指数函数和对数函数综合题目与答案
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较，
指数函数和对数函数综合
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
【要点链接】
1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较：
对数函数增长比较缓慢，指数函数增长的速度最快．
2．要能熟练掌握指数函数、幂函数、对数函数的图像，并能利用它们的图像的增减情况解决 一些问题． 【随堂练习】 一、选择题
1．下列函数中随x 的增大而增大速度最快的是（ ）
A ．1100
x
y e =
B ．100ln y x =
C ．100y x =
D ．1002x y =? 2．若112
2
a a -<，则a 的取值范围是（ ）
A ．1a ≥
B ．0a >
C ．01a <<
D ．01a ≤≤
3．x x f 2)(=，x x g 3)(=，x
x h )2
1()(=，当x ∈（-)0,∞时，它们的函数值的大小关系
是（ ）
A ．)()()(x f x g x h <<
B ．)()()(x h x f x g <<
C ．)()()(x f x h x g <<
D ．)()()(x h x g x f <<
4．若b x <<1，2)(log x a b =，x c a log =，则a 、b 、c 的关系是（ ）
A ．c b a <<
B ．b c a <<
C ．a b c <<
D ．b a c <<
二、填空题
5．函数x e y x x y x y x y ====,ln ,,32在区间(1,)+∞增长较快的一个是__________． 6．若a ＞0，b ＞0，ab ＞1，a 2
1log =ln2，则log a b 与a 2
1log 的关系是_________________．
7．函数2
x y =与x
y 2=的图象的交点的个数为____________．
三、解答题
8．比较下列各数的大小： 5
2)2(－、21)23(－、3)31(－、54
)3
2
(－．
9．设方程2
22x
x =-在(0,1)内的实数根为m ，求证当x m >时，2
22x
x >-．
答案
1．A 指数增长最快．
2．C 在同一坐标系内画出幂函数2
1
x y =及2
1-=x
y 的图象，注意定义域，可知10< 3．B 在同一坐标系内画出x x f 2)(=，x x g 3)(=，x x h )2 1 ()(=的图象，观察图象可知． 4．D b x <<1，则0log log 1b b x b <<=，则10< 5．x y e = 指数增长最快． 6．log a b ＜a 2 1log 由a 2 1log =ln20>，则10<b ， 则0log 1>a ，则log a b ＜a 2 1log ． 7．3 在同一坐标系内作出函数2x y =与x y 2=的图象，显然在0 2 22=，3=x 时，3223>，4=x 时，4 224=，而随着x 的 增大，指数函数增长的速度更快了，则知共有3个不同的交点． 8．解： 52)2(－＝5 22、21)23(－＝21)32(、3)31(－＝－271、54)32(－＝54 )3 2 (． ∵52)2(－＞1、3)31(－＜0，而21 )23(－ 、54)3 2(－均在0到1之间． 考查指数函数y ＝x )32(在实数集上递减，所以21 )32(＞5 4)3 2(． 则52)2(－＞21 )23(－ ＞54)3 2(－＞3)31(－． 9．证明：设函数2()22x f x x =+-，方程2 22x x =-在(0,1)内的实数根为m ， 知()f x 在(0,1)有解x m =，则()0f m =． 用定义容易证明()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以()()0f x f m >=， 即2()220x f x x =+->，所以当x m >时，2 22x x >-． 备选题 1．设7 210625.0=y ，7 4203.0=y ，7 832.0=y ，则（ ） A ．123y y y >> B ．132y y y >> C ．213y y y >> D ．123y y y >> 1．B 74 125.0=y ，74304.0=y ，而幂函数7 4x y =在0>x 上为增函数，则132y y y >>． 2．图中曲线是对数函数y =log a x 的图象，已知a 取10 1 ,53,54, 3四个值，则相应于C 1， C 2， C 3，C 4的a 值依次为（ ） A ．101, 53,34,3 B ．53 ,101,34,3 C ．101,53,3,34 D ．5 3,101,3,34 2．C 作直线1=y ，与四个函数的图象各有一个交点， 从左至右的底数是逐渐增大的，则知则相应于 C 1，C 2， C 3，C 4的a 值依次为 10 1,53,3,34． 指数函数复习 【要点链接】 1．掌握指数的运算法则； 2．熟练掌握指数函数的图像，并会灵活运用指数函数的性质，会解决一些较为复杂的 有关于指数函数复合的问题． 【随堂练习】 一、选择题 1．函数a y x +=2的图象一定经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知三个实数a ，a b a =，b c a =，其中10< A ．b a c << B ．a b c << C ．a c b << D ．c a b << 3．设1()()2 x f x =，x ∈R ，那么()f x 是（ ） A ．奇函数且在(0,)+∞上是增函数 B ．偶函数且在(0,)+∞上是增函数 C ．奇函数且在(0,)+∞上是减函数 D ．偶函数且在(0,)+∞上是减函数 4．函数1 21 x y = -的值域是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1)(0,)-∞-+∞ C ．(1,)-+∞ D ．(,0)(0,)-∞+∞ 二、填空题 5． 若函数()f x =_______________． 6．函数x a a a x f )33()(2+-=是指数函数，则a 的值为_________． 7．方程2|x |=2－x 的实数解有_________个． 三、解答题 8．已知()2x f x =，()g x 是一次函数，并且点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上，点(2,5)在 函数[()]g f x 的图象上，求()g x 的解析式． 9．若函数y ＝1 212·－－－x x a a 为奇函数． （1）确定a 的值；（2）求函数的定义域；（3）讨论函数的单调性． 答案 1．A 当0=a ，图象不过三、四象限，当1-=a ，图象不过第一象限．而由图象知 函数a y x +=2的图象总经过第一象限． 2．C 由10< a a a b a >>，即a c b <<． 3．D 因为函数1()()2x f x ==?? ???≥) 0(,2) 0(,)21(＜x x x x ，图象如下图． 由图象可知答案显然是D ． 4．