数学必修1-5,选修1-1,1-2常用公式及结论

数学必修选修常用公式

及 葛 结 论 峻

数学必修1-5，选修1-1，1-2常用公式及结论

必修1：

一、集合

1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 （2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法

2、集合间的关系：子集：对任意x A ∈，都有 x B ∈，则称A 是B 的子集。记作A B ? 真子集：若A 是B 的子集，且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则A

是B 的真子集,记作A ≠

?B

集合相等：若：,A B B A ??,则A B =

3. 元素与集合的关系：属于∈ 不属于：? 空集：φ

4、集合的运算：并集：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为 A B

交集：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B

补集：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集，

记为U C A

5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n

–1个； 6.常用数集：自然数集：N 正整数集：*

N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 二、函数的奇偶性

1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域）

2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；

（2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形；

（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．

二、函数的单调性

1、定义：对于定义域为D 的函数f ( x )，若任意的x 1, x 2∈D ，且x 1 < x 2

① f ( x 1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 ② f ( x 1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数 2、复合函数的单调性: 同增异减

三、二次函数y = ax 2 +bx + c （0a ≠）的性质

1、顶点坐标公式：???

? ?

?--a

b a

c a b 44,22

， 对称轴：a b x 2-=，最大（小）值：a b ac 442- 2.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式2

()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2

()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 四、指数与指数函数 1、幂的运算法则： （1）a m ? a n = a m + n , （2）n

m n

m

a

a a -=÷，

（3）( a m ) n = a m n （4）( ab ) n = a n ? b n （5） n

n n

b a b a =??

? ?? （6）a 0 = 1 ( a ≠0) （7）n n

a

a

1=

-

（8）m n m n a a =

（9）m

n

m

n a

a

1

=

-

2、根式的性质

（1

）n

a =.

（2）当n

a =； 当n

,0

||,0a a a a a ≥?==?-

.

3、指数函数y = a x (a > 0且a ≠1)的性质：

（1）定义域：R ； 值域：( 0 , +∞) （2）图象过定点（0，1）

4.指数式与对数式的互化： log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. 五、对数与对数函数 1对数的运算法则：

（1）a b = N <=> b = log a N （2）log a 1 = 0 （3）log a a = 1 （4）log a a b = b （5）a log a N = N

（6）log a (MN) = log a M + log a N （7）log a (

N

M

) = log a M -- log a N （8）log a N b = b log a N

（9）换底公式：log a N =

a

N

b b log log

（10）推论 log log m n a a n

b b m

=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). （11）log a N =

a

N log 1

（12）常用对数：lg N = log 10 N

（13）自然对数：ln A = log e A （其中 e = 2.71828…） 2、对数函数y = log a x (a > 0且a ≠1)的性质：

（1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0）

六、幂函数y = x a 的图象:

（1） 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 .

例如： y = x 2 2

1x x y == 11

-==

x x

y 七.图象平移：若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位， 得到函数b a x f y +-=)(的图象； 规律：左加右减，上加下减 八. 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1

)x

y N p =+.

九、函数的零点：

1.定义：对于()y f x =，把使()0f x =的X 叫()y f x =的零点。即()y f x =的图象与X 轴相交时交点的横坐标。

2.函数零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并有()()0f a f b ?<，那么()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得

()0f c =，这个C 就是零点。

3.二分法求函数零点的步骤：（给定精确度ε） （1）确定区间[],a b ，验证()()0f a f b ?<;

(2)求(),a b 的中点12

a b

x +=

（3）计算1()f x ①若1()0f x =，则1x 就是零点；②若1()()0f a f x ?<，则零点

()01,x a x ∈ ③若1()()0f x f b ?<，则零点()01,x x b ∈；

（4）判断是否达到精确度ε，若a b ε-<，则零点为a 或b 或(),a b 内任一值。否则重

复（2）到（4）

必修2：

一、直线与圆

1、斜率的计算公式：k = tanα=

1

21

2x x y y --（α ≠ 90°，x 1≠x 2）

2、直线的方程（1）斜截式 y = k x + b,k 存在 ；

（2）点斜式 y – y 0 = k ( x – x 0 ) ，k 存在； （3）两点式

1

21

121x x x x y y y y --=--（1212,x x y y ≠≠） ；

(4）截距式

1=+b

y

a x （0,0a

b ≠≠） （5）一般式0(,0Ax By

c A B ++=不同时为）

3、两条直线的位置关系：

4、两点间距离公式：设P 1 ( x 1 , y 1 ) 、P 2 ( x 2 , y 2 )，则 | P 1 P 2 | =()()221221y y x x -+-

