为线段BE 上异于B ，E 的点，CE=2．设直线AK 与平面BDF 所成角为φ，当30°≤φ≤45°时，

求BK 的取值范围．

20．（本小题满分13分） 已知函数3

2

()31f x ax x =-+， （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）证明：当2a <-时，()f x 有唯一的零点0x ，且01(0,)2

x ∈．

21．已知斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，|AB|=4．

（I ）求p 的值；

（II ）若经过点D （﹣2，﹣1），斜率为k 的直线m 与抛物线有两个不同的公共点，求k 的取值范围．

22．等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1+3a 2=1，a 32=9a 2a 6， （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ，求数列{}的前n 项和．

23．（本小题满分13分） 设1()1f x x

=

+，数列{}n a 满足：112a =，1(),n n a f a n N *

+=∈．

（Ⅰ）若12,λλ为方程()f x x =的两个不相等的实根，证明：数列12n n

a a λλ??

-?

?-??为等比数列；

（Ⅱ）证明：存在实数m ，使得对n N *

?∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．

）

24

．若已知，求sinx 的值．

金湖县高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B 【解析】

试题分析：若{}n a 为等差数列，

()

()111212n

n n na S d a n n

n -+

==+-?，则n S n ??????

为等差数列公差为2d ,

2017171

100,2000100,201717210

S S d d ∴

-=?==,故选B. 考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前项和公式.

2． 【答案】B

【解析】解：A ．函数的定义域为{x|x ≥0}，两个函数的定义域不同． B ．函数的定义域为R ，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．

