类比在数学中的应用

类比在数学中的应用

摘要：类比是一种推理方式，数学类比有着其独特的思维形式和特征，合理的利用类比进行数学教育，将有助于提高教学效果，有助于锻炼学生的思维能力和创新能力。

关键词：数学类比思维创新

美籍匈牙利数学家波利亚十分重视数学类比的作用，他把《教学与猜想》的第一卷命名为《教学中的归纳和类比》，并在其中的第三章中突出地引用了拉普拉斯的下述断言。“甚至在教学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”在波利亚看来，类比和归纳一样是合情推理的主要方法，是教学发现的重要源泉。类比实际上“是合情推理的一种思维形式,即是由两个或类思考对象在某些属性上的相同或相似,从而推出它们在另一属性上也相同或相似的一种推理方法。”

在数学教学中，学生对数学能力的培养往往局限在逻辑层面上，这导致了数学学习始终缺乏实践和创新，即缺乏一种合情推理，而合情推理是类比所强调的，毫无疑问，类比推理在教学中的作用是不可低估的。

1 数学类比的思维形式和特征

类比是推理方法的一种，传统上认为类比是逻辑推理的一个范畴，现在有学者认为也是直觉推理的一个部分，直觉类比是超越逻辑类比的一种形式，把毫不相干的两个或多个成分之间进行类比，

从而找出适合的成分。例如把计算机比作大脑，把祖国比作摇篮，把老师比作蜡烛的等。直觉类比只是两种事物或多种事物在某一点上具有交叉相似性，这种思维形式不是简单的逻辑思维，而是直觉思维的一种，是创造性、大胆性的设想。波利亚举得欧拉解决伯努利的问题便是最好的证明，即+++…=，是通过三角方程和代数方程之间的类比来解决的。通过直觉类比不仅可以提高学生的思维能力，而且还可以提升学生的创造能力。

数学类比的应用同其他事物的类比发展属性一样，其发展是从定性到定量一个过程，着眼于两个数学对象间空间与数量上得相似性。

2 以立体几何的知识来探讨类比在数学教学中的应用

立体几何是平面几何的继续，在解决问题的方法上十分类似，立体几何问题，一般都可以归为平面几何问题或用类比法来解决，对于已经学习了平面几何的学生，如果善于类比地运用平面几何的思想方法去解决立体几何的问题，将对于学习立体几何这部分知识带来很大的好处。

在讲点在平面上的摄影时，学生对此接受比较困难。这时教师可以引导学生回忆点在直线上的射影，即：过该点作直线的垂线，垂足就是该点过度在该直线上的射影，由此作类比，点在面上的射影也应该是过该点向平面作垂线，则垂足就是该点在平面上的射影。这样由线到面，由一维到二维，类比就是使学生接受新概念变地十

分容易，学生接受知识也就不感到来地突然，学生易于接受新的概念。

二面角是反映平面的位置关系的一个重要概念，若直接给出定义，学生不易理解，特别对半平面。这时，应先引导学生回忆平面里角的定义，从一点出发的两条射线所组成的图形就是角，射线又可以称为半直线，它可以向一方无限延伸，而向另一方却不可延伸。类比把此定义中的点换成直线，射线换成半平面，很自然地就给出了两面角的定义，从一直线出发的两个半平面围成的图形叫二面角。

讲两个平面垂直的定义时，可以直接告诉两个平面垂直的定义和两个直线垂直的定义相似，都是通过角来定义的。这里可让学生回忆两直线垂直的定义，两直线相交，所成的角为直角时，两条直线互相垂直，学生根据刚刚学习的二面角就可以给出两平面垂直的定义。两平面成的角为直二两角时，两平面是互相垂直的。

通过类比，学生在对新知识学习的过程中，由被动变为主动通过自己回忆旧知识，再类比出新的知识，轻松自然，不仅增强了学生学习的兴趣，更重要的是培养了学生的类比的数学思想。

3 常见类比方法解析

类比运用在解题的过程中，可以产生由此产生联想，能起到由“熟”解“生”，化难为易的作用。在数学中，常见的类比方法有以下几种。

3.1 类比变量取值范围引发联想

解题时，如果题目中变量的取值范围与我们所熟悉的某些变量的取值范围一致时，进行合理代换，然后进行问题的转化，往往能够达到化难为易的目的。

如：求函数y=x+4+的值域分析，题目中变量x的范围是[-,]即∈[-1,1],这里不妨考虑设=sin （或者是cos ），然后进行代换，从而此题得以转换为三角题型求解。

解：设x=sin ，∈[-,],

则y=sin +4+=sin( +)+4

∵∈[-,],

∴4-≤=sin( +)≤4+

故，函数的值域为4-≤y≤4+

3.2 类比定义式的结构引发联想

解题时，可类比熟知的某些定义结构进行联想，进行命题的转化，开拓解题思路。

如：在锐角abc中，求证+≥3

分析联想到复数模长定义：|z|= (z=a+bi,a,b,∈r)

待证不等式的左边可以看成三个复数的模长和，然后可以利用复数模的性质命题。

证明：设e1=tga+i+tgb,e2=tgb+i+tgc,e3=tgc+i+tga,则+

=|z1|+|z2||z3|≥|z1+z2+z3|

=|z1+z2+z3|

=|tga+tgb+tgc||(1+i)|

=(tga+tgb+tgc)

