广东省2018届高三七校第一次联考(文数)

广东省2018届高三七校第一次联考

数学（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1．设集合U ＝{x |x <5，x ∈N *}，M ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，则?U M ＝ A ．{1,4}

B ．{1,5}

C ．{2,3}

D ．{3,4}

2.在复平面内，设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数2

z ＋z 2对应的点位于

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3

(3, －4),则此双曲线的离心率为

A.

B.

C.

D. 4．若x ，y 满足10

220,40x y x y x y -+≥??

--≤??+-≥?

则x+2y 的最大值为

A ．

13

2 B ．6 C ．11 D ．10 5．设113

2

113,,ln 23a b c π??????=== ? ?

???

??

??

,则 A.c a b << B. c b a << C. a b c << D. b a c <<

6．如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋1

20的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是

A ．i >10?

B ．i <10?

C ．i >20?

D ．i <20?

7．一个几何体的三视图如图，其中 正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图 是半径为1的半圆，则该几何体的体积是 A.

π334 B. π21

C. π33

D. π6

3

8．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝22

3，a ＝2，S △ABC ＝2，则

b 的值为

A. 3

B.322

C.2 2

D.2 3

9．在如图所示的圆型图案中有12随机取一点，则此点取自树叶（即图中阴影部分）的概率是

A. B.

C.

10．给出四个函数，分别满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，③h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，④m (x ·y )＝m (x )·m (y )．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是

A ．①甲，②乙，③丙，④丁

B ．①乙，②丙，③甲，④丁

C ．①丙，②甲，③乙，④丁

D ．①丁，②甲，③乙，④丙

11. 已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间???

?－π3，π

4上的最小值为－2，则ω的取值范围是 A.?

???－∞，－9

2∪[6，＋∞) B.????－∞，－92∪????3

2，＋∞ C.(－∞，－2]∪[6，＋∞) D.(－∞，－2]∪????32，＋∞

12．已知抛物线2

14

=

y x ，AB 为过焦点的弦，过、A B 分别作抛物线的切线交于点F ，则

① 若AB 斜率为1，则4=AB ； ② min 2=AB ; ③1=-M y ； ④若AB 斜率为1，则1=M x ； ⑤

4?=-A B x x

以上结论正确的个数是

A.1个

B.2个

C. 3个

D. 4个

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知下列表格所示的数据的回归直线方程为a x y

+=4?，则a 的值为_______.

14. 设,x y ∈R ，向量()()()4,2,,1,1,-===y x ，且//,⊥_______=+ 15. 设θ为第二象限角，若tan ????θ＋π4＝1

2

，则sin θ＋cos θ＝________. 16. 已知棱长为1的正四面体ABCD(四个面都是正三角形)的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个

试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。

17.（本小题满分12分）设公差不为零的等差数列{}n a 的前5项的和为55，且

9,,4762-+a a a a 成等比数列.

（1）求数列{}n a 的通项公式. （2）设()()

461

--=

n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1

2

n S <

. 18. 某淘宝店经过对春节七天假期的消费者进行统计，发现在金额不超过1000元的消费者中男女比例约为1:4，该店按此比例抽取了100名消费者进行进一步分析,得到下表 女性消费情况:

男性消费情况:

若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”、低于600元的网购者为“非网购达人” (1) 分别计算女性和男性消费的平均数，并判断平均消费

水平高的一方“网购达人”出手是否更阔绰？

(2)根据以上统计数据填写如下2×2列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关”. 附:

,其中n=a+b+c+d

19．（本题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥底面,底面ABCD 为菱形，2=AD ,

60DAB ?∠=，E 为AB 的中点.

（1）证明：PCD PDE ⊥面面

（2

）若PD =,求E 到平面PBC 的距离.

20．（本小题满分12分） 已知动点M 到定点F 1（－2，0）和F 2（2，0

）的距离之和为． （I ）求动点M 轨迹C 的方程；

（II ）设N （0，2），过点()1,2--P 作直线l ，交椭圆C 于不同于N 的A 、B 两点，直线NA 、

NB 的斜率分别为k 1、k 2, 求k l +k 2的值．

21. （本小题满分12分）已知函数()2ln ax x x x f -=，()x g 为()x f 的导数， （1）讨论函数()x g 的零点个数；

（2）若函数()x f 在定义域内不单调且在()2+∞，上单调递减，求实数a 的取值范围。

[选修4-4：坐标系与参数方程] 10分

22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的

参数方程为cos ,

,x y θθ=???=??

