2012年上海市高三年级十三校第一次联考数学(理卷)

2012年高三年级十三校第一次联考数学(理科)试卷

考试时间：120分钟 满分：150分

一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分.

1. 已知*n N ∈，则21lim

32

n n n n →∞++=- . 2. 如图，U 是全集，A U B U ??，，用集合运算符号

表示图中阴影部分的集合是 .

3. 函数21()sin cos 22

f x x x =+-的最小正周期是 .

4. 若2i +是方程20( )x bx c b c R ++=∈、的根，其中i 是 虚数单位，则b c += .

5. 若函数12()log a f x x -=在(0 )+∞，上单调递减， 则实数a 的取值范围是 .

6. 图中是一个算法流程图，则输出的 正整数n 的值是 ．

7. 设函数212() 0

()2log (2) 0

x x f x x x ??-≤=?+>??的反函数 为1()y f x -=，若1()4f a -≥，则实数a 的取值范围是 . 8. 对于任意的实数k ，如果关于x 的方程()f x k =最多有2个不同的实数解，则|()|f x m =(m 为实常数)的不同的实数解的个数最多为 .

9. 设函数1

31()()2

x

f x x =-的零点*011(

)()1x n N n n ∈∈+，，则n = . 10. 已知数列{}n a 的前n 项和27211n S n pn a =+=，，若112k k a a ++>，则正整数k 的最小值

为 .

11. 如图，在ABC ?中，90 6 BAC AB D ∠==，

，在斜 边BC 上，且2CD DB =，则AB CD ?的值为 . 12. 设不等式21log (0 1)a x x a a -<>≠且，的解集为M ，若(1

2)M ?，，则实数a 的取值范围是 .

13. 已知函数()2arctan x

f x x =+，数列{}n a 满足*111

()()()402312n n n

a a f a f n N a +==∈，－， 则2012()f a = .

14. 设 a b c ，，是平面内互不平行的三个向量，x R ∈，有下列命题： ①方程20(0)ax bx c a ++=≠不可能有两个不同的实数解；

②方程20(0)ax bx c a ++=≠有实数解的充要条件是2

40b a c -?≥； ③方程22

2

20a x a bx b +?+=有唯一的实数解b x a

=-

； ④方程22

2

20a x a bx b +?+=没有实数解.

其中真命题有 .(写出所有真命题的序号) 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题5分. 15. 已知a R ∈，不等式31x x a

-≥+的解集为P ，且2P -?，则a 的取值范围是 ( ) A.3a >- B.32a -<< C.2a >或3a <- D.2a ≥或3a <-

U

A

B

(第2题图)

D

A

B

C

(第11题图)

(第6题图)

开始 是 输出n 否 n ←1，S ←0 S <2012

S ←S +2n

n ←n +1 结束

m 1

0N M

M

M A

A (

B )B A x

y O 图1 图2 图3

16. 设角 ()2

k k Z παβπ≠+

∈、，则“()4

n n Z παβπ+=+∈”是“(1tan )(1tan )2αβ++=”

成立的 ( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

17. 对于复数 a b c d 、、、，若集合{ }S a b c d =，，，具有性质：“对任意 x y S ∈，，都有xy S ∈”

，则当221

1a b c b

=??=?=??时，b c d ++的值是 ( )

A.1

B.1-

C.i

D.i - 18. 下图展示了一个由区间(0 1)，到实数集R 的对应过程：区间(0 1)，中的实数m 对应数轴上(线

段AB )的点M (如图1)；将线段AB 围成一个圆，使两端点A B 、

恰好重合(如图2)；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上；点A 的坐标为(0 1)，(如图3)，当点M 从A

到B 是逆时针运动时，图3中直线AM 与x 轴交于点( 0)N n ，，按此对应法则确定的函数使得m

与n 对应，即()f m n =．对于这个函数()y f x =，有下列命题：①1()14

f =-；②()f x 的图像关于1( 0)2，对称；③若()3f x =，则56

x =；④()f x 在(0 1)，上单调递增.其中正确的命题个数是 ( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 三、解答题(本大题共5小题，满分74分) 19. (本题满分12分)

已知矩阵||53||102x x +??

?

+ ? ?-??

的某个列向量的模不大于行列式211203423----中元素0的代数余

子式的值，求实数x 的取值范围.

20. (本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)

为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用，将癌细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表.已知这种癌细胞在小白鼠体内的个数超过810时小白鼠将会死亡，注射这种抗癌药物可杀死其体内癌细胞的98%.

