专题2.8 欲证不等恒成立,结论再造是利器(原卷版)

1 专题08 欲证不等恒成立，结论再造是利器 【题型综述】

利用导数解决不等式恒成立问题的策略：

利用导数证明不等式，解决导数压轴题，谨记两点： （Ⅰ）利用常见结论，如：，()ln 1x x >+，等；

（Ⅱ）利用同题上一问结论或既得结论． 【典例指引】

例1．已知217()ln ,()(0)22

f x x

g x x mx m ==++<，直线l 与函数(),()f x g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1．

（I ）求直线l 的方程及m 的值；

（II ）若()(1)'()()h x f x g x =+-其中g'(x)是g(x)的导函数，求函数()h x 的最大值．

（III ）当0b a <<时，求证：()(2).2b a f a b f a a

-+-<

例2．设函数()()ln 1f x a x =+，()1x g x e =-，其中a ∈R ， 2.718e =…为自然对数的底数． （Ⅰ）当0x ≥时， ()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围；

（Ⅱ）求证：

1095200010001791<< (参考数据：ln1.10.095≈)．

例3．设

． （l ）若对一切恒成立，求的最大值；

（2）是否存在正整数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．