甘肃省天水市秦安县第二中学2016届高三数学上学期第三次检测试题 理

甘肃省天水市秦安县第二中学2016届上学期高三级第三次检测考试

数 学（理科） 试 题

第I 卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数i

z -=

12

，则复数z 的模是 A.1 B.2 C.3 D.22 2. 等比数列{}n a 中，6453=a a ，则=4a

A.8

B.8-

C.8或8-

D.16 3. 若命题:

01

x

p x <-,命题2:2q x x <,则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 已知向量(1,2)a =

，b a ⊥，则b 可以为

A ．(1,2)

B ．(1,2)-

C ．(2,1)

D ．(2,1)- 5. 命题“存在,0R x ∈使得020

≤x ”的否定是

A.不存在,0R x ∈使得02

>x B. 存在,0R x ∈使得020>x C.对任意02,>∈x R x D. 对任意02,≤∈x R x

6. 已知sin(

)sin 3

π

αα++=

7sin()6πα+的值是

A.45 D.45-

7. 设,x y 均为正实数，且

33

122x y

+=++，则xy 的最小值为

A.4

B.8. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足①对任意的x 都有(4)()f x f x +=成立；②当

[0,2]x ∈时，()22|1|f x x =--，则1

()||

f x x =

在[4,4]-上根的个数是 A.3 B.4 C.5 D.6 9.函数)sin()(?ω+=x A x f （其中)2

,0π

?<

>A ）的图象如图所示，为了得到

x x g ωcos )(=的图象，则只要将)(x f 的图象

A.向左平移

12π个单位长度 B ．向右平移12π

个单位长度 C.向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6

π

个单位长度

10. 已知数列{}n a

满足110,1n n a a a +==+，则13a =

A.143

B.156

C.168

D.195

11. 已知O 为ABC ?的外心，2AB = ,4AC =

，若y x +=，且

42x y +=

=

A ．1

B ．2 C

D ．4

12. 已知函数222

()()(ln 2)f x x a x a =-+-，其中0,x a R >∈，存在0x ，使得04

()5

f x ≤

成立，则实数a 的值为 A.

15 B.25 C.1

2

D.1 第II 卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13. 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ?=

__________．

14. 若,x y 满足不等式组2

12

x y x y +≥??

≤??≤?

，则12z x y =+的最小值是__________．

15. 由直线20x y +-=，曲线3

y x =以及x 轴围成的图形的面积为__________．

16. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21()21x x f x -=+，且22014(2)sin 3f a π

-=，

20142015(2)cos

6

f a π

-=，则2015S =__________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）

设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos sin 2sin sin()B A A A B -=-，且1

2,cos 4

a C ==，求

b 及ABC ?的面积.

18.（本小题满分12分）

某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元.供大于求时，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.

（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，*

n N ∈）的函数解析式；

（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件），整理得下表：

若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求该商品一天的利润X 的分布列及平均值.

19.（本小题满分12分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知10,1n a a >=，且22

1,2,n n n a S a +成等比数列，

*n N ∈.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21

n n

b a =，数列{}n b 前n 项和为n T ，求证2n T <.

20. (本小题满分12分)

直三棱柱111ABC A B C -中，11AA AB AC ===，,E F 分别是

1,CC BC 的中点，11AE A B ⊥，D 为棱11A B 上的点．

（1）证明：DF AE ⊥；

（2）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的

余弦值为14

？若存在，说明点D 的位置，若不存在，说明理由．

21. (本小题满分12分)

已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(A ，点12,F F 分别

为其左右焦点．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若2

4y x =上存在两个点,M N ，椭圆上有两个点,P Q 满足2,,M N F 三点共线，

2,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥,求四边形PMQN 面积的最小值．

22. (本小题满分12分)

已知函数2

()ln x f x x

=.

(1)求函数()f x 在区间14

[,]e e 上的最值；

(2)若244()()ln m mx

g x f x x

-=+（其中m 为常数），当102m <<时，设函数()g x 的3

个极值点为,,a b c ，且a b c <<，证明：021a b c <<<<.

数学（理科）试题参考答案

一、选择题： 1-5 BCADC 6-10 DDBAC 11-12 BA 二、填空题：13. 2 14.

32 15. 3

4

16.4030 17 解：2cos sin 2sin sin()B A A A B -=-

2cos sin 2sin sin cos cos sin B A A A B A B ∴-=-

即sin cos cos sin 2sin A B A B A +=

sin()sin 2sin A B C A ∴+==………………………4分

2c a ∴= 4c =………………………5分

又222

2cos c a b ab C =+-即21164-224

b b =+??

2

120b b ∴--= 解得3()4b b =-=舍去或………………………8分

1

22

ABC S ?∴=?=………………………10分

18．解：（1）当110n ≤≤时，50(10)(10)60100y n n n =+-?-=-，………2分

当10n >时，5010(10)3030200y n n =?+-?=+，………4分

所以函数解析式**

60100,110,30200,10,n n n N y n n n N

?-≤≤∈?

