普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(一)+理科数学+Word版含解析

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(一)

理科数学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的． 1． i 为虚数单位，则复数 ） A

B

C

D

【答案】A

A ．

2．已知集合(){}|lg 21A x x =-<，集合{}

2|230B x x x =--<，则A B =（ ） A ．()2,12 B ．()1,3- C ．()1,12- D ．()2,3

【答案】C

【解析】(){}|lg 21A x x =-<{}()|02102,12x x =<-<=，

{}

2|230B x x x =--<()1,3=-，所以A B =()1,12-，选C ．

3．如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为1xy =，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ） A

B

C

D

【答案】A

【解析】根据条件可知，122E ??

???

，，阴影部分的面积为

A ． 4．在ABC △中，角A ，

B ，

C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若角A ，B ，C 依次成等差数列，且1a =

，b =则ABC S =△（ ）

A B

C

D ．2

【答案】C

【解析】∵A ，B ，C 依次成等差数列，∴60B =?，∴由余弦定理得：

2222cos b a c ac B =+-，得：2c =

，∴由正弦定理得：1sin 2ABC S ac B =

=

△，故选C ．

5．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A ．7

B ．6

C ．5

D ．4

【答案】B

【解析】几何体如图，则体积为33

2=64

?，选Ｂ．

6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增．若实数a 满足(

)(213a f f -≥，则a 的最大值是（ ） A ．1 B ．1

2

C ．14

D ．34

【答案】D

【解析】根据题意，函数()f x 是定义在R

上的偶函数，则(f

=f ，

又由()f x 在区间(),0-∞上单调递增，则()f x 在()0,+∞上递减，

a 的最大值是3

4

，故选D ． 7．在平面直角坐标系中，若不等式组22

12 10x y x ax y +≥?≤≤-+≥?

???（a 为常数）表示的区域面积

等于1，则抛物线2y ax =的准线方程为（ ） A ．124

y =-

B ．124x =-

C ．3

2x =-

D ．3

2

y =-

【答案】D

【解析】16a ∴=，26x y ∴=，即准线方程

为3

2

y =-，选D ．

8．在n

x

? ?的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则2

x 的系数

为（ ） A ．50 B ．70

C ．90

D ．120

【答案】C

【解析】在n

x

? ?中，令1x =得()134n

n +=，即展开式中各项系数和为4n ；又展开式中的二项式系数和为2n

．由题意得42322

n

n n ==，解得5n =．

故二项式为5x

?+ ?，其展开式的通项为()3552

1553r

r r r r r r T C x C x --+==，

()0,1,2,3,4,5r =．令2r =得222235390T C x x ==．所以2x 的系数为90．选C ．

9．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今合买好、坏田1顷，价值10000钱．问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】设好田为x ，坏田为y

12.5 87.5x y =?∴?=?， A 中12.5x ≠；B 中正确；C 中87.5x =，12.5y =；D 中12.5x ≠，所以选B ． 10．已知函数(

)()sin 0f x x x ωωω=>

4个元素，则实数ω的取值范围是（ ）

A ．35,22??

????

B ．35,22?? ???

C ．725,26??????

D ．725,26?? ???

【答案】D

【解析】

π2sin 13x ω??-=- ???，π1sin 32x ω??∴-=- ???，

()7π

2π6k k +∈Z ，

3π2π2k x ωω=+()k ∈Z ， 设直线1y =-与()y f x =在()0,+∞上从左到右的第四个交点为A ，第五个交点为B ，

由于方程()1f x =-在()0,π上有且只有四个实数根， 则<πB A x x ≤，即

3π2ππ4π

π26ωωωω+<≤+

D ．

11．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，ABC △是边长为2的等边三角形，若球O

则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为（ ） A

B

C

D

【答案】A

【解析】

R =，设ABC △的外心为M ，由正

AM =，由2

2

22PA AM ??+= ???

得PA =，设AB 的中点为N ，则CN ⊥平面PAB ，连接PN ，则CPN ∠

为直线与平面所成的角，

PN ==

，CN =

tan CN CPN PN ∠==，故选A ． 12．设P 为双曲线()22

22:1,0x y C a b a b

-=>上一点，1F ，2F 分别为双曲线C 的左、

右焦点，212PF F F ⊥，若12PF F △的外接圆半径是其内切圆半径的

17

6

倍，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．4 C ．2或3

D ．4或5

3

【答案】D

【解析】∵1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点， ∴()1,0F c -，()2,0F c ，∵212PF F F ⊥，

∴点P 在双曲线的右支，12PF F △的内切圆半径为

12212222

F F PF PF c a

c a +--==-．

设1PF x =，则22PF x a =-．∵2221212PF PF F F =+，即()()22

222x x a c =-+，

∴22a c x a +=，即12PF F △的外接圆半径为22

2a c a

+．

∵12PF F △的外接圆半径是其内切圆半径的

17

6

倍， ∴()221726a c c a a +=-，即22201730a ac c -+=．∴2317200e e -+=

∴5

3

e =或4，故选D ．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知()2,1=-a ，()1,0=b ，()1,2=-c ，若a 与m -b c 平行，则m =__________． 【答案】-3

