2013年全国研究生数学建模竞赛B题论文
参赛密码
（由组委会填写）
第十届华为杯全国研究生数学建
模竞赛
学校南京邮电大学
参赛队号10293015
队员姓名1.仲伟奇
2.卢诗尧
3.江爱珍
参赛密码
（由组委会填写）
第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛
题 目 功率放大器非线性特性及预失真建模
摘 要：
本文根据函数逼近Weierstrass 定理对功放的非线性特性建立多项式数学模型。对于无记忆功放，直接用matlab 中polyfit 函数或矩阵运算求解，用NMSE 值来评价不同阶数所得的多项式模型，最终将多项式模型的阶数定为4，此时47.13NMS dB E -=，系数详见4.1.3；根据线性原则和两个约束条件建立预失真的多项式模型，采用查表法求得预失真器的输入和输出，建立目标误差函数
21?min |()(
)|N
n GE z n z n ==-∑，用polyfit 函数或矩阵运算求解，最终根据GE 值最小确定多项式阶数为12, 此时-50.877B NMSE d =，系数详见4.2.3。
对于有记忆功放，在无记忆的基础上建立模型，增加延迟项来表征记忆效应，通过矩阵运算求解，然后用NMSE 值评估确定记忆效应多项式阶数为4，记忆深度为3，此时44.3839NMSE dB =-，系数详见4.3.3；根据功放的非线性模型，，建立预失真器的有记忆效应多项式模型，利用功放的输入输出数据间接得到预失真器的输入输出，再用矩阵运算，用NMSE 值来评估确定阶数为4，记忆深度为3，系数详见4.4.3，此时19.0058NMSE dB =-。
运用自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换对的性质，对自相关函数作傅里叶变换求得功率谱密度，分析得出传输信道范围，最终得出输入信号、
有无预失真补偿三类信号的A C P R 值分别为47.1212dB
-，37.4586dB -，38.7557dB -，得出预失真补偿后的ACPR 值要比补偿前要小。 关键词：数据拟合 查表法 NMSE/EVM 评价 矩阵运算 多项式模型
功率放大器非线性特性及预失真建模
一问题重述
1.1 问题引入
信号的功率放大是电子通信系统的关键功能之一，其实现模块称为功率放大器（PA，Power Amplifier），简称功放。功放的输出信号相对于输入信号可能产生非线性变形，这将带来无益的干扰信号，影响信信息的正确传递和接收，此现象称为非线性失真。传统电路设计上，可通过降低输出功率的方式减轻非线性失真效应。
功放非线性属于有源电子器件的固有特性，研究其机理并采取措施改善，具有重要意义。目前已提出了各种技术来克服改善功放的非线性失真，其中预失真技术是被研究和应用较多的一项新技术，其最新的研究成果已经被用于实际的产品（如无线通信系统等），但在新算法、实现复杂度、计算速度、效果精度等方面仍有相当的研究价值。
本题从数学建模的角度进行探索。若记输入信号)(t
x，输出信号为)(t z，
t为时间变量，则功放非线性在数学上可表示为))
G
x
t
z ，其中G为非线
)
(
(
(t
性函数。预失真的基本原理是：在功放前设置一个预失真处理模块，这两个模块的合成总效果使整体输入-输出特性线性化，输出功率得到充分利用。原理框图如图1-1所示。
图1-1 预失真技术的原理框图示意
1.2问题研究
在上述提供的背景材料以及自行查阅相关文献资料的基础上，请你们的团队研究下列问题。要求写出计算的过程、注明所用的优化方法、解释选择中间参数的理由、并附上所用的程序（C/C++/Java/Matlab等）。为保证所用模型的工程可实现性，请考虑选用适当复杂度的模型和算法。
以下各题中的数学建模鼓励创新，不局限于背景介绍的模型方法。
1. 无记忆功放
数据文件1给出了某功放无记忆效应的复输入-输出测试数据，其输入-输出幅度图为：
图1-2 功放输入/输出幅度散点图
请根据提供的数据，完成以下任务。
A ．建立此功放的非线性特性的数学模型，然后用NMSE 评价所建模型的准确度。
B ．根据线性化原则以及“输出幅度限制”和“功率最大化”约束，建立预失真模型。写出目标误差函数，计算线性化后最大可能的幅度放大倍数，运用评价指标参数NMSE/EVM 评价预失真补偿的结果。
2. 有记忆功放
数据文件2给出了某功放的有记忆效应的复输入-输出数据，请完成以下任务。
A ．建立此功放的非线性特性的数学模型，然后用NMSE 评价所建模型的准确度。
B ．根据线性化原则以及“输出幅度限制”和“功率最大化”约束，以框图的方式建立预失真处理的模型实现示意图（提示：可定义基本实现单元模块和确定其之间关系，组成整体图），然后计算预失真模型相关参数。运用评价指标参数NMSE/EVM 评价预失真补偿的计算结果。
3． 拓展研究
相邻信道功率比（Adjacent Channel Power Ratio ，ACPR ）是表示信道的带外失真的参数，衡量由于非线性效应所产生的新频率分量对邻道信号的影响程度。其定义为
（1-1）
其中)(f s 为信号的功率谱密度函数，],[21f f 为传输信道，],[32f f 为相邻信道。功率谱密度的计算可通过对信号的自相关函数进行Fourier 变换计算，也可以通过直接法等计算（假定本题涉及的信号为时间平稳信号）。
如果题2所附的数据采样频率1272.30?=s
F MHz ，传输信道按照
20MHz 来
算，邻信道也是20MHz 。根据给出的数据，请计算功放预失真补偿前后的功率谱密度，并用图形的方式表示三类信号的功率谱密度（输入信号、无预失真补偿的功率放大器输出信号、采用预失真补偿的功率放大器输出信号），最后用ACPR 对结果进行分析评价。
二模型假设
1. 假设题目所给的数据真实可靠；
2. 假设功放在无输入时仍有很小的输出值；
3. 假设功放的输入数据不会导致饱和溢出；
三符号说明
x t：输入信号；
()
x n：离散采样后输入信号；
()
z t：功率放大器的输出信号；
()
z n：离散采样后功率放大器的输出信号；
()
f t：预失真器的输出信号；
()
f n：离散采样后预失真器的输出信号；
()
H：功放非线性模型的各次幂系数组成的矩阵；
A：预失真器非线性模型的各次幂系数组成的矩阵；
g>；
g：功率放大器的理想“幅度放大系数”，1
()
G?：功放的输入-输出传输特性；
()
F?：预失真器的特性；
M：有记忆功放的记忆深度；
N：离散采样值的个数；
NMSE：归一化均方误差值；
四模型的建立和求解
4.1 无记忆功放模型的建立和求解
4.1.1 问题分析
该问题是建立无记忆功放的非线性数学模型，从而根据该模型来建立预失
真模型，使输出与输入呈线性。
该问题的某一时刻的输出仅与此时刻的输入有关，因此无延迟项，根据题中的背景介绍，可以根据函数逼近的Weierstrass 定理，建立简单的多项式来表示非线性函数模型，最终应用matlab 的数据拟合即可得出无记忆功放的非线性特性的数学模型
非线性失真主要有幅度失真和相位失真，但是根据问题一所给的数据分析得到输入与输出不存在相位上的失真，每组数据只是幅度放大的倍数是不一致的。因此在该问题中数据拟合时无需针对相位信息进行数据拟合，只需要针对幅度来拟合出适合的非线性模型，即多项式模型。最后通过NMSE 值的优劣来选择适合的非线性的阶数。
4.1.2模型建立
根据题目所给的背景资料，无记忆功放的非线性模型可以采用简单的多项式来表示。在该题中，无记忆功放在某一时刻的输出仅与此时刻的输入有关，因此，可以将此功放的非线性特性模型表示为
0()()K
k k k z t h x t ==∑ [0,]t T
∈ （4-1） 其中：()z t 为功放的输出值； ()x t 为功放的输入值；
K 为非线性的阶数（即多项式的次数）； k h 为第k 阶的系数。
在所给的题目中，所给的数据都是经过离散采样后的值，因此，对于式（4-1）
可用离散多项式来建立非线性数学模型：
2120()()()()()K
k K k K k z n h x n h x n h x n h x n ===++
+∑ 0,1,2,,n N = （4-2）
其中：()z n 为离散采样后功率放大器的输出信号；
()x n 为离散采样后功率放大器的输入信号；
K 为非线性的阶数（即多项式的次数）； k h 为第k 阶的系数；
N 为离散采样值的个数。
为了计算各次幂系数k h ，对于共有N 个时刻的输入输出关系，也可以将式（4-2）改写成矩阵的形式
1
2
()T
N Z XH X X X X ??
