高考数学知识梳理复习题1-直接证明与间接证明

高考数学知识梳理复习题1_1

第2讲 直接证明与间接证明

★知识梳理★

三种证明方法的定义与步骤：

1. 综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。

2. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。

3.假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1) 假设命题的结论不成立； (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止

(3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立

★重难点突破★

重点：能熟练运用三种证明方法分析问题或证明数学命题

难点：运用三种方法提高分析问题和解决问题的能力

重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题

1.从命题的特点、形式去选择证明方法

①一般地，结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词语，或否定性命题，或要讨论的情况很复杂的，可以考虑用反证法②一般地，含分式、根式的不等式，或从条件出发思路不明显的命题，可以考虑用分析法③命题的结论有明确的证明方向的，适宜用综合法

问题1：对于任意非零实数)(,y x y x -≠，等式y

x y x +=+111总不成立 点拨：从命题的形式特点看，适合用反证法证明

2.比较复杂的命题，有时需要多种证明方法综合运用，各取所长。

★热点考点题型探析★

考点1 综合法

题型：用综合法证明数学命题

[例1 ] (东莞2007—2008学年度第一学期高三调研测试)

对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数．

(1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；

(2)判断函数()21x g x =-（]1,0[∈x ）是否为理想函数，并予以证明；

【解题思路】证明函数()21x g x =-（]1,0[∈x ）满足三个条件

[解析]（1）取021==x x 可得0)0()0()0()0(≤?+≥f f f f ．

又由条件①0)0(≥f ，故0)0(=f ．

（2）显然12)(-=x x g 在[0，1]满足条件①0)(≥x g ；

也满足条件②1)1(=g ．若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则

)]12()12[(12)]()([)(21212121-+---=+-++x x x x x g x g x x g

0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x ，即满足条件③，

故)(x g 理想函数．

【名师指引】紧扣定义，逐个验证

【新题导练】

1.(2008年佛山)证明:若0,>b a ,则2

lg lg 2lg b a b a +≥+ [解析]当0,>b a 时，

ab b a ≥+2

， 两边取对数，得ab b a lg 2

lg ≥+， 又2lg lg 2lg lg b a ab ab +===

个 个 ∴当0,>b a 时2

lg lg 2lg b a b a +≥+ 2.在锐角三角形ABC 中,求证:C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++

[解析]ABC ? 为锐角三角形，B A B A ->∴>+∴22π

π

，

x y sin = 在)2

,0(π上是增函数，B B A cos )2sin(sin =->∴π 同理可得C B cos sin >，A C cos sin >

C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++∴

3. .已知数列{}n a 中各项为：12、1122、111222、……、111n ??????222n ?????? ……,证明这个数列中的每一项都是两

个相邻整数的积.

[解析]1

2

(101)10(101)99n n n n a =-?+?-

1(101)(102)9n n =-?+ 101

101

()(1)

33n

n --=?+

记：A =101

3n

- , 则A=333n

??????为整数

∴ n a = A (A+1) ， 得证 考点2 分析法

题型：用分析法证明数学命题

[例2 ] 已知0>>b a ,求证b a b a -<-

[解析]要证b a b a -<-，只需证22)()(b a b a -<-

即b a ab b a -<-+2，只需证ab b <，即证a b <

显然a b <成立，因此b a b a -<-成立

【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证---只需证---”，而不是“因为---所以---”

【新题导练】

4. 若0>>>>d c b a 且c b d a +=+，求证：c b a d +<+

[解析]要证c b a d +<+，只需证22)()(c b a d +<+

即bc c b ad d a 22++<++，因c b d a +=+，只需证bc ad <

即bc ad <，

设t c b d a =+=+，则0))(()()(<-+-=---=-t d c d c c c t d d t bc ad

bc ad <∴成立，从而c b a d +<+成立

5. 已知1,,=+∈b a R b a ，求证：225

)2()2(22≥+++b a

[解析] 225)2()2(22≥+++b a 2258)(422≥++++?b a b a 21

22≥+?b a

21

)1(22≥-+?a a 0)21

(2≥-?a ，

0)21(2≥-a 显然成立，故225

)2()2(22≥+++b a 成立

考点2 反证法

题型：用反证法证明数学命题或判断命题的真假

[例3 ] 已知)1(12

)(>+-+=a x x a x f x ，证明方程0)(=x f 没有负数根

【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾

[解析]假设0x 是0)(=x f 的负数根，则00

2

000+--=x x a x

个

11

2010000<+--

【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多

【新题导练】

6. （08江西5校联考）某个命题与正整数n 有关，若)(*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得1+=k n 时该命题也成立，现在已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得

A.当6=n 时，该命题不成立

B.当6=n 时，该命题成立

C.当4=n 时，该命题不成立

D.当4=n 时，该命题成立

[解析]用反证法，可证当4=n 时，该命题不成立

7.设a 、b 、c 都是正数，则b a 1+、c

b 1+、a

c 1+三个数 A.都大于2 B.都小于2 C. 至少有一个大于2 D. 至少有一个不小于2

[解析] b a c b a 10,,,+

∴> b a 1++61≥++a

c ，举反例可排除A 、B 、C ，故选D 8.已知a 、b 、c 成等差数列且公差0≠

d ，求证：a 1、b 1、c

1不可能成等差数列 [解析] a 、b 、c 成等差数列，c a b +=∴2 假设a 1、b 1、c 1成等差数列，则0)(4)(11222=-?=+?+=c a ac c a c a b ，c a =∴从而0=d 与0≠d 矛盾，a 1∴、b 1、c 1不可能成等差数列 9. （广东省深圳市宝安中学、翠园中学2009届高三第一学期期中联合考试）