【解析】已知()2,1=-a ，()1,2m m -=-b c ，若a 与m -b c 平行则

143m m -=?=-，故答案为：-3．

14．已知点()2,0A -，()0,2B 若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点，则ABM △面积的最小值为__________． 【答案】2

【解析】将圆22:220M x y x y +-+=化简成标准方程()()2

2

112x y -++=，

圆心()1,1-，半径r =，因为()2,0A -，()0,2B ，所以AB =，

要求ABM △面积最小值，即要使圆上的动点M 到直线AB 的距离d 最小，而圆心

()1,1-到直线AB 的距离为，所以ABM S △的最小值为

min 11

222

AB d ??=?=，故答案为2．

15．

．

【答案】2

12

．

16．记{}ave ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的平均数，{}max ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的

最大值，设11ave 2,,122A x x x ??=-++????，11max 2,,122M x x x ??

=-++????，若

31M A =-，则x 的取值范围是__________． 【答案】{}| 4 2x x x =-≥或．

【解析】作出112122M max x x x ??

=-++???

?

，的图象如图所示

31M A =-，

∴当0x <时，1

22x x -=-+，得4x =-，

当01x ≤<时，122x x =-+，得4

3x =，舍去，

当12x ≤<时，1

12

x x =+，得2x =，舍去，

当2x ≥时，x x =，恒成立，

综上所述，x 的取值范围是{}|42x x x =-≥或．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()4

13

n n S a =-，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）令2log n n b a =，记数列()()111n n b b ????

??-+????

的前n 项和为n T ，证明：12n T <．

【答案】（1）()

*4n n a n =∈N ；（2）见解析． 【解析】（I ）当1n =时，有()1114

13

a S a ==

-，解得14a =．……1分 当n ≥2时，有()114

13n n S a --=-，则

()()1144

1133n n n n n a S S a a --=-=---，……3分

整理得：1

4n n a

a -=，……4分

∴数列{}n a 是以4q =为公比，以14a =为首项的等比数列．……5分 ∴()

1*444n n n a n -=?=∈N ，

即数列{}n a 的通项公式为：()

*4n n a n =∈N ．……6分 （2）由（1）有22log log 42n n n b a n ===，……7分 则

()()

()()1

1

111=11212122121n n b b n n n n ??=

- ?+-+--+??

，……8分

∴()()

1111

1335572121n T n n =

+++???+???+- 11111111121335572121n n ??????????=

-+-+-+???+- ? ? ? ???-+??????????

……10分 111

12212

n ??=-< ?+??，故得证．……12分 18．在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x 和y ，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户．

若00.6x <<，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.60.8x ≤≤，则认定该户为“相对贫困户”，若0.81x <≤，则认定该户为“低收入户”；

若100y ≥，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”．

（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率； （2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用ξ表示所选3户中乙村的户数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；

（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标y 的方差的大小（只需写出结论）． 【答案】（1）0.1；（2）见解析；（3）见解析．

【解析】（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，……1分

所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为

5

0.150

P =

=．……3分 （2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，……4分

ξ的可能值为0，1，2，3．从而……5分

()36310201

01206C P C ξ====，……6分

……7分

()2146310363

212010C C P C ξ====，……8分

()3431041

312030

C P C ξ====．……9分

所以ξ的分布列为：

故ξ的数学期望()113112

0123 1.262103010

E ξ=?+?+?+?==．……10分

（3）这100户中甲村指标y 的方差大于乙村指标y 的方差．……12分

19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC △是边长为2的等边三角形，D 为BC 的中点，侧棱13AA =，点E 在1BB 上，点F 在1CC 上，且1BE =，2CF =．

（1）证明：平面CAE ⊥平面ADF ； （2）求二面角F AD E --的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）∵ABC △是等边三角形，D 为BC 的中点， ∴AD BC ⊥，∴AD ⊥平面11BCC B ，得AD CE ⊥．①……2分 在侧面11BCC B 中，

1tan 2CD CFD CF ∠=

=，1

tan 2

BE BCE BC ∠==， ∴tan tan CFD BCE ∠=∠，CFD BCE ∠=∠，

∴90BCE FDC CFD FDC ∠+∠=∠+∠=?，∴CE DF ⊥．②……4分 结合①②，又∵AD

DF D =，∴CE ⊥平面ADF ，……5分

又∵CE ?平面CAE ，∴平面CAE ⊥平面ADF ，……6分

（2）如图建立空间直角坐标系D xyz -．

则)