天数t 1 2 3 4 5 6 7 …

癌细胞个数N

1 2 4 8 16 32 64 … (1)要使小白鼠在实验中不死亡，第一次最迟应在第几天注射该种药物？(精确到1天)

(2)若在第10天，第20天，第30天，……给小白鼠注射这种药物，问第38天小白鼠是否仍然存活？请说明理由.

21. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

已知()3sin 3cos (0)f x x x ωωω=+>. (1)若()(0)2y f x π

θθ=+<<

是周期为π的偶函数，求ω和θ的值；

(2)()(3)g x f x =在( )23

ππ

-，上是增函数，求ω的最大值；并求此时()g x 在[0 ]π，

上的取值范围.

22. (本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)

设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知*122()n n a S n N +=+∈. (1)求数列}{n a 的通项公式；

(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列(如：在1a 与2a 之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为1d ；在2a 与3a 之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为2d ，…以此类推)，设第n 个等差数列的和是n A . 是否存在一个关于n 的多项式()g n ，使得()n n A g n d =对任意*n N ∈恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由； (3)对于(2)中的数列123n d d d d ，，，，，，这个数列中是否存在不同的三项m k p d d d ，，(其中正整数m k p ，，成等差数列)成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.

23. (本题满分18分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分)

已知函数22()(1)(1)(0 )x

b f x x a x

=-+-∈+∞，，，其中0a b <<.

(1)当1

2a b ==，时，求)(x f 的最小值； (2)若()21m f a ≥-对任意0a b <<恒成立，求实数m 的取值范围；

(3)设0k c >、，当22()a k b k c ==+，时，记1()()f x f x =；当22()(2)a k c b k c =+=+，时，

记2()()f x f x =. 求证：2

124()()()

c f x f x k k c +>+.

2012年高三年级十三校第一次联考数学(理科)答题纸

2011.12.8

一．填空题（每题4分，共56分）：

1．；2．；3．；4．；

5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；

13．；14._ .

二．选择题（每题5分，共20分）：

题号15 16 17 18

答案

三．解答题

19（12分）．解：

20（14分）．解：

21（14分）、解：

22（16分）、解：

23（18分）、解：

2012年高三年级十三校第一次联考数学(理科)答案

考试时间：120分钟 满分：150分

一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分.

1. 已知*n N ∈，则21lim

32

n n n n →∞++=- .13 2. 如图，U 是全集，A U B U ??，，用集合运算符号 表示图中阴影部分的集合是 .U A B e

3. 函数21()sin cos 22

f x x x =+-的最小正周期是 .π 4. 若2i +是方程20( )x bx c b c R ++=∈、的根，其中i 是 虚数单位，则b c += .1 5. 若函数12()lo

g a f x x -=在(0 )+∞，上单调递减，

则实数a 的取值范围是 .102

a << 6. 图中是一个算法流程图，则输出的 正整数n 的值是 ．11

7. 设函数212() 0()2

log (2) 0

x x f x x x ??-≤=?+>??的反函数 为1()y f x -=，若1()4f a -≥，则实数a 的取值范围是 .2[log 6 )+∞， 8. 对于任意的实数k ，如果关于x 的方程()f x k =最多有2个不同的实数解，则|()|f x m =(m 为

实常数)的不同的实数解的个数最多为 .4

9. 设函数1

31()()2

x

f x x =-的零点*011(

)()1x n N n n ∈∈+，，则n = .2 10. 已知数列{}n a 的前n 项和27211n S n pn a =+=，，若112k k a a ++>，则正整数k 的最小值

为 .6

11. 如图，在ABC ?中，90 6 BAC AB D ∠==，

，在斜 边BC 上，且2CD DB =，则AB CD ?的值为_____.24 12. 设不等式21log (0 1)a x x a a -<>≠且，的解集为M ，若(1

2)M ?，，则实数a 的取值范围是 .3

(1 2]，

13. 已知函数()2arctan x

f x x =+，数列{}n a 满足*111

()()()402312n n n

a a f a f n N a +=

=∈，－，则2012()f a = .24

π

+

14. 设 a b c ，，是平面内互不平行的三个向量，x R ∈，有下列命题： ①方程20(0)ax bx c a ++=≠不可能有两个不同的实数解；

②方程20(0)ax bx c a ++=≠有实数解的充要条件是2

40b a c -?≥； ③方程22

2

20a x a bx b +?+=有唯一的实数解b x a

=-

； ④方程22

2

20a x a bx b +?+=没有实数解.

