第五讲 最大公因数与最小公倍数 (教师版)
第五讲最大公因数与最小公倍数（教师版）
例1、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。至少能剪块。
【分析】：根据题意，剪得的小正形的边长必须是90和42的最大公约6。所以原长方形的长要分90÷6＝15段，宽要分42÷6＝７段，至少能剪17×７＝105（块）
解：（１）求90和42的最大公约数
2 90 42
3 45 21
15 7
（90，42）＝60
（2）求至少剪多少块正方形铁板
90÷6＝15
45÷6 ＝7
15×7＝105（块）
答：至少可以剪105块正方形铁板。
例2、学校在排练团体操，要求队伍分别变为12行、15行、18行、24行时，都能成为矩形，应该至少有多少人参加团体操排练？
这样想：由于队伍在变成12行、15行、18行、24行时，都能成为矩形，因此人数必须是12、15、18、24的倍数，求最少的人数就是求12、15、18、24的最小公倍数。
解：
[12,15,18,24]= 360
答：最少需要360人参加团体操排练。
练习
1、有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米，现在要它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
分析∵要截成相等的小段，且无剩余，
∴每段长度必是120、180和300的公约数。
又∵每段要尽可能长，
∴要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数。
解：∵ 30 120 180 300
2 4 6 10
2 3 5
（120，180，300）=30×2=60
∴每小段最长60厘米。
120÷60+180÷60+300÷60=2+3+5=10（段）
答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。
2、有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟响铃又亮灯。问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？
解:算出9和60的最小公倍数是180，这就是说，从正午起过180分钟，也就是3小时，电子钟会再次既响铃又亮灯。
例3、甲数是36，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数应该是。
（北京市第一届迎春杯数学竞赛刊赛试题）
答：乙数=288×4÷36=32。
例4、两个自然数的和为50，它们的最大公约数是5，则这两个数的差为几？
分析：由于这两个数的公约数是5，所以它们都是5的倍数，本体也就是要把50分成两份，这两份的最大公约数是5.
解：∵50 = 5＋45 = 10＋40 = 15＋35 = 20＋30 = 25＋25
但（5，45）= 5，（15，35） = 5，
而（10，40） = 10，（20，30）= 10，（25，25）= 25
∴这两数可能为5与45，也可能是15与35。
答：这两个数的差为40或20.
练习
1、两个数的积是5766，它们的最大公约数是31，这两个数是几？
2、甲、乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数，商是12，如果甲、乙两数相差为18，，求此二数？
例5、求5957与4107的最大公约数.
说明，在两个整数不容易看出公约数时，可以使用辗转相除法，能够较容易看出公约数时，用另外两种方法更好。
1 5957 4107 2
4107 3700
4 1850 407 1
1628 222
1 22
2 185
185 185 5
37 0
所以（5957 4107）=37
练习
求4811和1981的最大公约数和最小公倍数。
解：∵ 4811=2×1981+849，
1981=2×849+283，
849=3×283，
∴（4811，1981）=283
例6、大雪后的一天，小光与爸爸共同步测一个圆形花坛的周长。他们走的起点、路线、方向完全相同，小光每步长54厘米，爸爸每步长72厘米。由于两人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印，这个花坛的周长是多少？
这样想：根据题意，首先求出72和54的最小公倍数，也就是求出了每两个重叠脚印之间的距离，[72,54] = 216.