=?=??
（4-3）
其中：i X 表示用于第i 个时刻的建模输入向量，02()i i
i i K i X x x x x =；
H 是（1K +）个系数构成的纵向量，01
()T k H h h h =；
Z 共有N 个时刻的输出，即((1)(2)())T Z z z z N =
这时，通过NMSE 评价，得到系数矩阵H 的最优值
1()H H H X X X Z -= （4-4） 其中，H X 是矩阵的共轭转置； 1()-?是矩阵的逆。 4.1.3模型求解
非线性失真主要分为幅度失真和相位失真，在该题中所给出的数据经过分
析后得出不存在相位上失真，每组输入输出数据的角度都是不变的，因此在求解该非线性模型时，无需对相位再进行分析，只需要针对幅度来求解各次幂的阶数以及非线性的阶数。
对于求解该非线性模型，其实就是数据拟合的过程。这里可以直接用matlab 中的ployfit 函数或者用式（4-4）的方法，即可得到各次幂的系数。对于模型的阶数，可以用NMSE 的值来评判，即不同阶数K 的模型的NMSE 值越小，该阶数就是越优的。
具体求解步骤：
Step1：设定不同的阶数，用polyfit 函数或式（4-4）求解出各次幂的系数； Step2：求出不同阶数时的NMSE 值； Step3：比较NMSE 值，得出最优的阶数。
根据以上的算法思路，可以得到不同阶数K 的NMSE 值，如图4-1。
k
N N S E
图4-1 阶数K 与NMSE 的关系图
如图4-1所示，在K =36时，所得的NMSE 值最小，也就是最优的阶数是36。但是考虑到在K =4时，NMSE =-47.13dB ，拟合程度已经相当好，再增加阶数，只会增加计算的复杂度，但效果不能再得到很明显的改善。因此将阶数K 定为4，此时系数矩阵[1.7595, 4.2755,1.5757,2.8476,0.0011]H =-。
此时，所得到的此功放的数学模型为：
432() 1.7595() 4.2755() 1.5757() 2.8476()0.0011
z n x n x n x n x n =-+++
0,1,2,
,n N = （4-5）
在此模型下，功放的输入—输出的幅度图如4-2所示，包含所得的?()z n 与原数据()z n 。
|x(n)|
|z (n )|
图4-2 功放的输入—输出幅度图
由图4-2可以看出，拟合的数据与原数据的吻合程度很好，NMSE 表示归一化均方误差，表征所计算的精度。NMSE 越小，吻合程度越好，即计算精度越高。在30NMSE dB <-时，即可表明此时的计算精度已经相当高。当阶数4K =时，NMSE 值为-47.13dB （30dB <-），符合要求，因此所得到的非线性模型准确度很高。
4.2 无记忆功放预失真模型的建立和求解 4.2.1问题分析
该问题是在线性化原则（即保证功放不失真）的基础上，以“输出幅度限制”和“功率最大化”为约束条件，建立预失真模型，并构造出评价预失真模型的目标误差函数。
对于“输出幅度限制”就是限定预失真处理的输出幅度不大于所给出的功放输入的幅度最大值1.0553。
对于“功率最大化”，需要满足预失真处理后的输出幅度尽可能的高。 在该问题中，首先根据已建立好的无记忆功放模型，以及需要满足的线性化原则，得到((()))()G F x t g x t =（()G 是功放的输入-输出传输特性，
()F 是预失真器的特性，g 是整个系统最后理想的放大倍数）。然后通过估计
出(())F x t 的值（查表法），最后再通过数据拟合的方法得到预失真的模型。
对于目标误差函数，因为题目中没有给出无失真的数据，因此在本文中，可以通过比较?()((()))z t G F x t =和()()z t g x t =，
从而得到最优的预失真模型。即设定目标误差函数21?min |()(
)|N
n GE z t z t ==-∑。 最后将得到的预失真和功放的联合模型用NMSE 评价预失真补偿的结果。 4.2.2模型建立
在该问题中，最重要的就是要使得整个系统呈线性，保证输入与输出数据呈线性关系，也就是要保证
((()))()G F x t g x t = （4-6）
其中：()G ?是功放的输入-输出传输特性；
()F ?是预失真器的特性；
g 是整个系统理想的放大倍数；
()x t 为功放的输入值。
由式（4-6），可以看出预失真器也是非线性的，因此同样可以将预失真器
的线性模型设为
0()()K
k k k f t a x t ==∑ [0,]t T
∈ （4-7） 根据（4-7），预失真器模型的离散多项式为
2120()()()()()K
k K k K k f n a x n a x n a x n a x n ===++
+∑ 0,1,2,,n N = （4-8）
其中：()f n 为预失真器的输出； ()x n 为预失真器的输入； k a 为第k 阶的系数；
K 为非线性的阶数（即多项式的次数）； N 为离散采样值的个数。
式（4-8）写成矩阵的形式为
1
2
()T
N F XA X X X X ??
=?=??