其中真命题有 .(写出所有真命题的序号) ①④

U

A

B

(第2题图)

(第6题图)

开始 是 输出n 否 n ←1，S ←0 S <2012

S ←S +2n n ←n +1

结束

D

A

B

C

(第11题图)

m 1

0N M M

M A A (B )B A x y O 图1 图2 图3 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题5分. 15. 已知a R ∈，不等式

31x x a

-≥+的解集为P ，且2P -?，则a 的取值范围是 ( D ) A.3a >- B.32a -<< C.2a >或3a <- D.2a ≥或3a <-

16. 设角 ()2

k k Z παβπ≠+

∈、，则“()4

n n Z παβπ+=+∈”是“(1tan )(1tan )2αβ++=”

成立的 ( C ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

17. 对于复数 a b c d 、、、，若集合{ }S a b c d =，，，具有性质：“对任意 x y S ∈，，都有xy S ∈”

，则当221

1a b c b

=??=?=??时，b c d ++的值是 ( B )

A.1

B.1-

C.i

D.i - 18. 下图展示了一个由区间(0 1)，到实数集R 的对应过程：区间(0 1)，中的实数m 对应数轴上(线

段AB )的点M (如图1)；将线段AB 围成一个圆，使两端点A B 、

恰好重合(如图2)；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上；点A 的坐标为(0 1)，

(如图3)，当点M 从A 到B 是逆时针运动时，图3中直线AM 与x 轴交于点( 0)N n ，，按此对应法则确定的函数使得m

与n 对应，即()f m n =．对于这个函数()y f x =，有下列命题：①1()14

f =-；②()f x 的图像关于1( 0)2，对称；③若()3f x =，则56

x =；④()f x 在(0 1)，上单调递增.其中正确的命题个数是 ( D )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 三、解答题(本大题共5小题，满分74分) 19. (本题满分12分)

已知矩阵||53||102x x +??

?

+ ? ?-??

的某个列向量的模不大于行列式211203423----中元素0的代数余

子式的值，求实数x 的取值范围.

解：行列式211

203423

----中元素0的代数余子式是21

243

=……………………………4分

依题意，显然列向量||5||10x x a +??

?+= ? ???

的模不大于2，即

||5

2||1x x +≤+,………………………8分 解得3x ≥或3x ≤-

∴满足条件的实数x 的取值范围是( 3][3 )-∞-+∞，

，…………………………………12分

20. (本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)

为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用，将癌细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表.已知这种癌细胞在小白鼠体内的个数超过810时小白鼠将会死亡，注射这种抗癌药物可杀死其体内癌细胞的98%.

天数t 1 2 3 4 5 6 7 …

癌细胞个数N

1 2 4 8 16 32 64 … (1)要使小白鼠在实验中不死亡，第一次最迟应在第几天注射该种药物？(精确到1天)

(2)若在第10天，第20天，第30天，……给小白鼠注射这种药物，问第38天小白鼠是否仍然存活？请说明理由.

解：(1)依题意，18210t -≤……………………………………………………………………2分 ∴82log 10127.58t ≤+≈………………………………………………………………………5分 即第一次最迟应在第27天注射该种药物. ……………………………………………………7分

(2)设第n 次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数为n a ， 则912(198%)a =-，且1012(198%)n n a a +=-，∴1012(198%)n n n a -=-……………………10分

于是1031

3

32(198%)a ?-=-，即第3次注射后小白鼠体内的这种癌细胞个数为

323

2100，……12分 到第38天小白鼠体内的这种癌细胞个数为

328783

22 1.11010100?≈?<……………………14分

∴第38天小白鼠仍然存活.（注：列举法求解的也行，请按步骤评分） 21. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

已知()3sin 3cos (0)f x x x ωωω=+>. (1)若()(0)2y f x π

θθ=+<<

是周期为π的偶函数，求ω和θ的值；

(2)()(3)g x f x =在( )23

ππ

-，上是增函数，求ω的最大值；并求此时()g x 在[0 ]π，

上的取值范围. 解：(1)∵()23sin()(0)3f x x πωω=+>，∴()23sin()3

f x x π

θωωθ+=++…………1分

又()y f x θ=+是最小正周期为π的偶函数 ∴2ππω

=，即2ω=，……………………3分

且23

2

k π

π

θπ+

=+

，即()212

k k Z ππ

θ=

+∈ 注意到02π

θ<<

，∴1 312

π

ωθ==，为所求；…………………………………………………6分 (2)因为()(3)23sin(3)(0)3g x f x x πωω==+>在( )2

3

ππ

-，上是增函数，

∴45

3()223239()13223326

k k k Z k k πππωπωπππωπω???-+≥-≤-+???∈???+≤+≤+????，…………………………………9分 又0ω>，∴45015391212