B 令12-=x t ，02>x ，则12->x ，又作为分母，则1->t 且0≠t ， 画出t y 1 = 的图象，则1->t 且0≠t 时值域是(,1)(0,)-∞-+∞ ． 5．(,0]-∞ 由1-2x 0≥ 得2x ≤1，则x ≤0. 6．2 知1332 =+-a a ， 0>a 且1≠a ，解得2=a ． 7．2 在同一坐标系内画出y=2|x | 和 y=2－x 的图象，由图象知有两个不同交点． 8．解：∵()g x 是一次函数，可设为)0()(≠+=k b kx x g ， 则[()]f g x b kx +=2，点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上， 可得b k +=22 2，得12=+b k ． 又可得[()]g f x b k x +?=2，由点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上， 可得b k +=45． 由以上两式解得3,2-==b k ， ∴()23g x x =-． 9．解：先将函数y ＝1 212·－－－x x a a 化简为y ＝121－－x a ． （1）由奇函数的定义，可得f （－x ）＋f （x ）＝0，即 121－－－x a ＋121－－x a ＝0，∴2a ＋x x 2 121－－＝0，∴a ＝－21． （2）∵y ＝－21－1 21－x ，∴x 2－1≠0． ∴函数y ＝－21－1 21 －x 定义域为{x |x ≠0}． （3）当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2， 则y 1－y 2＝1212－x －1211－x ＝) 12)(12(2212 2 1－－－x x x x ． ∵0＜x 1＜x 2，∴1＜12x ＜22x ． ∴12x －22x ＜0，12x －1＞0，22x －1＞0． ∴y 1－y 2＜0，因此y ＝－21－121 －x 在（0，＋∞）上递增． 同样可以得出y ＝－21－1 21 －x 在（－∞，0）上递增． 备选题 1．函数(1)x y a a =>在区间[0,1]上的最大值是4，则a 的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 1．C 函数(1)x y a a =>在区间[0,1]上为增函数，则最大值是=1a 4，则4=a ． 2．函数y ＝x x a 22 －（a ＞1）的定义域___________，值域___________． 2． {x |x ≥2，或x ≤0} {y |y ≥1} 由022 ≥-x x ，得定义域为{x |x ≥2，或x ≤0}； 此时022≥-x x ，则值域为{y |y ≥1}． 对数函数 【要点链接】 1．掌握对数的运算法则； 2．熟练掌握对数函数的图像，并会灵活运用对数函数的性质，会解决一些较为复杂的 有关于对数函数复合的问题． 【随堂练习】 一、选择题 1．41 2 3log = x ，则x 等于（ ） A ．91=x B ．33 =x C ．3=x D ．9=x 2．函数y ＝lg （x －12 －1）的图象关于（ ） A ．y 轴对称 B ．x 轴对称 C ．原点对称 D ．直线y ＝x 对称 3．已知log 0log log 31212>==+x x x a a a ， 0 A ．x 3 B ．x 2 C ．x 1 D ．x 2 4．若函数1 ()log ( )(011 a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a 等于（ ） A ．12 B C D ．2 二、填空题 5．函数23log 12-=-x y x 的定义域是 ． 6．设函数()f x 满足21 ()1()log 2 f x f x =+?，则(2)f = ． 7．已知3lo g 2 1=a ，31log 2 1 =b ，21log 3 1=c ，则a 、b 、c 按大小关系排列为___________． 三、解答题 8．若)(x f 3log 1x +=， )(x g 2log 2x =，试比较)(x f 与)(x g 的大小． 9．若不等式0log 2<-x x m 在（0，2 1 ）内恒成立，求实数m 的取值范围． 答案 1．A 2l o g 2412 3-== x ，则2log 3-=x ，则9132==-x ． 2．C y ＝lg （x －12－1）＝x x －＋11lg ，易证)()(x f x f -=-，所以为奇函数， 则图象关于原点对称． 3．D ∵0 a 2 ，∴x 2<1 4．A 10≤≤x 时， 11 121≤+≤x ，要使值域也是[0，1]，就有0)(≥x f ，则10< 2 ． 5．2(,1)(1,)3+∞ 可知023>-x ，012>-x 且112≠-x ，解得3 2 >x 且1≠x ． 6．2 3 由已知得2log )21(1)21(2?+=f f ，则21)21(=f ，则x x f 2log 211)(?+=， 则=?+=2log 211)2(2f 2 3 ． 7．b c a << 03log 2<-=a ，13log 2>=b ，2log 3=c ，则10< 8．解：4 3log 4log )3(log )()(x x x g x f x x x =-=-． 当10< 3log >x x ，则)()(x g x f >； 当34=x 时， 143=x ，则)()(x g x f =； 当341< x ，则043log x ，则)()(x g x f <； 当34>x 时， 143>x ，则04 3log >x x ，则)()(x g x f >． 9．解：由0log 2<-x x m 得x x m log 2<. 在同一坐标系中作2 x y =和x y m log =的图象． 要使x x m log 2<在（0， 21 ）内恒成立， 只要x y m log =在（0，2 1）内的图象在2 x y =的上方，于是0 ∵x=21时y=x 2=41，∴只要x=21时21log m y =≥41． ∴21≤m 41 ，即16 1≤m. 又0 1 ≤m<1． 备选题 1．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ） A ．1()2 x y = B ．x y 1 = C ．)(log 3x y -= D ．3x y -= 1．D A 、C 是非奇非偶函数，B 是奇函数，但在定义域内不为减函数，则选D ． 2．10002.11=a ，10000112.0=b ，则 =-b a 1 1（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．A 2.11log 11000=a ，0112.0log 1 1000=b ， 则11000log 0112 .02 .11log 1110001000 ===-b a ． 3．如果函数()(3)x f x a =-，()log a g x x =它们的增减性相同，则a 的取值范围 是______________． 3．21< 由03>-a 且13≠-a ，及0>a 且1≠a ，得10< 或32< 当21< 同步测试题 A 组 一、选择题 1．已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A ．