（4-9） 其中：i X 表示用于第i 个时刻的建模输入向量，02
()i i
i i K i X x x x x =；
A 是（1K +）个系数构成的纵向量，01
()T k A a a a =； Z 共有N 个时刻的输出，即((1)(2)
())T Z z z z N =
除此之外，要有“输出幅度限制”，即() 1.0553f n ≤。“功率最大化”约束就是要使得预失真之后的输出要尽可能的大，即()f n 尽可能大。
由上述两个约束条件，可以知道在预失真最大输入为1.0553情况下，此时
为了保证预失真输出尽可能大，此刻的输出为 1.0553，经过PA 放大最多为1.9275，此时的放大倍数 1.8265g =，因此，在保证线性化原则以及两个约束条件的前提下，最大可能的放大倍数 1.8265g =。
对于目标误差函数的选择可以采用最小差平方来评判，即
21?min |()(
)|N
n GE z n z n ==-∑ （4-10） 其中，()z n 为整个系统的理想输出，()()z n g x n =； ?()z n 为所建模型的输出，即?()((()))z n G F x n =。 目标误差函数GE 值越小，吻合程度越好。 4.2.3模型求解
在该题中，题目没有直接给出预失真器的输出值，首先需要计算出对应于输入()x n 的预失真输出值()f n ，然后再通过数据拟合的方法计算出预失真器的系数矩阵A 。
对于()f n 值的计算，主要采用查表的方法。首先将PA 的输入—输出特性关系用确切的数值表示出，按顺序将其存入.mat 文件中，因此输入的精度应尽可能高。然后根据线性原则(())()G F n g x n =得到每个输入()x n 得到整个系统后的输出值()g x n ，通过查表找出与()g x n 最为接近的值，通过此时存储值的位置来确定()F n 值。
具体的求解步骤如下：
Step1：将输入()x n 在[0,1.0553]范围内每隔0.0001取值，用无记忆功放的非线性特性的模型计算出相对应的输出，按顺序存放于.mat 文件中（比如输入为0.0001，则结果存储在第1格中）；
Step2：通过线性准则得出当输入为()x n 时，输出为()g x n （ 1.8265g =），在.mat 文件中找出与()g x n 最接近的值，然后根据具体位置除以10000即可，当输入为0时，输出也为0；
Step3：找出与输入()x n 相对应的预失真输出()F n 后，用polyfit 函数即可拟合出预失真器的非线性模型。
Step4：通过目标误差函数GE 可以得出最优的非线性阶数，目标误差函数越小，阶数为最优。
根据上述的算法思路，可以得到当 1.8265g =时，得到的目标误差函数与阶数K 的关系图，如4-3所示。
0.1
0.2
0.3
0.4
0.50.6
0.7
阶数k
目标误差函数G E
图4-3 阶数K 与GE 的关系图
如图4-3所示，当12K 时，GE 最小，值为0.0011。此时的系数矩阵
A=[918.8,-4644,9910.2,-11509,7747.8,-2883,413.87,79.46,-37.44,4.05,-0.016,0.6,0]
在此模型下，预失真器输入—输出的幅度图如5-4，包含拟合的数据?()f n 与原数据()g x n 。
|x(n)|
|z (n )|
图4-4 预失真器的输入—输出幅度图
由图4-4可以看出拟合的数据?()f n 与原数据()g x n 两者拟合的程度很好。
|x(n)|
|z (n )|
图4-5 整个系统的输入—输出的幅度
如图4-5，可以看出整个系统的理想输出()g x n 和实际输出值两者有很好的重合效果，因此预失真器和功放组成的联合模型仍能保持线性，说明加入预失真器，可以保证整个系统无失真。因为当30NMSE dB <-时，就可判定精度
为优，此时，预失真补偿之后的-50.87730dB d M B N SE <-=，因此整体联合模型的线性效果很好，因此预失真的补偿效果比较可靠。
4.3 有记忆功放模型的建立和求解 4.3.1问题分析
该问题是建立有记忆功放的非线性数学模型，从而根据该模型来建立预失真模型，使输出与输入呈线性。
该问题的某一时刻的输出不仅与此时刻的输入有关，而且与此前某一时间段的输入有关，因此此时所建立的非线性模型必须含有延迟项，可以在问题一中A 题的基础上来建立模型，只需要增加记忆效应。因此在该题中，有非线性的阶数和记忆深度这两个参数需要确定，用NMSE 的值来决定所采用的阶数和记忆深度。
在该题中，输出数据与输入数据不仅在幅度上失真，在相位上也同样失真，此时，不能像问题一中的A 题一样只考虑幅度值，因此在该题中，直接对复数进行处理。因为该问题中还要考虑记忆深度的问题，所以用矩阵来表示有记忆功放的非线性模型，这样就可以直接对矩阵进行运算即可。
4.3.2模型建立
该问题针对的是有记忆功放的非线性模型，因此在某一时刻的输出不仅与此时刻的输入有关，而且与此前某一时间段的输入有关，因此此时所建立的非线性模型必须含有延迟项，可以在问题一中A 题的基础上来建立模型，只需要增加记忆效应。这时对式（4-2）增加记忆效应，可以写成
10111102222021201()()()(1)...()
()(1)...()...
......
()(1)...()
K
M
k km M k m M K K K K K KM z n h x n m h x n h x n h x n M h x n h x n h x n M h x n h x n h x n M ===-=+-++-++-++-++++-++-∑∑
0,1,2,,n N = （4-11）
其中：()z n 为离散采样后功率放大器的输出信号；
()x n 为离散采样后功率放大器的输入信号；
K 为非线性的阶数（即多项式的次数）； km h 为第k 阶、延迟m 的系数；
M 为记忆深度；
N 为离散采样值的个数。
为了便于计算，可以将式（4-11）改写成“和记忆多项式”模型
110()()|()|K
M
k km k m z n h x n m x n m -===--∑∑ 0,1,2,,n N = （4-12）
为了计算各次幂系数km h ，对于共有N 个时刻的输入输出关系，也可以将式（5-12）改写成矩阵的形式
1
2
()T
N Z XH X X X X ??
=?=??
（4-13） 其中：i X 表示用于第i 个时刻的建模输入向量，且
1
1
1
1
11(||
||||
)
i i
i i m
k k K i i i i i m i m X x x x x x x x x x ---------=；
H 是(1)M K +个系数构成的纵向量，
1011101
()T M K K KM H h h h h h h =；
Z 共有N 个时刻的输出，即((1)(2)())T Z z z z N =
这时，通过NMSE 评价，得到系数矩阵H 的最优值
1()H H H X X X Z -= （4-14） 其中，H X 是矩阵的共轭转置； 1()-?是矩阵的逆。 4.3.3模型求解
在该问题中，由于数据量较大，因此在计算系数时，采用的是式（4-14）
来计算，直接通过矩阵的逆和共轭转置来求得系数矩阵H 。在求解的过程中通过取不同的阶数K 和记忆深度M 来找出相应的NMSE 值，从而相比较得出较优的系数矩阵H 、阶数K 和记忆深度M 。具体求解步骤如下：
Step1：构造如式（4-14）的矩阵X 以及系数矩阵H ； Step2：取不同的阶数K 和记忆深度M ，根据式（4-14）来计算系数矩阵H ； Step3：求出Step2中相对应的NMSE 值；
Step4：比较NMSE 值，从而选取较优的阶数K 和记忆深度M 。
根据上述的算法思路，可以得到不同的NMSE （dB ）值，具体如表4-1所
表4-1 不同阶数和记忆深度时值
如表4-1所示，纵向观察，当5K =时，NMSE 不再有显著改变；横向观察，当4M =时，NMSE 也不再有显著改变，因此可以取非线性的阶数5K =，记忆深度4M =，此时的系数矩阵为
14.3 - 3.2i,-22.7 + 6.25i,28.29 - 8.2i,-12 + 4.23i,9.77 + 5.3i,-1.57 - 0.5i,
4.99 + 1.68i,-2.68 - 0.3i,-17.33 - 12.39i,4.65 + 3.36i,-9.97 - 6.05i,
5.61 + 2.14i,7.67 + 8.2i,-2.59 - 3.58i,
6.29+ 5.,-[54i H = 3.7 - 2.31i] 在此情况下，44.383039NMSE dB dB <-=-，可以看出此时的吻合程度很好，因此在阶数5K =，记忆深度4M =，系数矩阵为上述H 时，所建有记忆功放的非线性模型准确度较好。
4.4 有记忆功放的预失真模型的建立和求解 4.4.1 问题分析
对于预失真器模型的建立问题，最主要的是要保证预失真器和PA 功放的联合模型最后的输出与输入保持线性关系，在此基础上，还要有“输出幅度限制”和“功率最大化”的约束条件，这时再求解预失真器的非线性模型。
要保证信号的无失真，即信号的线性放大，预失真器的特性应与PA 功放的特性相反，即假设功放的输入为X ，输出为Z ，那么预失真器应当满足输入为Z ，而此时输出应为X ，但是因为整个系统是需要有一定放大系数g ，因此可以将预失真器的输入修改为/Z g ，输出为X 。再用有记忆功放中矩阵求解的方法来求解预失真器的系数矩阵A 。
预失真模型的实现示意图就是将上述的假设用框图更为形象地说明。最后再用NMSE 来评价所得到的预失真器的模型即可。
4.4.2 模型建立
要使得预失真器和功放的联合模型是线性模型，预失真器的特性应与PA 功放的特性相反，即若输入为X ，输出为Z ，那么预失真器应当满足输入为Z ，而此时输出应为X ，但是因为整个系统是需要有一定放大系数g ，因此可以将预失真器的输入修改为/Z g ，输出为X 。如图4-6 所示，
()z n
图4-6 系统的等效模型图
根据图4-6，可以将预失真器模型实现的示意图定为如图4-7。
图4-7 预失真器的预失真器模型实现的示意图
在图4-7 中， z(n)表示无预失真功放输出，除以g 值之后作为预失真器A 的输入()u n ，无预失真功放输入作为预失真器A 的输出()v n ，这样可以估算出预失真器模型参数，然后将这些参数送给预失真器B 。将无预失真功放输入作为预失真器B 的输入()x n ,然后分别可以求出()y n 和?()z n ，然后通过求z(n)和
?()z n 的NMSE 来评价结果吻合度，和预失真器A 系数计算精度。
这里假设预失真的阶数以及记忆深度均与功放的相同，即阶数4K =，记忆深度3M =，则预失真器的非线性模型可以表示为
1
2
()T
N Y XA X X X X ??
