新冀教版八年级数学上册第15章 二次根式 全章热门考点整合应用
全章热门考点整合应用
名师点金：本章内容在中考中主要考查二次根式及其性质，二次根式的计算与化简，多以填空题、选择题或计算题的形式出现，有时也与其他知识结合在一起综合考查．
两个概念
概念1 二次根式
1．下列各式一定是二次根式的是( )
A .a
B .x 3＋1
C .1－x 2
D .x 2＋1
2．已知x ，y 为实数，且满足1＋x －(y －1)1－y ＝0，那么x 2 016－y 2 017的值是多少？
概念2 最简二次根式
3．二次根式45a ，2a 3，8a ，b ，
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(其中a ，b 均大于或等于0)中，是最简二次根式的有( )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
一个性质——二次根式的性质
4．下列计算正确的是( )
A ．－(7)2＝－7
B .（－5）2＝－5
C .24＝4 6
D ．－?
???－9162＝916 5．若a ＜0，求1b
ab 3＋a b a 的值．
6．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：c2－4c＋4－1
2－4c＋16.
4c
一个运算——二次根式的运算
7．计算：
(1)(33＋32)×(27－42)；
(2)【中考·临沂】(3＋2－1)(3－2＋1)．
两个技巧
技巧1比较大小
8．比较 2 017－ 2 016与 2 016－ 2 015的大小．
技巧2整体代入求值
9．已知x＝2－1，y＝2＋1，求x2＋y2的值．
10．已知a －b ＝3＋2，b －c ＝3－2，求2(a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac)的值．
两个应用
应用1 利用二次根式解决几何问题
11．已知长方体木盒的长、宽、高分别为4 3 dm ，12 dm ，8 dm .求该木盒的表面积和体积．
应用2 利用二次根式解决实际问题
(第12题)
12．“欲穷千里目，更上一层楼”，经测定，站在距水平地面h 米高的地方，能看得到的水平距离是d 米，且h ，d 之间近似地符合公式d ＝8h 5
，如图．当登山爱好者小明从n 米高的山腰登上2n 米高的山顶时，小明在山顶能看得到的水平距离是在山腰能看得到的水平距离的________倍．
答案
1．D
2．解：由已知可得1＋x ＋(1－y)1－y ＝0.因为1－y ≥0，所以(1－y)1－y ≥0，由被开方数的非负性得1＋x ＝0且1－y ＝0.
所以x ＝－1，y ＝1.
所以x 2 016－y 2 017＝0.
3．C 点拨：根据最简二次根式的定义可知，只有45a ，b 这两个二次根式是最简二次根式．故选C .
4．A
5．思路导引：先求出字母b 的取值范围，然后应用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简，最后再合并被开方数相同的二次根式．
解：因为a ＜0，ab 3≥0，b a
≥0，b ≠0， 所以b ＜0，－a ＞0，所以－b ＞0. 所以1b ab 3＋a b a ＝1b ab·b 2＋a ab a 2＝1b ab·（－b ）2＋a ab （－a ）2＝1b
·(－b)ab ＋a·1（－a ）ab ＝－ab －ab ＝－2ab. 点拨：化简根号内含字母的二次根式时，一定要先弄清楚这些字母的取值范围．
6．解：根据题意得2 所以c 2－4c ＋4－ 14c 2－4c ＋16 ＝（c －2）2－ ????12c －42 ＝c －2－??? ?4－12c ＝32 c －6. 7．解：(1)方法一：(先将根号外的因数移到根号内，再计算)原式＝(27＋32)×(27－32)＝27－32＝－5. 方法二：(先化简，再计算)原式＝(33＋42)×(33－42)＝(33)2－(42)2＝27－32＝－5. (2)原式＝[3＋(2－1)][3－(2－1)]＝(3)2－(2－1)2＝3－(3－22)＝2 2. 8．思路导引：因为 2 017－ 2 016>0， 2 016－ 2 015>0，所以可以先比较 2 017－2 016与 2 016－ 2 015的倒数的大小，再来比较它们的大小． 解：12 017－ 2 016 ＝ 2 017＋ 2 016（ 2 017－ 2 016）×（ 2 017＋ 2 016） ＝ 2 017＋ 2 016（ 2 017）2－（ 2 016）2 ＝ 2 017＋ 2 016， 12 016－ 2 015 ＝ 2 016＋ 2 015（ 2 016－ 2 015）×（ 2 016＋ 2 015） ＝ 2 016＋ 2 015（ 2 016）2－（ 2 015）2 ＝ 2 016＋ 2 015， 而 2 017＋ 2 016> 2 016＋ 2 015， 所以12 017－ 2 016>12 016－ 2 015 . 又因为 2 017－ 2 016>0， 2 016－ 2 015>0， 所以 2 017－ 2 016< 2 016－ 2 015. 点拨：一般地，已知a>0，b>0，如果1a >1b ，那么a ，那么a>b. 9．解：因为x ＋y ＝(2－1)＋(2＋1)＝22，xy ＝(2－1)×(2＋1)＝1.所以x 2＋y 2＝(x ＋y)2－2xy ＝(22)2－2×1＝6. 10．解：因为a －b ＝3＋2，b －c ＝3－2， 所以(a －b)＋(b －c)＝(3＋2)＋(3－2)，即a －c ＝2 3. 所以2(a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac)＝(a 2－2ab ＋b 2)＋(b 2－2bc ＋c 2)＋(a 2－2ac ＋c 2)＝(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2＝(3＋2)2＋(3－2)2＋(23)2＝5＋26＋5－26＋12＝22. 11．解：长方体木盒的表面积为 2×(43×12＋43×8＋12×8) ＝2×(43×23＋43×22＋23×22) ＝2×(24＋86＋46) ＝48＋246(dm 2)． 长方体木盒的体积为43×12×8＝482(dm 3)． 12.2 点拨：设小明在山顶能看得到的水平距离为d 1，则d 1＝82n 5，设在山腰能看得到的水平距离为d 2，则d 2＝8 n 5.得d 1d 2＝????82n 5÷8n 5＝2n 5÷n 5＝2n 5·5n ＝ 2.