湖南省岳阳市一中2018届高三上学期第一次月考数学理试题Word版含答案

2018届高三年级第一次质量检测

数学试卷（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设复数z 满足

()()225z i i --=，则z =（ ）

A ．23i +

B ．23i -

C ．32i +

D ．32i -

2.已知{}{

}

2

22

|,,|1,,M y y x x R N y x y x R y R ==∈=+=∈∈，则M N ?=（ ） A ．

[]2,2- B ．[]0,2 C ．[]0,1 D ．[]1,1-

3.等比数列

{}n a 的前n 项和为n S ，若362,18S S ==，则

10

5

S S 等于（ ） A ．-3 B ．5 C ．-31 D ． 33 4.已知()()tan 20,α

απ=∈，则5cos 22πα??

+= ???

（ ）

A ．

35 B ．45 C. 35- D ．4

5

- 5.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入x 的取值范围是（ ）

A ．

(]4,10 B ．()2,+∞ C. (]2,4 D ．()4,+∞

6.

若n

的展开式中所有项的系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是（ ）

A ．-270

B ．270 C. -90 D ．90

7.一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A ．

32π B ．1π+ C. 1

6

π+ D ．π 8.有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（ ） A ． 34种 B ． 48种 C. 96种 D ．144种 9.定义在R 上的函数

()f x 满足()()2f x f x +=，当[]3,5x ∈时，()24f x x =--，则下

列不等式一定成立的是（ ） A ．cos sin 66f f ππ??

??> ? ??

??? B ．()()sin1cos1f f < C. 22cos

sin 3

3f f ππ???

?

> ?

??

??

?

D ．()()sin2cos2f f < 10.已知,a b 为平面向量，若a b + 与a 的夹角为3π，若a b + 与b 的夹角为4π

，则a b

=

（ ）

A

．2 11.已知两定点()1,0A

-和()1,0B ，动点(),P x y 在直线3y x =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦

点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）

A

12.只能被1和它本身整除的自然数（不包括1）叫做质数，41，43，47，53，61，71，83，97是一个由8个质数组成的数列，小王同学正确地写出了它的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数，试写出一个数P 满足小王得出的通项公式，但它不是质数，则

P =（ ）

A ．1677

B ． 1681 C. 1685 D ．1687

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上

13.已知幂函数

()y f x =

的图象过点1,22? ??，则()2log 2f 的值为 ．

14.若()sin

3

n f n π

=，则()()()()1232017f f f f ++++= ． 15.已知三棱锥S ABC -，满足,,SA SB SC 两两垂直，且2SA SB SC ===，Q 是三棱锥

S ABC -外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为 ．

16.已知实数,a b 满足()ln

130b a b ++-=，实数,c d

满足20d c -=，则

()

()2

2

a c

b d -+-的最小值为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知向量

()2cos ,cos 1,,22C m B n c b a ??=-=- ??

? ，且0m n = .

（1）求角C 的大小；

（2）若点D 为AB

上一点，且满足,AD DB CD c ===

ABC ?的面积.

18.如图1，在ABC ?中，0

02,90

,30AC ACB ABC =∠=∠=，P 是AB 边的中点，现把

ACP ?沿CP 折成如图2所示的三棱锥A BCP -

，使得AB =

（1）求证：平面ACP ⊥平面BCP ；

（2）求二面角B AC P --的余弦值.

19.习大大构建的“一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与.岳阳市旅游局顺潮流、乘东风，闻讯而动，决定利用旅游资源优势，撸起袖子大干一场.为了了解游客的情况，以便制定相应的策略.在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如下：

（1）若景点甲中的数据的中位数是125，景点乙中的数据的平均数是124，求,x y 的值； （2）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据.今从这段时期内任取4天，记其中游客数超过120人的天数为ξ，求概率()2P

ξ≤；

（3）现从上图的共20天的数据中任取2天的数据（甲、乙两景点中各取1天），记其中游客数不低于115且不高于125人的天数为η，求η的分布列和期望.

20.已知点P 是直线:2l y x =+与椭圆()22

211x y a a

+=>的一个公共点，12,F F 分别为该椭圆的

左右焦点，设

12PF PF +取得最小值时椭圆为C .

（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；

（2）已知,A B 为椭圆C 上关于y 轴对称的两点，Q 是椭圆C 上异于,A B 的任意一点，直线

,QA QB 分别与y 轴交于点()()0,,0,M m N n ，试判断mn 是否为定值；如果为定值，求出该定

值；如果不是，请说明理由.

21. 已知函数()()()2

1ln 102

f x a x a x x a =-++->. （1）讨论

()f x 的单调性；

（2）若()2

12

f x x ax b ≥-

++恒成立，求实数ab 的最大值. 22.请考生在下面两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分（本小题10分）.

1.选修4-4：坐标系与参数方程 直角坐标系xOy

中，直线:x t

l y =???

=??（t 为参数），曲线1cos :1sin x C y θθ=??=+?（θ为参数），以

该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C

的方程为

2cos ρθθ=-+.

（1）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）设直线l 交曲线1C 于,O A 两点，直线l 交曲线2C 于,O B 两点，求AB 的长.

2．选修4-5：不等式选讲 已知函数

()313f x x ax =-++.

（1）若1a =，解不等式()4f x ≤；

（2）若函数

()f x 有最小值，求a 的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5:ACDDA 6-10: CBCCB 11、12：AB

二、填空题

13.

12

16. 1 三、解答题

17.解：（1）由0m n =

，得()cos 2cos 0c B b a C +-= ，

由正弦定理可得()sin cos sin 2sin cos 0C B B A C +

-=，

∴sin 2sin cos 0A A C -=，∵sin 0A ≠，

∴1cos 2C =

，∵()0,C π∈，∴3C π=. （2）∵AD DB = ，∴,2CD CA CB CD CD CA CB -=-=+

，

又CD c ==

两边平方：2

2222

42cos 28CD b a ab C b a ab =++=++= ①

∵2

2

2

2

2

2cos 12c a b ab C a b ab =+-=+-= ②