=?=??
（4-15） 其中：i X 表示用于第i 个时刻的建模输入向量，且
1
3
3
3
3
11(||||
||)
i i
i i i i i i i m i m X x x x x x x x x x ------=；
H 是(1)M K +个系数构成的纵向量，
1011134041
43()T A a a a a a a =；
Y 共有N 个时刻的输出，即((1)(2)())T Y y y y N =
这时，通过NMSE 评价，得到系数矩阵H 的最优值
1()H H A X X X Y -= （4-16）
其中，H
X是矩阵的共轭转置；
1
()-
?是矩阵的逆。
对于预失真器的输入值根据图4-6，即是原来功放输出的1
g
，而输出即是
原功放的输入值。此时根据式（4-16）可求出系数矩阵A。
对于g的估计，在满足“输出幅度限制”条件下，为了保证功放输出“功
率最大化”，预失真处理后的输出幅度需尽可能高，这样预失真器输入值也需尽可能高，这样输出值才会大，所以这里我们在评估最大功放倍数的时候，选取的输入点模值大于0.6。
一般情况下，g值的计算是通过功放输出的最大值与输入信号的最大值比值来完成的，所以这里我们就用筛选出来的值来评估g值。通过matlab仿真，得出9
g=左右。
4.4.3 模型求解
在该问题中，用()/
z n g来表示预失真器的输入，将原功放的输入值作为预失真器的输出，这时就已知预失真器的输入和输出，就可以通过式4- ，求解出系数矩阵A。具体的求解步骤如下：
Step1：根据题目所给的功放的输出值计算出()/
z n g；
Step2：用式（4-）计算出系数矩阵A；
Step3：通过所得的预失真模型和功放模型所组成的联合模型，求得输入信号()
x n经过整个系统的真实输出值；
Step4：将真实输出值和理想输出值()
g x n相比较得出NMSE值。
根据上述的算法思路，得到不同放大倍数g时的NMSE值，见表4-。
表4-2不同放大倍数g时的NMSE值
由表4-2可知，在8
g=时，所得到的NMSE值最小，因此在该题中取8
g=，此时的19.0058
NMSE dB
=-，与上文中的NMSE有一定的差距，可以通过改变阶数K和记忆深度M来使得NMSE的值降低即可。系数矩阵
0.63 + 0.44i,1.27 - 0.98i,-1.7 + 1.13i,0.77 - 0.5i,-0.59 - 0.43i,
-0.077 + 0.06i,-0.058 - 0.1i,0.13+ 0.02i,0.99 + 0.6i,-0.56 + 0.16i,
0.87 - 0.08i,-0.59 + 0.044i,-0.42 - 0.22i,0.53 - 0.23i,-0.8 .1[+ 0A 6i,0.5 - 0.05]此时，整个联合模型的输入—输出的关系如图4-8所示。
-0.8
-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
|x(n)|
|y (n )|
图4-8 整个联合模型的输入-输出的关系图
如图4-8，因为数据过多的缘故，整个图形比较粗，但是仍能看出输入—输出的关系呈现线性。
4.5 拓展研究 4.
5.1 问题分析
该问题是要用图形的方式表示出输入信号、有无预失真补偿三类信号的功率谱密度，然后用ACPR 对结果进行分析评价，分析预失真对由于非线性效应产生的带外失真的影响。
由于自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换对，所以该题首先计算信号的自相关函数，然后通过傅里叶变换从而得到功率谱密度。之后再通过观察所作出的频谱图可以得出传输信道带宽范围，即12[,]f f 和23[,]f f ，这样再对功率谱密度积分求得功率，从而计算出ACPR 。而ACPR 是衡量非线性效应对林信道信号的影响程度，因此可以预失真器的效果进行分析评价。
4.5.2问题求解 在该题中，需要求解
3221
10
()10log ()f f f f s f df ACPR s f df
=??
（4-17）
其中：()s f 为信号的功率谱密度函数；
12[,]f f 为传输信道， 23[,]f f 为相邻信道。
由于自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换对，因此求信号的功率谱
密度，可以先求信号的自相关函数，然后再通过自相关函数求解功率谱密度。
本文的数据都是离散采样的，因此自相关函数同样为离散的，自相关函数为
1
()[()()]lim ()()21N
x N n N
R m E x n x n m x n x n m N →∞=-=+=++∑ （4-18） 其中：()x R m 为()x n 的自相关函数； []E 为求均值； 因此，所得的功率谱密度为
()()(())j j m x x x M s e R m e DTFT R m ω
ω∞
=-∞
=
=∑
（4-19） 其中：()DTFT 为求离散时间傅里叶变换。
算法思路为：
Step1：根据式（4-18）计算出输入信号、有无预失真补偿三类信号的自相关函数；
Step2：对自相关值作傅里叶变换（作完自相关之后为原来的两倍，因此在matlab 中的FFT 点数选取为182），即功率谱密度；
Step3：作出三类信号的功率谱密度；
Step4：计算三类信号的ACPR 值。
根据上述的算法，所得的三类信号的功率谱密度图4-9，4-10，4-11。
全国数学建模竞赛一等奖论文
交巡警服务平台的设置与调度 摘要 由于警务资源有限，需要根据城市的实际情况与需求建立数学模型来合理地确定交巡警服务平台数目与位置、分配各平台的管辖范围、调度警务资源。设置平台的基本原则是尽量使平台出警次数均衡，缩短出警时间。用出警次数标准差衡量其均衡性，平台与节点的最短路衡量出警时间。 对问题一，首先以出警时间最短和出警次数尽量均衡为约束条件，利用无向图上任意两点最短路径模型得到平台管辖范围，并运用上下界网络流模型优化解,得到A区平台管辖范围分配方案。发现有6个路口不能在3分钟内被任意平台到达，最长出警时间为5.7分钟。 其次，利用二分图的完美匹配模型得出20个平台封锁13个路口的最佳调度方案，要完全封锁13个路口最快需要8.0分钟。 最后，以平台出警次数均衡和出警时间长短为指标对方案优劣进行评价。建立基于不同权重的平台调整评价模型，以对出警次数均衡的权重u和对最远出警距离的权重v 为参数，得到最优的增加平台方案。此模型可根据实际需求任意设定权重参数和平台增数，由此得到增加的平台位置，权重参数可反映不同的实际情况和需求。如确定增加4个平台，令u=0.6，v=0.4，则增加的平台位置位于21、27、46、64号节点处。 对问题二，首先利用各区平台出警次数的标准差和各区节点的超距比例分析评价六区现有方案的合理性，利用模糊加权分析模型以城区的面积、人口、总发案次数为因素来确定平台增加或改变数目。得出B、C区各需改变2个平台的位置，新方案与现状比较，表明新方案比现状更合理。D、E、F区分别需新增4、2、2个平台。利用问题一的基于不同权重的平台调整评价模型确定改变或新增平台的位置。 其次，先利用二分图的完美匹配模型给出80个平台对17个出入口的最优围堵方案，最长出警时间12.7分钟。在保证能够成功围堵的前提下，若考虑节省警力资源，分析全市六区交通网络与平台设置的特点，我们给出了分阶段围堵方案，方案由三阶段构成。最多需调动三组警力，前后总共需要29.2分钟可将全市路口完全封锁。此方案在保证成功围堵嫌疑人的前提下，若在前面阶段堵到罪犯，则可以减少警力资源调度，节省资源。 【关键字】：不同权重的平台调整评价模糊加权分析最短路二分图匹配
