机械能专题

机械能专题

（一）对功的认识

1. 做功与否的判断问题

物体受到力的作用，如果物体在力的方向上发生位移，我们就说力对物体做了功。可见做功与否的判断，依据的是功的两个要素：力与力的方向上的位移。 2. 做功多少的计算问题

做功多少是根据功的公式来计算的，功的公式为：αcos Fs W =，其中各个物理量的含义如下：F 是做功的力；s 是力所作用的那个物体的位移；而α则是力F 与位移s 之间的夹角。

3. 做功快慢的描述问题

做功的快慢程度用功率来描述，功率的定义式是：t W P =

功率的导出式是：αcos Fv P =

前者用于计算某段时间内的平均功率，后者则用于计算某个时刻瞬时功率。 4. 对功的物理含义的理解

关于功我们不仅要从定义式αcos Fs W =进行理解和计算，还应理解它的物理含义。功是能量转化的量度，即：做功的过程是能量的一个转化过程，这个过程做了多少功，就是多少能量发生了转化。对物体做正功，物体的能量增加。对物体做了多少正功，物体的能量就增加了多少；对物体做负功，也称物体克服阻力做功，物体的能量减少，做了多少负功，

输出了能量。

[例1] 如图1析与解：条件得，F N =夹角为180(-?2

=mg W N F

=mg W f F 说明：

1. 由

t W

P =

可知，功率的大小只与其“比值”有直接联系，与做功多少和时间长短无直

接关联，比较功率的大小就要比较功与完成这些功的所用时间之“比值”。“比值”大，功率就大，做功就快，“比值”小，功率就小，做功就慢。

物体做功功率是描述物体做功的一个状态；做功的多少是一个过程，所以不能说功率大，做功就多。物体做功多少是做功物体在做功过程中的一个积累，随着做功过程的积累时间越长，这个物体做功就越多，Pt W =就是一个积累的意思。即P 在时间t 上的积累就是物体做功的多少。

2. 对力的功率的认识

由

t W

P =

、αcos Fs W =可得：αcos Fv P =，此式中α为力F 与速度v 之间的夹

角。把αcos v 当作整体来看是物体在力的方向上的分速度，即：作用在物体上的力与物体在力的方向上分速度的乘积叫做力的功率。

对一个动力机械，当功率P 一定时，由αcos Fv P =可知：降低运动速度可以增大牵引力；反过来，若阻力很小，可以加快运动速度。这一点在各种机械设备中有着广泛的应用。 任何机械都有一个铭牌，铭牌上所注功率为这部机械的额定功率。它是提供人们对机械进行选择、配置的一个重要参数，它反映了机械的做功能力或机械所能承担的“任务”。机械运行过程中的功率是实际功率。机械的实际功率可以小于其额定功率（俗称机械没吃饱），可以等于其额定功率（称满负荷运行），还可以在短时间内略大于其额定功率（称超负荷运行）。机械不能长时间超负荷运行，那样会损坏机械设备，缩短其使用寿命。

3. 机车的两种启动

（1）机车以恒定功率启动，牵引力随速度的增大而减小，机车做加速度逐渐减小的变加速运动。当加速度减小到零时速度最大，以后机车做匀速运动（牵引力等于阻力）。如图3所示机车以恒定功率启动的P —t 图和v —t 图。（机车在水平面运动，阻力视为恒定）

行驶时，阻力是车重的101

倍，试问（取2

/10s m g =）：

（1）汽车保持以额定功率从静止起动后能达到的最大速度是多少？

（2）若汽车从静止开始，保持以2

/5.0s m 的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？

析与解：

（1）汽车一开始就保持额定功率，牵引力随速度的增大而减小，汽车做加速度逐渐减小的变加速运动，当加速度减小到零时速度最大。

此时，

mg

F F f μ==，m Fv P =

所以

s

m mg

P

v m /12==

μ

（2）汽车以恒定加速度起动，先做初速为零的匀加速运动，功率随时间正比例增大，当增大到额定功率时，开始做变加速运动。设保持匀加速运动的时间为t ，匀加速运动能达到的最大速度为1v ，则：

???

?

