高数试题
高数下册试卷一
一、填空题
1、
z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、由曲线
x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，
其值为 。 3、设曲线L 的参数方程表示为),()
()(βαψ?≤≤??
?==x t y t x 则弧长元素=ds 。
4、设曲面∑为
9
22=+y x 介于
=z 及
3
=z 间的部分的外侧，则
=++??∑
ds y x )122（ 。 5、级数∑∞
=+1)
1(1
n n n 的和为 。 二、选择题
1、设),()(x
y
xf y x yf u +=其中f
具有二阶连续导数，则2222y
u
y x u x ??+??等于（ ）
（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
2、设Ω：,0,1222
≥≤++z z y x
则三重积分???Ω
=zdV I 等于（ ）
（A ）4
?
??2
20
1
3cos sin ππ???θdr r d d ；
（B ）
???20
1
2sin π
π??θdr r d d ；
（C ）
?
??ππ???θ20
20
1
3cos sin dr r d d ；
（D ）
?
??ππ???θ20
1
3cos sin dr r d d 。
3、球面2222
4a z y x
=++与柱面ax y x 222=+所围成的立体体积V=（ ）
（A ）?
?-20
cos 20
2244
π
θθa dr r a d ；
（B ）?
?
-20
cos 20
2244
π
θθa dr r a r d ；
（C ）?
?
-20
cos 20
2248
π
θθa dr r a r d ；
（D ）
?
?
-
-2
2
cos 20
224π
π
θθa dr r a r d 。
4、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则
?=+L
Qdy Pdx )(
（A ）
????-??D
dxdy x Q y P )(
； （B ）????-??D dxdy x P y Q )(； （C ）
????-??D
dxdy y Q x P )(
； （D ）????-??D
dxdy y P x Q )(。 5、设 在平面有界区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足 及 ， 则（ ）
（A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部； （B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上； （C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上； （D ）最小值点在D 的内部，最大值点在D 的边界上。 三、求解下列问题
1、设
g f ,均为连续可微函数。)(),,(xy x g v xy x f u +==，
求
y
u x u ????,。
2、设?
+-=t x t
x dz z f t x u )(),(，求
t
u x u ????,。
四、求解下列问题
1、计算=
I ??-20
2
2
x
y dy e dx 。
2、计算???Ω
+=dV y x I )(22，其中Ω是由x 21,222===+z z z y 及所围成的空间闭区域
五、计算?
+
+-=L y
x ydx
xdy I
2
2，其中L 是xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)0,0(O 的封
闭曲线的逆时针方向。
六、设对任意)(,
,x f y x 满足方程)
()(1)
()()(y f x f y f x f y x f -+=
+，且)0(f '存在，求)(x f 。
七、求级数∑∞
=++--1
1
212)2()1(n n n
n x 的收敛区间。
高等数学（下册）试卷（一）参考答案
一、1、当10
2、
2
3
;
11
???
?-+=D
y e e
y
dx dy d σ； 3、
dt t t )()(22ψ?'+'；
4、180π；
5、1；
二、1、D ； 2、C ；3、B ；4、D ；5、B ； 三、1、
21f y f x u '+'=??；)(xy x g x y
u +'=??； 2、)()(t x f t x f x u --+=??；)()(t x f t x f t u -++=??； 四、1、)1(2
14202002202
22-----===?????e dy ye dx e dy dy e
dx y y y x y ； 2、?
?
??
??=
+=
πππθθ20
20
2
1
20
2
21322
3
3
14
2r
dz r dr d dz r dr d I
柱面坐标
；
五、令2
222,y x x
Q y x y P +=
+-=则x
Q
y x x y y P ??=+-=??22222)(，)0,0(),(≠y x ； 于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0，0）时，
x
Q y P ????,在D 内连续。所以由Green 公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0，0）时，
x
Q y P ????,在D 内除O （0，0）外都连续，此时作曲线+l 为)10(222
<<=+εεy x
，逆时针方向，并假设*D 为+L 及-l 所围成区域，则
πε2)(
2
22*
=+??-??+=+-=?????
???
=+++-
++++
y x D l
l L l
l
L dxdy y P
x Q Green I 公式
六、由所给条件易得：
0)0()
0(1)
0(2)0(2
=?-=
f f f f 又
x
x f x x f x f x ?-?+='→?)
()(lim )(0 =x x f x f x f x f x f x ?-?-?+→?)