5、点P ( x 0 , y 0 )到直线l ：A x + B y + C = 0

的距离：2

2

00B

A C

By Ax d +++=

6、圆的方程

7.点与圆的位置关系 点

00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若

d =则 d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r

在圆内.

8.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d)

直线0=++C By Ax 与圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:

0相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d .

9.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21

条公切线外离421??+>r r d ;

条公切线外切321??+=r r d ;

条公切线相交22121??+<<-r r d r r ; 条公切线内切121??-=r r d ; 无公切线内含??-<<210r r d .

10.圆的切线方程

(1)已知圆2

2

0x y Dx Ey F ++++=．

①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是

0000()()

022

D x x

E y y x x y y

F ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()

022

D x x

E y y x x y y

F ++++++=表示过两个切点的

切点弦方程．

②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．

③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222

x y r +=．

①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为2

00x x y y r +=;

②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±二、立体几何

（一）、线线平行判定定理：1、平行于同一条直线的两条直线互相平行。

2、垂直于同一平面的两直线平行。

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（二）、线面平行判定定理

1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

2、若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。 （三）、面面平行判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（四）、线线垂直判定定理：

若一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。

（五）、线面垂直判定定理

1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（六）、面面垂直判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

（七）．证明直线与直线的平行的思考途径

（1）转化为判定共面二直线无交点；

（2）转化为二直线同与第三条直线平行；

（3）转化为线面平行；

（4）转化为线面垂直；

（5）转化为面面平行.

（八）．证明直线与平面的平行的思考途径

（1）转化为直线与平面无公共点；

（2）转化为线线平行；

（3）转化为面面平行.

（九）．证明平面与平面平行的思考途径

（1）转化为判定二平面无公共点；

（2）转化为线面平行；

（3）转化为线面垂直.

（十）．证明直线与直线的垂直的思考途径

（1）转化为相交垂直；

（2）转化为线面垂直；

（3）利用三垂线定理或逆定理；

（十一）．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与面内任一直线垂直；

（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；

（十二）．证明平面与平面的垂直的思考途径

（1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 三、空间几何体 （一）、正三棱锥的性质

1、底面是正三角形，若设底面正三角形的边长为a ，则有

2、正三棱锥的辅助线作法一般是：

作PO ⊥底面ABC 于O ，则O 为△ABC 的中心，PO 为棱锥的高，

取AB 的中点D ，连结PD 、CD ，则PD 为三棱锥的斜高，CD 为△ABC 的AB 边上的高， 且点O 在CD 上。∴△POD 和△POC 都是直角三角形，且∠POD =∠POC = 90° （二）、正四棱锥的性质

1、底面是正方形，若设底面正方形的边长为a ，则有

P

D

A

C B O

E

2、正四棱锥的辅助线作法一般是：

作PO ⊥底面ABCD 于O ，则O 为正方形ABCD 的中心，PO 为棱锥的高， 取AB 的中点E ，连结PE 、OE 、OA ，则PE 为四棱锥的斜高，

点O 在AC 上。∴△POE 和△POA 都是直角三角形，且∠POE =∠POA = 90° （三）、长方体

长方体的一条对角线长的平方等于这个长方体的长、宽、高的平方和。 特殊地，若正方体的棱长为a ，则这个正方体的一条对角线长为3a 。 （四）、正方体与球

1、设正方体的棱长为a ，它的外接球半径为R 1，它的内切球半径为R 2，则

,231R a =22R a =

（五）几何体的表面积体积计算公式

1、圆柱: 表面积:2π2R +2πRh 体积:πR2h

2、圆锥: 表面积:πR2+πR L 体积: πR2h/3 (L 为母线长)