2a - B ．52a - C ．23(1)a a -+ D ．2 3a a - 2．若函数)(log b x y a +=（0>a 且1≠a ）的图象过两点)0,1(-和)1,0(，则 ( ) A ． 2,2== b a B ．2,2==b a C ．1,2==b a D ．2,2== b a 3．已知(),()log x a f x a g x x ==，(01)a a >≠且，若(3)(3)0f g ?< ， 则()f x 与 ()g x 4．若函数x x f 211 )(+= ，则)(x f 在R 上是（ ） A ．单调递减，无最小值 B ．单调递减，有最小值 C ．单调递增，无最大值 D ．单调递增，有最大值 5．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是（ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([·)]([])[(+∈=N n y f x f xy f n n n 6．函数f (x )=log a 1+x ，在（－1，0）上有f (x )>0，那么（ ） A ．f (x )(－ ∞,0)上是增函数 B ．f (x )在（－∞，0）上是减函数 C ．f (x )在（－∞，－1）上是增函数 D ．f (x )在（－∞，－1）上是减函数 二、填空题 7．已知函数???=x x x f 3 log )(2)0()0(≤>x x ，则1 [()]4f f = ． 8．直线x=a(a>0)与函数y=(31)x ，y=(2 1)x ，y=2x ，y=10x 的图像依次交于A 、B 、C 、D 四点， 则这四点从上到下的排列次序是 ． 9．已知)23(log )(2 2 1x x x f --=，则值域是 ；单调增区间是 ． 三、解答题 10．求函数10(|1|)(≠>-+=a a a a x f x x 且）最小值． 11．已知函数),()(,0|,lg |)(b f a f b a x x f ><<=且如果证明：1 12．已知函数( ) m mx x x f --=2 2 1log )(． （1）若m ＝1，求函数)(x f 的定义域； （2）若函数)(x f 的值域为R ，求实数m 的取值范围； （3）若函数)(x f 在区间() 31,-∞-上是增函数，求实数m 的取值范围． B 组 一、选择题 1．已知函数y=kx 与y=12 log x 图象的交点横坐标为2，则k 的值为（ ） A ． 12 - B ．14 C ．12 D ．1 4- 2．已知函数b a y x +=的图象不经过第一象限，则下列选项正确是（ ） A ．2,21 -== b a B ．3,2-==b a C ．1,2 1 ==b a D ．0,3==b a 3．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值 为（ ) A ． 14 B C D ．12 4．若函数()11 x m f x e =+-是奇函数，则m 的值是（ ） A ．0 B ．2 1 C ．1 D ．2 二、填空题 5．如图，开始时桶1中有a 升水，t 分钟后剩余的水符合指数 衰减曲线1nt y ae -=，那么桶2中水就是2nt y a ae -=-． 假设过5分钟时桶1和桶2的水相等，则再经过______ 分钟桶1中的水只有 8 a ． 6．已知y ＝a log （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数， 则a 的取值范围是__________． 三、解答题 7．已知函数x x a b y 22 ++=(a 、b 是常数且a>0，a ≠1)在区间[－ 2 3 ，0]上有y max =3， y min =2 5 ，试求a 和b 的值． 8．设函数2 221 ()log log (1)log ()1 x f x x p x x +=+-+--．)1(>p （1）求()f x 的定义域； （2）()f x 是否存在最大值或最小值？如果存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由． 答案 A 组 1．A 32a =，则2log 3=a ，33log 82log 6-=+-=)2log 1(22log 3332a -． 2．B 由已知可得)1(log 0-=b a ，则2=b ，又2log log 1a a b ==，则2=a ． 3．C (3) (3)0f g ?<，则(3)0g <，则10<+x ，则12110<+< x ，则)(x f 无最大值，也无最小值， 而显然)(x f 为减函数 5．D 逐个验证可知D 不正确 6．D 01<<-x 时，110<+ 图象，知f (x )在（－∞，－1）上是减函数． 7．9 1 241l o g )41(2 -==f ，则9 13)]41([2==-f f ． 8．D 、C 、B 、A 画出图象可知． 9．[)+∞-,2，[)1,1- 有0232 >--x x ，则13<<-x ，在1-=x 时223x x --有最大值4， 令2 23x x t --=，则40≤ 12 1-=≥t ，则值域是[)+∞-,2， 在[)1,1-上，2 23x x t --=递减，则)23(log )(2 2 1x x x f --=单调增区间是[)1,1-． 10．解：当1>a 时，???<≥-=)0(,1) 0(,12)(x x a x f x 画出图象，知此时1)(min =x f ． 当10<≤-=) 0(,1) 0(,12)(x x a x f x 画出图象，知此时1)(min =x f ． 由以上讨论知函数10(|1|)(≠>-+=a a a a x f x x 且）最小值为1． 11．证明：画出函数x x f lg )(=的图象， 可以看出在]1,0(上为减函数，在),1[+∞上为增函数， ∵b a <<0时有)()(b f a f >，则不可能有b a <≤1， 则只有10≤< 若b a ≤<<10，则)()(b f a f >化为b a lg lg >，则b a lg lg >-， 则0lg lg <+b a ，0)lg( 12．解：（1）方程012 =--x x 的根为25 1±= x ， 所以012 >--x x 的解为251- 于是函数的定义域为),2 5 1()251,(+∞+?--∞． （2）因为函数的值域为R ，所以(){} m mx x u u --=?+∞2 ,0， 故04042 ≥-≤?≥+=?m m m m 或． （3）欲使函数在区间() 31,-∞-上是增函数，则只须 ()() ?? ?? ? ≥----≤-0 31312312 m m m ???≤-≥?2322m m ， 所以2322≤≤-m ． B 组 1．A 由y=12 log x ，当2=x 时，1-=y ，代入y=kx 中，有k 21=-，则2 1- =k ． 2．A 当2,21-== b a 时，2)21(-=x y ，其图象是x y )2 1 (=的图象向下平移了2个 单位，则就不会经过第一象限了． 3．C 知)(x f 在]2,[a a 上为减函数，则最大值是1log =a a ，最小值是 2log 1)2(log a a a +=，则)2log 1(31a +=，则3 2 2log -=a ， 23log 2-=a ，4 2 223==-a ． 