()()(1)
()(lim 0
x
f x f x f x f x f x ?-???-+=→?)
0()()()(1)(1lim 20 )](1)[0(2x f f +'=
即
)0()
(1)
(2
f x f x f '=+' c x f x f +?'=∴)0()(a r c t a n 即 ])0(tan[)(c x f x f +'=
又
0)0(=f 即Z k k c ∈=,π ))0(t a n ()(x f x f '=∴
七、令t x =-2，考虑级数∑∞
=++-1
1
212)1(n n n
n t
2123
21
232lim t n t
n t n n n =++++∞→
∴当12 当 1 当1-=t 即1=x 时，级数∑∞ =++-11 1 21 )1(n n n 收敛； 当1=t 即3=x 时，级数∑∞ =+-1 1 21 )1(n n n 收敛； ∴级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。 高等数学（下册）试卷（二） 一、填空题 1、设z y x z y x 32) 32sin(2-+=-+，则 =??+??y z x z 。 2、=+-→→xy xy y x 93lim 0 。 3、设?? =20 2),(x x dy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。 4、设 )(u f 为可微函数，且,0)0(=f 则?? ≤+→=++ 2 22)(1 lim 223 t y x t d y x f t σπ 。 5、设L 为取正向的圆周422 =+y x ，则曲线积分 ? =-++L x x dy x ye dx ye y )2()1( 。 二、选择题 1、设函数 ?? ???=+≠++=0 ,00,),(22224 22 y x y x y x xy y x f ,则在点（0，0）处（ ） （A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。 2、设平面区域D ：1)1()2(22 ≤-+-y x ，若??+=D d y x I σ 21)(，??+=D d y x I σ32 )( 则有（ ） （A ）21 I I <； （B ） 21I I =； （C ）21I I >； （D ）不能比较。 3、设Ω是由曲面 1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间区域，则???Ω dxdydz z xy 32 = （ ） （A ） 3611； （B ）3621； （C ）3631 ； （D ）364 1。 4、设∑是取外侧的单位球面1222 =++z y x ， 则曲面积分 ??∑ ++zdxdy ydzdx xdydz =（ ） (A) 0 ； (B) π2 ； (C)π ； (D)π4。 5、设级数 ∑∞ =1 n n a 为一交错级数，则（ ） (A)该级数必收敛； (B)该级数必发散； (C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若)0(0→→n a n ，则必收敛。 三、求解下列问题 1、求函数)ln(22z y x u ++ =在点A （0，1，0）沿A 指向点B （3，-2，2） 的方向的方向导数。 2、求函数 )4(),(2y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭区域 D 上 的最大值和最小值。 四、1、计算??? Ω +++=3 )1(z y x dv I ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的 立体域。 2、设 )(x f 为连续函数，定义???Ω ++=dv y x f z t F )]([)(222， 其中{}2 22 ,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dt dF 。 五、求解下列问题 1、求?-+-=L x x dy m y e dx my y e I )cos ()sin (，其中L 是从A （a ，0）经2 x ax y -=到O （0，0）的弧。 2、计算??∑ ++=dxdy z dzdx y dydz x I 222，其中∑是)0(222a z z y x ≤≤=+ 的外侧。 高等数学（下册）试卷（二）参考答案 一、1、1； 2、-1/6； 3、 ???? +20 2 /4 2 22 /),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy ； 4、 )0(3 2 f '； 5、π8-； 二、1、C ； 2、A ； 3、D ； 4、D ； 5、C ； 三、1、函数)ln(22z y x u ++ =在点A （1，0，1）处可微，且 ) 1,0,1(2 2 1z y x x u A ++= ??2/1=； 01) 1,0,1(2 22 2 =+? ++= ??z y y z y x y u A ； 2/11) 1,0,1(2 22 2 =+? ++= ??z y z z y x z u A 而),1,2,2(-==所以)3 1 ,32,32(-= ,故在A 点沿=方向导数为： = ??A l u A x u ??αcos ?