= [解析]3lg 29lg = ，所以3和9的对数值正确，若1315lg ++-=c b a 正确，则c a +≠5lg

从而)5lg 1(38lg -≠，即c a 3338lg --≠，矛盾。

故15的对数值错误，应改正为c b a +-=315lg

★抢分频道★

基础巩固训练

1.（2008年华师附中）用反证法证明命题：“三角形内角和至少有一个不大于0

60”时，应假设（ ）

A. 三个内角都不大于060

B. 三个内角都大于060

C. 三个内角至多有一个大于060

D. 三个内角至多有两个大于060

[解析] B

2.已知233=+q p ，关于q p +的取值范围的说法正确的是（ ）

A. 不大于22

B.不大于2

C.不小于2

D.不小于22

[解析] B

3.若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（ ）

A.锐角三角形

B. 直角三角形

C. 钝角三角形

D. 不能确定

[解析] B

4.要证明不等式52276+>+成立，只需证明：

[解析] 22)522()76(+>+ 5.已知 2

2222

+++a a 与22的大小关系是 [解析] 2

2222+++a a 22>（注意：不能取等号）[用平均值不等式] 6. (07年惠州第一问)已知数列{}n a 满足15a =, 25a =，116(2)n n n a a a n +-=+≥．

求证：{}12n n a a ++是等比数列；

[解析]由a n ＋1＝a n ＋6a n －1，a n ＋1＋2a n ＝3(a n ＋2a n －1) (n≥2)

∵a 1＝5，a 2＝5 ∴a 2＋2a 1＝15

故数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列

综合提高训练

7. （金山中学2009届高三期中考）已知表中的对数值有且只有两个是错误的：

请你指出这两个错误 ．（答案写成如lg20≠a ＋b －c 的形式）

[解析]若b a +=23lg 错误，则)2(29lg b a +=也错误，反之亦然，此时其他对数值都正确，但9lg 2416lg 5.1lg ≠-+=+b a ，

b a +=∴23lg 、)2(29lg b a +=且

c b a +-≠35.1lg ，

若c a +=5lg 错误，则c b a --+=-+=15lg 3lg 16lg 也错误， c a +=∴5lg 正确

若c b a --+=16lg 错误，也能导出c a +=5lg 错误，

c b a --+=∴16lg 正确，)1(3)3lg 6(lg 38lg c a --=-=∴正确，b a 2112lg +-≠∴，

综上c b a +-≠35.1lg ，b a 2112lg +-≠

8. 设函数1

222)(+-+?=x x a a x f 为奇函数. （Ⅰ）求实数a 的值；

（Ⅱ）用定义法判断)(x f 在其定义域上为增函数

[解析]（Ⅰ）依题意，函数)(x f 的定义域为R

∵)(x f 是奇函数

∴)()(x f x f -=-

∴1

2221222+-+?-=+-+?--x x x x a a a a ∴0)12)(1(2=+-x a

1=∴a

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1

212)(+-=x x x f 设12x x <且12,x x R ∈，则

21()()f x f x -212121212121x x x x --=-++2122112121x x ????=--- ? ?++????0)

12)(12()22(21212>++-=x x x x ∴)()(12x f x f >

∴)(x f 在R 上是增函数

9. 已知x x f ln )(=证明： )1()1(->≤+x x x f

[解析]即证：0)1ln(≤-+x x

设1

111)(,)1ln()(+-=-+='-+=x x x x k x x x k 则. 当x ∈（-1，0）时，k ′(x )>0，∴k (x )为单调递增函数；

当x ∈（0，∞）时，k ′(x )<0，∴k (x )为单调递减函数；

∴x =0为k(x )的极大值点，

∴k(x )≤k(0)=0.

即0)1ln(≤-+x x )1()1(->≤+∴x x x f

10. 已知函数||1y x =+，y =

11()2t y x x

-=+(0)x > 的最小值恰好是方程320x ax bx c +++=的三个根，其中01t <<．求证：223a b =+；

[解析]三个函数的最小值依次为1，

由(1)0f =，得1c a b =---

∴ 3232()(1)f x x ax bx c x ax bx a b =+++=++-++2(1)[(1)(1)]x x a x a b =-+++++， 故方程2(1)(1)0x a x a b +++++=

(1)a =-+

1a b =++．

22(1)a =+，即222(1)(1)a b a +++=+ ∴ 223a b =+．

参考例题：

1. 设b a ,为非零向量，且b a ,不平行，求证b a +，b a -不平行

[解析]假设+)(-=λ，则)1()1(=++-λλ，

, 不平行，?

??=+=-∴010

1λλ，因方程组无解，故假设不成立，即原命题成立

2. 已知α为锐角，且12tan -=α， 函数)42sin(2tan )(2π

αα+?+=x x x f ，数列{a n }的首项)(,21

11n n a f a a ==+.

⑴ 求函数)(x f 的表达式；

⑵ 求证：n n a a >+1；

⑶ 求证：),2(211

11111*21N n n a a a n

∈≥<++++++<

[解析] ⑴1)12(1)

12(2tan 1tan 22tan 22=---=-=ααα又∵α为锐角

∴42πα= ∴1)42sin(=+π

α x x x f +=2)(

⑵ n n n a a a +=+21 ∵21

1=a ∴n a a a ,,32都大于0

∴02

>n a ∴n n a a >+1

⑶ n

n n n n n n a a a a a a a +-=+=+=+11

1)1(11121 ∴1

1

111+-=+n n n a a a

∴132212*********

11

11

+-++-+-=++++++n n n a a a a a a a a a 1

111211++-=-=n n a a a ∵4321)21(22=+=a , 143

)43(23>+=a , 又∵n n a a n >≥+12

∴131>≥+a a n ∴21

211

<-<+n a

∴2111111

121<++++++

a a a