2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类

(全国卷I 新课标)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．

A ．{1,4}

B ．{2,3}

C ．{9,16}

D ．{1,2} 2．

2

12(1)

i

i +-＝( )． A ．11i 2--

B ．11+2i -

C ．11+2i

D ．112

i - 3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．

A ．12

B ．13

C ．14

D ．1

6

4．已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)

C 的渐近线方程为( )．

A ． 14y x =±

B ． 13y x =±

C ． 1

2

y x =± D ．y x =± 5．已知命题p ：x R ?∈,23x

x

<；命题q ：x R ?∈，3

2

1x x =-，则下列命题中为真命题的是( )．

A ．p q ∧

B ．p q ?∧

C ．p q ∧?

D ．p q ?∧? 6．设首项为1，公比为

2

3

的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则( )． A ．21n n S a =- B ．32n n S a =- C ．43n n S a =- D ．32n n S a =- 7．执行下面的程序框图，如果输入的[]1,3t ∈-，则输出的s 属于( )．

A ．[－3,4]

B ．[－5,2]

C ．[－4,3]

D ．[－2,5]

8． O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2

＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |

＝POF 的面积为( )．

A ．2 B

． C

． D ．4 9．函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )．

10．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．

A ．10

B ．9

C ．8

D ．5

11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．

A ．16＋8π

B ．8＋8π

C ．16＋16π

D ．8＋16π

12．已知函数f (x )＝22,0,ln(1),0.

x x x x x ?-+≤?+>?若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．

A ．(－∞，0]

B ．(－∞，1]

C ．[－2,1]

D ．[－2,0]

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝______. 14．设x ，y 满足约束条件13,

10,

x x y ≤≤??

-≤-≤?则z ＝2x －y 的最大值为______．

15．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．

16．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-. (1)求{}n a 的通项公式；

(2)求数列21211

n n a a -+??????

的前n 项和．

18．(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.2 1.7 1.90.80.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.60.5 1.80.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.70.5

(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？

(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.

(1)证明：AB⊥A1C；

(2)若AB＝CB＝2，A1C，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为

y＝4x＋4.

(1)求a，b的值；

(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

21．(2013课标全国Ⅰ，文21)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．(2013课标全国Ⅰ，文22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .

23．(2013课标全国Ⅰ，文23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为

45cos ,

55sin x t y t =+??

=+?

(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

24．(2013课标全国Ⅰ，文24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.

(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集； (2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ??

-

????

时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类

(全国卷I 新课标)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：A

解析：∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}． 2． 答案：B 解析：2

12i 12i 12i i 2i

1i 2i 22

++(+)-+===(-)-＝11+i 2-. 3． 答案：B

解析：由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为1

3

. 4． 答案：C

解析：∵e =c a =，即2254c a =.

∵c 2

＝a 2

＋b 2

，∴221

4

b a =.∴12b a =.

∵双曲线的渐近线方程为b

y x a

=±， ∴渐近线方程为1

2

y x =±.故选C. 5． 答案：B

解析：由20＝30知，p 为假命题．令h (x )＝x 3－1＋x 2， ∵h (0)＝－1＜0，h (1)＝1＞0， ∴x 3－1＋x 2＝0在(0,1)内有解．

∴?x ∈R ，x 3＝1－x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有?p ∧q 为真命题．故选B. 6． 答案：D

解析：11211321113

n

n

n n a a a q a q S q q --(-)===---＝3－2a n

，故选D. 7． 答案：A

解析：当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)． 当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2. ∵该函数的对称轴为t ＝2，

∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减． ∴s max ＝4，s min ＝3. ∴s ∈[3,4]．

综上知s ∈[－3,4]．故选A. 8． 答案：C

解析：利用|PF |

＝P x x P

＝∴y P

＝±∴S △POF ＝1

2

|OF |·|y P |

＝故选C.

9．

答案：C

解析：由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2

?? ??

?

时，f (x )＞0，排除A.

当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1. 令f ′(x )＝0，得2π3

x =. 故极值点为2

π3

x =，可排除D ，故选C. 10． 答案：D

解析：由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝125

. ∵A ∈π0,

2??

??

?

，∴cos A ＝15. ∵cos A ＝23649

26b b

+-?，∴b ＝5或135b =-(舍)．

故选D. 11． 答案：A

解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体． V 半圆柱＝

1

2

π×22×4＝8π， V 长方体＝4×2×2＝16.

所以所求体积为16＋8π.故选A. 12． 答案：D

解析：可画出|f (x )|的图象如图所示．

当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ； 当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立． 若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2＋2x |相切为界限， 由2

,

2,

y ax y x x =??