+ A y u ??βcos ?+ A z u ??γ cos ? .2/13 1 21)32(03221=?+-?+?= 2、由?????=--==-+--='0)24(0 )1()4(22 y x x f xy y x xy f y x 得D 内的驻点为),1,2(0M 且4)1,2(=f ， 又 0)0,(,0),0(==x f y f 而当0,0,6≥≥=+y x y x 时，)60(122),(2 3≤≤-=x x x y x f 令0)122(23 ='-x x 得4,021==x x 于是相应2,621==y y 且.64)2,4(,0)6,0(-==f f ),(y x f ∴ 在D 上的最大值为4)1,2(=f ，最小值为.64)2,4(-=f 四、1、Ω的联立不等式组为?? ? ??--≤≤-≤≤≤≤Ωy x z x y x 10101 0: 所以?? ? ---++++=10 10 10 3 )1(x y x z y x dz dy dx I ??--++=x dy y x dx 10210]41) 1(1[21 ?-=--+= 1016 52ln 21)4311(21dx x x 2、在柱面坐标系中 ???+=π θ20002 2 )]([)(t h rdz r f z dr d t F ?+=t dr r h r r hf 032]31 )([2π 所以 ]31)([232t h t t hf dt dF +=π]3 1 )([222h t f ht +=π 五、1、连接→ OA ，由Green 公式得： ? ? ? -+=OA OA L I ? ? -=+OA OA L ?? = ≥≤+++-0 ,220)cos cos (y ax y x x x Green dxdy m y e y e 公式 28 1 a m π= 2、作辅助曲面???≤+=∑2 22 1:a y x a z ，上侧，则由Gauss 公式得： ?? ∑ =I + ?? ∑1 ?? ∑-1 = ?? ??∑∑+∑-1 1 = ??? ??≤≤≤+≤+- ++a z z y x a y x dxdy a dxdydz z y x 0,2 2222 22)(2 =? ?? ≤+-a z y x a zdxdy dz 42 222 π 40432 1 2a a dz z a πππ-=-=? 高等数学（下册）试卷（三） 一、填空题 1、设?=yz xz t dt e u 2 ， 则 =??z u 。 2、函数 )2sin(),(y x xy y x f ++=在点（0，0）处沿)2,1(=l 的方向导数 )0,0(l f ??= 。 3、设Ω为曲面0,12 2=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分???Ω =dv z y x f I ),,(化 为先对z 再对y 最后对x 三次积分，则I= 4、设∑为2 22y x a z --=，则 ??∑ =++ds z y x )(2 22 。 5、若级数∑ ∞ =--1 1 )1(n p n n 发散，则 p 。 二、选择题 1、设 ),(b a f x '存在，则x b x a f b a x f x ) ,(),(lim 0--+→=（ ） （A ）),(b a f x '；（B ）0；（C ）2),(b a f x '；（D ）21 ),(b a f x '。 2、设2 y x z =，结论正确的是（ ） （A ）022>???-???x y z y x z ； （B ）022=???-???x y z y x z ； （C ）022 y z y x z 。 3、若 ),(y x f 为关于x 的奇函数，积分域D 关于y 轴对称，对称部分记为21,D D ，),(y x f 在D 上连续，则 ??=D d y x f σ),(（ ） （A ）0；（B ）2??1 ),(D d y x f σ； （C ）4??1 ),(D d y x f σ； (D)2??2 ),(D d y x f σ。 4、设Ω：2222 R z y x ≤++，则???Ω +dxdydz y x )(22=（ ） （A ） 538R π； （B ）534R π； （C ）5158R π； （D ）515 16 R π。 5、设∑为柱面122 =+y x 和1,0,0===z y x 在第一卦限所围成部分的外侧，则 曲面积分 ??∑ ++ydxdz x xzdydz zdxdy y 22＝（ ） （A ）0； （B ）4 π -； （C ） 24 5π； （D ） 4 π。 三、设 t t x f y ),,(=为由方程 0),,(=t y x F 确定的y x ,的函数，其中F f ,具有一阶连续偏导 数，求dx dy 。 四、 １计算?? ++=D d y f x f y bf x af I σ ) ()() ()(，其中222 :R y x D ≤+ 2、???Ω +++=dv z y x I )1(，其中2222:R z y x ≤++Ω。 五、求圆柱面y y x 222 =+被锥面2 2y x z +=和平面0=z 割下部分的面积Ａ。 六、计算??∑ =xyzdxdy I ，其中∑为球面 1222=++z y x 的0,0≥≥y x 部分 的外侧。 七、设 x x d x df 2sin 1) (cos ) (cos +=，求)(x f 。 八、将函数)1ln()(32x x x x f +++=展开成x 的幂级数。 