4．D 由)()(x f x f -=-，得1111---=-+-x x e m e m ，则1 12--=-+x x x e m e me ， 可得1 12---=x x x e m e me ，则2=m ． 5．10 根据题设条件得：55n n ae a ae --=-，所以512 n e -=． 令8nt a ae -=，则18nt e -=，所以3151()2 nt n e e --==， 所以t=15．15－5=10（分钟）， 即再经过10分钟桶1中的水就只有 8 a ． 6．a ∈（1，2） a ＞0且a ≠1?μ（x ）＝2－ax 是减函数，要使y ＝a log （2－ax ）是减函数， 则a ＞1，又2－ax ＞0?a ＜ x 2 （0＜x 1≤）?a ＜2，所以a ∈（1，2） 7．解：令u =x 2+2x =(x +1)2－1 x ∈[－2 3 ，0] ， ∴当x =－1时，u min =－1 ； 当x =0时，u max =0 ． . 233 22223 3 225310)222253 1)10 11 0??? ????= = ???==???????==?????=+=+< ?? ??=+=+>--b a b a b a a b a b a b a a b a b a 或综上得解得时当解得时当 8．解：（1）由??? ????>->->-+0010 11 x p x x x 得1x x p >?? （2）∵2 2221(1)()log [(1)()]log [()]24 p p f x x p x x -+=+-=--+． ∴当 1 12 p -≤，即13p <≤时，()f x 既无最大值又无最小值； 当112p p -<<，即3p >时，当12p x -=时，()f x 有最大值22(1)log 4 p +， 但没有最小值． 综上可知：当13p <≤时，()f x 既无最大值又无最小值； 当3p >时，()f x 有最大值2 2(1)log 4 p +，但没有最小值． 备选题 1．若log 4［log 3（log 2x ）］＝0，则2 1 －x 等于（ ） A ． 42 B ．2 2 C ．8 D ．4 1．A 依题意可得x ＝8，则21－x ＝4 2 ． 2．函数|,12|)(-=x x f 若a ＜b ＜c ，且)()()(b f c f a f >>，则下面四个式子中成立的是（ ） A ．0,0,0<< C ．c a 22 <- D ．222<+a c 2．D 画出函数|12|)(-=x x f 的图象，可知a ＜0，c ＞0，所以2a -1<0, 2c -1>0, 又由)()(c f a f >，得1-2a >2c -1，所以222<+a c ． 3．比较log 20.4，log 30.4，log 40.4的大小． 3．解：∵对数函数y ＝log 0.4x 在（0，＋∞）上是减函数， ∴log 0.44＜log 0.43＜log 0.42＜log 0.41＝0． 又反比例函数y ＝x 1 在（－∞，0）上也是减函数． 所以2log 14.0＜3log 1 4.0＜4log 14.0， 即log 20.4＜log 30.4＜log 40.4． 4．已知函数x x f 2)(=． （1）判断函数)(x f 的奇偶性； （2）把)(x f 的图像经过怎样的变换，能得到函数2 2)(+=x x g 的图像； (3)在直角坐标系下作出函数)(x g 的图像． 4．解：（1） 函数)(x f 定义域为R ， 又 ()2 2()x x f x f x --===， ∴函数)(x f 为偶函数． （2）把)(x f 的图像向左平移2个单位得到． (3)函数)(x f 的图像如右图所示． 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 【学习要求】 1.了解反函数的概念及互为反函数图象间的关系; 2.掌握对数函数与指数函数互为反函数. 【学法指导】 通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 自变量 ,而把这个函数的自变量 作为新的函数的 因变量. 我们称这两个函数 互为反函数. 即y ＝f(x)的反函数通常用 y ＝f － 1(x) 表示. 2.对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数 ,它们的图象关于 直线y ＝x 对称. 3.互为反函数的图象关于直线 y ＝x 对称;互为反函数的图象同增同减. 4.当a>1时,在区间[1,＋∞)内,指数函数y ＝a x 随着x 的增加,函数值的增长速度 逐渐加快 ,而对数函数y ＝log a x 增长的速度 逐渐变得很缓慢. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 设a 为大于0且不为1的常数,对于等式a t ＝s,若以t 为自变量可得指数函数y ＝a x ,若以s 为自变量可得对数函数y ＝log a x.那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢？这就是本节我们要探究的主要问题. 探究点一指数函数与对数函数的关系 导引为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象. 问题1函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的定义域和值域分别是什么,它们的定义域和值域有怎样的关系？ 答：函数y ＝2x 的定义域为R,值域为(0,＋∞);函数y ＝log 2x 的定义域为(0,＋∞),值域为R.函数y ＝2x 的定义域和值域分别是函数y ＝log 2x 的值域和定义域. 问题2在列表画函数y ＝2x 的图象时,当x 分别取－3,－2,－1,0,1,2,3这6个数值时,对应的y 值分别是什么？ 答：y 值分别是: 18, 14, 1 2 , 1, 2, 4, 8. 问题3在列表画函数y ＝log 2x 的图象时,当x 分别取18,14,1 2 ,1,2,4,8时,对应的y 值分别是什么？ 答：y 值分别是:－3,－2,－1,0,1,2,3. 问题4综合问题2、问题3的结果,你有什么感悟？ 答：在列表画y ＝log 2x 的图象时,可以把y ＝2x 的对应值表里的x 和y 的数值对换,就得到y ＝log 2x 的对应值表. 问题5观察画出的函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象,能发现它们的图象有怎样的对称关系？ 答：函数y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称. 问题6我们说函数y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数,它们的图象关于直线y ＝x 对称,那么对于一般的指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 又如何？ 答：对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数.