2018届中考数学提升练习：专题(七) 二次函数的图象和性质的综合运用

专题提升(七)二次函数的图象和性质的综合运用

【经典母题】

用两种不同的图解法求方程x2－2x－5＝0的解(精确到0.1)．

解：略．

【思想方法】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，因此我们可以通过解方程ax2＋bx ＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的坐标；反过来，也可以由y＝ax2＋bx ＋c的图象来求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解．

【中考变形】

1．[2016·烟台]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图Z7－1所示，下列结论：①4ac＜b2；

②a＋c＞b；③2a＋b＞0.其中正确的有(B)

图Z7－1

A．①②B．①③

C．②③D．①②③

【解析】∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＞0，∴b2－4ac＞0，∴4ac＜b2，故①正确；

∵x＝－1时，y＜0，∴a－b＋c＜0，∴a＋c＜b，故②错误；∵对称轴直线x＞1，∴－b

＞1，又∵a＜0，∴－b＜2a，∴2a＋b＞0，故③正确．故选B.

2a

2．[2016·绍兴]抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b，c是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y＝0(1≤x≤3)有交点，则c的值不可能是(A)

A．4 B．6

C．8 D．10

【解析】∵抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b，c是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴

与线段y ＝0(1≤x ≤3)有交点，∴???4＋2b ＋c ＝6，

1≤－b 2×1≤3，

解得6≤c ≤14.故选A. 3．[2017·株洲]如图Z7－2，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A (－1，0)与点C (x 2，0)，且与y 轴交于点B (0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c ＝－1；④当|a |＝|b |时x 2＞5－1，以上结论中正确结论的序号为__①④__.

【解析】 由A (－1，0)，B (0，－2)，得b ＝a －2，∵开口向上，∴a ＞0.∵对称轴在y

轴右侧，∴－b 2a ＞0，∴－a －22a ＞0，a ＜2，∴0＜a ＜2，①正确； ∵抛物线与y 轴交于点B (0，－2)，∴c ＝－2，③错误；∵抛物线图象与x 轴交于点A (－1，0)，∴a －b －2＝0，b ＝a －2，∵0＜a ＜2，∴－2＜b ＜0，②错误；∵|a |＝|b |，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的右侧，∴二次函数y ＝a x 2＋bx ＋c 的对称轴

为x ＝12

，∴x 2＝2＞5－1，④正确．故答案为①④.

图Z7－2 图Z7－3 4．[2017·天水]如图Z7－3是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的一部分图象，抛物线的顶点坐标是A (1，3)，与x 轴的一个交点是B (4，0)，直线y 2＝mx ＋n (m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：

①abc ＞0；②方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x 轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x ＜4时，有y 2＞y 1；⑤x (ax ＋b )≤a ＋b ，其中正确的结论是__②⑤__.(只填写序号)

【解析】 由图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＞0，故abc ＜0，①错误；观察图象可知，抛物线与直线y ＝3只有一个交点，故方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，②正

确；根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是(－2，0)，③错误；观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，④错误；∵x＝1时，y1有最大值，∴ax2＋bx＋c≤a＋b＋c，即x(ax＋b)≤a＋b，⑤正确．综上所述，②⑤正确．

5．如图Z7－4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，且过点C(0，－3)．

(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；

(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平

移后抛物线的函数表达式．

图Z7－4

解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，

∴可设抛物线表达式为y＝a(x－1)(x－3)，

把C(0，－3)的坐标代入，得3a＝－3，解得a＝－1，

故抛物线表达式为y＝－(x－1)(x－3)，来源学科网Z XXK]

即y＝－x2＋4x－3.

∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，

∴抛物线的顶点坐标为(2，1)；

(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的

解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．6．[2017·江西]已知抛物线C1：y＝ax2－4ax－5(a＞0)．

(1)当a＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；

(2)①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；

来源学科网

②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；

(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．

解：(1)当a＝1时，抛物线表达式为y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，

∴对称轴为x＝2，

∴当y＝0时，x－2＝3或－3，即x＝－1或5，

∴抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)或(5，0)；

(2)①抛物线C1表达式为y＝ax2－4ax－5，

整理，得y＝ax(x－4)－5.

∵当ax(x－4)＝0时，y恒定为－5，

∴抛物线C1一定经过两个定点(0，－5)，(4，－5)．

②这两个点连线为y＝－5，

将抛物线C1沿y＝－5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变，

∴抛物线C2的表达式为y＝－ax2＋4ax－5；

(3)抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，

则x＝2时，y＝2或－2.

当y＝2时，2＝－4a＋8a－5，解得a＝7

4

；

当y＝－2时，－2＝－4a＋8a－5，解得a＝3

4.

∴a＝7

4或3 4.

7．[2017·北京]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A，B(点A 在点B的左侧)，与y轴交于点C.

(1)求直线BC的表达式；

(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与直线BC交于点N(x3，

y3)，若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求x1＋x2＋x3的取值范围．

解：(1)由y＝x2－4x＋3得到y＝(x－3)(x－1)，C(0，3)，

∴A (1，0)，B (3，0)．

设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，

则?????b ＝3，3k ＋b ＝0，解得?????k ＝－1，b ＝3，

∴直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3；

中考变形7答图

(2)由y ＝x 2－4x ＋3得到y ＝(x －2)2－1，

∴抛物线y ＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，顶点坐标是(2，－1)．

∵y 1＝y 2，∴x 1＋x 2＝4.

令y ＝－1，代入y ＝－x ＋3，得x ＝4.

∵x 1＜x 2＜x 3(如答图)，

∴3＜x 3＜4，即7＜x 1＋x 2＋x 3＜8.

8．[2016·益阳]如图Z7－5，顶点为A (3，1)的抛物线经过坐标原点O ，与x 轴交于点

B .

(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；

(2)过点B 作OA 的平行线交y 轴于点C ，交抛物线于点D ，求证：△OCD ≌△OAB ；

(3)在x 轴上找一点P ，使得△PCD 的周长最小，求出P 点的坐标．

图Z7－5 中考变形8答图

解：(1)∵抛物线顶点为A (3，1)，

∴设抛物线对应的二次函数的表达式为 y ＝a (x －3)2＋1.

将原点坐标(0，0)代入，得a ＝－13

， ∴抛物线对应的二次函数的表达式为y ＝－13x 2＋233

x ； (2)证明：将y ＝0代入y ＝－13x 2＋233

x 中， 得B (23，0)．

设直线OA 对应的一次函数的表达式为y ＝kx ， 将A (3，1)代入，得k ＝33

， ∴直线OA 对应的一次函数的表达式为y ＝33

x . ∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的表达式为y ＝

33x ＋b ， 将B (23，0)代入，得b ＝－2，

∴直线BD 对应的一次函数的表达式为y ＝

33

x －2. 由?????y ＝33x －2，

y ＝－13x 2＋233

x ， 得交点D 的坐标为(－3，－3)， 将x ＝0代入y ＝33

x －2中，得C 点的坐标为(0，－2)， ∴OA ＝2＝OC ，AB ＝2＝CD ，OB ＝23＝OD ，

在△OCD 与△OAB 中，?????OC ＝OA ，CD ＝AB ，OD ＝OB ，

∴△OCD ≌△OAB (SSS )；

(3)如答图，点C 关于x 轴的对称点C ′的坐标为(0，2)，连结C ′D ，则C ′D 与x 轴的