数学建模优秀论文设计模版
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则 的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
题目（黑体不加粗三号居中） 摘要（黑体不加粗四号居中） （摘要正文小4号，写法如下） （第1段）首先简要叙述所给问题的意义和要求，并分别分析每个小问题的特点（以下以三个问题为例）。根据这些特点对问题 1 用······的方法解决；对问题 2 用······的方法解决；对问题3 用······的方法解决。 （第2段）对于问题1，用······数学中的······首先建立了······ 模型I。在对······模型改进的基础上建立了······模型II。对模型进行了合理的理论证明和推导，所给出的理论证明结果大约为······，然后借助于······数学算法和······软件，对附件中所提供的数据进行了筛选，去除异常数据,对残缺数据进行适当补充,并从中随机抽取了3 组数据（每组8 个采样）对理论结果进行了数据模拟，结果显示，理论结果与数据模拟结果吻合。（方法、软件、结果都必须清晰描述，可以独立成段，不建议使用表格） （第3段）对于问题2用······ （第4段）对于问题3用······ 如果题目单问题，则至少要给出2种模型，分别给出模型的名称、思想、软 件、结果、亮点详细说明。并且一定要在摘要对两个或两个以上模型进行比较， 优势较大的放后面，这两个（模型）一定要有具体结果。 （第5段）如果在……条件下，模型可以进行适当修改，这种条件的改变可能来自你的一种猜想或建议。要注意合理性。此推广模型可以不深入研究，也可以没有具体结果。 关键词：本文使用到的模型名称、方法名称、特别是亮点一定要在关键字里出现，5~7个较合适。 注：字数700-1000 之间；摘要中必须将具体方法、结果写出来；摘要写满几乎 一页，不要超过一页。摘要是重中之重，必须严格执行！。 页码：1（底居中）
数学建模比赛论文格式要求
比赛论文格式要求： 1、论文用白色A4纸打印，上下左右各留出2.5厘米的页边距。 2、论文第一页为泉州师范学院大学生数学建模竞赛承诺书，具体内容和格式见附件1，参赛队必须在竞赛承诺书上签名。 3、论文题目和摘要写在论文第二页上，从第三页开始是论文正文。 4、论文从第二页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。 5、论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 6、论文题目用3号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小4号黑色宋体字，行距用单倍行距。图形应绘制在文中相应的位置，比例适当。 7、提醒大家注意：摘要在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写摘要（最好在300字以内，注意篇幅不能超过一页）。评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 8、引用别人的成果或其他公开的资料 (包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出：（1）参考书籍的表述方式为： [编号] 作者，书名，出版地，出版社，出版年。 （2）参考期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号，起止页码，出版年。 （3）参考网上查到的资料的表达方式： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 比赛流程： 参赛队伍利用2013.5.11到2013.5.13三天的时间利用所学的知识解决实际问题，由老师根据参赛队伍提交的论文，根据评奖标准评选出一等奖、二等奖、三等奖，评出的优秀队伍将送去参加全国性的比赛。注意：比赛规则与赛场纪律： 1、每个参赛队队员不得超过三名，参赛队队员应是具有泉州师范学院正式学籍的本、专科生，参赛队允许参赛队员跨年级跨专业跨学院组成，三人之间分工明确、协作完成。比赛期间参赛队不得任意换人，若有参赛队队员因特殊原因退出，则缺人比赛。 2、教师可以从事赛前辅导及有关组织工作，但在比赛期间不得以任何形式对参赛队员进行指导或参与讨论。 3、比赛以相对集中的形式进行，比赛期间，参赛队队员可以利
2013全国数学建模大赛a题优秀论文
车道被占用对城市道路通行能力的影响 摘要 随着城市化进程加快，城市车辆数的增加，致使道路的占用现象日益严重，同时也导致了更多交通事故的发生。而交通事故发生过程中，路边停车、占道施工、交通流密增大等因素直接导致车道被占用，进而影响了城市道路的通行能力。本文在视频提供的背景下通过数据采集，利用数据插值拟合、差异对比、车流波动理论等对这一影响进行了分析，具体如下： 针对问题一，首先根据视频1中交通事故前后道路通行情况的变化过程运用物理观察测量类比法、数学控制变量法提取描述变量（如事故横断面处的车流量、车流速度以及车流密度）的数据，从而通过研究各变量的变化，来分析其对通行能力的影响。而视频1中有一些时间断层，我们可根据现有的数据先用统计回归对各变量数据插值后再进行拟合，拟合过程中利用残差计算值的大小来选择较好的模型来反应各变量与事故持续时间的关系，进而更好地说明事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程。 针对问题二：沿用问题一中的方法，对视频2中影响通行能力的各个变量进行数据采集，同样使用matlab对时间断层处进行插值拟合处理，再将所得到的的变化图像与题一中各变量的变化趋势进行对比分析，其中考虑到两视频的时间段与两视频的事故时长不同，从而采用多种对比方式（如以事故发生前、中、后三时段比较差值、以事故相同持续时间进行对比、以整个事故时间段按比例分配时间进行对比）来更好地说明这一差异。由于小区口的位置不同、时间段是否处于车流高峰期以及1、2、3道车流比例不同等因素的影响，采用不同的数据采集方式使采集的变量数据的实用性更强，从而最后得到视频1中的道路被占用影响程度高于视频2中的影响程度，再者从差异图像的变化波动中得到验证，使其合理性更强。 针对问题三：运用问题1、2中三个变量与持续时间的关系作为纽带，再根据附件5中的信号相位确定出车流量的测量周期为一分钟，测量出上游车流量随时间的变化情况，而事故横断面实际通行能力与持续时间的关系已在1、2问中由拟合得到，所以再根据波动理论预测道路异常下车辆长度模型的结论，结合采集数据得到的函数关系建立数学模型，最后得出事故发生后，车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间以及路段上游车流量这三者之间的关系式。 针对问题四：在问题3建立的模型下，利用问题4中提供的变量数据推导出其它相关变量值，然后代入模型，估算出时间长度，以此检验模型的操作性及可靠性。 关键词：通行能力车流波动理论车流量车流速度车流密度
全国大学生数学建模竞赛论文模板
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填 写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的 话）： 所属学校（请填写完整的全 名）： 参赛队员 (打印并签名) ： 1. 2.
