江西省红色七校2017届高三上学期第一次联考数学(文)试题Word版含答案.doc

江西省红色七校2017届高三第一次联考数学（文）试题

（分宜中学、莲花中学、任弼时中学、瑞金一中、南城一中、遂川中学、会昌中学）

命题人：南城一中 瑞金一中 会昌中学 审题人：南城一中

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，总共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1.设全集I 是实数集R ，{}

3M x x =≥与301x N x

x -??

=≤??-??

都是I 的

子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为（ ）

A ．{}

13x x << B ．{}

13x x ≤< C. {}13x x <≤

D ．{}

13x x ≤≤

2.复数5

)z i i i =-（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ ）

A ．2i -

B ．2i +

C ．4i -

D ．4i +

3.设1

331

,log 2,22

a b c ===，则（ ）

A ．a b c >>

B ．b a c >>

C ．c a b >>

D ．c b a >> 4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7925a a =+，则9S 的值为（ ）

A ． 27

B ．36

C ．45

D ．54

5．“序数”指每个数字比其左边的数字大的自然数（如1258），在两位的“序数”中任取一个数比56大的概率是（ ）

A B ．32 C ．43 D ．54

6.已知函数()2

3,0

,0x x f x m x x ?<=?-≥?

，给出下列两个命题： 命题():,0p m ?∈-∞，方程()0f x =有解． 命题:q 若1

9

m =，则()()10f f -=． 那么，下列命题为真命题的是（ ）

A ．p q ∧

B ．()p q ?∧

C ．()p q ∧?

D ．()()p q ?∧?

7．某市乘坐出租车的收费办法如下：

相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[]x 表示不大于x 的最大整数，则图中①处应填（ ）

A. 1

2[]42y x =++ B. 12[]52y x =++ C. 12[]42

y x =-+ D.

1

2[]52

y x =-+

8．实数,x y 满足10230260x y x y x y -+≥??

+-≥??+-≤?

，若4x y m -≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）

A. (],0-∞

B. (],4-∞

C. (],12-∞

D. []0,12 9．已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ ）

A.52+

B.253+

C.2

52+ D.53+ 10．已知函数()sin cos f x a x b x =+（,a b 为常数，0a ≠，x R ∈）在3

x π

=处

取得最大值，则函数()3

y f x π

=+

是（ ）

A ．奇函数且它的图象关于点(,0)π对称

B ．奇函数且它的图象关于点3(

,0)2π

对称 C ．偶函数且它的图象关于点3(,0)2

π

对称 D ．偶函数且它的图象关于点(,0)π对称

11.

当曲线y =240kx y k --+=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是

（ ）

A ．3(0,)4

B ．53(

,]124 C ．3(,1]4 D ．3

(,)4

+∞ 12.已知函数()22ln (0,)f x ax bx x a b R =+->∈，若对任意0x >都有()()2f x f ≥成立，则（ ）

A.ln 1a b >--

B.ln 1a b ≥--

C.ln 1a b <--

D.ln 1a b ≤--

第Ⅱ卷

注意事项：

第Ⅱ卷，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答，答案无效。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，则()2016f 的值为 ；

14.已知||1,||2,a b a b == 与的夹角为60°，则2a b + 在b

方向上的投影为 ；

15．已知直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，侧面11BCC B 的面积为16，

则直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径的最小值为 ；

16．已知点P 为双曲线)0,0(122

22>>=-b a b y a x 右支上一点，21,F F 分别为

双曲线的左右焦点，且a

b F F 2

21||=，I 为△12PF F 的内心，若

1212IPF IPF IF F S S S λλ???=+成立，则λ的值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.

17.（本小题满分10分）在ABC ?中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，

222sin 5sin 7sin sin C A A C += ，且2c a <．

（1）求证：ABC ?为等腰三角形；

（2）若ABC ?的面积为sin B =BC 边上的中线长．

18．（本小题满分12分）某学校为了了解学生使用手机的情况，分别在高一和高二两个年级各随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频数分布表和频率分布直方图，将使用手机时间不低于80分钟的学生称为“手机迷”．

高一学生日均使用手机时间的频数分布表

（1）将频率视为概率，估计哪个年级的学生是“手机迷”的概率大？请说明理由． （2）在高二的抽查中，已知随机抽到的女生共有55名，其中10名为“手机迷

”．根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你有多大的把握认为“手机迷”与性别有关？

附：随机变量()()()()()

2

2n ad bc k a b

c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++

为样本总量）．

19.（本小题满分12分）如图，已知直三棱柱111ABC-A B C 中，ACB=90?

∠，

高二学生日均使用手机时间的频率分布直方图

AC=BC=2AA =41，，D 是棱AA 1上的一点，M,N 分别为AB BC 1，的中点．

(1)求证：MN ∥平面DCC 1；

(2)当D 为1AA 的中点时，求三棱锥D-ACN 的体积.

