高三集体备课函数性质教案

郫县二中高三（2012届）数学集体备课材料之五

（活动时间：2012年3月12日）

课题：函数性质（需4个课时）

主讲人：徐建文

一、知识要点和能力要求：

现行教材对函数的考试要求：

（1）了解映射的概念，理解函数的概念。

（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。

（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。

（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质。

（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质。掌握对数函数的概念、图像和性质。

（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。

新课标对函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）的要求

（1）函数

①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.

② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.

③ 了解简单的分段函数，并能简单应用.

④ 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.

⑤ 会运用函数图像理解和研究函数的性质. （2）指数函数

① 了解指数函数模型的实际背景.

② 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. ③ 理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性掌握指数函数图像通过的特殊点.

④ 知道指数函数是一类重要的函数模型. （3）对数函数

① 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.

② 理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点.

③ 知道对数函数是一类重要的函数模型；

④ 了解指数函数

x a y =与对数函数x y a log =互为反函数(10≠>a a 且)

（4）幂函数 ①了解幂函数的概念

②结合函数x y =,2

x y =,3

x y =,x

y 1

=,21

x y =的图像,了解它们的变化情

况.

（5）函数与方程

① 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.

② 根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解. （6）函数模型及其应用

① 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.

② 了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。

二、高考中的考查特点

1、利用熟悉的初等函数考查函数的图像与性质、反函数的求法及分段函数问题；函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样

特别是两性质的应用更加突出，函数的单调性、奇偶性、周期性经常融为一体考查求值或比较大小或数形结合确定范围，题目多为选择题，难度中等，但往往存在命题陷阱，属易错考题。

2、对二次函数、指数函数、对数函数的考查主要在选择填空题中考查二次函数的最值、图像，指数型函数、对数型函数的图像和性质；将二次函数、指数函数、对数函数与其它知识相融合，考查综合应用。

三、突破重点和难点的措施：

1、深刻理解奇偶性、单调性及周期函数的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数、奇偶函数与周期的图象，善于利用函数的性质及图象的三种变换来作图、解题，形成应用意识。

2、分析函数的图象，实质就是分析函数的性质，主要观察以下几点：

(1)图象的上界与下界(即函数的最大值与最小值)；

(2)与坐标轴的交点(即f(x)＝0或x＝0的点)；

(3)图象的对称性(即函数的奇偶性)；

(4)图象在某段上的变化趋势(即函数的单调性)；

(5)图象的变化规律(即函数的周期性)．

3、重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．

4、强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”．

5、掌握“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．

四、函数的性质

1、函数单调性

(1)函数单调性定义

对于函数定义域内某一区间D 内任意x 1，x 2，且x 1

有?????

f (x 1)f (x 2)?y ＝f (x )在D 上为减函数.

(2)复合函数的单调性

(3)求单调区间应注意：①勿忘定义域；②在多个单调区间之间不一定能添加“∪”和“或”；③单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示 2、函数奇偶性 (1)奇偶函数定义

函数的定义域区间关于原点对称，且对定义域内任意x ，有

?????

f (－x )＝－f (x )?f (x )为奇函数.f (－x )＝f (x )?f (x )为偶函数.

其中包含两个必备条件：

①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地解决问题；

②判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． (2)奇偶函数的性质

函数y ＝f(x)是奇函数?y ＝f(x)的图象关于原点对称；

函数y ＝f(x)是偶函数?y ＝f(x)的图象关于y 轴对称．

①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． ②若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． ③若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0. f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件．

④定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”．

⑤复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”． ⑥既奇又偶的函数有无穷多个(如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)． 3、函数的周期性

(1)当x 取定义域内的每一个值时，均有f(x ＋T)＝T ，则函数f(x)为以T 为周期的周期函数．如果T 是函数y ＝f(x)的周期，则kT(k ≠0，k ∈Z)也是函数y ＝f(x)的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期（周期函数不一定有最小正周期）．

(3)由周期函数的定义“若函数f(x)满足f(x)＝f(a ＋x)(a>0)，则f(x)是周期为a 的周期函数”得：

①若函数f(x)满足－f(x)＝f(a ＋x)，则f(x)是周期为2a 的周期函数； ②若f(x ＋a)＝)1(x

f (a≠0)恒成立，则T ＝2a ； ③若f(x ＋a)＝－

)(1

x f (a≠0)恒成立，则T ＝2a.

(4)如果函数f(x)的图象同时关于直线x＝a和x＝b对称，那么函数f(x)为周期函数，周期为T＝2|a－b|.

(5)如果函数f(x)满足f(x－a)＝f(x－b)，那么函数f(x)为周期函数，周期为T＝|a－b|.

