2013年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考理数

2013年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）

数 学(理)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷 选择题 (共40分)

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

参考公式：

·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+

?柱体的体积公式Sh V

=. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的） 1.i 是虚数单位，复数

3

1i

i

--= （ ） A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i - 2.“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2

y xz =”成立的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 3.阅读右面的程序框图，则输出的S = （ ） A ．14 B ．30 C ．20 D ．55 4.设函数1

()ln (0)3

f x x x x =

->，则函数()f x （ ） A ．在区间(0,1)(1,)+∞，　

内均有零点

B ．在区间(0,1)(1,)+∞，　内均无零点

C ．在区间(0,1)内有零点，在区间(1,)+∞内无零点

D ．在区间(0,1)内无零点，在区间(1,)+∞内有零点

5.在10

12x x ??- ??

?的二项展开式中，4x 的系数为（ ）

A ．-120

B ．120

C ．-15

D ．15 6.在钝角△ABC 中，已知AB=3， AC=1，∠B=30°，则△ABC 的面积是（ ）

A ．

2

3 B ．

4

3 C ．

2

3 D ．

4

3 7.己知抛物线方程为2

=2y px （>0p ），焦点为F ，O 是坐标原点， A 是抛物线上的一点，FA

与x 轴正方向的夹角为60°，若OAF ?

p 的值为（ ） A ．2 B

．．2

或．2

8．已知函数5(4)4(6),

()2(6).x a x x f x a x -?

-+≤?=??>?

()0,1a a >≠ 数列{}n a 满足*()()n a f n n N =∈，且{}n a 是单调递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）

Ａ．[

)7,8 Ｂ．()1,8 Ｃ．()4,8 Ｄ．()4,7

第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布

直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽 出 人．

0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001

4000

25001000月收入（元）

频率/组距

10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .

11. 已知圆C 的参数方程为2

x y θθ?=?

=+?

cos ,

sin ,(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线截圆C 所得的弦长是 .

12．如图，CB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，

AP 与CB 的延长线交于点P ，A 为切点．若10=PA ， 5=PB ，则AB 的长为 .

13.若不等式4

+

-2+1x m x

≥对一切非零实数x 均成立,记实数m 的取值范围为M .已知集合{}=A x x M ∈，集合{}

2=--6<0B x R x x ∈，则集合=A B .

14.已知点M 为等边三角形ABC 的中心,=2AB ,直线L 过点M 交线段AB 于点P ，交线段AC

于点Q ，则BQ CP ?

的最大值为 .

三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

设函数2

2

()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为

23

π

． （Ⅰ）求ω的值；

P

C

（Ⅱ）求()f x 在区间-

63ππ??

???

?，上的值域； （Ⅲ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移

2

π

个单位长度得到， 求()y g x =的单调增区间．

16．（本小题满分13分）

在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是

23

． （Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率.

17．（本小题满分13分）

如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，且1=AB ，2=BC ，

060=∠ABC ，E 为BC 的中点， ⊥1AA 平面ABCD ．

（Ⅰ）证明：平面⊥AE A 1平面DE A 1； （Ⅱ）若E A DE 1=，试求异面直线AE 与D A 1

所成角的余弦值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角1--C A D E 的 余弦值.

A

B

C

D

E

1

A 1

B 1

C 1

D

18．（本小题满分13分）

设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122()n n a S n N *+=+∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，

设数列1n d ??

??????

的前n 项和n T ，证明：1516n T <.

19．（本小题满分14分）

已知中心在坐标原点，焦点在

x 轴上的椭圆过点P ，且它的离心率2

1

=e . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）与圆22(1)1x y -+=相切的直线

t kx y l +=：

交椭圆于N M ，两点，若椭圆上一点C 满足

λ=+，求实数λ的取值范围.

20．（本小题满分14分）

已知函数()()()R a ax x x ax x f ∈--++=23

12ln 23

（Ⅰ）若2=x 为()x f 的极值点，求实数a 的值；

（Ⅱ）若()x f y =在[)+∞,3上为增函数，求实数a 的取值范围；

(Ⅲ)当2

1

-=a 时，方程()()x b x x f +-=

-3113

有实根，求实数b 的最大值.

2013年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）

数学理科参考答案

一、选择题:每小题5分，满分40分

二、填空题: 每小题5分，共30分.