高等数学（下册）试卷（三）参考答案 一、1、 2 22 2z x z y xe ye -； 2、 5； 3、?? ? ------1 1 1110 22 22),,(x x y x dz z y x f dy dx ； 4、4 2a π；5、0≤P ； 二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、C ； 5、D ； 三、由于dt t x f dx t x f dy t x ),(),('+'= ，0='+'+'dt F dy F dx F t y x 由上两式消去dt ，即得： y t t x t t x F f F F f F f dx dy ' '+'' '-'?'= 四、1、因为积分域D 关于 x y =对称，所以 σσd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I D D ???? ++=++=)()()()()()()()( 故])()()()()()()()([21σσd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I D D ????+++++= = ??+=+D R b a d b a 2 )(2 1)(21πσ； 2、?????????Ω Ω Ω ++++++=yzdV dV z y x dV z y x I 2)1(2)(222 +???Ω ydV 2 ???Ω +zdV 2???Ω +dV 因为Ω关于三个坐标轴都对称，而z y x zx yz xy 2,2,2,2,2,2都（至少）关于某个变量为奇函数， 故以这些项为被积函数的三重积分都等于0。于是： dV dV z y x I ??????Ω Ω+++=)(2223234 3R dV z π+=???Ω )1(343462332 2 222R R R dxdy z dz z R y x R +=+=???-≤+ππ。 五、曲线???? ?=++=y y x y x z 22222在 yoz 面上的 投影为?? ?=≤≤=0 ) 0(22x z y y z 于是所割下部分在 yoz 面上的投影域为： ?????≤≤≤≤y z y D yz 2020:， y 由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。 σd z x y x A yz D ????+??+=22)()( 12 x ?? ?? =-=-=yz D y y y dz dy y y dydz 21 20 2 2 82222 六、将∑分为上半部分2 211:y x z --=∑和下半部分2 22 1:y x z ---=∑， 21,∑∑在面xoy 上的投影域都为：,0,0,1:22≥≥≤+y x y x D xy 于是： ???? ∑--=1 221dxdy y x xyzdxdy xy D 15 1 1cos sin 2 1 22= ?-?= ? ?ρρρθθρθπd d 极坐标 ； ????∑=----=2 15 1))(1(2 2dxdy y x xy xyzdxdy xy D ， ?? ??∑∑+=∴2 1 I = 15 2 七、因为 x x d x df 2sin 1) (cos ) (cos ==，即x x f 2sin 1)(cos +=' 所以22)(x x f -=' c x x x f +-=∴33 1 2)( 八、)1ln()1ln()]1)(1ln[()(22x x x x x f +++=++= 又]1,1(,)1()1ln(1 1-∈-=+∑∞ =-u u n u n n n ∴∑∑∞ =∞=---∈-+-=11 211]1,1(,)1()1()(n n n n n n x x n x n x f ∑∞ =--∈+-=1 1]1,1(), 1()1(n n n n x x x n 高等数学（下册）试卷（四） 一、填空题 1、由方程2222=+++z y x xyz 所确定的隐函数),(y x z z =在点（1，0，-1）处的全微 分=dz 。 2、椭球面632222 =++z y x 在点（1，1，1 ）处的切平面方程是 。 3、设D 是由曲线 2,2+==x y x y 所围成，则二重积分??=+=D dxdy x I )1(2 。 4、设Ω是由4,0,422 ===+z z y x 所围成的立体域，则三重积分 ???Ω +=dv y x I )(22= 。 5、设∑是曲面2 2y x z += 介于1,0==z z 之间的部分，则曲面积分 ??∑ =+=ds y x I )(22 。 二、选择题 1、函数xy x y z +=arcsin 的定义域是（ ） （A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ； （B ）{}0,|),(≠≥x y x y x ； （C ） {}0,0|),(≠≥≥x y x y x {}0,0|),(≠≤≤x y x y x ； （D ） {}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x 。 2、若积分域D 是由曲线 2x y =及22x y -=所围成，则??D d y x f σ ),(=（ ） （A ） ? ?