它们的图象关于直线y ＝x 对称. 探究点二 互为反函数的概念 问题1对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 是一一映射吗？为什么？ 答：是一一映射,因为对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 都是单调函数,所以不同的x 值总有不同的y 值与之对应,不同的y 值也总有不同的x 值与之对应. 问题2对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数,更一般地,如何定义互为反函数的概念？ 答：当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新 的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.函数y ＝f(x)的反函数通常用y ＝f － 1(x)表示. 问题3 如何求函数y ＝5x (x ∈R)的反函数？ 答：把y 作为自变量,x 作为y 的函数,则x ＝y 5,y ∈R.通常自变量用x 表示,函数用y 表示,则反函数为y ＝x 5 ,x ∈R. 例1 写出下列函数的反函数: (1)y ＝lg x; (2)y ＝log 1 3 x; (3)y ＝????23x . 解：(1)y ＝lg x(x>0)的底数为10,它的反函数为指数函数y ＝10x (x ∈R). (2)y ＝log 13x (x>0)的底数为1 3 ,它的反函数为指数函数y ＝????13x (x ∈R). (3)y ＝????23x (x ∈R)的底数为23,它的反函数为对数函数y ＝log 2 3x (x>0). 小结：求给定解析式的函数的反函数的步骤: (1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从y ＝f(x)中解出x; (3)x 、y 互换并注明反函数的定义域. 跟踪训练1 求下列函数的反函数:(1)y ＝3x －1; (2)y ＝x 3＋1 (x ∈R); (3)y ＝x ＋1 (x≥0); (4)y ＝2x ＋3 x －1 (x ∈R,x≠1). 指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 函数名称指数函数 定义函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点，即当时，. 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图 象的影响 在第一象限，从逆时针向看图象，逐渐增大；在第二象限，从逆时针向看图象， 逐渐减小. 对数函数及其性质 1.对数函数定义 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域. 函数名称对数函数 定义函数且叫做对数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点，即当时，. 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图 象的影响 在第一象限，从顺时针向看图象，逐渐增大；在第四象限，从顺时针向看图象， 逐渐减小. 指数函数习题 一、选择题 1．定义运算a ?b ＝?? ? a (a ≤ b )b (a >b ) ，则函数f (x )＝1?2x 的图象大致为( ) 2．函数f (x )＝x 2 －bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( ) A ．f (b x )≤f (c x ) B ．f (b x )≥f (c x ) C ．f (b x )>f (c x ) D ．大小关系随x 的不同而不同 3．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)不单调，则k 的取值围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，1) C ．(－1,1) D ．(0,2) 4．设函数f (x )＝ln[(x －1)(2－x )]的定义域是A ，函数g (x )＝lg(a x －2x －1)的定义域是B ，若 A ? B ，则正数a 的取值围( ) A ．a >3 B ．a ≥3 C ．a > 5 D ．a ≥ 5 5．已知函数f (x )＝??? (3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7. 若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列， 则实数a 的取值围是( ) A ．[94，3) B ．(94，3) C ．(2,3) D ．(1,3) 6．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12 ，则实数a 的取值围是( ) 指数函数与对数函数专项练习 例1.设a ＞0, f (x)＝x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x ) 的反函数f －1 (x)的奇偶性与单调性. 解：(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0)0(f >=?=-?=, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解：设x ax )x (u 2-=, 对称轴a 21 x =. (1) 当1a >时, 1a 0)2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤≥. 综上所述: 1a > 1.（安徽卷文7）设 232 555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >， 2 ()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一 直角坐标系中的图像可能是【答案】D 东山中学指数与对数函数同步练习 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ B ） A ．3 x y -= B ．3-=x y C ．3 2x y = D ．13 -=x y 2、下列命题中正确的是 （ D ） A ．当0=α时函数α x y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点 C ．若幂函数αx y =是奇函数，则α x y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 3、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是 （ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 4、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为 （ ） A 、 4 1 B 、4 C 、1 D 、4或1 5、下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．