9．25；10．π3108+ ； 11 12． 13．{}

-1<3x x ≤； 14．22-9

三、解答题

15．（本小题满分13分）

解： （Ⅰ）()()2

2

=sin +cos +2cos f x x x x ωωω

22=sin +cos +sin 2+1+cos 2x x x x ωωωω …………2分

sin 2cos 22)24

x x x π

ωωω=++=++ …………4分

依题意得2223ππω=，故ω的值为32. …………5分 （Ⅱ）因为-,63x ππ≤≤所以5-3+444

x πππ

≤≤， …………6分

-13+4x π?

?≤≤ ??

?…………8分

()

1f x ≤≤()f x 的值域为?? …………9分

（Ⅲ）依题意得: 5()3()2)2

244g x x x πππ?

?=-++=-+????

…11分 由5232()242k x k k Z π

ππ

ππ-

-

+∈≤≤ …………12分

解得227()34312

k x k k Z ππ

ππ++

∈≤≤

故()y g x =的单调增区间为: 2

2

7[,]()3

4312

k k k Z ππ

ππ++∈ …………13分

16．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.

依条件可知X ～B(6，

2

3

). 6621()33k

k

k P X k C -??

??==?? ?

???

??

(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6k =)

X 的分布列为：

1(01112260316042405192664)729EX =

?+?+?+?+?+?+?=29164729

=. 或因为X ～B(6，

23)，所以2

643

EX =?=. 即X 的数学期望为4． ………9分 （Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，

则224156

441

212232

()()()()().3

3

3

3

3

81

P A C C =??+??+=

…………12分 （每个概率计算正确一分，共三分；列一个大式子，若计算错误则无分）

答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为32

.81

……………………………13分

17．（本小题满分13分） 解（Ⅰ）依题意，CD AB BC EC BE ===

=2

1

所以ABE ?是正三角形，0

60=∠AEB ……1分

又00030)120180(2

1

=-?=

∠CED ……2分 所以0

90=∠AED ，AE DE ⊥ ……3分

A

B

C

D

E

1

A 1

B 1

C 1

D

因为⊥1AA 平面ABCD ，?DE 平面ABCD ，所以DE AA ⊥1 因为A AE AA = 1，所以⊥DE 平面AE A 1 ……4分 因为?DE 平面DE A 1，所以平面⊥AE A 1平面 DE A 1 ……5分 （Ⅱ）取1BB 的中点F ，连接EF 、AF ，连接C B 1，则D A C B EF 11//// 所以AEF ∠是异面直线AE 与D A 1所成的角 ……7分 因为3=DE ，2211AE A A E A +=，

所以21=

A A ，22

=

BF ，2

6121=+==EF AF ……8分

所以6

6

2cos 222=

??-+=∠EF AE AF EF AE AEF ……9分

（Ⅰ）（Ⅱ）解法2：以A 为原点，过A 且垂直于BC 的直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴、1AA 所在直线为z 建立右手系空间直角坐标系 ……1分 设a AA =1（0>a ），)0 , 0 , 0(A 则)0 , 2 , 0(D ) , 0 , 0(1a A )0 , 2

1

, 23(

E ……2分 （Ⅰ）设平面AE A 1的一个法向量为) , , (1p n m n =，

则?????==?=+=?0

0212311

1ap AA n n m n 0=p ，取1=m ，则3-=n ，从而)0 , 3 , 1(1-=n ， ……3分

同理可得平面DE A 1的一个法向量为)2

, 1 , 3(2a

n =， ……4分 直接计算知021=?n n ，所以平面⊥AE A 1平面DE A 1 ……5分 （Ⅱ）由E A DE 1=即22222)2

1

()23(0)212()23(a ++=+-+ 解得2=

a

)0 , 2

1

, 23(

=，)2 , 2 , 0(1-=D A ……7分

所以异面直线AE 与D A 1所成角的余弦值

6

6

|

|||cos 11=

?=

D A A

E θ ……9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知21=A A ，平面DE A 1

的一个法向量为2n =

又1=,02CD ??

? ??? ，)2 , 2 , 0(1-=D A 设平面1CA D 的法向量()3=,,n x y z 则133=0=0

A D n CD n ???????

得(3=n

……11分 设二面角1--C A D E 的平面角为?，且?为锐角

则232323

cos =cos ,=n n n n n n ??