（θ为参数），直线 l

的极坐标方程为

()

cos 04a πρθ?

?-=≠ ??

? （Ⅰ）求曲线1C 、l 的直角坐标方程；

（Ⅱ）若P 为1C 上的点，且PQ l ⊥，垂足为Q ,若PQ

a 值

[选修4-5：不等式选讲] 10分 23．已知函数

()R a a

x x x f ∈---=12

（1）当1=a 时，解不等式()1

（2）当()0,1-∈x 时，()1>x f 有解，求a 的取值范围．

B

E

C

A

D P

数学（文科）参考答案

1．答案 A 解析 U ＝{1,2,3,4}，M ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}， ∴?U M ＝{1,4}．

2. 答案 A 解析由题知，2z ＋z 2＝2

1＋i ＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i ，

所以复数2

z ＋z 2对应的点为(1,1)，其位于第一象限．

3．答案 D 4．答案 C 5．答案 B

6．答案 A 解析 依题意，得12＋14＋16＋…＋120可表示为数列????

??

12n 的前10项和，结合题目中的程

序框图知，判断框内应填入的条件是“i >10？”，选A. 7．答案 D

8．答案 A 解析 由S △ABC ＝1

2

bc sin A ＝2，得bc ＝3，①

又由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得b 2＋c 2＝6.② 由①②解得b ＝ 3. 9．答案 B 求24个相同弓形的面积

10答案D 解析图象甲是一个指数函数的图象，它应满足②；图象乙是一个对数函数的图象，它应满足③；图象丁是y ＝x 的图象，满足①.

11. 答案 D 解析 当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥3

2

；

当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π

2，∴ω≤－2.

综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪????32，＋∞. 12．答案 B 提示：用韦达定理 13. 242

14. 答案

解析

2402

,//(3,1)242

x x a c b c a b y y -==??⊥???+=-=??=-=-??15. 答案 －

105 解析 tan ????θ＋π4＝1＋tan θ1－tan θ＝12，解得tan θ＝－1

3

. 由?????sin θ＝－13cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝1010，cos θ＝－31010，∴sin θ＋cos θ＝－10

5.

16.

π2

3

17.解（1）设等差数列的的首项为1a ，公差为d ，

则1

1

21154555722()(39)a d a d a d a d ??+==?????=??=++-?

或1110

a d =??=?（舍去） 故数列{}n a 的通项公式为72(1)n a n =+-即25n a n =+.………… 5分 （2）由（1）25n a n =+， 得11111

()(6)(4)(21)(21)22121

n n n b a a n n n n =

==----+-+.…………7分

那么12111111

[(1)()(

)]2335

2121

n n S b b b n n =++

+=-+-+

+--+ 111(1)2212

n =-<+ .………… 12分 18. 解析 (1)女消费者消费平均数=

()3900477001550010300510080

1

?+?+?+?+?=582.5 。。。。。。。。。 2分 男消费者消费平均数=

()29003700105003300210020

1

?+?+?+?+?=500 。。。。。。。。。。。 4分 虽然女消费者消费水平较高，但“女网购达人”平均消费水平（为712），低于“男网购达人”平均消费水平（为790），所以“平均消费水平”高的一方“网购达人”出手不一定更阔绰

。。。。。。。。。。。。。。。。。 6分 (2)2×2列联表如下所示:

。。。

。。。。。。。。。。。。。。 7分

假设“是否为‘网购达人’与性别无关” 。。。。。。。。。。。。。。。。。 8分 则K 2=

≈9.091, 。。。。。。。。。。。。。。。。。 10分

因为9.091>7.879,

所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下可以认为“是否为‘网购达人’与性别有关”.

。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 19.(1)PD ABCD ⊥证明：底面 PD AB ∴⊥

,60DB ABCD DAB ?∠=连接在菱形中，DAB ∴?为等边三角形

E AB 又

为的中点 AB DE ∴⊥

AB PDE ∴⊥底面 AB CD // CD PDE ∴⊥面,

PCD ?C D 面 PCD PDE ∴⊥面面 ---------------6分 （2） AD=2 ∴ PD=32

在 PDC Rt ? 中，4=PC ,同理4=PB 利用平面几何知识可得15=?PBC S 又2

3

=?EBC S --------------9分 设 E 到平面PBC 的距离为h 由 PBC E EBC

P V V --= 得，h S PD S PBC EBC ?=???3

1

31

∴5

15

=h ---------------12分

21. 解析：（解法1 ）()()12ln +-='=ax x x f x g , 。。。。。。。。。。。。。。。。。1分

()0=x g 令得012ln

=+-ax x 即12ln -=ax x ，所以函数()x g 的零点个数

等价于两函数x y ln =与12-=ax y 图像的交点个数 。。。。。。。。。。。。。2分 设两者相切时切点为()00,y x ，则由0120x y a x x =