=-?得x 2－(a ＋2)x ＝0. ∵Δ＝(a ＋2)2＝0，∴a ＝－2. ∴a ∈[－2,0]．故选D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2

解析：∵b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝11

1122

??=. ∴b ·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b ＝0， 即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0.

∴

1

2

t ＋1－t ＝0. ∴t ＝2. 14．答案：3

解析：画出可行域如图所示．

画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A (3,3)时，z 取最大值，且最大值为z ＝2×3－3＝3.

15．答案：

9π2

解析：如图，

设球O 的半径为R ， 则AH ＝

23

R ， OH ＝

3

R . 又∵π·EH 2＝π，∴EH ＝1.

∵在Rt △OEH 中，R 2＝2

2+13R ??

???

，∴R 2＝98.

∴S 球＝4πR 2＝

9π

2

. 16．

答案：5

-

解析：∵f (x )＝sin x －2cos x

x －φ)， 其中sin φ

cos φ

当x －φ＝2k π＋

π

2

(k ∈Z )时，f (x )取最大值． 即θ－φ＝2k π＋

π2(k ∈Z )，θ＝2k π＋π

2

＋φ(k ∈Z )． ∴cos θ＝πcos 2???

+

???

＝－sin φ

＝5-. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．

解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝1(1)

2

n n na d -+

. 由已知可得11

330,

5105,a d a d +=??+=?

解得a 1＝1，d ＝－1.

故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知

21211n n a a -+＝1111321222321n n n n ??

=- ?(-)(-)--??

，

从而数列21211

n n a a -+?

??

???

的前n 项和为

1111111211132321n n ??-+-++- ?---??

＝

12n

n

-. 18．

解：(1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y . 由观测结果可得

x ＝

1

20

(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5) ＝2.3，

y ＝

1

20

(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2) ＝1.6.

由以上计算结果可得x ＞y ，因此可看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：

从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有

710的叶集中在茎2,3上，而B 药疗效的试验结果有710

的叶集中在茎0,1上，由此可看出A 药的疗效更好． 19．

(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ， 所以OC ⊥AB .

由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°， 故△AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB

.

因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.

又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C.

(2)解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，

所以OC＝OA1

又A1C A1C2＝OC2＋2

1

OA，

故OA1⊥OC.

因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．

又△ABC的面积S△ABC ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3. 20．

解：(1)f′(x)＝e x(ax＋a＋b)－2x－4.

由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.

故b＝4，a＋b＝8.

从而a＝4，b＝4.

(2)由(1)知，f(x)＝4e x(x＋1)－x2－4x，

f′(x)＝4e x(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)·

1 e

2 x

??

-

?

??

.

令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.

从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；

当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.

故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．

当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．

21．

解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.

(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，

所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，(左顶点除外)，

其方程为

22

=1

43

x y

+(x≠－2)．

(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.

所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.

若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝

若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1

||||QP R

QM r =，可求得Q (－

4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)． 由l 与圆M

＝1，解得k

＝4

±

当k

＝4

时，将4y x =+22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2

＝

47

-±， 所以|AB |

|x 2－x 1|＝

187

. 当k

＝4

-

时，由图形的对称性可知|AB |＝187.

综上，|AB |

＝|AB |＝

18

7

. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡

上将所选题号后的方框涂黑． 22．

(1)证明：连结DE ，交BC 于点G .

由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE . 而∠ABE ＝∠CBE ， 故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE . 又因为DB ⊥BE ，

所以DE 为直径，∠DCE ＝90°， 由勾股定理可得DB ＝DC .

(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ， 故DG 是BC 的中垂线， 所以BG

. 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°. 从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°， 所以CF ⊥BF ，

故Rt △BCF

. 23．

解：(1)将

45cos,

55sin

x t

y t

=+

?

?

=+

?

消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，

即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.

将

cos,

sin

x

y

ρθ

ρθ

=

?

?

=

?

代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

所以C1的极坐标方程为

ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.

由

22

22

810160,

20

x y x y

x y y

?+--+=?

+-=

?

解得

1,

1

x

y

=

?

?

=

?

或

0,

2.

x

y

=

?

?

=

?

所以C1与C2

交点的极坐标分别为

π

4

?

?

?

，

π

2,

2

??

?

??

.

24．

解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，

则y＝

1

5,,

2

1

2,1,

2

36, 1.

x x

x x

x x

?

-<

?

?

?

--≤≤?

?

->

?

??

其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0. 所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．

(2)当x∈

1

,

22

a

??

-?

???时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2

对x∈

1

,

22

a

??

-?

???都成立．故2

a

-≥a－2，即a≤

4

3

.从而a的取值范围是

4

1,

3

??

- ?

??

.