2017年普通高等学校招生全国统一考试——文科数学(全国II卷)(解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试——文科数学（全国II 卷）（解析版）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合{}{}123234A B ==，，， ，，， 则=A B A. {}123,4，， B. {}123，， C. {}234，， D. {}134，， 【答案】A

【解析】由题意{1,2,3,4}A B = ，故选A. 2.（1+i ）（2+i ）=

A.1-i

B. 1+3i

C. 3+i

D.3+3i 【答案】B

【解析】由题意2(1)(2)2313i i i i i ++=++=+，故选B. 3.函数()

f

x =π

sin （2x+

）3

的最小正周期为

A.4π

B.2π

C. π

D.

2

π

【答案】C 【解析】由题意22

T π

π=

=，故选C. 4.设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则 A a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a

【答案】A

【解析】由||||a b a b +=- 平方得2222

()2()()2()a ab b a ab b ++=-+ ，即0ab = ，则a b ⊥ ，故选A.

5.若a ＞1，则双曲线x y a

=22

2-1的离心率的取值范围是

A. ∞）

B. ）

C. （1

D. 12（，）

【答案】C

【解析】由题意222

222

111c a e a a a

+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e << C. 6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A.90π B.63π C.42π D.36π

【答案】

B

7.设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤??

-+≥??+≥?

。则2z x y =+ 的最小值是

A. -15

B.-9

C. 1 D 9 【答案】A

绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点()6,3B -- 处取得最小值

12315z =--=- .故选A.

8.函数2

()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是 A.(-∞,-2) B. (-∞,-1) C.(1, +∞) D. (4, +∞) 【答案】D

【解析】函数有意义，则：2

280x x --> ，解得：2x <- 或4x > ，结合二次函数的单调性、对数函

数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为()4,+∞ . 故选D.

9.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则

A.乙可以知道两人的成绩

B.丁可能知道两人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩

【答案】D

【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D.

10.执行右面的程序框图，如果输入的a=-1，则输出的S=

A.2

B.3

C.4

D.5

【答案】B

11.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为

A.

1

10

B.

1

5

C.

3

10

D.

2

5

【答案】D

【解析】如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数

总计有25种情况，满足条件的有10种 所以所求概率为

102255

=。 12.过抛物线C:y 2=4x 的焦点F

的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l,则M 到直线NF 的距离为

B.

C.

D.【答案】C

【解析】由题知:1)MF y x =-，与抛物线2

4y x =联立得231030x x -+=，解得121

,33

x x =

=

所以M ，因为MN l ⊥

，所以(1N -，因为(1,0)F

，所以:1)NF y x =- 所以M 到NF

=

二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数()cos sin =2+f

x x x 的最大值为 .

【解析】()f x ≤=

14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ()

-，

0∈∞时，()

322=+f x x x ,

则()

2=f 【答案】12

【解析】(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-?-+=

15.长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 【答案】14π.

【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以224π14π.R S R ==== 16.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B= 【答案】

3

π 【解析】由正弦定理可得

1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23

B B A

C C A A C B B B =+=+=?=

?= 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

17.（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，

222a b +=

（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =,求3S .

18.(12分)

如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB=BC=1

2

AD, ∠BAD=∠ABC=90°。

（1） 证明：直线BC ∥平面PAD;

（2） 若△PAD 面积为P-ABCD 的体积。

.【解析】（1）证明：∵底面ABCD 中，90BAD ABC ∠=∠=? ∴//BC AD

又AD ?平面PAD ，BC ?平面PAD ，∴//BC 平面PAD . （2）∵侧面PAD 是等边三角形，且垂直于底面ABCD ，

∴PAD ?中AD 边上的高也是四棱锥P ABCD -的高，设为h ，由PAD ?的面积为

21sin602AD ?? 1

2

AD h ?=

由①②可得2AD =

,h ==

在底面ABCD 中，由1

2

AB BC AD ==

∴1

3

ABCD V S h =??四棱锥P-ABCD 四边形

()11132622AD AD BC AD AB h AD h ??=?+??=+?? ???

21188AD h =??== 19（12分）

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）, 其频率分布直方图如下：

（1） 记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，估计A 的概率；

（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

（3） 根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较。 附： ）2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++

20.（12分）

设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足

（1） 求点P 的学*科网轨迹方程； 设点 在直线x =-3上，且

.证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .

【解析】（1）设()()()1,,,0,,P x y N x M x y

由NP = 知

1y =即1y =

又M 点在椭圆2

212

x y +=上，则有

22

122

x y +=即222x y +=

（2）设())

3,,Q t P θθ-，则有

)()

3,t OP PQ θθ

θθ?=

-

222cos sin 2sin 1θθθθ=---=

即sin 30θθ--= 设椭圆右焦点()1,0F -

又)()3,FP OQ t θθ

?=

+-

3sin 0θθ=--= ∴FP OQ ⊥

∴过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . （21）（12分） 设函数f(x)=(1-x 2)e x . （1）讨论f(x)的单调性；

（2）当x ≥0时，f(x)≤ax +1，求a 的取值范围. 【解析】（1）()()()

222112x x x f x xe x e x x e '=-+-=--

令()0f x '=得2210x x +-=，解得121,1x x ==

∴()f x 在区间())

,1,

1,-∞+∞是减函数，

在区间()

1是增函数

（2）∵0x ≥时，()1f x ax ≤+，∴()

211x x e ax -≤+

∴210x x x e e ax -++≥，令()21x x h x x e e ax =-++， 即[)0,x ∈+∞时，()0h x ≥，而()00h =，∴()00h '≥ ∴10,1a a -≥≥；

再令()()22x x x x h x x e xe e a ?'==+-+，()()

241x x x x e ?'=++

0x ≥时，()0x ?'>恒成立. ∴()h x '在[)0,+∞是增函数，

恒有()0h x '≥，从而()h x 是增函数，()00h =，()0h x ≥ 在[)0,+∞恒成立，故1a ≥即为所求.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。曲线C 1的极坐标方程为

（1）M 为曲线C 1的动点，点P 在线段OM 上，且满足16?OM OP =，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；

（2）设点A 的极坐标为π

23

（，），点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值。

14cos sin 2θθθ??= ? ???

2sin 23πθ?

?=- ??

?

∵,22ππθ??

∈- ???

，∴422,333πππθ??-∈- ???，∴当232ππθ-=-即2πθ=-时，

OAB ?的面积取最大值为2.

23. [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知

=2。证明：

（1）()()

33

4a b a b ++≥ ：

（2）。