相似三角形练习题(8) 2

相似三角形练习题

一、填空题：

1、若b m m a 2,3==，则_____:=b a 。

2、已知

6

53z

y x ==，且623+=z y ，则__________,==y x 。 3、在Rt △ABC 中，斜边长为c ，斜边上的中线长为m ，则______:=c m 。

4、反向延长线段AB 至C ，使AC ＝2

1

AB ，那么BC ：AB ＝ 。

5、如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3：2，若它们的周长的差为40厘米，则 △A ′B ′C ′的周长为 厘米。

6、如图，△AED ∽△ABC ，其中∠1＝∠B ，则()()()

AB BC AD

_________=

=。

第6题图 第7题图

7、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若∠A ＝30°，则BD ：BC ＝ 。 若BC ＝6，AB ＝10，则BD ＝ ，CD ＝ 。

8、如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝2cm ，AB ＝3.5cm ，且MN ∥PQ ∥AB ， DM ＝MP ＝P A ，则MN ＝ ，PQ ＝ 。

第8题图 第9题图

9、如图，四边形ADEF 为菱形，且AB ＝14厘米，BC ＝12厘米，AC ＝10厘米，那BE ＝ 厘米。

10、梯形的上底长1.2厘米，下底长1.8厘米，高1厘米，延长两腰后与下底所成的三角形的高为 厘米。 二、选择题：

11、下面四组线段中，不能成比例的是（ ）

A 、4,2,6,3====d c b a

B 、3,6,2,1====d c b a

C 、10,5,6,4====d c b a

D 、32,15,5,2===

=d c b a

12、等边三角形的中线与中位线长的比值是（ ）

A 、1:3

B 、2:3

C 、

2

3

:21 D 、1：3 14、已知直角三角形三边分别为b a b a a 2,,++，()0,0>>b a ，则=b a :（ ） A 、1：3 B 、1：4 C 、2：1 D 、3：1

15、△ABC 中，AB ＝12，BC ＝18，CA ＝24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（ ）

A 、27

B 、12

C 、18

D 、20

16、已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为c b a h h h ,,，且6:5:4::=c b a ，那么c b a h h h ::等于（ ）

A 、4：5：6

B 、6：5：4

C 、15：12：10

D 、10：12：15 17、一个三角形三边长之比为4：5：6，三边中点连线组成的三角形的周长为30cm ，则原三角形最大边长为（ ）

A 、44厘米

B 、40厘米

C 、36厘米

D 、24厘米

18、下列判断正确的是（ ）

A 、不全等的三角形一定不是相似三角形

B 、不相似的三角

形一定不是全等三角形 C 、相似三角形一定不是全等三角形 D 、全等三角形不一定

是相似三角形

19、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，EF ∥BC ，则图中

E A

D C 1 C B D A

D C

M

P N Q

A B A E F G

B C

与△ADC 相似的三角形共有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、多于3个

第19题图 第20题图 20、如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的点，若BE ：EC ＝4：5，AE 交BD

于F ，则BF ：FD 等于（ ） A 、4：5 B 、3：5 C 、4：9 D 、3：8 三、解答题： 21、已知()3:2:=-y y x ，求y

x y

x 2352-+的值。 解： 22、如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB

上的高，且AC ＝6厘米，AD ＝4厘米，求AB 与BC 的长 解： 23、如图，△ABC 中，若BC ＝24厘米，BD ＝31AB ，且DE ∥BC ，求DE 的长。 解：

24、如图，Rt ΔABC 中斜边AB 上一点M ，MN ⊥AB 交AC 于N ，若AM ＝3厘米，AB ：

AC ＝5：4，求MN 的长。

解： 四、证明题： 25、已知：如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，E 是AB 的中点，直线ED 分别与对角线AC 和BC 的延长线交

于M 、N 点

求证：MD ：ME ＝ND ：NE 证明： 26、已知：如图，△ABC 中，D 在AC 上，且AD ：

DC ＝1：2，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，求证：BF ：FC ＝1：3。 24. 如图，在ABC △中，

90BAC ∠= ，AD 是BC 边上的高，E 是BC 边上的一个动点（不与

B C ，重合）

，EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，．

（1）求证：EG CG

AD CD =； （2）FD 与DG 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由； （3）当A B A C =时，FDG △为等腰直角三角形吗？

