第14章 全等三角形

第14章 全等三角形

14.1 全等三角形

专题一 全等三角形的性质及应用

1.如图,△ABC ≌△EBD ,问∠1与∠2相等吗?若相等请证明, 若不相等说出为什么? 解析:由三角形全等,得到对应角相等,然后再沟通∠1和∠2之间的关系.

2.如图,已知△EAB ≌△DCE ,AB 、EC 分别是两个三角形的最长边，∠A =∠C =35°，

∠CDE =100°，∠DEB =10°，求∠AEC 的度数.

专题二 全等三角形的探究题

3.全等三角形又叫合同三角形，?平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形．假设△ABC 和△A 1B 1C 1是全等（合同）三角形，且点A 与A 1对应，点B 与B 1对应，点C ?与点C 1对应，当沿周界A →B →C →A 及A 1→B 1→C 1→A 1环绕时,若运动方向相同,则称它们是真正合同三角形，如图1；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形，如图2．

C 1

B 1

A 1C

B

A

C 1

B 1

A 1C

B

A

(1) (2) 两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻折180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（ ）．

D

C

B

A

B A

2

1F C D

O

4.如图所示，A ，D ，E 三点在同一直线上，且△BAD ≌△ACE ． （1）试说明BD =DE +CE ；

（2）△ABD 满足什么条件时，BD ∥CE ？

5.如图所示，△ABC 绕着点B 旋转（顺时针）90°到△DBE ，且∠ABC ＝90°. ⑴△ABC 和△DBE 是否全等？指出对应边和对应角;

⑵直线AC 、直线DE 有怎样的位置关系？

【知识要点】

1.能够完全重合的两个图形叫全等形,能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.

2.全等三角形的对应边相等,对应角相等. 【温馨提示】

1.利用全等三角形的性质解决问题时,一定要找准对应元素.

2.全等三角形的对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等,但周长、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形.

【方法技巧】

1.全等三角形是指能够完全重合的两个三角形,准确的找出两个全等三角形的对应元素是解决全等三角形问题的关键.在表示两个三角形全等时,对应的顶点要写在对应的位置上.

2.全等三角形的对应边相等,对应角相等,利用这两个性质可以说明线段或角相等,以及线段的平行或垂直等.

3.一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置发生了变化,但形状和大小都没有改变,即经过平移、翻折、旋转前后的图形全等.像这样只改变图形的位置而不改变图形的形状和大小的变换叫全等变换,常见的有平移变换,翻折变换,旋转变换.

参考答案

1.解：∠1和∠2∵△ABC≌△EBD,∴∠A=∠E(全等三角形对应角相等),又∵∠A+∠AOF+∠1=180°,∠E+∠EOB+∠E=180°(三角形内角和定理),∠AOF=∠BOE(对顶角相等),∴∠1=∠2(等式的性质).

2.解:因为AB、EC是对应边，所以∠AEB=∠CDE=100°，又因为∠C=35°，所以

∠CED=180°-35°-100°=45°，又因为∠DEB=10°，所以∠BEC=45°-10°=35°，所以∠AEC=∠AEB-∠BEC=100°-35°=65°.

3.B 提示:A与C中的两个三角形可以通过旋转，使它们重合．D中的两个三角形可以用平移、旋转相结合的方式使之重合．而B中的两个三角形可以用翻折的方法使之重合，故B?中的三角形是镜面合同三角形．

4.解:（1）因为△BAD≌△ACE，所以BD=AE，AD=CE，又因为AE=AD+DE=CE+DE，所以BD=DE+CE．（2）∠ADB=90°,因为△BAD≌△ACE,所以∠ADB=∠CEB，若BD∥CE，则∠CED=∠BDE，所以∠ADB=∠BDE，又因为∠ADB+∠BDE=180°，所以∠ADB=90°.

5.解:⑴由题知可得：△ABC≌△DBE,

AC和DE，AB和DB，BC和BE是对应边；∠A和∠D，∠ACB和∠DEB，∠ABC和∠DBE 是对应角;⑵延长AC交DE于F.∵△ABC≌△DBE∴∠A＝∠D，又∵∠ACB＝∠DCF （对顶角相等）,∠A＋∠ACB＝90°,∴∠D＋∠DCF＝90°,即∠AFD＝90°.∴AC与DE 是垂直的位置关系.

14.2 三角形全等的判定

专题一 利用全等进行测量

1. 1805年，法国拿破仑率军与德军在莱茵河激战，德军在河北岸Ｑ处，如图，因不知河宽，法军很难瞄准敌军，聪明的拿破仑站在南岸Ｏ处调整好自己的帽子，使视线恰好擦过帽舌边沿看到敌军兵营Ｑ处，然后后退到B 点，这时他的视点恰好能落在O 处，于是他命令部下测量他脚站的B 处与O 点之间的距离，并下令按这个距离炮轰敌兵营，法军能命中吗？说明理由．

2.某同学根据数学知识原理制作了如图所示的一个测量工具----拐尺,其中O 为AB 的中点,CA ⊥AB ,BD ⊥AB ,CA =BD ,现要测量一透明隔离房间的深度,如何使用此测量工具,说明理由.