3124 3)3(-=- C ．4 343 3)(y x y x +=+ D ． 33 39= 6、化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 7、已知732log [log (log )]0x =，那么12 x -等于 （ ） A 、 1 3 B C D 8、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于 （ ） 指数函数和对数函数知识点总结及练习题 一.指数函数 （一）指数及指数幂的运算 n m n m a a = s r s r a a a +=? rs s r a a =)( r r r b a ab =)( （二）指数函数及其性质 1.指数函数的概念：一般地，形如x a y =（0>a 且1≠a ）叫做指数函数。 2.指数函数的图象和性质 10<a 6 54321 -1 -4-2 2460 1 6 5 4 3 2 1 -1 -4-2 246 1 定义域 R 定义域 R 值域y ＞0 值域y ＞0 在R 上单调递减 在R 上单调递增 非奇非偶函数 非奇非偶函数 定点（0，1） 定点（0，1） 二.对数函数 （一）对数 1.对数的概念：一般地，如果N a x =（0>a 且1≠a ），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =，其中a 叫做底数，N 叫做真数，N a log 叫做对数式。 2.指数式与对数式的互化 幂值 真数 x N N a a x =?=log 底数 指数 对数 3.两个重要对数 （1）常用对数：以10为底的对数N lg （2）自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数N ln （二）对数的运算性质（0>a 且1≠a ，0,0>>N M ） ①MN N M a a a log log log =+ ②N M N M a a a log log log =- ③M n M a n a log log = ④换底公式：a b b c c a log log log =（0>c 且1≠c ） 关于换底公式的重要结论：①b m n b a n a m log log = ②1log log =?a b b a （三）对数函数 1.对数函数的概念：形如x y a log =（0>a 且1≠a ）叫做对数函数，其中x 是自变量。 2对数函数的图象及性质 0 高一指数函数对数函数 测试题及答案精编版 MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】 指数函数和对数函数测试题 一、选择题。 1、已知集合A={y|x y 2log =，x ＞1},B={y|y=( 21)x ,x ＞1},则A ∩B=（） A.{y|0＜y ＜21}B.{y|0＜y ＜1}C.{y|2 1＜y ＜1}D.φ 2、已知集合M=｛x|x ＜3｝N=｛x|1log 2＞x ｝则M ∩N 为（） φ.｛x|0＜x ＜3｝C.｛x|1＜x ＜3｝D.｛x|2＜x ＜3｝ 3、若函数f(x)=a (x-2)+3（a ＞0且a ≠1），则f(x)一定过点（） A.无法确定 B.(0，3) C.(1，3) D.(2，4) 4、若a=π2log ，b=67log ，c=8.02log ，则（） ＞b ＞＞a ＞＞a ＞＞c ＞a 5、若函数)(log b x a y +=(a ＞0且a ≠1)的图象过(-1，0)和(0，1)两点，则a ，b 分别为（） =2，b==2，b==2，b==2，b=2 6、函数y=f(x)的图象是函数f(x)=e x +2的图象关于原点对称，则f(x)的表达式为（） (x)=(x)=-e x +(x)=(x)=-e -x +2 7、设函数f(x)=x a log (a ＞0且a ≠1)且f(9)=2，则f -1(2 9log )等于（） 2422229log 、若函数f(x)=a 2log log 32++x x b （a ，b ∈R ）,f(2009 1)=4，则f(2009)=（） 、下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（） =-x 2log (x ＞0)=x 2+x(x ∈R)=3x (x ∈R)=x 3(x ∈R) 10、若f(x)=(2a-1)x 是增函数，则a 的取值范围为（） ＜21B.2 1＜a ＜＞≥1 11、若f(x)=|x|(x ∈R)，则下列函数说法正确的是（） (x)为奇函数(x)奇偶性无法确定 (x)为非奇非偶(x)是偶函数 12、f(x)定义域D=｛x ∈z|0≤x ≤3｝，且f(x)=-2x 2+6x 的值域为（）A.[0，29]B.[29,+∞]C.[-∞，+2 9]D.[0，4] 经典例题透析 类型一、求函数的反函数 例1．已知f(x)=225x - (0≤x ≤4)， 求f(x)的反函数. 思路点拨：这里要先求f(x)的范围(值域). 解：∵0≤x ≤4，∴0≤x 2≤16， 9≤25-x 2≤25，∴ 3≤y ≤5， ∵ y=225x -， y 2=25-x 2，∴ x 2=25-y 2.∵ 0≤x ≤4，∴x=225y - (3≤y ≤5) 将x ， y 互换，∴ f(x)的反函数f -1(x)=225x - (3≤x ≤5). 例2．已知f(x)=21(0)1(0) x x x x +≥??-0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式. 思路点拨：由前面总结的性质我们知道，点(4，1)在反函数的图象上，则点(1，4)必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a ，b 的点，也就有了两个求解a ，b 的方程. 解： ? ?+?=+?=)2......(14)1......(4122b a b a 解得.a=-51， b=521，∴ f(x)=-51x+521. 另：这个题告诉我们，函数的图象若与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线y=x 上. 例5．已知f(x)= ax b x c ++的反函数为f -1(x)=253 x x +-，求a ，b ，c 的值. 思路点拨：注意二者互为反函数，也就是说已知函数f -1(x)=253 x x +-的反函数就是函数f(x). 解：求f -1(x)=253 x x +-的反函数，令f -1(x)=y 有yx-3y=2x+5. ∴(y-2)x=3y+5 ∴ x=352y y +-(y ≠2)，f -1(x)的反函数为 y=352x x +-.即ax b x c ++=352x x +-，∴ a=3， b=5， c=-2. 