3、圆台：表面积: 2

2

()r R r R l πππ+++ 体积：V ＝πh(R2＋Rr ＋r 2)/3 4、球：S 球面 = 4πR 2 V 球 =

3

4

πR 3 （其中R 为球的半径） 5、正方体： a －边长， S ＝6a 2 ，V ＝a 3

6、长方体 a －长 ,b －宽

,c －高 S ＝2(ab+ac+bc) V ＝abc

A 1

B 1

C 1

D 1 A

B C

D

3、“长对正,高平齐,宽相等”是三视图之间的投影规律,是画图和读图的重要依据.

画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。

必修3:

第一章算法初步

1、算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.

2、构成程序框的图形符号及其作用

3、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。(结构图请看教材)

4、（1）、辗转相除法：用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数。

（2）、更相减损术。以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。

（3）进位制 ①以k 为基数的k 进制换算为十进制：

1

10110()110...n n n n k n n a a a a a k a k a k a k ---=+++

②十进制换算为k 进制：除以k 取余，倒序排列

第二章 统计

1．总体和样本：在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．把每个研究对象叫做个体．把

总体中个体的总数叫做总体容量．为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：

，

，

，

研究，我们称它为样本．其中个

体的个数称为样本容量．

2、简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同。（总体个数较少）

3、简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；

4、系统抽样（等距抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。（总体个数较多） K （抽样距离）=N （总体规模）/n （样本规模）

5、分层抽样：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系统抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。（总体中差异明显）

6、总体分布的估计：⑴一表二图：①频率分布表——数据详实

②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势

注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。

⑵茎叶图： ①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的

分布，以及中位数、众位数等。

②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数重复写。

7、用样本的数字特征估计总体的数字特征（s 为标准差）

（1）、平均值：n

x x x x n +++= 21（2）、s =

8、两个变量的线性相关（1）、概念:（1）回归直线方程：y a b x ∧

∧

∧

=+

（2）回归系数：1

2

21

n

i i i n

i

i x y nx y

b x nx

∧

==∑-=

∑-，a y b x ∧∧

=-

（3）应用直线回归时注意：回归分析前,最好先作出散

点图；

第三章概率

一、概念

1、事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；

（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；

（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；

（3）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；

2、古典概型：⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；

⑵古典概型的特点：基本事件可列举；每个基本事件都是等可能发生

⑶概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其

中的m个基本事件，则事件A发生的概率()m

p A

4、若A∩B=ф，即不可能同时发生的两个事件，那么称事件A与事件B互斥；

5、若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，即不能同时发生且必有一个发生的两个事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；

二、概率的基本性质：

（1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；

（2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；

（3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；

（4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，具体包括三种不同的情形：

（1）事件A发生且事件B不发生；

（2）事件A不发生且事件B发生；

（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件是互斥事件的特殊情形。

必修4

一、三角函数与三角恒等变换

1、三角函数的图象与性质

2、同角三角函数公式 ： sin 2α+ cos 2α= 1

α

α

αcos sin tan =

tan αcot α=1

3、二倍角的三角函数公式 ： sin2α= 2sin αcos α

cos2α=2cos 2α-1 = 1-2 sin 2α= cos 2α- sin 2α

α

α

α2

t a n 1t a n 22t a n -=

4、降幂公式 ： 22cos 1cos 2α

α+=

2

2cos 1sin 2α

α-=

5、升幂公式 ： 1±sin2α= (sin α±cos α) 2

1 + cos2α=

2 cos 2α 1- cos2α= 2 sin 2α

6、两角和差的三角函数公式 ： sin (α±β) = sin αcos β土cos αsin β

cos (α±β) = cos αcos β干sin αsin β

()β

αβ

αβαtan tan 1tan tan tan ±=

±

7、两角和差正切公式的变形 ： tan α±tan β= tan (α±β) (1干tan αtan β)