00A

，，()012F -，

，，()011E ，，． 得(

3DA =

，()012DF =-，

，，()011DE =，，，……7分 设平面ADF 的法向量()x y z =，，m ，则0

DA DF ??=???=??m m ，

得0 2x y z ==???取()021=，

，m ．……9分 同理可得，平面ADE 的法向量()011=-，

，n ，……10分

……11分 则二面角F AD E --．……12分 20．已知定点()3,0A -、()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之

积为1

9

-，记动点M 的轨迹为曲线C ．

（1）求曲线C 的方程；

（2）过点()1,0T 的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点(),0S s ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由．

【答案】（1）()2

2139x y x +=≠±；（2）见解析．

【解析】（1）设动点(),M x y ，则3MA y k x =

+，3

MB y

k x =-()3x ≠±，

19MA MB k k ?=-，即1

339

y y x x ?=-+-．……3分

化简得：2

219

x y +=，……4分

由已知3x ≠±，故曲线C 的方程为2

219x y +=()3x ≠±．……5分

（2）由已知直线l 过点()1,0T ，

设l 的方程为1x my =+，则联立方程组22

1

99x my x y =++=???， 消去x 得()

229280m y my ++-=，

设()11,P x y ，()22,Q x y

……7分 直线SP 与SQ 斜率分别为11111SP y y k x s my s =

=

-+-，22

221SQ y y k x s my s

==-+-， ()()

12

1111SP SP y y k k my s my s =

+-+-

()()()

12

2

2

121211y y m y y m s y y s =

+-++-()

()

2

2

2

8

991s

m s -=

-+-．……10分

当3s =时，()2

82991SP SP k k s -?=

=--；

当3s =-时，()

2

8118

91SP SP k k s -?=

=--． 所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值．……12分 21．设0a >，已知函数(

)()ln f x x a =-+，()0x >． （1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）试判断函数()f x 在()0,+∞上是否有两个零点，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）函数()f x 没有两个零点．

【解析】（1）()1

'

f x x a

=

+，……1分 ()()

22'0220f x x a x a x a >?+>?+-+>， ()()22'0220f x x a x a

设()()2222g x x a x a =+-+，则()161a ?=-， ①当1a ≥时，0?≤，()0g x ≥，即()'0f x ≥， ∴()f x 在()0,+∞上单调递增；……3分 ②当01a <<时，0?>，

由()0g x =得12x a =

=--，

22x a =-+，

可知120x x <<，由()g x 的图象得：

()

f x 在(0,2a --和()

2a -++∞上单调递增； ()

f x 在(2a --2a -+上单调递减．……5分 （2）假设函数()f x 有两个零点，由（1）知，01a <<，

因为()0ln 0f a =->，则()20f x <()2ln x a <+，

由()2'0f x =知2x a +=ln <（，

t =，则()ln 2t t <（＊），……8分

由()221,4x a =-+，得()1,2t ∈，

设()()ln 2h t t t =-，得()1

'10h t t

=->，

所以()h t 在()1,2递增，得()()11ln20h t h >=->，即()ln 2t t >，……11分 这与（＊）式矛盾，所以上假设不成立，即函数()f x 没有两个零点．…12分 （二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）

22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a ，

其参数方程为 1x a y ==+?????（t

为参数，a ∈R ），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．

（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；

（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值． 【答案】（1）10x y a --+=，24y x =；（2）136a =

或9

4

． 【解析】（1）1C

的参数方程 1x a y ==+?????，消参得普通方程为10x y a --+=，……

2分

2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=两边同乘ρ得

222cos 4cos 0ρθρθρ+-=即24y x =；……5分

（2）将曲线1C

的参数方程 12

x a y ?

??

?

==+???

（t 为参数，a ∈R ）代入曲线224C y x =：，

得21

1402

t a +-=，……6分

由(()21

41402

a ?=-?->，得0a >，……7分

设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，由题意得122t t =即122t t =或122t t =-，…8分

当122t t =

时，()

1212122 214t t t t t t a =+==-?????，解得1

36a =，……9分

当122t t =-

时，()

1212122 214t t t t t t a =?-+==-????解得9

4a =，

综上：136a =

或9

4

．……10分 23．选修4-5：不等式选讲

已知x ?∈R ，使不等式12x x t ---≥成立． （1）求满足条件的实数t 的集合T ；

（2）若1,1m n >>，对t T ?∈，不等式33log log m n t ?≥恒成立，求22m n +的最小值． 【答案】（1）{|1}t T t t ∈=≤；（2）18．

【解析】（1

……2分

则()11f x -≤≤，……4分

由于x ?∈R 使不等式12x x t ---≥成立，有{|1}t T t t ∈=≤．……5分 （2）由（1）知，33log log 1m n ?≥，

从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号， (7)

分

再根据基本不等式6m n +≥≥，当且仅当3m n ==时取等号． 所以m n +的最小值为6．……10分