3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：指导教师组 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 论文标题 摘要 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。 一般说来，摘要应包含以下五个方面的内容： ①研究的主要问题； ②建立的什么模型； ③用的什么求解方法； ④主要结果（简单、主要的）； ⑤自我评价和推广。
摘要中不要有关键字和数学表达式。 数学建模竞赛章程规定，对竞赛论文的评价应以： ①假设的合理性 ②建模的创造性 ③结果的正确性 ④文字表述的清晰性 为主要标准。 所以论文中应努力反映出这些特点。 注意：整个版式要完全按照《全国大学生数学建模竞赛论文格式规范》的要求书写，否则无法送全国评奖。 一、问题的重述 数学建模竞赛要求解决给定的问题，所以一般应以“问题的重述”开始。 此部分的目的是要吸引读者读下去，所以文字不可冗长，内容选择不要过于分散、琐碎，措辞要精练。 这部分的内容是将原问题进行整理，将已知和问题明确化即可。 注意： 在写这部分的内容时，绝对不可照抄原题！
数学建模论文格式官方要求
二、论文格式规范 (一)“论文首页”编写 竞赛论文首页为“编号页”，只包含队号、队员姓名、学校名信息，第二页起为摘要页和正文页。参赛队有关信息不得出现于首页以外的任何一页，包括摘要页，否则视为违规。 (二)“论文摘要页”编写 竞赛使用“统一摘要面”。为了保证评审质量，提请参赛研究生注意摘要一定要将论文创新点、主要想法、做法、结果、分析结论表达清楚，如果一页纸不够，摘要可以写成两页。
(三)“论文文本”要求————“全国研究生数学建模竞赛论文 格式规范” ●每个参赛队可以从A、B、C、D、E题中任选一题完成论文。（赛题类型以 比赛下载为准） ●论文用白色A4版面；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距;从左侧装订。 ●论文题目和摘要写在论文封面上，封面页的下一页开始论文正文。 ●论文从编号页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从 “1 ”开始连续编号。 ●论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ●论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中。论文中其他汉字 一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距。程序执行文件，和源程序一起附在电子版论文中以备检查。 ●请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），请认真 书写（注意篇幅一般不超过两页，且无需译成英文）。全国评阅时对摘要和论文都会审阅。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上甚至在“博客”上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 全国研究生数学建模竞赛评审委员会 2011年9月20日修订
数学建模国家一等奖优秀论文
２01４高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。 我们参赛选择的题号是(从Ａ/B/C/Ｄ中选择一项填写)：B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）: 所属学校（请填写完整的全名)： 参赛队员(打印并签名) :1. 2． 3．
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名): ?（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致,只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。) 日期： 20１4 年 9 月15日 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号）:
２０14高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用）：
全国大学生数学建模竞赛论文格式规范.doc
全国大学生数学建模竞赛论文格式规范 （全国大学生数学建模竞赛组委会，2019年修订稿） 为了保证竞赛的公平、公正性，便于竞赛活动的标准化管理，根据评阅工作的实际需要，竞赛要求参赛队分别提交纸质版和电子版论文，特制定本规范。 一、纸质版论文格式规范 第一条，论文用白色A4纸打印(单面、双面均可)；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。 第二条，论文第一页为承诺书，第二页为编号专用页，具体内容见本规范第3、4页。 第三条，论文第三页为摘要专用页（含标题和关键词，但不需要翻译成英文），从此页开始编写页码；页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。摘要专用页必须单独一页，且篇幅不能超过一页。 第四条，从第四页开始是论文正文（不要目录，尽量控制在20页以内）；正文之后是论文附录（页数不限）。 第五条，论文附录至少应包括参赛论文的所有源程序代码，如实际使用的软件名称、命令和编写的全部可运行的源程序（含EXCEL、SPSS等软件的交互命令）；通常还应包括自主查阅使用的数据等资料。赛题中提供的数据不要放在附录。如果缺少必要的源程序或程序不能运行（或者运行结果与正文不符），可能会被取消评奖资格。论文附录必须打印装订在论文纸质版中。如果确实没有源程序，也应在论文附录中明确说明“本论文没有源程序”。 第六条，论文正文和附录不能有任何可能显示答题人身份和所在学校及赛区的信息。 第七条，引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上资料)必须按照科技论文写作的规范格式列出参考文献，并在正文引用处予以标注。 第八条，本规范中未作规定的，如排版格式（字号、字体、行距、颜色等）不做统一要求，可由赛区自行决定。在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求。 二、电子版论文格式规范 第九条，参赛队应按照《全国大学生数学建模竞赛报名和参赛须知》的要求提交以
全国大学生数学建模竞赛论文格式规范
全国大学生数学建模竞赛论文格式规范 ●本科组参赛队从A、B题中任选一题，专科组参赛队从C、D题中任选一题。（全国 评奖时，每个组别一、二等奖的总名额按每道题参赛队数的比例分配；但全国一等奖名额的一半将平均分配给本组别的每道题，另一半按每道题参赛队比例分配。） ●论文用白色A4纸单面打印；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。 ●论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第二页。 ●论文第二页为编号专用页，用于赛区和全国评阅前后对论文进行编号，具体内容和 格式见本规范第三页。 ●论文题目、摘要和关键词写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文，不要目录。 ●论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开 始连续编号。 ●论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ●论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中；二级、三级标题用小四 号黑体字，左端对齐（不居中）。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距。打印文字内容时，应尽量避免彩色打印（必要的彩色图形、图表除外）。 ●提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文 评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。 全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 ●论文应该思路清晰，表达简洁（正文尽量控制在20页以内，附录页数不限）。 ●在论文纸质版附录中，应给出参赛者实际使用的软件名称、命令和编写的全部计算 机源程序（若有的话）。同时，所有源程序文件必须放入论文电子版中备查。论文及程序电子版压缩在一个文件中，一般不要超过20MB，且应与纸质版同时提交。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文 献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为： ●[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 ●参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： ●[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 ●参考文献中网上资源的表述方式为： ●[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 ●在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求（如在本规范要求的第 一页前增加其他页和其他信息，或在论文的最后增加空白页等）；从承诺书开始到论文正文结束前，各赛区不得有本规范外的其他要求（否则一律无效）。 ●本规范的解释权属于全国大学生数学建模竞赛组委会。