1206

k k k ?-+>??-<??，∴0k =

于是1

06

ω<≤，即ω的最大值为61，…………………………………………………………12分

此时，()23sin()23

x g x π

=+，

510sin()1()[3 23]3236223

x x x g x ππππ

π≤≤?≤+≤?≤+≤?∈，……………………14分

设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知*122()n n a S n N +=+∈. (1)求数列}{n a 的通项公式；

(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列(如：在1a 与2a 之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为1d ；在2a 与3a 之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为2d ，…以此类推)，设第n 个等差数列的和是n A . 是否存在一个关于n 的多项式()g n ，使得()n n A g n d =对任意*n N ∈恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由； (3)对于(2)中的数列123n d d d d ，，，，，，这个数列中是否存在不同的三项m k p d d d ，，(其中正整数m k p ，，成等差数列)成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由. 解：(1)设1

1n n a a q -=，由)(22*

1

N n S a n n ∈+=+知，112

111

22

2()2a q a a q a a q =+??=++?，………2分 解得

{

12

3

a q ==， ∴123n n a -=?…………………………………………………………………4分 (2)依题意，1123234311n n n n d n n --?-??==++；11(2323)(2)

4(2)32

n n n n n A n --?+?+=

=+? 要使()n n A g n d =，则11

434(2)3()1

n n n g n n --?+?=?+，…………………………………8分

∴2()(2)(1)32g n n n n n =+?+=++，即存在2()32g n n n =++满足条件；………10分 (3)对于(2)中的数列{}n d ，若存在不同的三项m k p d d d ，，(其中正整数m k p ，，成等差数列)成

等比数列，则2k

m p d d d =，即111

2434343()111

k m p k m p ---???=?

+++ ∵2k m p =+①，

∴2111()111

k m p =?+++，即2

k mp =②…………………………………………14分 由①②可得m k p ==，与m k p d d d ，，是不同的三项矛盾，

∴不存在不同的三项m k p d d d ，，(其中正整数m k p ，，成等差数列)成等比数列. ……16分

已知函数22()(1)(1)(0 )x

b f x x a x

=-+-∈+∞，，，其中0a b <<.

(1)当1

2a b ==，时，求)(x f 的最小值； (2)若()21m f a ≥-对任意0a b <<恒成立，求实数m 的取值范围；

(3)设0k c >、，当22()a k b k c ==+，时，记1()()f x f x =；当22()(2)a k c b k c =+=+，时，

记2()()f x f x =. 求证：2124()()()

c f x f x k k c +>+.

解：(1)当1

2a b ==，时，22222()(1)(1)(1)3f x x x x x

=-+-=+--………………………1分 令2(0)t x x x

=+>，则22t ≥，当且仅当2=x 时，22=t ，…3分 此时函数2()(1)3g t t =--在[22 )t ∈+∞，上单调递增，

∴2min ()(2)(221)3642f x f ==--=-.……………………………………………………5分

(2)∵0a b <<，∴1b a

>，2()21(1)12m m b f a a ≥-?-+≥对任意0a b <<恒成立，…6分 令b t a

=，则1t >，函数2(1)1y t =-+在(1 )+∞，上单调递增，∴2(1)11y t =-+>，……8分 ∴12m ≥，解得0m ≤………………………………………………………………………………10分

(3)先证：对于(0 )x ∈+∞，

，()()f x f ab ≥ 2222()(1)(1)(1)1(0)x b x b b f x x a x a x a =-+-=+--+>，………………………………………11分

令x

b a x t +=，则2b t a ≥，当且仅当ab x =时取等号，且2

1b a > 函数22()(1)1b g t t a =--+，在[2 )b a +∞，上单调递增，∴()(2)()b f x g f ab a

≥=……14分 ∴当22

()a k b k c ==+，时，2122()()[()]c f x f x f k k c k

=≥+=

当22

()(2)a k c b k c =+=+，时，222

2()()[()(2)]()c f x f x f k c k c k c =≥++=+

显然上述两个等号不同时成立,

∴2221222224()()()()

c c c f x f x k k c k k c +>+>++………………………………………………………18分