?==-=1

1Fv P ma mg F at

v μ，所以s Fa P t 16==

（三）对动能的认识

1. 动能是一个状态量，它与物体的运动状态对应。动能也是标量，它只有大小，没有方向，而且物体的动能总是大于等于零，不会出现负值。

动能具有相对性，它与参照物的选取有关。如：在行驶中汽车上的物体，对汽车上的乘客，物体动能为零；但对路边的行人，物体的动能不为零。 2. 外力对物体做功与物体动能的关系：

外力对物体做正功，物体的动能增加，这一外力有助于物体的运动，是动力；外力对物体做负功，物体的动能减小，这一外力是阻碍物体的运动，是阻力，外力对物体做负功往往又称物体克服阻力做功。功是能量转化的量度，外力对物体做了多少功；就有多少动能与其他形式的能发生了转化。所以外力对物体所做的功就等于物体动能的变化量，即

2

2

2

121mv mv E W t k -

=

?=。这就是动能定理。

3. 应用动能定理的注意点：

（1）明确研究对象、研究过程，找出初、末状态的速度情况。

（2）要对物体进行正确的受力分析（包括重力），明确各力做功的大小及正负情况。 （3）若物体运动过程中包含几个不同物理过程，解题时，可以分段考虑，也可视为一整体过程，列出动能定理求解。 4. 关于动能与动量的比较

（1）动能与动量都是由质量和速度共同决定的物理量；

（2）动能和动量都是用于描述物体机械运动的状态量； （3）动能是标量，动量是矢量；

（4）动能决定了物体克服一定阻力能运动多远，动量则决定着物体克服一定阻力能运动多长时间；

（5）动能是从能量观点出发描述机械运动的，动量是从机械运动本身出发描述机械运动状态的。

例3：总质量为M 的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m ，中途脱钩，司机发觉时，机车已行驶了L 距离，于是立即关闭油门撤去牵引力。设运动的阻力与质量成正比，比例系数为k ，机车的牵引力恒定，当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？

析与解：设牵引力为F ，脱钩前列车的速度为v ，脱钩后两部分的位移分别为1s 、2s 。

对列车脱钩到静止的全过程，由动能定理：2

)(0)(2

1v

m M gs m M k FL --=

--，对末节

车厢，脱钩后运动的全过程，由动能定理：

2

02

2

mv

kmgs

-=

-，由脱钩前列车匀速运动

得：0=-kMg F ，解得：

L

m

M M s s s -=

-=?21。

本题也可用补偿法进行分析。若末节车厢脱钩时司机关闭油门，则两部分运动情况完全相同，停止时它们的距离为0，脱钩后牵引力做了FL 的功，才使两部分拉开距离，这部分

功补偿机车多行驶距离中克服阻力所做的功。s g m M k kMgL ?-=)(，所以

L

m

M M s -=?。

点评：本题还可以用运动学知识与牛顿第二定律求解，但较繁杂，显然，用补偿法求解则简单快捷，所以平时做题要注意进行解题方法总结。

（四）对重力势能的认识

1. 重力势能是物体和地球这一系统共同所有，单独一个物体谈不上具有势能。即：如果没有地球，物体谈不上有重力势能，平时说物体具有多少重力势能，是一种习惯上的简称。

2. 重力势能是标量，它没有方向。但是重力势能有正、负。此处正、负不是表示方向，而仅表示比参考点的能量状态高还是低。势能大于零表示比参考点的能量状态高，势能小于零表示比参考点的能量状态低。参考点的选择不同虽对势能值表述不同，但对物理过程没有影响，即势能是相对的，势能的变化是绝对的，势能的变化与参考点的选择无关。

3. 重力做功与重力势能

重力做正功，物体高度下降，重力势能降低；重力做负功，物体高度上升，重力势能升高。可以证明，重力做功与路径无关，由物体所受的重力和物体初、末位置所在水平面的高度差决定，即：h mg E E P G ?==。所以重力做的功等于重力势能增量的负值，即

)(21mgh mgh E W P G --=?-=

例4：如图5所示，半径为r ，质量不计的圆盘面与地面相垂直，圆心处有一个垂直于盘面的光滑水平固定轴O ，在盘的最右边缘，固定一个质量为m 的小球A ，在O 点正下方