=?->∈??； …………6分 （2）∵日需求量为8、9、10、11、12的利润分别为380、440、500、530、560. 其概率分别为

911311

,,,,505010510

，…………8分 ∴利润X 的分布列为：

………10分

利润X 的平均值为：

91131123863804405005305605050105105

EX =?

+?+?+?+?=（元）………12分

19.解：（1）由已知得：222

14n n n S a a +=?，又0n a > ，

12n n n S a a +∴=?，11222,2a a a a ∴=?∴=………2分

当2n ≥时，112n n n S a a --=?

112()n n n n a a a a +-∴=-，112n n a a +-∴-=………4分 121,2a a == ，

1,3521,,,n a a a a -∴ 是首项为1，公差为2的等差数列；

2,462,,,n a a a a ∴ 是首项为2，公差为2的等差数列；…………6分 {}n a ∴是首项为1，公差为1的等差数列， n a n ∴=.…………7分

（2） 2

1

n b n =

222

111111111223(1)23n T n n n =+

+++<++++??-? ………10分

1111111(1)22

2231n n n

=+-

+-++-=-<- .………12分 20.解: （1）证明：∵11AE A B ⊥，11//,A B AB AE AB ∴⊥ 又∵11,AA AB AA AE A ⊥= ∴AB ⊥面11A

ACC . 又∵AC ?面11A ACC ，∴AB AC ⊥，………………………………………2分 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，

则有()()()111110,0,0,0,1,,,,0,0,0,1,1,0,1222A E F A B ?

??? ? ?????

， ………………4分

设()111,,,D x y z A D A B λ=

且()0,1λ∈，即(),,1(1,0,0)x y z λ-=,则

11(,0,1),,,122D DF λλ??

∴=-- ???

，

∵1110,1,,0222AE DF AE ??=∴?=-= ??

?

，所以DF AE ⊥；…6分

（2）结论：存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为

14.........................7分

理由如下：

由题可知面ABC 的法向量

()0,0,1n =

…………………………………………8分

设面DEF 的法向量为(),,n x y z = ，则0

n FE n DF ??=???=??

，

∵11111,,,,,122222FE DF λ????

=-=-- ? ????? ，

∴11102

2211022x y z x y z λ?-++=??????-+-= ?????，即()()3211221x z y z λλλ?=?-??+?=?-?

，

令()21z λ=-，则()()3,12,21n λλ=+-

．………………………………………10分

∵平面DEF 与平面ABC

∴cos ,14m n m n m n ?==

14=

， 解得12λ=

或7

4

λ=（舍），所以当D 为11A B

中点时满足要求．………………………12分 21.解：（1）由题意得：22

22

c

e a b c a =

=-=，得

,b c a =

， 因为椭圆过点2A ?

-

??

，则22111,

2c c +=解得1,c =所以a = 所以椭圆C 方程为:2

212

x y +=．………………………………………………………4分 （2）当直线MN

斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，

易得4,MN PQ S ===5分 当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：(1)(0)y k x k =-≠

与2

4y x =联立得()

2222240k x k x k -++=，

令1122(,),(,)M x y N x y ，则121224

2,1x x x x k

+=

+?

=， 244MN k ==+，…………………………………………7分 ∵PQ MN ⊥，∴直线PQ 的方程为：1

(1)y x k

=-

-， 将直线与椭圆联立得，2

2

2

(2)4220k x x k +-+-=，

令3344(,),(,)P x y Q x y ，2

341222

422,22k x x x x k k

-+=?=++，

由弦长公式PQ ==9分

∴四边形PMQN

的面积()22

22

1)22k S MN PQ k k +==+,………………………10分 令2

1(1)t k t =+>，上式

21

)1S t =

==+>-

所以S ≥

12分 22.解：（1）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞

()()22ln 1ln x x f x x -'=，令()0f x '=

可得14,x e e ??=????

当1

4

e x <<

()0f x '<，函数()f x 单调递减；

x e <时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. ……………………………2分

(

)min 2f x f

e ∴==

，又()124,f e f e e ??

== ???

且2e >

所以函数()f x 的最小值为2e ，最大值为2

e ……………………………………………4分

（2）由题意得()2

22244()ln ln x m x m mx g x x x

-+-==

()()2222ln 1ln m x m x x g x x

??-+

- ???

'=

………………………………………………………6分

令()22ln 1m h x x x =+

-，有()222x m h x x

-'= 所以函数()h x 在()0,m 上单调递减，在(),m +∞上单调递增…………………………8分 因为函数()g x 有三个极值点,,a b c

从而min ()()2ln 10,h x h m m m ==+<∴< 当1

02

m <<

时，(2)2ln 0,(1)210h m m h m =<=-< 从而3个极值点中，有一个为2m ，有一个小于m ，有一个大于1. 又a b c <<，0,2,1a m b m c ∴<<=>即0,212

b

a b m c <<

=<<， 故021a b c <<<<…………………………………………………12分