由于216 = 72×3，216 = 54×4，因此在216厘米的距离上，爸爸走了3步，小光走了4步。这段路上有6个脚印（不算起点处的脚印），花坛一周是60个脚印，共可分为10段，所以花坛的周长是216×10= 2160（厘米），合21.6米。
答：这个花坛的周长是21.6米。
例7、把一个时钟改装成玩具钟，使得时针每转一圈，分针转16圈，秒针转36圈，开始时三针重合，问在时针旋转一周的过程中，三针重合了几次（不计起点与终点的位置）？
分析：这是一个环形跑道上的追及问题，又与公倍数有关，而要考虑三针重合问题，可以先考虑两针重合，再进而找出三针重合的时间规律。
解：时针转1圈，分针转116圈，故分针在此过程中追上时针（并与时针重合）15次，同理，在时针转1圈的时间内，秒针追上时针35次。
为了方便起见，由于[15，35] = 105，不妨假定改装成的这个玩具钟每105分钟转一圈，于是，分针每隔105÷15 = 7分钟追上时针一次，秒针每隔105÷35 = 3分钟追上时针一次，问题转变为：分针每7分钟追上时针一次，秒针每3分钟追上时针一次，开始时三针重合，问在105分钟内三针重合几次（不计起、终点的位置）？
由于[3，7]= 21，故三针每21分钟重合一次。
105÷21= 5，再除去结束时一次，即三针重合4次。
答：三针重合4次。
练习
从运动场一端到另一端全长96米，从一端起到另一端每隔4米插一面小红旗。现在要改成每隔6米插一面小红旗，问可以不拔出来的小红旗有多少面？
解：因为6和4的最小公倍数是12，所以可以不拔出来的小红旗有 96÷12+1=8+1=9（面）。
1、海港码头三只船，甲船往返需三天，乙船出海五天回，丙船七天返回岸，三船1996年元旦出海去，下次同遇码头边，恰在这一年的几日？请你动脑细心算。
解：3、5、7的最小公倍数是[3，5，7]=105；
又1996年闰年，二月是29天，一月、三月都是31天，
105-（31+29+31）=14
因此，下次三船同遇码头边在4月14日。
2、有336个苹果、252个桔子、210个梨，用这些水果可分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三种水果各多少？
解：42份；每份有苹果8个，桔子6个，梨5个。
3、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分钟、1分15秒和1分30秒。问：三人同时从起点出发，几分钟后他们又在起点相会？
解：15分。
1、乙、丙三个学生定期向某老师求教，甲每4天去一次，乙每6天去一次，
丙每9天去一次。如果这一次他们三人3月23日都在这个老师家见面，那么下一次三人都在老师家见面的时间是几月几日？
2、加工某种零件要三道工序，第一道工序，每人每小时可完成48个，第二道工序，每人每小时可完成32个，第三道工序，每人每小时可完成28个。三道工序至少各要多少工人？如何搭配才算最合适？
答：提示所谓搭配合适，是提各道工序在同一时间内所加工的零件数是相同的。
加工零件数，即[48，32，28]=672
第一道工序要工人14名，第二道工序要工人21名，第三道工序要工人24名。
★
1、用辗转相除法求（5890，6327）。
答：19。
2、有320个苹果，240个橘子，200个梨，用这些水果最多可分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、橘子、梨各有多少个？
答：最多可分成40份同样的礼物每份礼发挥中有8个苹果，6个橘子，5个梨。
3、某车站有开往甲、乙、丙三地的汽车，到甲地的汽车每隔15分钟开出一辆，到乙地的汽车每隔20分钟开出一辆，到丙地的汽车每隔50分钟开出一辆。如果三种车的头班车都在早6时开出，那么，最近在什么时间开往这三地的汽车又一次同时从该站发车？
答：11时。
4、加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？
分析要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是3、10和5的公倍数，要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍数。
解：∵ 5 3 10 5
3 2 1
〔3，10，5〕=5×3×2=30
∴各道工序均应加工30个零件。
30÷3=10（人）
30÷10=3（人）
30÷5= 6 （人）
答：第一道工序至少要分配10人，第二道工序至少要分配3人，第三道工序至少要分配6人。
★★
5、有一个数在700到800之间，用15、18和24去除。都不能整除。如果给这个数加1，就能同时被15，18和24整除。这个数是。
解：这数加上1，是15，18，24的公倍数，因而是它们的最小公倍数[15，18，24]=360的倍数。由于这个数加个1在701到801之间，所以这个数是2×360-1=719。
6、有一盒糖，如果按每4块一堆分开，结果多出1块；按每5块一堆分开，也多出1块；按每6块一堆分开，还是多出1块。问：这盒糖至少有多少块？
解：如果从何种拿走一块糖，那么剩下的糖分别按4块、5块、6块一堆分开，都是正好分完，即拿走一块后，剩下的块数，一定是4、5、6的公约数。由于题目的要求至少有多少块糖，所以应该是4、5、6的最小公倍数再加1。也就是说这盒糖至少有61块。
7、一个圆的周长是60厘米，从圆周的某一点开始，沿着圆周每隔16厘米取一点，直到与原起点重合为止。圆周上共取了多少个点？
解：15个
8、两个数的最大公约数是15，最小公倍数是450，求这两个数的所有可能。
解：15，450 30，225 15，150 75，90
9、四个连续自然数的最小公倍数是5460，这四个数的和是多少？
★★★
10、四个自然数的和为1111，这四个数的公约数最大是几？