20．（本小题满分12分）已知函数()()211f x x a x b =+-++，当[],

x ba ∈时，函数()

f x 的图象关于y 轴对称，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11n S f n =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2

n

n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

21．（本小题满分12分）如图，椭圆C ：122

22=+b

y a x （0>>b a ）的虚

轴长为()M 21，在C 上，平行于OM 的直线l 交椭圆C 于不同的两点A ，B ．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）证明：直线MA ，MB 与x 轴总围成等腰三角形．

22.（本小题满分12分）已知函数ax x x f +=ln )()(R a ∈. ⑴当13

a =-，求函数)(x f 在区间],[2e e 上的极值； ⑵当1=a 时，函数2

2)()(x t

x f x g -=只有一个零点，求正数t 的值．

江西省红色七校2017届高三第一次联考文科数学试卷答案

（分宜中学、莲花中学、任弼时中学、瑞金一中、南城一中、遂川中学，会昌中学） 1-12： ABDC ABAB DCCC

13-16： 0 3

1

17.解：（1）由正弦定理得，2

2

2sin 5sin 7sin sin C A A C +=

，即2

2

2750c ac a -+= ()()250

0c a c a c a ∴--=∴-=或

250c a -=， ……………………3分 2c a < ， a c ∴=. 故△ABC 为等腰三角

形. ……………………5分

（2）ABC ? 的面积为211S=

sin 224

ac B a =?=4a ∴= ……………………7分

由余弦定理得，BC 4=或

．

．．．．．．．．．．10分 18.解：（1）由频数分布表可知，高一学生是“手机迷”的概率为1224

0.26100

P +=

= 由频率分布直方图可知，高二学生是“手机迷”的概率为2P =（0.0025+0.010）×20=0.25 因为P 1＞P 2，所以高一年级的学生是“手机迷”的概率大． （2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中， “手机迷”有（0.010+0.0025）×20×100=25（人）， 非手机迷有100﹣25=75（人）． 从而2×2列联表如下：

将2×2列联表中的数据代入公式计算，得

因为3.030＞2.706，所以有90%的把握认为“手机迷”与性别有关． 19.解：(1)证法一：如图，连接AC

1，

因为M ， N 分别为AB ，BC 1的中点，故MN ∥AC 1， 又AC 1?平面DCC 1，MN 平面DCC 1，故MN ∥平面DCC 1. 证法二：如图，取BC 的中点G ，连接GN ，GM ，则GN ∥CC 1， 又CC 1?平面DCC 1，GN 平面DCC 1，故GN ∥平面DCC 1. 同理可知GM ∥平面DCC 1，

又GN ，GM 是平面NMG 内的两条相交直线，故平面NMG ∥平面DCC 1， 又MN ?平面NMG ，故MN ∥平面DCC 1. …………5分 (2)当点D 为AA 1的中点时，AD=2

又在直三棱柱111ABC-A B C 中，有1AA ABC ⊥平面，

11AC ,A ABC BC ABC AA C AA BC ??∴⊥⊥ 又平面，平面， ACB=90,BC AC ?∠∴⊥ ，

而111

AC A ACC AA 与为平面中两相交直线，11BC A ACC ∴⊥平面…………8分 1N BC 为的中点

ACD 1111112

S BC=222=2232323

D ACN N ACD B ACD V V V ---?∴===????????…………

12分

20.解：（1）∵函数()f x 的图象关于y 轴对称，∴10,0a a b -=+=且，解得1,1a b ==-

()2f x x ∴=

()()2

211112n S f n n n n ∴=+-=+-=+…………3分

即有()111212,

121n n n n a S S n n a S a n -=-=+≥==∴=+也满足，．…………

5分

（2）由（1）得212

n n

n b +=

，

2313572121+22222n n n n n T --+=

++++ ① ∴234+113572121

+222222

n n

n n n T -+=++++ ② ①﹣②得234+113222221

+2222222

n n n n T +=++++-

1+1

1113212212212

n n n -??

-??+??=+--1+113121525122222n n n n n -+++=+--=- ∴25

52n n

n T +=-

…………………………12分 21.解：（ 1

）依题意2b b =∴=C 的方程为22

212

x y a +

=， 将M （2，1）代入，得

24112

a +=，解得2

a =8， …………3分 所以椭圆C 的方程为22182x y +=. …………4分 （2）证明：设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），l ：y=

+m ()0m ≠，

则

，

，

∴k 1+k 2=

=

=

=，（*）

由

，得x 2+2mx+2m 2﹣4=0，所以x 1+x 2=﹣2m ，

，

代入（*）式，得

k 1+k 2=

=

=0．

所以直线MA ，MB 与x 轴总围成等腰三角形． …………12分 22.解：（1）当1

3a =-时，2113'()([,])33x f x x e e x x

-=

-=∈，……………………1分 由()'0f x =得3x =，

当[),3x e ∈时，()()[)'0,,3f x f x e >在区间上单调递增，

当(23,x e ?∈?时，()()(

'2

0,3,f x f x e ?

3分

()2[,]f x e e ∴在区间上只有极大值，无极小值，且

()()=3ln 31f x f =-极大值 …………5分

（2）22)()(x t x f x g -

=函数 只有一个零点，等价于方程02

)(2=-x t

x f 只有一个实数解，即0ln 22

=--tx x t x 只有唯一正实数解.设tx x t x x h --=ln 2)(2，则

x

t

tx x t x t x x h --=--=2'

44)(，令04,0)(2'=--=t tx x x h ，,0,0>>t x 解得：

舍去），(81621t t t x +-=，

8

1622t

t t x ++=…7分 当),0(2x x ∈时，)(,0)('

x h x h 则<在),0(2x x ∈上单调递减； 当),(2+∞∈x x 时，)(,0)('x h x h 则>在),(2+∞∈x x 上单调递增；

∴)()(2x h x h 的最小值为

.………………8分 要使得方程0ln 22

=--tx x t x 只有唯一实数解，

则???=--=--???==0

40ln 2,0)(0)(22

2222

2

2'2t tx x tx x t x x h x h 即，得 0ln 222=-+t tx x t 01ln 2,022=-+∴>x x t ，………………10分

设012

)(),0(1ln 2)('

>+=

>-+=x

x m x x x x m 恒成立，故)(x m 在（0，+∞）单调递增，0)(=x m 至多有一解．又0)1(=m ，

∴12=x ，即，

18

162=++t

t t 解得2=t ．………………12分