=

5所以二面角1--C A D E

……13分

18．（本小题满分13分）

解（Ⅰ）由122(n n a S n +=+∈N *）得122(n n a S n -=+∈N *

，2n ≥），

两式相减得：12n n n a a a +-=， 即13(n n a a n +=∈N *

，2n ≥）， ……2分

∵{}n a 是等比数列，所以213a a =，又2122,a a =+ ……3分 则11223a a +=，∴12a =， ……4分 ∴123n n a -= . …………………………………5分 （Ⅱ）由（1）知123n n a += ，123n n a -=

∵1(1)n n n a a n d +=++ ……7分， ∴1431

n n d n -?=+， ………8分

令123111n T d d d =

+++…1n

d +，

则012

234434343n T =++???+ (11)

43n n -++ ① …………9分

+?+?=2

134334231n T …114343n n n n -+++ ② ………10分

①-②得01222113434343n T =+++ (111)

4343n n

n -++- 111(1111525331244388313

n n n

n n --++=+?-=-- …………12分 1

1525151616316

n n n T -+∴=-< . ……………13分

19．（本小题满分14分）

19．解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x …………… 1分

由已知得：222224

311

2a b c a c a b ?+=??

?=??

?=-??

解得

22

8

6

a b ?=??=?? ……………4分 所以椭圆的标准方程为： 22

186

x y += ……………5分 (Ⅱ) 因为直线l ：y kx t =+与圆2

2

(1)1x y -+=相切

2

112(0)t k t t -=?=≠ ……………6分

把t kx y +=代入22

186

x y +=并整理得： 222(34)8(424)0k x ktx t +++-=┈7分

设),(,),(2211y x N y x M ，则有 221438k kt

x x +-=+

2

2121214362)(k t

t x x k t kx t kx y y +=++=+++=+ ……………8分

因为，),(2121y y x x OC ++=λ， 所以，?

??

?

??

++-λλ)43(6,)43(822k t k kt

C … 9分 又因为点C 在椭圆上， 所以，222

222222

861(34)(34)k t t k k λλ+=++ …………… 10分

22

2

22222

1134()()1t k t t

λ?==+++ …………… 12分

因为 02>t 所以 11)1()1(

2

22>++t t …………… 13分 所以 2

02λ<<，所以 λ的取值范围为

(0)(0,

…………… 14分

20．（本小题满分14分）

解：（I ）()()()[]

1

22441222122222++--+=

--++='ax a x a ax x a x x ax a x f ………2分 因为2=x 为()x f 的极值点，所以()02='f ，即

021

42=-+a a a

，解得0=a ……4分 （II ）因为函数()x f 在[)+∞,3上为增函数，所以

()()()[]

01

22441222≥++--+='ax a x a ax x x f 在[)+∞,3上恒成立 ………6 分

①当0=a 时，()()02≥-='x x x f 在[)+∞,3上恒成立，所以()x f 在[)+∞,3上为增函数， 故0=a 符合题意 ………7分

②当0≠a 时，由函数()x f 的定义域可知，必须有012>+ax 对3≥x 恒成立，故只能0>a ，所以()()

0244122

2

≥+--+a x a ax 在[)+∞,3上恒成立 ………8分

令函数()()()

244122

2

+--+=a x a ax x g ，其对称轴为a

x 41

1-

=，因为0>a ，

所以141

1<-

a

，要使()0≥x g 在[)+∞,3上恒成立，只要()03≥g 即可， ………9分 即()016432≥++-=a a g ，所以

41334133+≤

≤-a 因为0>a ，所以4

13

30+≤

综上所述，a 的取值范围为??? ………10分

（Ⅲ）当21

-=a 时，方程()()x b x x f +-=

-3113

可化为()()x

b x x x =-+--11ln 2 问题转化为()()322

ln 11ln x x x x x x x x x x b -+=-+--=在()+∞,0上有解，

即求函数()3

2

ln x x x x x g -+=的值域 ………11分

因为函数()3

2

ln x x x x x g -+=，令函数()()0ln 2

>-+=x x x x x h ， ………12分

则()()()x

x x x x x h -+=-+=

'112211

， 所以当10<'x h ，从而函数()x h 在()1,0上为增函数， 当1>x 时，()0<'x h ，从而函数()x h 在()+∞,1上为减函数，

因此()()01=≤h x h ………13分 而0>x ，所以()0≤?=x h x b ，因此当1=x 时，b 取得最大值0. ………14分 （第三问如用数形结合求解，相应给分）