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优化和评价的收费亭的数量 景区简介 由於公路出来的第一千九百三十，至今发展十分迅速在全世界逐渐成为骨架的运输系统，以其高速度，承载能力大，运输成本低，具有吸引力的旅游方便，减少交通堵塞。以下的快速传播的公路，相应的管理收费站设置支付和公路条件的改善公路和收费广场。 然而，随着越来越多的人口密度和产业基地，公路如花园州公园大道的经验严重交通挤塞收费广场在高峰时间。事实上，这是共同经历长时间的延误甚至在非赶这两小时收费广场。 在进入收费广场的车流量，球迷的较大的收费亭的数量，而当离开收费广场，川流不息的车辆需挤缩到的车道数的数量相等的车道收费广场前。因此，当交通繁忙时，拥堵现象发生在从收费广场。当交通非常拥挤，阻塞也会在进入收费广场因为所需要的时间为每个车辆付通行费。 因此，这是可取的，以尽量减少车辆烦恼限制数额收费广场引起的交通混乱。良好的设计，这些系统可以产生重大影响的有效利用的基础设施，并有助于提高居民的生活水平。通常，一个更大的收费亭的数量提供的数量比进入收费广场的道路。 事实上，高速公路收费广场和停车场出入口广场构成了一个独特的类型的运输系统，需要具体分析时，试图了解他们的工作和他们之间的互动与其他巷道组成部分。一方面，这些设施是一个最有效的手段收集用户收费或者停车服务或对道路，桥梁，隧道。另一方面，收费广场产生不利影响的吞吐量或设施的服务能力。收费广场的不利影响是特别明显时，通常是重交通。 其目标模式是保证收费广场可以处理交通流没有任何问题。车辆安全通行费广场也是一个重要的问题，如无障碍的收费广场。封锁交通流应尽量避免。 模型的目标是确定最优的收费亭的数量的基础上进行合理的优化准则。 主要原因是拥挤的
数学建模竞赛论文模板
数码相机定位模型（题目） 摘要 此处为摘要正文 一定要写好。主要写三个方面： 1. 解决什么问题（一句话） 2. 采取什么方法（引起阅卷老师的注意，不能太粗，也不能太细） 3. 得到什么结果（简明扼要、生动、公式要简单、必要时可采用小图表） 关键词：差分近似，误差补偿算法，Simpson积分公式3-5关键词即可
目录 1.问题重述..........................................................................................................................错误！未定义书签。 2.模型假设..........................................................................................................................错误！未定义书签。 3.符号说明..........................................................................................................................错误！未定义书签。…………………………… 说明：目录页可以没有，如果内容比较多，可以有目录页
一问题重述 二问题分析 三模型假定 四问题分析 五模型建立与求解
六模型检验 七模型评价 八模型推广结合社会实际问题
九参考文献 [1] 吕显瑞等,数学建模竞赛辅导教材,长春：吉林大学出版社,2002。 [2] 刘来福,曾文艺,数学模型与数学建模北京：北京师范大学出版社，1997。 [3] 陈如栋,于延荣,数学模型与数学建模，北京：国防工业出版社,2006。 [4] 姜启源,谢金星,叶俊,数学模型（第三版），北京：高等教育出版社,2003。 [5] 梁炼，数学建模。华东理工大学大学出版社 2005.3。 [6] 周义仓，赫孝良，西安交通大学出版社，1998.8。 [7] 邓俊辉译,计算几何-算法与应用（第二版）北京：清华大学出版社，2005.9。 [8] 刘卫国，MATLAB程序设计教程，北京：中国水电水利出版社,2005。 [9] 熊慧,论人口预测对上海市未来十年人口总数的预测,人口研究,28(1):88-90,2003。 [10] 2003年国民经济和社会发展统计公报，https://www.360docs.net/doc/802317619.html,。2008年9月20日。
华南师范大学数学建模竞赛论文格式规范
华南师范大学数学建模竞赛论文格式规范 ●参赛队从A、B题中任选一题，在组委会公布的比赛时间内完成一篇论 文。 ●论文（答卷）用白色A4纸单面打印，上下左右各留出至少2.5厘米的 页边距。 ●论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第三页。 ●论文第二页为编号专用页，用于评阅前后对论文进行编号，具体内容和 格式见本规范第四页。 ●论文题目和摘要写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文。 ●论文（从论文题目和摘要那一页开始，直到附录结束）每一页的顶部都 需要有参赛队的参赛报名号以及页码。我们建议在每页上使用页眉，例如： 参赛报名号 # 321 第 1 页 共 20 页 ●论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中。论文中其他 汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。 ●摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文评阅 中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，不应该包含图表，且无需译成英文）。评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规 定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 ●必须以附录的形式提供论文中所用到的程序的全部源代码。计算结果和 相关的图表如果篇幅过长，也可以放入附录。 ●参赛队按组委会的规定提交的论文电子版，必须与打印版一致。承诺书 和编号专用页为第一个Word文件，以“承诺书”加参赛报名号为文件名，例如： 承诺书
2014年数学建模国家一等奖优秀论文设计
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参 赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等） 与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或 其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出。 我们重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违 反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3.
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 9 月 15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
数学建模竞赛论文格式规范和规则
东北大学数学建模竞赛论文格式规范和规则 参赛队从A、B题中任选一题。 １.论文用白色A4纸单面打印；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。２.论文的第一页为封面页（本文档最后一页），根据中心安排的参赛编号填写参赛编号和选择题目，保留你选择的题目前的√号即可。 ３.论文题目和摘要写在论文第二页上，从第三页开始是论文正文。 ４.论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。 ５.论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ６.论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。 ７.提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 ８.引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。解答过程中使用的数据不得引用文献类型（１）（２）（３）（４）中出现的数据，引用数据必须表明出处。 各类文献的表述格式如下（其它类型文献不得引用）： （1）专著格式： 序号. 编著者1，编著者2，编著者3等. 书名[M]. 出版地：出版社，年代：页码. （2）期刊论文格式： 序号. 编著者1，编著者2，编著者3等. 论文名称[J]. 期刊名称，年度，卷（期）：起止页码. （3）会议论文格式： 序号. 编著者1，编著者2，编著者3等. 论文名称[C]//会议名称，会议举办地，年度，起止页码. （4）学位论文格式： 序号. 编著者1，编著者2，编著者3等. 学位论文名称[D]. 发表地：学位授予单位，年度：页码. （5）电子文献格式： 序号. 作者. 电子文献题名(电子文献及载体类型标识). 电子文献的出处或可获得地址,发表或更新日期/引用日期。只考虑两种电子文献： ［DB/OL］—联机网上数据库(database online) ［EB/OL］—网上电子公告(electronic bulletin board online) 样例： [1]Peitgen H O, Jurgens H, Saupe D. Chaos and fractals[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1992:202-213. [2]Zhao Shi, Wang Yi-ding, Wang Yun-hong. Extracting hand vein patterns from low-quality images: a new biometric technique using low-cost devices[C]// Fourth International Conference on Image and Graphics. Sichuan, 2007:667-671.
全国大学生数学建模竞赛论文模板
论文标题 摘要 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。 一般说来，摘要应包含以下五个方面的内容： ①研究的主要问题； ②建立的什么模型； ③用的什么求解方法； ④主要结果（简单、主要的）； ⑤自我评价和推广。 摘要中不要有关键字和数学表达式。 数学建模竞赛章程规定，对竞赛论文的评价应以： ①假设的合理性 ②建模的创造性 ③结果的正确性 ④文字表述的清晰性为主要标准。 所以论文中应努力反映出这些特点。
