2015创新设计二轮专题复习配套-专题训练1-3-1
专题三 数列
第1讲 数列的通项与求和问题
一、选择题
1．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＝6，则a 9＋a 10等于 ( )．
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则有(a 4＋a 5)－(a 2＋a 3)＝4d ＝2，所以d ＝1
2.又(a 9＋a 10)－(a 4＋a 5)＝10d ＝5，所以a 9＋a 10＝(a 4＋a 5)＋5＝11. 答案 C
2．(2014·嘉兴教学测试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝
( )．
A ．4
B ．6
C ．8
D ．8－4 2
解析 在等比数列{a n }中，a 3a 7＝a 25，a 2a 6＝a 3a 5，所以a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 2
3＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.
答案 C
3．已知数列112，314，518，71
16，…，则其前n 项和S n 为 ( )．
A ．n 2＋1－1
2n B ．n 2＋2－1
2n C ．n 2＋1－1
2
n －1
D ．n 2＋2－
1
2
n －1
解析 因为a n ＝2n －1＋1
2n ，
则S n ＝n (1＋2n －1)2＋? ????1－12n ·121－12＝n 2
＋1－
12n .
答案 A
4．(2014·烟台一模)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 2 012
2 012－S 10
10＝2 002，则S 2 014的值等于
( )．
A ．2 011
B ．－2 012
C ．2 014
D ．－2 013
解析 等差数列中，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n n ＝a 1＋(n －1)d
2，即数列?
???
??S n n 是首项
为a 1＝－2 012，公差为d 2的等差数列；因为S 2 0122 012－S 10
10＝2 002，所以，(2 012－10)d 2＝2 002，d
2＝1，所以，S 2 014＝2 014[(－2 012)＋(2 014－1)×1]＝2 014，选C. 答案 C
5．(2014·合肥质量检测)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1
a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则
T 2 014＝
( )．
A.16 B ．－16 C ．6
D ．－6
解析 由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，得a n ＋1＝1＋a n
1－a n
.
∵a 1＝2，∴a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝1
3，a 5＝2，a 6＝－3. 故数列{a n }具有周期性，周期为4，∵a 1a 2a 3a 4＝1， ∴T 2 014＝T 2＝a 1a 2＝2×(－3)＝－6. 答案 D 二、填空题
6．(2014·衡水中学调研)已知数列{a n }满足a 1＝1
2，a n －1－a n ＝a n －1a n n (n －1)(n ≥2)，则
该数列的通项公式a n ＝________. 解析 ∵a n －1－a n ＝a n －1a n
n (n －1)
(n ≥2)，
∴a n－1－a n
a n－1a n
＝
1
n(n－1)
，∴
1
a n－
1
a n－1
＝
1
n－1
－
1
n，
∴1
a2－
1
a1＝
1
1－
1
2，
1
a3－
1
a2＝
1
2－
1
3，…，
1
a n－
1
a n－1
＝
1
n－1
－
1
n，
∴1
a n－
1
a1＝1－
1
n，又∵a1＝
1
2，∴
1
a n＝3－
1
n，
∴a n＝n
3n－1
.
答案
n 3n－1
7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m－1＝－2，S m＝0，S m＋1＝3，则m等于________．
解析由S m
－1＝－2，S m＝0，S m
＋1
＝3，得a m＝2，a m
＋1
＝3，所以d＝1，
因为S m＝0，故ma1＋m(m－1)
2d＝0，故a1＝－
m－1
2，
因为a m＋a m
＋1
＝5，
故a m＋a m
＋1
＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5.
答案 5
8．(2014·广东卷)若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.
解析∵a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，∴a10·a11＝e5，
ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝10ln(a10·a11)＝10·ln e5＝50.
答案50
三、解答题
9．(2014·北京卷)已知{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n－a n}为等比数列．
(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；
(2)求数列{b n}的前n项和．
解(1)设等差数列{a n}的公差为d，由题意得
d＝a4－a1
3＝
12－3
3＝3.
所以a n＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)．
设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得 q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2.
所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1. 从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1,2，…)． (2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1,2，…)．
数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1
}的前n 项和为1－2n 1－2＝2n －1.
所以，数列{b n }的前n 项和为3
2
n (n ＋1)＋2n －1.
10．(2014·江西卷)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足 a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.
(1)令c n ＝a n
b n
，求数列{c n }的通项公式；
(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .
解 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)， 所以a n ＋1b n ＋1－a n b n
＝2，即c n ＋1－c n ＝2.
所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，
于是数列{a n }前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1， 3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n ，
相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝－2－(2n －2)3n ， 所以S n ＝(n －1)3n ＋1.
11．(2014·烟台一模)已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)数列{b n }满足
b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)，求数列????
??
1b n 的前
n 项和．
解 (1)∵12，a n ，S n 成等差数列，∴2a n ＝S n ＋1
2，
当n ＝1时，2a 1＝S 1＋12，∴a 1＝1
2， 当n ≥2时，S n ＝2a n －12，S n －1＝2a n －1－1
2，
两式相减得：a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a n
a n －1＝2，
所以数列{a n }是首项为1
2，公比为2的等比数列， 即a n ＝1
2×2n －1＝2n －2.
(2)∵b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)＝(log 222n ＋1－2
)×(log 222n
＋3－2
)
＝(2n －1)(2n ＋1)，
∴1b n ＝12n －1×12n ＋1＝12?
??
??12n －1－12n ＋1， ∴数列????
??
1b n 的前
n 项和T n ＝1b 1
＋1b 2
＋1b 3
＋…＋1
b n
＝
12??????? ????1－13＋? ????13－15＋…＋? ????1
2n －1－12n ＋1 ＝12?
????1－12n ＋1＝n
2n ＋1.