C ．函数的定义域为R ，y=|x|，对应关系不一致．

D ．函数的定义域为{x|x ≠0}，两个函数的定义域不同．

故选B ．

【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数．

3． 【答案】 A

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB ，

若存在θ∈R ，使得xcos θ+ysin θ+1=0成立，

则

（

cos θ

+sin θ）=﹣1， 令sin α

=，则cos θ

=

，

则方程等价为sin （α+θ）=﹣1，

即sin （α+θ）=

﹣

，

∵存在θ∈R ，使得xcos θ+ysin θ+1=0成立， ∴|

﹣

|≤1，即x 2+y 2≥1，

则对应的区域为单位圆的外部，

由，解得，即B （2，2

），

A （4，0），则三角形OA

B 的面积S=×

=4

，

直线y=x 的倾斜角为

，

则∠AOB=

，即扇形的面积为

，

则P （x ，y ）构成的区域面积为S=4﹣

，

故选：A

【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强．

4． 【答案】B

【解析】解：本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时，z 取得最大值10．

5． 【答案】C

【解析】解：∵

a=ln2＜lne 即

，

b=5=，

c=xdx=，

∴a，b，c的大小关系为：b＜c＜a．

故选：C．

【点评】本题考查了不等式大小的比较，关键是求出它们的取值范围，是基础题．

6．【答案】B

【解析】解：：①sin100°＞0，②cos（﹣100°）=cos100°＜0，③tan（﹣100°）=﹣tan100＞0，

④∵sin＞0，cosπ=﹣1，tan＜0，

∴＞0，

其中符号为负的是②，

故选：B．

【点评】本题主要考查三角函数值的符号的判断，判断角所在的象限是解决本题的关键，比较基础．7．【答案】B

【解析】解：因为

=

=cos（2x+）=﹣sin2x．

所以函数的周期为：=π．

因为f（﹣x）=﹣sin（﹣2x）=sin2x=﹣f（x），所以函数是奇函数．

故选B．

【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数的基本性质，考查计算能力．8．【答案】B

【解析】解：当x=﹣1时，满足x≠0，但x＞0不成立．

当x＞0时，一定有x≠0成立，

∴“x≠0”是“x＞0”是的必要不充分条件．

故选：B．

9．【答案】C

【解析】解：由sinB=2sinC，由正弦定理可知：b=2c，代入a2﹣c2=3bc，

可得a2=7c2，

所以cosA===﹣，

∵0＜A＜180°，

∴A=120°．

故选：C．

【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基本知识的考查．

10．【答案】A

【解析】解：log25log53log32==1．

故选：A．

【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．

11．【答案】D

【解析】解：∵m（x）=x2﹣3x+4与n（x）=2x﹣3，

∴m（x）﹣n（x）=（x2﹣3x+4）﹣（2x﹣3）=x2﹣5x+7．

令﹣1≤x2﹣5x+7≤1，

则有，

∴2≤x≤3．

故答案为D．

【点评】本题考查了新定义函数和解一元二次不等式组，本题的计算量不大，新定义也比较容易理解，属于基础题．

12．【答案】B

【解析】解：设此等比数列的公比为q，

∵a+b+c=6，

∴=6，

∴b=．

当q＞0时，=2，当且仅当q=1时取等号，此时b∈（0，2]；

当q＜0时，b=﹣6，当且仅当q=﹣1时取等号，此时b∈[﹣6，0）．

∴b的取值范围是[﹣6，0）∪（0，2]．

故选：B．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

二、填空题

13．【答案】②③④

【解析】解：①函数y=[sinx]是非奇非偶函数；

②函数y=[sinx]的周期与y=sinx的周期相同，故是周期为2π的周期函数；

③函数y=[sinx]的取值是﹣1，0，1，故y=[sinx]﹣cosx不存在零点；

④函数数y=[sinx]、y=[cosx]的取值是﹣1，0，1，故y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2，﹣1，0，1}．

故答案为：②③④．

【点评】本题考查命题的真假判断，考查新定义，正确理解新定义是关键．

14．【答案】平行．

【解析】解：∵AB1∥C1D，AD1∥BC1，

AB1?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，AB1∩AD1=A

C1D?平面BC1D，BC1?平面BC1D，C1D∩BC1=C1

由面面平行的判定理我们易得平面AB1D1∥平面BC1D

故答案为：平行．

【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．

15．【答案】﹣6．

【解析】

解：由约束条件

，得可行域如图，

使目标函数z=2x ﹣3y 取得最小值的最优解为A （3，4）， ∴目标函数z=2x ﹣3y 的最小值为z=2×3﹣3×4=﹣6． 故答案为：﹣6．

16．【答案】

【解析】解：因为抛物线y 2

=48x 的准线方程为x=﹣12，

则由题意知，点F （﹣12，0）是双曲线的左焦点， 所以a 2+b 2=c 2=144，

又双曲线的一条渐近线方程是

y=x ，

所以=

，

解得a 2=36，b 2=108， 所以双曲线的方程为．

故答案为：

．

【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确定c 和a 2的值，是解题的关键．

17．【答案】②③ 【解析】

试题分析：①错：(1,1),(2,5),||17,||7,A B A B AB k k =-=(,)317A B ?∴=<；

②对：如1y =；③对；2

2222

(,)2()()

1()

A B A B A

B

A B A B x x x x x x ?=

=

≤-+-++；

④错；1212(,)x x x x A B ?=

=

1211,(,)A B ?==>因为1(,)

t A B ?<恒成立，故1t ≤.故答案为②③.111] 考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题. 18．【答案】