专题二 全等三角形中的探究题

3.如图所示,在△ABC 中, ∠C ＝90,AC =10㎝,BC =5㎝,一条线段PQ =AB ,P ,Q 两点分

别在AC 和过A 点且垂直于AC 的射线上运动.问P 点运动到AC 上什么位置时, △ABC 才能和△APQ 全等?

4.如图(1)，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB ＝CD ，BC ＝DE . （1）试判断AC 与CE 的位置关系，并说明理由．

（2）若将CD 沿CB 方向平移得到图(2)(3)(4)(5)的情形，其余条件不变，此时第（1）问中AC 与CE 的位置关系还成立吗？结论还成立吗？请说明理由．

C A

B D O 隔离房

5.能够互相重合的多边形叫做全等形，即如果两个多边形对应角相等，对应边相等，那么两个多边形一定全等。但判定两个三角形全等只需三组对应量相等即可，如SAS，SSS等，但如果要判定两个四边形全等仅有四组量对应相等是不够的，必须具备至少五组量对应相等.

（1）请写出两个四边形全等的一种判定方法（五组量对应相等）;

（2）如图，简要说明你的判定方法是正确的;

（3）举例说明仅有四边对应相等的两个四边形不一定全等（画出图形并简要说明理由）.

【知识要点】

1.判断两个三角形全等的方法有:SAS,ASA,AAS,SSS,直角三角形除了上述判断方法外,还可以利用“HL”判断.

2.在已知三边或两边及其夹角或两角及其夹边的情况下,可以利用尺轨作图作出符合条件的三角形.

3.三角形具有稳定性,即三角形三边确定的情况下,其形状和大小就固定了.

【温馨提示】

1.在书写两个三角形全等时,对应的顶点要写在对应的位置上.

2.判断两个直角三角形全等共有五种判定方法,除“HL”外,还可以利用一般三角形全等的方法进行判断.

3.注意全等三角形性质和判定的综合运用.

【方法技巧】

1.证明三角形全等的一般思路是:

(1)如果有两条对应边相等,还应寻找它们的夹角或第三边对应相等;

(2)如果有一个角和一条边对应相等,还应寻找另一个角相等;

(3)如果有两个角对应相等,还应寻找一条边对应相等.

2.证明线段或角相等时,常常先证明线段或角所在的三角形全等.当图形中找不到这些线段或角所在的全等三角形时,应考虑添加适当的辅助线.

参考答案

1.能.因为AO ∥PQ ，所以∠AOB =∠Q ．因为AB =OP ，∠ABO =∠POQ ，

所以△ABO ≌△POQ ，所以BO = OQ ，即距离敌营距离等于BO ，所以法军

能命中．

2.解:如图,使AC 与房间内壁在一条直线上,且C 与一端点接触,然后人

在BD 的延长线上移动至F ,使F 、O 、E 三点正好在一条直线上,记下F 点,

这时量出DF 长,即为房间深度CE .理由如下:由∠A =∠B =90°,OA =OB ,

∠EOA =∠FOB ,所以△EAO ≌△FBO ,得BF =AE ,则BF -BD =AE -AC ,即

DF =CE .

3.解:要使△ABC 和△APQ 全等,由于∠PAQ =∠C ＝90,PQ =AB ,则只需

AP =BC 或AP =AC ,由HL 即知它们全等,从而得P 点在A 点或AC 的中点处时△APQ 和△ABC 全等.

4.解:（1）AC ⊥CE ，可确定△ABC ≌△CDE ，得∠ACB ＝∠E ，因为∠ACB ＋∠ECD ＝∠E ＋∠ECD ＝90°，所以∠ACE ＝180°－90°＝90°，所以AC ⊥CE ．图(2)(3)(4)(5)四种情况，结论仍然成立，理由同上．

5.解:（1）∠D ＝∠D ′,AD=A ′D ′,DC =D ′C ′,BC =B ′C ′,AB =A ′B ′,（2）连接AC , 在△ADC 和△A ′D ′C ′中,因为AD =A ′D ′,∠D ＝∠D ′,DC =D ′C ′,所以△ADC ≌△A ′D ′C ′,则AC =A ′C ′,从而得△ACB ≌△A ′C ′B ′,从而得到四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′的对应角,对应边均相等,即有四边形ABCD ≌四边形A′B′C′D′;（3）举一个凸四边形和凹四边形.

E C A O

B D F