ααtan 1tan 1-+=ααtan 45tan 1tan 45tan ?-+?= tan (4π

+α)

ααtan 1tan 1+-=ααtan 45tan 1tan 45tan ?+-?= tan (4

π

-α)

8、两角和差正弦公式的变形（合一变形） ： ()?ααα++=+s i n

c o s s i n

22b a b a （其中a

b

=

?tan ） 9、半角公式 ： 2

12

α

α

c o s s i n -±

=

2

12

α

α

cos cos

+±

= 你α

α

ααααα

sin cos cos sin cos cos tan

-=+=+-±

=11112

10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。”

sin (π－α) = sin α， cos (π－α) = －cos α， tan (π－α) = －tan α； sin (π+α) = －sin α cos (π+α) = －cos α tan (π+α) = tan α sin (2π－α) = －sin α cos (2π－α) = cos α tan (2π－α) = －tan α

sin (－α) = －sin α cos (－α) = cos α tan (－α) = －tan α

sin (2π－α) = cos α cos (2π－α) = sin α tan (2π

－α) = cot α sin (2π+α) = cos α cos (2π+α) = －sin α tan (2

π

+α) = －cot α

11.三角函数的周期公式

函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T π

ω

=

；函数tan()y x ω?=+，,2

x k k Z π

π≠+

∈(A,ω,?为常数，且A

≠0，ω＞0)的周期T π

ω

=.

二、平面向量 （一）、向量的有关概念

1、向量的模计算公式：（1）向量法：|=；

（2）坐标法：设a =（x ，y ），则|a | =2

2y x +

2、单位向量的计算公式：

（1）与向量a =（x ，y ）同向的单位向量

（2）与向量a =（x ，y ）反向的单位向量是???

?

?

?+-

+-2222y x y

,

y x x

； 3、平行向量

规定：零向量与任一向量平行。设=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），λ为实数 向量法：a ∥b （b ≠0）<=> a =λb

坐标法：a ∥b （b ≠0）<=> x 1 y 2 – x 2 y 1 = 0 <=>

2

2

11y x y x =（y 1 ≠0 ，y 2 ≠0） 4、垂直向量

规定：零向量与任一向量垂直。设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2） 向量法：⊥<=> ·= 0 坐标法：⊥<=> x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 5.平面两点间的距离公式

,A B d

=||AB =

=11(,)x y ，B 22(,)x y ).

（二）、向量的加法

（1）向量法：三角形法则（首尾相接首尾连），平行四边形法则（起点相同连对角） （2）坐标法：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a +b =（x 1+ x 2 ，y 1+ y 2） （三）、向量的减法

（1）向量法：三角形法则（首首相接尾尾连，差向量的方向指向被减向量） （2）坐标法：设=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），则-=（x 1 - x 2 ，y 1- y 2） （3）、重要结论：| || - || | ≤ |±| ≤ || + || （四）、两个向量的夹角计算公式： （1）向量法：cos θ =

|

|||b a

（2）坐标法：设=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），则cos θ =

22

2221

2

1

2121y

x y

x y y x x +++

（五）、平面向量的数量积计算公式： （1）向量法：a ·b = |a | |b | cos θ

（2）坐标法：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ·b = x 1 x 2 + y 1 y 2

（3） a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘

积．

（六）.1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 2.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）;

(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b= a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c.

3.平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

（七）.三角形的重心坐标公式

△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐 标是123123

(

,)33

x x x y y y G ++++

必修5

一、解三角形：ΔABC 的六个元素A, B, C, a , b, c 满足下列关系：

1、角的关系：A + B + C = π，特殊地，若ΔABC 的三内角A, B, C 成等差数列，则∠B = 60o，∠A +∠C = 120o

2、诱导公式的应用：sin ( A + B ) = sinC , cos ( A + B ) = --cosC , sin (

22B A +) = cos 2C , cos (22B A +) = sin 2

C

3、边的关系：a + b > c , a – b < c （两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。）

4、边角关系：（1）正弦定理：

R C

c

B b A a 2sin sin sin === （R 为ΔAB

C 外接圆半径）