4、函数图象变换

(1)平移变换：

函数y＝f(x＋a)(a≠0)的图象可以由y＝f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|

|a个单位而得到；

函数y＝f(x)＋b(b≠0)的图象可以由y＝f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|

|b个单位而得到．

(2)伸缩变换：

函数y＝Af(x)(A>0，且A≠1)的图象可由y＝f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

函数y＝f(ωx)(ω>0，且ω≠1)的图象可由y＝f(x)的图象上各点的横坐标

1倍，纵坐标不变而得到．缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的

(3)对称变换：

函数y＝－f(x)的图象可通过作函数y＝f(x)的图象关于x轴对称的图形而得到；

函数y＝f(－x)的图象可通过作函数y＝f(x)的图象关于y轴对称的图形而得到；

函数y＝－f(－x)的图象可通过作函数y＝f(x)的图象关于原点对称的图形而得到；

函数y＝f－1(x)的图象可通过作函数y＝f(x)的图象关于直线x

y=对称的图形而得到；

函数y＝|f(x)|的图象可通过作函数y＝f(x)的图象，然后把x轴下方的图

象以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分保持不变而得到；函数y ＝f (|x |)的图象是：函数y ＝f (x )在y 轴右侧的部分及其该部分关于y 轴对称的部分．四、知识应用： (一) 函数单调性应用问题

例1 (2011年高考湖南卷)已知函数f(x)＝e x －1，g(x)＝－x 2＋4x －3，若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为( )

A ．[2－2，2＋2]

B ．(2－2，2＋2)

C ．[1,3]

D ．(1,3)

解析：函数f(x)＝e x －1为增函数，其值域为(－1，＋∞)，故f(a)＞－1.若有f(a)＝g(b)，则需满足g(b)＝－b 2＋4b －3＞－1，化简整理得b 2－4b ＋2＜0，解得2－2＜b ＜2＋ 2. 答案：B

例2 已知f(x)是R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x

? ??21＋1，则f(x)的反

函数的图象大致是( )

解法一当x ＞0时，1＜f(x)＜2且为减函数，此时可解得反函数为 f -1(x)=2

1log (x －1) (1＜x ＜2) 且为减函数，对照选项可知只有A 正确．

解法二原函数中，f(1)＝1.5，故f －1(1.5)＝1，排除C 、D ，又在原函数中，当x ＞0时，1＜f(x)＜2，故f －1(x)＞0,1＜x ＜2，排除B. 【答案】 A

例3 (2011年高考辽宁卷)设函数f(x)＝1

log 11

2{21>-≤-x x x x

则满足f(x)≤2的x 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．[0,2] C ．[1，＋∞) D ．[0，＋∞)

当x≤1时，由x -12≤2，知x≥0，即0≤x≤1.当x ＞1时，由1－log2x≤2，知x≥1

2，即x ＞1，所以满足f(x)≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．

【答案】 D

例4 (2011年高考重庆卷)下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是( )

A ．(－∞，1] B.??????

－1，43

C.?

?????

0，32 D ．[1,2)

解法一当2－x ≥1，即x ≤1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0<2－x ≤1，即1≤x<2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2)上单调递增，故选D. 解法二 f(x)＝|ln(2－x)|的图象如图所示．

由图象可得，函数f(x)在区间[1,2)上为增函数，故选

例5 设函数

()1

1ax f x x -=

+，其中a R ∈

（1）解不等式()1f x ≤-

（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间()0,+∞上是单调减函数。解：（1）不等式

()1f x ≤-即为()11

1011a x ax x x +-≤-?≤++

当1a <-时，不等式解集为()[),10,-∞-+∞ 当1a =-时，不等式解集为()(),11,-∞--+∞ 当1a >-时，不等式解集为(]1,0- （2）在()0,+∞上任取1

x <，则

()()()()()()

12121212121111111a x x ax ax f x f x x x x x +----=

++++

12121200,10,10x x x x x x <<∴-<+>+>

所以要使()f x 在()0,+∞递减即()()120f x f x ->，只要10a +<即1a <- 故当1a <-时，()f x 在区间()0,+∞上是单调减函数。

例6 已知函数()f x 的定义域为[0,1]，且同时满足：①(1)3f =；②()2

f x

≥恒成立；

③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-．（1）试求函数()f x 的最大值和最小值；（2）试比较

)2n f 与1

22n +的大小(n ∈N ）；

（3）某人发现：当x=1

2n (n ∈N)时，有f(x)<2x+2.由此他提出猜想：对一切

x ∈(0,1],都有()22f x x <+，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．解: (1)设0≤x 1

由条件②得, f(x2)-f(x1)≥0,

故当0≤x ≤1时,有f(0)≤f(x)≤f(1). 又在条件③中,令x1=0,x2=1,得f(1)≥f(1)+f(0)-2,即f(0)≤2,∴f(0)=2,

故函数f(x)的最大值为3,最小值为2. (2)解:在条件③中,令x1=x2=12n ,得f(12n-1)≥2f(12n )-2,即f(12n )-2≤

2[f(1

2n-1

)-2], 故当n ∈N*时，有f(12n )-2≤12[f(12n-1)-2]≤122[f(12n-2)-2]≤···≤

2n [f(120)-2]=1

2n , 即f(12n )≤1

2n +2.