2015级建筑部3月份月考数学测试题 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不得分） 1、下列函数是幂函数的是（ ） A 3+=x y ； B 3 x y =； C x y 3=； D x y 2log = 2、数列-3,3,-3,3,…的一个通项公式是( ) A. n a =3(-1) n+1 B. n a =3(-1)n C. n a =3-(-1)n D. n a =3+(-1)n 3、对数1log 3的值正确的是( )． A. 0 B.1 C. 2 D. 以上都不对 4、将对数式24 1 log 2 -=化成指数式可表示为( ) A.224 1-= B.412 2 =- C.2412 =?? ? ??- D.2412 -=?? ? ?? 5、若指数函数的图像经过点?? ? ??21,1，则其解析式为（ ） A.x y 2= B.x y ??? ??=21 C. x y 4= D. x y ??? ??=41 6、下列运算中，正确的是（ ） A.5553443=? B.435÷5534= C.55 3 44 3=??? ? ? ? D.0554343=?- 7、已知3log 2log a a >，则a 的取值范围是（ ） A 1>a ； B 1a a 或 8、将对数式ln 2x =化为指数式为 ( ) A. 210x = B. x = 2 C. x = e D. x = e 2 9、4 32813?-的计算结果为（ ）。 A ．3 B.9 C.3 1 D.1 指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次 方根，其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 一、选择题（每小题 4分，共 计40分） 1．下列各式中成立的一项是 （） A ．71 7 7)(m n m n =B ． 3 3 39=C ．4 343 3)(y x y x +=+D ．31243)3(-=- 2．化简)3 1 ()3)((65 613 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （） A ．a 9- B ．a - C ．a 6 D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确．．． 的是 （） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 1 ) 2()5(--+-=x x y （） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 指数函数和对数函数单元测试题 一选择题 1 如果，那么a、b间的关系是【】 A B C D 2 已知，则函数的图象必定不经过【】 A第一象限 B第二象限 C第三象限D第四象限 3 与函数y＝x有相同图象的一个函数是【】 A B，且 C D，且 4 已知函数的反函数为，则的解集是【】 A B C D 5已知函数在上是x的减函数，则a的取值范围是【】 A B C D 6 已知函数的值域是，则它的定义域是【】 A B C D 7已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是【】 A B C D 8 已知，则方程的实数根的个数是【】 A1 B 2 C 3D 4 9 函数的定义域为E，函数的定义域为F，则【】 A B C D 10有下列命题：（1）若，则函数的图象关于y轴对称；（2）若，则函数的图象关于原点对称；（3）函数与的图 象关于x轴对称；（4）函数与函数的图象关于直线对称。其中真命题是【】 A（1）（2） B（1）（2）（3）C（1）（3）（4） D （1）（2）（3）（4） 二填空题 11函数的反函数是______ 。12 的定义域是______ 。 13 函数的单调减区间是________。 14 函数的值域为R，则实数a的取值范围是__________. 三解答题 1 求下列函数的定义域和值域 （1）（2） 2 求下列函数的单调区间 （1）（2） 3 已知函数 （1）求的定义域；（2）讨论的单调性；（3）解不等式。 4 已知函数 （1）证明：在上为增函数；（2）证明：方程＝0没有负数根。 参考答案 一选择题BADBC BCBDD 二填空题11121314或 三解答题 1 求下列函数的定义域和值域 （1）（2） 定义域定义域 值域值域且 2 求下列函数的单调区间 （1）（2） 减区间，增区间减区间， 3 已知函数 （1）求的定义域；（2）讨论的单调性；（3）解不等式。解（1），又，所以，所以定义域。 （2）在上单调增。 （3），，即 ，所以，所以解集 2 已知函数 （1）证明：在上为增函数；（2）证明：方程＝0没有负数根。 指数函数与对数函数检测题 一、选择题： 1、已知(10)x f x =，则(5)f =（ ） A 、510 B 、10 5 C 、lg10 D 、lg5 2、对于0,1a a >≠，下列说法中，正确的是（ ） ①若M N =则log log a a M N =； ②若log log a a M N =则M N =； ③若2 2 log log a a M N =则M N =； ④若M N =则2 2 log log a a M N =。 A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 3、设集合2 {|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T 是 （ ） A 、? B 、T C 、S D 、有限集 4、函数22log (1)y x x =+≥的值域为（ ） A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞ 5、设 1.5 0.90.48 12314,8 ,2y y y -??=== ? ?? ，则（ ） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >> 6、在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ） A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 7、计算()()2 2 lg 2lg 52lg 2lg 5++?等于（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 8、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、52a - B 、2a - C 、2 3(1)a a -+ D 、2 31a a -- 9、若210 25x =，则10x -等于（ ） A 、15 B 、15- C 、150 D 、1625 《指数函数与对数函数》测试题 一、选择题： 1、已知(10)x f x =，则(5)f =（ ） A 、510 B 、10 5 C 、lg10 D 、lg5 2、对于0,1a a >≠，下列说法中，正确的是（ ） ①若M N =则log log a a M N =； ②若log log a a M N =则M N =； ③若2 2 log log a a M N =则M N =； ④若M N =则2 2 log log a a M N =。 