又在锐角△abc中，tga+tgb+tgc≥3（证明略）

故不等式成立。

3.3 类比公式引发联想

许多数学公式都有它固有的构成形态，在解题时，通过类比联想发现题目本身或经过变形后，具有了某个公式的结构，那么可以利用公式解题。

如：若对非零常数m和任意实数x函数式子，f(x+m)=成立，求证f(x)是周期函数。

分析：要证明f(x)是周期函数，是能从周期函数定义入手，但本题条件中不能直接找到该函数的一个周期，故解题的关键是能否找到一个f(x)的周期。类比联想与f(x+m)=形式相类似的两角和的正切公式tg(x+)=,从而联想到函数=tgx,它是以为周期的函数的周期数，是的4倍，故猜测4m是函数f(x)的一个周期。

证明：由已知f(x+m)=得出，对于任意产数x,

f(x+2m)=f[(x+m)+m]===-

f(x+4m)=f[(x+2m)+2m]=-==f(x)

故f(x)是周期函数，4m是它的一个周期。

利用类比，由此产生联想，来解数学题，不仅是培养学生思维能

力的重要手段，而且是开发学生智力，提高解题能力，培养创造型人才的重要途径。

4 高等数学中的类比方法

高等数学的内容大部分是定理、概念及论证，教师在讲授时一般注重对学生推理能力培养。其实，对内容本身而言，却存在着许多可以类比的知识点。如微积分包括一元函数微积分与多元函数微积分, 它们是分别进行讲解的。讲授多元函数微积分时, 很多概念和定理、公式都可以和一元函数微积分作类比如元函数的极限、连续、偏导数、全微分、重积分等重要概念与一元函数的极限、连续、导数、微分、积分相类比。高等数学中的类比方法很多，除了上文提到的呈现出与基础数学知识类比、高数之间的类比等特点。

任何一门学科都是从简单到复杂的学习过程，高等数学也不例外，随着知识的深入，如果学生前期基础知识的学习出现了断层现象，那么学生在接触新的概念或定理的时候，就不知所云。在高等数学教学中，如果与基础知识相类比，那么抽象的概念也就容易掌握了。另外，在学习新的理论知识时, 还可以与已理解掌握的其他高等数学理论知识类比,如在讲有界闭区域上二元连续函数性质时, 可类比闭区间上一元连续函数的性质，通过类比, 可逐个得到有界闭区域上二元连续函数的性质定理及其证明。这样便起到让学生掌握知识的良好效果。即将所学的知识融汇贯通，让学生学会发散性思维。

5 数学中运用类比解题的过程

在教学中，教师首先应发挥教学的主导作用，类比为新知识的学习提供了一种基本方法，这种方法可以从以下几个方面入手。

5.1 提问

教师可以根据所要解决的问题，寻找一个相似的问题，进行类比。前提是这个问题必须是学生熟悉的、掌握过得知识，这是类比成功的基础，也是掌握新知识的必备条件。如在讲解相似多边形的性质时，可以提问相似三角形的性质，相似三角形与相似多边形的定义，然后问根据相似三角形的这些特点来想一想相似多边形具有怎样

的特点，性质是什么？教师先提出疑问，由学生进行讨论，然后教师作出解答，引导学生思考，最终学生可以找到与相似多边形有关的类比问题。

5.2 联想与辨别相结合

类比是通过两个不同的事物联想其相似点，那么联想与观察便成了基础。如梯形和等腰梯形的教学，通过观察，学生便可知道等腰梯形其实只是梯形的一种情况，通过对梯形的学习，学生能很快的了解等腰梯形的特征。这个过程的前期需要教师的点拨，通过这种有意识的培养，学生能够清楚的联想等腰梯形的特征，从而可以辨别等腰梯形和梯形，学生的创新意识也可以得到一定程度的提高。

5.3 验证结果

类比并不是非逻辑的，它的结果是经得起验证的，验证类比的结果不仅可以看出类比的正确与否，而且如果类比是正确的，结果的验证也是一个巩固知识的过程，因此，验证结果这一环节也是极其重要的。

6 在高等数学教学中运用类比方法要注意的问题

类比是一种合情推理，相类比的两事物具有相似性，如果最后通过推理得出的结论是两个事物差异的一面，那么这两个事物的类比的结论也就不能成立了。在高等数学中，相似属性和推出事物的属性之间如果没有必然联系的时候，那么，同样是用类比法得出的结论，有的可靠，有的就不一定可靠。类比推理是通过两个事物或两类事物在某种特点上相同或相似来推理的，这种推理本身就带有一定的机械性，如果不以类比对象的本质属性为依据，类比就成了机械类比。比如拿等腰三角形和相似三角形相类比，就是抓住了三角形的本质属性，类比的结果往往是正确的，如果和圆进行对比，结果就不一样了，因为圆不具备三角形的本质属性。

总之，在高等数学教学中, 恰当地运用类比方法能够使知识点化难为易, 能提高学生的创造性思维，但类比不是盲目的，需要教师的正确引导和学生的自我感悟。合理的利用类比，数学成绩将会有质的飞跃。

参考文献：

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