并说明理由．（12分）

证明：

26、（14分）如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直

线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到

达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒．

（1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；

（2）若5a =厘米，求时间t ，使P N B P A D △∽△，并求出它们的相似比； （3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；

（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使

梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．

A B D E C N

D C A

E B M

C B M N

A

C A B C

D E

B C F A G

C

B

一、选择题 1. D 2. A 3. D 4. A 5. D 6. B 7. B 8. A

二、填空题

9. 3

7

10. 3858

11. B DCA ∠=∠或BAC D ∠=∠或AD AC

AC BC

=

12.

4

9

13. 9.6

14. AFD EFC △∽△（或E F C E A B △∽△，或E A B A F D △∽△） 15. 12.6 16. 4.2

17. 2476099

18.

或2

三、

19. CD BE DCO E ∴∠=∠ ∥，， 又DOC BOE ∠=∠， OCD OEB ∴△∽△，

OD OC

OB OE

∴

=

．

又AD BC ∥．同理

OD OA

OB OC

=

．

OC OA OE OC

∴

=

，即2

O C O A O E = ． 25. 解：（1）①2，60

； ②2；

（2）12AO O △

经过旋转相似变换)A

，得到ABI △，此时，线段12O O 变为线段BI ；

CIB △

经过旋转相似变换452C ?? ? ???

，得到2CAO △，此时，线段BI 变为线段1AO ．

1=，454590+= ， 122O O AO ∴=，122O O AO ⊥．

10分

八、猜想、探究题

24. A B C ABC '''△∽△

2分 由已知

3OA OC OA OC

''

==，AOC A OC ''∠=∠ AOC A OC ''∴△∽△，

4分

3A C OA AC OA '''==∴，同理33B C A B BC AB ''''

==，

6分

A C

B

C A B AC BC AB

''''''

==

∴ 7分 ∴A B C ABC '''△∽△ 8分

25. （1）证明：在AD C △和EGC △中， Rt ADC EGC ∠=∠=∠ ，C C ∠=∠ ADC EGC ∴△∽△

EG CG

AD CD

∴=

3分

（2）FD 与DG 垂直 4分

证明如下：

在四边形AFEG 中，

90FAG AFE AGE ∠=∠=∠=

∴四边形AFEG 为矩形

AF EG ∴=

由（1）知

EG CG

AD CD

= AF CG

AD CD

∴=

6分

ABC △为直角三角形，A D B C ⊥ FAD C ∴∠=∠ AFD CGD ∴△∽△ ADF CDG ∴∠=∠

8分

又90CDG ADG ∠+∠=

90ADF ADG ∴+∠=

即90FDG ∠=

FD DG ∴⊥

10分

（3）当A B A C =时，FD G △为等腰直角三角形， 理由如下：

AB

AC = ，90BAC ∠= AD DC ∴=

由（2）知：A F D C G D △∽△

1FD AD

GD DC

∴

== FD DG ∴=

又90FDG ∠=

FDG

∴△为等腰直角三角形 12分

九、动态几何 26. （1）34

PM =

， （2）2t =，使P N B P A D △∽△，相似比为3:2 （3）PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠ ⊥，⊥，，

F

A G

C E

B

AMP ABC △∽△，PM AM BN AB ∴

=即()

PM a t t a t PM t a a

--==

，， (1)

3t a QM a

-∴=-

当梯形P M B N 与梯形P Q D A 的面积相等，即

()()22

QP AD DQ MP BN BM

++=

()33(1)()22t a t t a a t t t

a a -????

-+--+ ? ????

?==化简得66a t a

=+，

3t ≤，636a

a

∴

+≤，则636a a ∴<≤，≤， （4）36a < ≤时梯形P M B N 与梯形P Q D A 的面积相等

∴梯形P Q C N 的面积与梯形P M B N 的面积相等即可，则C N P M =

()3t a t t a ∴-=-，把66a

t a

=

+

代入，解之得a =±

a = 所以，存在a ，

当a =P M B N 与梯形P Q D A 的面积、梯形PQCN 的面积相等．