'==且12ln 00-=ax x 得2

1

=a 。。。4分

由图可知2

1

>

a 时，两函数图像无交点，()x g 无零点； 2

1

0=

≤a a 或时，两函数图像有一个交点，()x g 有一个零点； 2

1

0<

， 所以

()递增；时，22,01,0y y x >'∈()0,01222><'

∞+∈y y y x 递减且时，，， 1=x 时，2y 有极大值

2

1

， 。。。。。。。。。。。。4分 如图所示

由图可知2

1

>

a 时，两函数图像无交点，()x g 无零点； 2

1

0=

≤a a 或 时，两函数图像有一个交点，()x g 有一个零点； 2

1

0<

（2）（解法1 ）由（1）知，1

2

a ≥

时，()x g 无零点或一个零点，()0g x ≤，函数()x f 在定义域内单调递减 ，函数()x f 在定义域内不单调时，1

2

a

< 。

。。。。。。。。 8分 ()x f 在()2+∞，上单调递减时，()0f

x '≤，即()0g x ≤恒成立，亦等价于()2x ∈+∞，

时，()max 0g x ≤， 。。。。。。。。。。。。。。。。。 9分

()1122ax

g x a x x

-'=-=， ① 当0a

≤时，()0g x '>，()g x 递增，()()2ln2410g x g a >=-+>不合题意；

② 当11

4

2a ≤<

时，1122a

<≤，此时()0g x '<，()g x 递减， ()2x ∈+∞，时()()2g x g <，由()20g ≤得ln 2410a -+≤，解得ln 21

4

a +≥

， 所以

ln 211

42

a +≤< ③ 当104

a <<

时，1

22a >，()2x ∈+∞，

时

由表可知2x a

=

时，()g x 取最大值，最大值为1ln ln2022g a a ?

=>> ???，不合题意 。。。。。。。。。。。。。。。。。 11分 综上可得

l n 211

42

a +≤< 。

。。。。。。。。。。。。。。。。 12分 （解法2）由（1）知，1

2

a ≥

时，()x g 无零点或一个零点，()0g x ≤，函数()x f 在定义域内单调递减 ，函数()x f 在定义域内不单调时，1

2

a

< 。

。。。。。。。。。。8分 ()x f 在()2+∞，上单调递减时，

()0f x '≤，即()0g x ≤恒成立

由()0g

x ≤得ln 12x a x

+≥

，令()ln 1

2x h x x +=，则()a h x ≥恒成立，。。。。。。。。。 9分

因为()2

ln 2x

h x x

'=-

， 所以 ()2x ∈+∞，时()0h x '<，()h x 单调递减，

()()2g x h <， 由()a h x ≥恒成立得()2a h ≥，解得ln 21

4

a +≥

， 。。。。。。。。11分 综上可得ln 211

42

a +≤< 。

。。。。。。。。。。。。。。。。12分 22．

解析：（1

）cos ,

,

x y θθ=???=??利用22cos sin 1θθ+=消参得1C 的直角坐标方程为2

2

13

y x +=，

………… ………2分

)cos cos sin 4πρθρθρθ??

-

=?

+= ??

?

，

l 的直角坐标方程为20x y a +-= ………… ……… 4分

（2

）设(

)

cos P θθ，由点到直线的距离公式得

PQ =

=

0a ≠ ……… 6分

在0a >

，min PQ ==2a =

在0a

<

，min PQ =

=

2a =- ………… ……… 8分

所以2a =或2a =- ………… ……… 10分

23．

【解答】解：（1）当1=a 时，()??

?

??>≤<-≤=---=1

12/12

32

/1-112x x x x x x

x x x f ，…2分 当21≤x 时，1<-x ，即1->x ，解得2

11≤<-x ； 当

121≤

1

<x 时，1

综上所述，不等式()1x f 有解?x a x 2-<-有解

? 2x ＜x ﹣a ＜-2x 有解?3x ＜a ＜- x 有解 ……… ……… 7分 ∴()m in 3x a >且()m ax x a -<，1,33<-->x x

∴a．即实数a的取值范围是[]1,3-．………… ……… 10分-

≤

1

3≤

注：如用函数图像法解酌情给分