一、 问题的重述 数学建模竞赛要求解决给定的问题，所以一般应以“问题的重述”开始。 此部分的目的是要吸引读者读下去，所以文字不可冗长，内容选择不要过于分散、琐碎，措辞要精练。 这部分的内容是将原问题进行整理，将已知和问题明确化即可。 注意： 在写这部分的内容时，绝对不可照抄原题！ 应为：在仔细理解了问题的基础上，用自己的语言重新将问题描述一篇。应尽量简短，没有必要像原题一样面面俱到。 二、 模型假设 作假设时需要注意的问题： ①为问题有帮助的所有假设都应该在此出现，包括题目中给出的假设！ ②重述不能代替假设！ 也就是说，虽然你可能在你的问题重述中已经叙述了某个假设，但在这里仍然要再次叙述！ ③与题目无关的假设，就不必在此写出了。 三、 变量说明 为了使读者能更充分的理解你所做的工作， 对你的模型中所用到的变量，应一一加以说明，变量的输入必须使用公式编辑器。 注意： ①变量说明要全 即是说，在后面模型建立模型求解过程中使用到的所有变量，都应该在此加以说明。 ②要与数学中的习惯相符，不要使用程序中变量的写法 比如： 一般表示圆周率；c b a ,, 一般表示常量、已知量；z y x ,, 一般表示变量、未知量 再比如：变量21,a a 等，就不要写成:a[0],a[1]或a(1),a(2) 四、模型的建立与求解 这一部分是文章的重点，要特别突出你的创造性的工作。在这部分写作需要注意的事项有： ①一定要有分析，而且分析应在所建立模型的前面； ②一定要有明确的模型，不要让别人在你的文章中去找你的模型； ③关系式一定要明确；思路要清晰，易读易懂。
第五届MathorCup全球大学生数学建模挑战赛暨CAA 2015世界大学生数学建模竞赛论文格式规范
第五届MathorCup全球大学生数学建模挑战赛暨CAA 2015世界大学生数学建模竞赛论文格式及提交规范 ●参赛队从A、B、C、D题中任选一题。（A题和B题为传统的数学建模竞赛题，C 题和D题为信息交叉学科的题目；评奖时，一、二、三等奖的总名额按每道题参赛队数的比例分配。） ●参赛队通过竞赛报名系统提交电子版论文（参见《第五届MathorCup全球大学生数 学建模挑战赛暨CAA 2015世界大学生数学建模竞赛报名和参赛须知》，以下简称“报名和参赛须知”）。参赛队统一提交压缩包，压缩包的名称为“***#.zip”或者“***#.rar”，其中“***”为参赛队号，“#”为题号。比如“0001B.zip”或者“0001B.rar”。 ●压缩包内必须包含承诺书（见《第五届MathorCup全球大学生数学建模挑战赛暨CAA 2015世界大学生数学建模竞赛承诺书》）、论文的PDF文件。承诺书的名称为“***承诺书.pdf”，论文名称为“***.pdf”其中“***”为参赛队号。比如0001参赛队提交的压缩包名称为“0001B.zip”或者“0001B.rar”，压缩包内含有两个PDF文件，一个为“0001承诺书.pdf”，另一个为“0001.pdf”。 ●论文题目、摘要和关键词写在论文第一页上（无需译成英文），并从此页开始编写 页码；页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要，请认真书写（但篇幅不能超过一页）。 ●论文第二页为目录页，所有参赛队论文必须包含目录（但篇幅不能超过一页）。 ●从第三页开始是论文正文。论文不能有页眉或任何可能显示答题人身份和所在学校 等的信息。 ●论文应该思路清晰，表达简洁（正文尽量控制在30页以内，附录页数不限）。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文 献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为： [编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 ●在论文纸质版附录中，应提供参赛者实际使用的软件名称、命令和编写的全部计算 机源程序（若有的话）。同时，参赛队的所有源程序文件必须保存至正式获奖名单公布。 ●本规范中未作规定的，如排版格式（字号、字体、行距、颜色等）不做统一要求， 但要保持页面美观。 ●不符合本格式规范的论文将被视为违反竞赛规则，无条件取消评奖资格。 ●本规范的解释权属于MathorCup全球大学生数学建模挑战赛组委会。 MathorCup全球大学生数学建模挑战赛组委会 2015年3月3日修订
2011年全国数学建模大赛A题获奖论文
城市表层土壤重金属污染分析 摘要 本文旨在对城市土壤地质环境的重金属污染状况进行分析，建立模型对金属污染物的分布特点、污染程度、传播特征以及污染源的确定进行有效的描述、评价和定位。 对于重金属空间分布问题，首先基于克里金插值法，应用Surfer 8软件对各数据点的分布情况进行模拟，得到了直观的重金属污染空间分布图形；随后，分别用内梅罗综合污染指数以及模糊评价标准和模型对城区内不同区域重金属的污染程度进行了评判。 对于金属污染的主要原因分析问题，基于因子分析法、问题一的结果和对各个金属污染物的来源分析等因素，判断出金属污染的主要原因有：工业生产、汽车尾气排放、石油加工并推测该区域是镍矿富集区。随后讨论了污染源之间的相互关系和不同金属的污染贡献率。 针对污染源位置确定问题，我们建立了两个模型：模型一以流程图的形式出现，基于污染传播的一般规律建立模型，求取污染源范围，模型作用更倾向于确定污染源的位置；模型二基于最小二乘法原理，建立了拟合二次曲面方程，在有效确定污染源的同时也反映了其传播特征，模型更加清楚，理论性也更强。 在研究城市地质环境的演变模式问题中，我们对针对污染源位置确定问题所建模型的优缺点进行了评价，同时建立了考虑了时间，地域环境和传播媒介的污染物传播模型，从而反映了地质的演变。 综上所述，本文模型的特点是从简单的模型建立起，强更准确的数学模型发展，逐步达到目标期望。 关键词：重金属污染，克里金插值最小二乘法因子分析流程图
一、问题重述 1.1问题背景 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。评价和研究城市土壤重金属污染程度，讨论土壤中重金属的空间分布，研究城市土壤重金属污染特征、污染来源以及在环境中迁移、转化机理，并对城市环境污染治理和城市进一步的发展规划提出科学建议，不仅有利于城市生态环境良性发展，有利于人类与自然和谐，也有利于人类社会 健康和城市可持续发展[1] 。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。 现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS 记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。 1.2 目标任务 (1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。 (2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。 (3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。 (4) 分析所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，分析还应收集的信息，并进一步探索怎样利用收集的信息建立模型及解决问题。 二、 模型假设 1）忽略地下矿源对污染物浓度的影响； 2）认为海拔对污染物的分布较小，故只在少数模型中讨论其作用； 3）认为题目中的采样方式是科学的，能够客观反映污染源的分布。 三、 符号说明 3.1第一问中的符号说明 i p ——污染物i 的环境污染指数 i C ——污染物i 的实测值 i S ——污染物i 的背景值 m ax (/)i i C S ——土壤污染指数的最大值 (/)i i avg C S ——土壤污染指数的平均值
数学建模竞赛论文模板
关于2011东北大学软件学院第四届“科技节”之数学建模竞赛题目的通知发布者：陈晨 2011-12-08 09:29 打印 注意：请先阅读“2011东北大学科技节数学建模竞赛论文格式规范和规则” 2011东北大学“科技节”数学建模竞赛题目 A货币基金操作 下表为2011-12-02由中国银行发布的世界主要外汇牌价。 某货币基金管理人的工作是，每天将现有的美元、英镑、马克、日元四种货币按当天的汇率进行兑换，使在满足需要的条件下，按美元计算的价值最高。现有货币和当天需求如下：
建立你的数学模型说明： 问该天基金管理人当天应如何操作。 如果不限定持有的货币种类，以目前中国主权基金的规模量为限如何操作能获得最大效益。 B预测司机是否闯红灯 有报道称最近科研人员研发了一种预测司机是否闯红灯的算法，该算法通过分析车辆的数个参数的算法，包括车辆的减速，车辆离交通信号灯的距离以及何时红灯亮起等，并且研究人员能够在短时间内获得某辆车的3D运动，利用这些数据可以判断哪些车辆是由可能违反交通规则的人驾驶的，而哪些车辆是由遵纪守法的人驾驶的。 建立你的数学模型，预测司机是否闯红灯，并说明算法的实用性和可操作性。
所做题目编号（A、B中选一）：___A__ 参赛队员： 序号姓名班级学号 1 陶蔚软信1001 2 杨得天软信1001 3 彭莹自动化1103
货币基金操作 一摘要 本题的货币基金操作问题可以理解为如何在货币之间兑换取得最大效益。根据题目提供的外汇牌价表，计算出货币之间的兑入、兑出汇率。对问题分析之后，问题一采用线性规划求解最小化问题，首先建立目标函数Minz(x)，在matlab 里用linprog函数求解得到符合条件的解。按照解的情况，在实际操作中对资金作如下分配： 可以实现获得最大效益，资金总量为20.2118*10^8,也就是说这些解是有效的。对于问题二，经过高度抽象化后，建立了一个数学模型，同样采用线性规划求解最小化的方法，但是由于涉及到的数据很多，用matlab编程比较复杂，相比之下，用lingo较为简单，得到了满足约束条件的解后，按照解的情况，对资金进行如下操作： 用1.355669*10^8兑换欧元； 用0.1293339*10^8兑换日元； 用3757.776*10^8兑换瑞典克朗； 用 4.739247*10^8兑换英镑； 用0.0000000*10^8兑换其他国家货币； 根据实际情况分析，这些解存在着缺陷，货币基金管理者用99.6%以上的中国主权基金兑换瑞典克朗，这就要考虑到瑞典克朗的规模量，其他货币的需求量等问题，所以这些解不符合实际。发现在实际中无法操作，因此这些解只对该模型有效。 关键词：货币兑换线性规划解有效