．

【解析】解：∵

复数

=

=i ﹣1

的模为

=

．

故答案为：

．

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）证明：正方形ABCD 中，

CD BA ，正方形ABEF 中，

EF BA ．…

∴

EF

CD ，∴四边形EFDC 为平行四边形，∴CE ∥DF ．…

又DF ?平面ADF ，CE ?平面ADF ，∴CE ∥平面ADF ． … （Ⅱ）解：∵BE=BC=2，

CE=，∴CE 2=BC 2+BE 2

．

∴△BCE 为直角三角形，BE ⊥BC ，…

又BE ⊥BA ，BC ∩BA=B ，BC 、BA ?平面ABCD ，∴BE ⊥平面ABCD ． … 以B 为原点，

、

、

的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B （0，0，0），

F （0，2，2），A （0，2，0

），

=（2，2，0

），

=（0，2，2）．

设K （0，0，m ），平面BDF

的一个法向量为=（x ，y ，z ）．

由

，

，得

可取=（1，﹣1，1），…

又

=（0，﹣2，m ），于是sin φ

=

=

，

∵30°≤φ≤45°，

∴

，即…

结合0＜m ＜2，解得0，即BK 的取值范围为（0，4﹣]．…

【点评】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．

20．【答案】（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）2

()363(2)f x ax x x ax '=-=-， （1分）

①当0a >时，解()0f x '>得2x a >或0x <，解()0f x '<得20x a <<， ∴()f x 的递增区间为(,0)-∞和2(,)a

+∞，()f x 的递减区间为2

(0,)a ． （4分）

②当0a =时，()f x 的递增区间为(,0)-∞，递减区间为(0,)+∞． （5分）

③当0a <时，解()0f x '>得20x a

<<，解()0f x '<得0x >或2

x a <

∴()f x 的递增区间为2(,0)a ，()f x 的递减区间为2

(,)a

-∞和(0,)+∞． （7分）

（Ⅱ）当2a <-时，由（Ⅰ）知2(,)a -∞上递减，在2

(,0)a

上递增，在(0,)+∞上递减．

∵2

2

240a f a a -??=> ???

，∴()f x 在(,0)-∞没有零点． （9分） ∵()010f =>，11

(2)028

f a ??=+< ???，()f x 在(0,)+∞上递减，

∴在(0,)+∞上，存在唯一的0x ，使得()00f x =．且01

(0,)2x ∈ （12分）

综上所述，当2a <-时，()f x 有唯一的零点0x ，且01

(0,)2

x ∈． （13分）

21．【答案】

【解析】解：（I ）由题意可知，抛物线y 2

=2px （p ＞0）的焦点坐标为

，准线方程为

．

所以，直线l 的方程为

…

由消y并整理，得…

设A（x1，y1），B（x2，y2）

则x1+x2=3p，

又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4，

所以，3p+p=4，所以p=1…

（II）由（I）可知，抛物线的方程为y2=2x．

由题意，直线m的方程为y=kx+（2k﹣1）．…

由方程组（1）

可得ky2﹣2y+4k﹣2=0（2）…

当k=0时，由方程（2），得y=﹣1．

把y=﹣1代入y2=2x，得．

这时．直线m与抛物线只有一个公共点．…

当k≠0时，方程（2）得判别式为△=4﹣4k（4k﹣2）．

由△＞0，即4﹣4k（4k﹣2）＞0，亦即4k2﹣2k﹣1＜0．

解得．

于是，当且k≠0时，方程（2）有两个不同的实根，从而方程组（1）有两组不同的解，这时，直线m与抛物线有两个不同的公共点，…

因此，所求m的取值范围是．…

【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．

由条件可知各项均为正数，故q=．

由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．

故数列{a n}的通项式为a n=．

（Ⅱ）b n

=

++…

+=﹣（1+2+…+n ）=

﹣，

故=

﹣=﹣2

（

﹣）

则

+

+…

+

=﹣2=

﹣

， 所以数列

{}的前n

项和为﹣

．

【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．

23．【答案】

【解析】解：证明：2

()10f x x x x =?+-=，∴2112221010λλλλ?+-=??+-=??，∴2112

22

11λλλλ?-=??-=??． ∵1

21111111121222222221

11111n n n n n n n n n n

a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ++--+----====?

------+， （3分） 11120a a λλ-≠-，12

0λ

λ≠，

∴数列12n n a a λλ??

-?

?-??

为等比数列． （4分）

（Ⅱ）证明：设1

2m =

，则()f m m =． 由112a =及111n n a a +=+得223a =，33

5

a =，∴130a a m <<<．

∵()f x 在(0,)+∞上递减，∴13()()()f a f a f m >>，∴24a a m >>．∴1342a a m a a <<<<，（8分）

下面用数学归纳法证明：当n N *

∈时，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．

①当1n =时，命题成立． （9分）

②假设当n k =时命题成立，即2121222k k k k a a m a a -++<<<<，那么 由()f x 在(0,)+∞上递减得2121222()()()()()k k k k f a f a f m f a f a -++>>>> ∴2222321k k k k a a m a a +++>>>>

由2321k k m a a ++>>得2321()()()k k f m f a f a ++<<，∴2422k k m a a ++<<， ∴当1n k =+时命题也成立， （12分）

由①②知，对一切n N *∈命题成立，即存在实数m ，使得对n N *

?∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<.

24．【答案】

【解析】解：∵，∴＜＜2π，

∴sin（）=﹣=﹣．

∴sinx=sin[（x+）﹣]=sin（）cos﹣cos（）sin

=﹣﹣=﹣．

【点评】本题考查了两角和差的余弦函数公式，属于基础题．