又f(120)=f(1)=3≤2+1

所以对一切n ∈N,都有f(12n )≤1

2n +2.

(3)对一切x ∈(0,1],都有()22f x x <+. 对任意满足x ∈(0,1]，总存在n(n ∈N),使得 12n+1

2n ,

根据（1）（2）结论，可知： f(x)≤f(12n )≤1

2n +2,

且2x+2>2?12n+1+2=1

+2,

故有()22f x x <+.

综上所述，对任意x ∈(0,1],()22f x x <+恒成立. (二) 函数奇偶性应用问题

例1 (2011年高考广东卷)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 B ．f (x )－|g (x )|是奇函数

C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数

D ．|f (x )|－g (x )是奇函数

解析: 由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )，由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )，故|g (x )|为偶函数， ∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．【答案】 A

例2 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x | ∵y ＝x 3在定义域R 上是奇函数，∴A 不对．

y ＝－x 2＋1在定义域R 上是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，故C 不对．

D 中y ＝2－|x |＝??

? ??21|x |

虽是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，故D 不对．只

有B 对．【答案】 B

例3 (2011年德州一模)如图，虚线部分是四个象限的角平分线，实线部分是函数y ＝f (x )的部分图象，则f (x )可能是( ) A ．x sin x

B ．x cos x

C ．x 2cos x

D ．x 2sin x

函数图象关于y 轴对称，说明函数是偶函数，排除B ，D ；又根据函数图象可知，函数满足|f (x )|≤|x |，则只有A 项符合条件．【答案】 A

例4 (理科)(2011年高考山东卷)函数y ＝x

－2sin x 的图象大致是(

)

因为y ＝x

－2sin x 是奇函数，所以其图象关于原点对称，因此可排除A.

为求解本题，应先研究x 2

＝2sin

x ，即sin x ＝14

x ，在同一坐标系内作出y1＝sin x 与y2＝1

x 的图象，如

图，

可知，当x>0时，y1＝sin x 与y2＝1

4x 只有一个交点，设其交点坐标为(x0，

y0)，则当x ∈(0，x0)时，sin x>14x ，即2sin x>12x ，此时，y ＝1

2x －2sin x<0.

又f′(x)＝1

－2cos x ，因此当x>0时，可以有f′(x)>0，也可以有

f′(x)<0，

即函数有增有减，有多个极值点，且极值点呈周期性，因此可排除B 、D ，故选C.

(三) 函数周期性应用问题

例1 若)()2(x f x f -=+，则)(x f 的周期是＿＿4＿若)(1

)1(x f x f =

+，则)(x f 的周期是＿2＿＿＿；若

)(1

)1(x f x f -

=+，则)(x f 的周期是＿＿2＿＿；

若)(x f 是偶函数，且图象关于2=x 对称，则)(x f 的周期是＿＿4＿＿；

例2 (2011年高考新课标卷)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )

A ．10个

B ．9个

C ．8个

D ．1个

解析：如图，作出图象，可知y ＝f (x )与y ＝|lg x |的图象共有10个交点．

【答案】 A

例 3 已知函数y ＝f(x ＋3)是偶函数，则函数y ＝f(x)图象的对称轴方程为 ( C )

A ．x ＝－3

B ．x ＝0

C ．x ＝3

D ．x ＝6

解析 ∵y ＝f(x ＋3)是偶函数，∴f(x ＋3)＝f(－x ＋3)，故y ＝f(x)图象关于x ＝3对称．

例4 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f(x ＋2)＝－f(x)．当x ∈[0,2]时，f(x)＝2x －x2.

(1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)．解析: (1)证明 ∵f(x ＋2)＝－f(x)， ∴f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，

∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x －8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x2＋6x －8，即f(x)＝x2－6x ＋8，x ∈[2,4]．

(3)解 ∵f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7) ＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)＝0

例5 设函数)(x f 定义在R 上，对于任意实数n m ,，总有)()()(n f m f n m f =+，且当0>x 时，1)(0<

（1）证明：1)0(=f ，且0x f （2）证明：函数在R 上单调递减

（3）设

{}

)1()()(|),(2

2f y f x f y x A >={}R a y ax f y x B ∈=+-=,1)2(|),(，若Φ=?B A ，确定a 的取值范围。

（1）解：令0=n ，则)0()()0(f m f m f =+，对于任意实数m 恒成立，1)0(=∴f 设0-x ，由1)()())((=-=-+x f x f x x f 得

)(1

)(x f x f -=