A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 3、设集合2 {|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T 是 （ ） A 、? B 、T C 、S D 、有限集 4、函数22log (1)y x x =+≥的值域为（ ） A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞ 5、设 1.5 0.90.48 12314,8 ,2y y y -??=== ? ?? ，则（ ） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >> 6、在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ） A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 7、计算()()2 2 lg 2lg 52lg 2lg 5++?等于（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 8、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、52a - B 、2a - C 、2 3(1)a a -+ D 、2 31a a -- 9、若210 25x =，则10x -等于（ ） A 、15 B 、15- C 、150 D 、1625 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01 且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 1 4 时，函数值不存在。 a =0 ，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1 时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ???=212 10，， 的图象的认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x >0； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1； （3）y y x x ==210，在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x =?? ? ? ?12的图象正好相反； （3）当a >1时，x a x a x x >><<<>?????0101， 则， 则 （4）y y x x ==210，的图象自左到右逐渐（4）当a >1时，y a x =是增函数， 一、选择题（每小题4分，共计40分） 1．下列各式中成立的一项是 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ． 33 39= C ．4 343 3 )(y x y x +=+ D ．31243)3(-=- 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 9- B ．a - C ．a 6 D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确．．． 的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a x ，y log a x 在 a 1及 0 a 1两种不同情况。 1、指数函数： y x 且a 叫指数函数。 定义：函数 aa 0 1 定义域为 R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数 y a x 中的 a 必须 a 0且a 1 。 因为若 a 0时， y 4 x ，当 x 1 时，函数值不存在。 4 a 0 ， y 0x ，当 x 0 ，函数值不存在。 a 时， y 1 x x 虽有意义，函数值恒为 1，但 1 对一切 y 1x 的反函数不存在， 因 为 要 求 函 数 y a x 中 的 a 0且 a 1 。 x 1、对三个指数函数 y 2 x ， y 1 ，y 10x 的图象的 2 认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （ 1）图象都位于 x 轴上方； （ 1） x 取任何实数值时，都有 a x 0 ； 2 0 1 ）； （ 2）无论 a 取任何正数， x 0 时， y 1 ； （ ）图象都经过点（ ， （ 3） y 2x ， y 10 x 在第一象限内的纵坐 （ 3）当 a x 0，则 a x 1 1 时， 0，则 a x 1 标都大于 1，在第二象限内的纵坐标都小于 1， x 1 y 2 x x 0，则 a x 1 当 0 的图象正好相反； a 1时， 0，则 a x 1 x （ 4） y 2x ， y 10 x 的图象自左到右逐渐 （ 4）当 a 1 时， y a x 是增函数， 指数与对数函数 1.已知函数()x x f 2=，则下列函数中，函数图像与()x f 的图像关于y 轴对称的是（ ） A.()x x g ?? ? ??=21 B. ()x x g 2= C. ()2x x g = D. ()x x g 2log = 2.设函数()x a x f -=()()42,1,0=≠>f a a 且，则 （ ） A.()()12-<-f f B. ()()21-<-f f C. ()()21f f > D. ()()22f f =- 3.（07 江苏）设()?? ? ??+-=a x x f 12lg 是奇函数，则使()0 指数函数与对数函数总结 一、 [知识要点]： x a log x 定义 图象 定义域 值域 性质 奇偶性 单 调 性 过定 点 值的分布 最值 y ＝a x （a>0且a ≠1） 叫指数函数 a>1 （－∞，＋ ∞） （0，＋∞） 非奇 非偶 增 函数 （0，1） 即a 0 ＝1 x>0时y>1；0 指数函数与对数函数专项练习 1 设 232555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是[ ] （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 2 函数y=ax2+ bx 与y= || log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能 是[ ] 3.设525b m ==，且112a b +=，则m =[ ] （A ）10（B ）10 （C ）20 （D ）100 4.设a= 3log 2,b=In2,c=1 2 5- ,则[ ] A. a (A) (B) (C) (D) 8.设 5 54a log 4b log c log ===25，（3），，则[ ] (A)a3.2.3指数函数与对数函数的关系教案
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