离O 点2r

处，固定一个质量也为m 的小球B ，放开盘，让其自由转动，试计算：

（3）

)

sin 2

()cos 1(2

θθr r mg mgr r mg

mgr +

+-=+，即θθsin cos 243+-=

解得：?=37θ

点评：两球速度不同，搞清速度关系是本题解题的关键。

（五）对机械能守恒条件的认识

如果没有摩擦力和介质阻力，物体只发生动能和势能的相互转化时，机械能的总量保持不变，这就是机械能守恒定律。没有摩擦和介质阻力，这是守恒条件。具体的讲，如果一个物理过程只有重力做功，只是重力势能和动能之间发生相互转化，没有与其他形式的能发生转化，物体的动能和重力势能总和保持不变。如果只有弹簧的弹力做功，在弹簧与物体系统中就只有弹性势能与动能之间发生相互转化，不与其他形式的能发生转化，所以弹性势能和动能总和保持不变。分析一个物理过程是不是满足机械能守恒，关键是分析这一过程中有哪些力参与了做功，这一力做功是什么形式的能转化成什么形式的能，如果只是动能和势能的相互转化，而没有与其他形式的能发生转化，则机械能总和不变。如果没有力做功，不发生能的转化，机械能当然也不发生变化。

m

依题意有：2

212)(2

1共

v m m gh m +=

①

2

2

222

1)(v m R h g m =

+ ②

共

v m m v m )(1222+= ③

联立①、②、③得：

)

(22

112R h g m m m m gR m +?+=

解之得：

R

m m h 1

2=

点评：掌握好机械能守恒的条件，利用能量流动图直观地分析物理过程是解答此题的关

键。

【模拟试题】

1. 下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A 、B 、C 中的斜面是光滑的，图D 中的斜面是粗糙的，图A 、B 中的F 为木块所受的外力，方向如图中箭头所示。图A 、B 、D 中的木块向下运动，图C 中的木块向上运动，在这四个图所示的运动过程中机

A. B. C. D.

3. 行驶中的汽车制动后滑行一段距离，最后停下；流星在夜空中坠落并发出明亮的火焰；降落伞在空中匀速下降。上述不同现象中所包含的相同的物理过程是（ ）

A. 物体克服阻力做功

B. 物体的动能转化为其他形式的能量

C. 物体的势能转化为其他形式的能量

D. 物体的机械能转化为其他形式的能量

4. 用铁锤把小铁钉敲入木板。假设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比。已知第一次将铁钉敲入木板1cm ，如果铁锤第二次敲铁钉的速度变化与第一次完全相同，则第二次铁钉进入木板的深度是（ ）

A. cm )13(-

B. cm )12(-

C. cm

2

3 D. cm

22

5. 如图2所示是健身用的“跑步机”示意图，质量为m 的运动员踩在与水平面成α角的静止皮带上，运动员用力后蹬皮带，皮带运动过程中受到阻力恒定为f

F ，使皮带以速度v 匀

速运动，则在运动过程中下列说法正确的是（ ）

A. 人脚对皮带的摩擦力是皮带运动的阻力

B. 人对皮带不做功

C. 人对皮带做功的功率为mgv

D. 人对皮带做功的功率为

v

F f

图2

6. 随着能源消耗增加，如何有效地提高能量利用率是人类所面临的一项重要任务。如图3所示是上海“明珠线”某轻轨列车车站的设计方案，与站台连接的轨道有一个小的坡度，列车进站时利用自身动能转化成 能，可以使列车很快停下来，出站时该能量又可以转化成列车的动能，从而起到节能作用。

图3

7. 如图4所示，一缆车系统将乘客送上和送下高40m ，长80m 的山坡，整个系统由一上一下两个车厢组成，它们通过山顶一个巨大的滑轮由钢索相连，滑轮由电动机驱动，设每个车厢运动中受到摩擦力恒为N 3

103?，则整个缆车系统在一次全行程中克服摩擦力做功是 J 。

8. 汽车的质量为，额定功率为30kW ，运动中阻力大小为车重的0.1倍。汽车

1. C

2. B

3. A

4. B

5. D

6. 势能

7. J 5

108.4? 8.

（1）s t 75.3= （2）s m v /5.7max = （3）s m v /7.4= 9.

（1）gR v B 2=

（2）μ/R s =