--22211 ),(x x dy y x f dx ； （B ） ? ? --22 211 ),(x x dy y x f dx ； （C ） ?? -y y dx y x f dy 21 ),(； （D ）?? --1 1 2),(22 dx y x f dy x x 。 3、设;0,:22221 ≥≤++Ωz R z y x 0,0,0,:22222≥≥≥≤++Ωz y x R z y x ， 则 有（ ） （A ）??????ΩΩ=1 24xdv xdv ； （B ） ??????ΩΩ=1 2 4ydv ydv ； （C ） ??????ΩΩ=1 2 4xyzdv xyzdv ； （D ）??????ΩΩ=1 2 4zdv zdv 。 4、设∑为由曲面2 2y x z += 及平面1=z 所围成的立体的表面，则曲面积分?? ∑ +ds y x )(2 2= （ ） （A ） π2 2 1+； （B ） 2π； （C ） π2 2 ； （D ）0 。 5、一曲线过点(e,1)，且在此曲线上任一点),(y x M 的法线斜率x y x x x k ln ln +- =，则此曲线方程 为（ ） （A ） )ln(ln x x e x y += ； （B ）x x e x y ln +=； （C ）)ln(ln x x ex y +=； （D ）)ln(ln x e x y +=。 6、幂级数 ∑∞ =+1 )1(n n x n 的收敛区间为（ ） （A ）（-1，1）； （B ）),(+∞-∞； （C ）（-1，1）； （D ）[-1，1]。 三、已知函数)()(x y xg y x yf u +=，其中g f ,具有二阶连续导数，求 y x u y x u x ???+??222的值。 四、证明：曲面)0(3 >=c c xyz 上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为一定值。 五、求抛物面224y x z ++=的切平面π，使得π与该抛物面间并介于柱面 1)1(22=+-y x 内部的部分的体积为最小。 六、计算?-++=L x x dy x y e dx y y e I )cos ()sin (，其中Ｌ为2 4x y --=由Ａ（２，０） 至Ｂ（－２，０）的那一弧段。 七、求幂级数∑ ∞ =1n n n x 的和函数)(x S 。 高等数学（下册）试卷（四）参考答案 一、1、dy dx 2- ；2、632=++z y x ； 3、 20 153 ； 4、π32； 5、 π2 2； 二、1、C ； 2、A ； 3、D ；4、A ； 5、A ；6、C 三、)()()(x y g x y x y g y x f x u '-+'=?? )()()(12 222x y g x y x y g x y y x f y x u '+'-''=??∴)(32x y g x y ''+ = )(1y x f y '')(32x y g x y ''+ )(1)(1)(22x y g x x y g x y x f y x y x u '-'+''-=???)(2x y g x y ''- )(2 y x f y x ''- =)(2x y g x y ''- 故022 2=???+??y x u y x u x 四、设),,(000z y x M 是曲面03=-=c xyz F 上的任意点，则3000c z y x =， 在该点处的法向量为： ='''=M z y x F F F ) ,,(,(00z y ,00x z )00y x ,(03x c =,03y c )0 3 z c )1,1,1(0003z y x c = 于是曲面在M 点处的切平面方程为： )(100x x x -+)(100y y y -+)(1 00 z z z -=0 即 3x x + 3y y + 3z z =1 因而该切平面与三坐标面所围成的立体的体积为： 30000002 92933361c z y x z y x V ==??= 这是一个定值，故命题得证。 五、由于介于抛物面224y x z ++=，柱面1)1(22=+-y x 及平面0=z 之间的立体体积为定值， 所以只要介于切平面π，柱面1)1(22 =+-y x 及平面0=z 之间的立体体积V 为最大即可。 设π与224y x z ++=切于点),,(000z y x P ，则π的法向量为)1,2,2(00-=y x ，且 2 2 004y x z ++=，切平面方程为：0) ()(2)(200000=---+-z z y y y x x x 即2 2000422y x y y x x z --++= 于是???- ≤+---++= 22 2 0200 1 )1()4sin 2cos 222π πρθρθρρσd y x y x zd V y x （极坐标 )42(2 0200y x x --+=π 则由???????-=??=-=??00 00 20)22(y y V x x V ππ，得驻点（1，0） 且.5, 50) 0,1(==z V π 由于实际问题有解，而驻点唯一，所以当切点为（1，0，5）时，题中所求体积为最小。此时的切平面π为：32+=x z 六、联接BA ，并设由L 及BA 所围成的区域为D ，则 ??? ? ? ? ? ------=-+=+D x x BA BA L BA BA L dxdy y e y e Green I 0 )1cos 1cos (公式 ππ422 1 22=??= 七、易求得该幂级数的收敛区间为).1,1(- )1,1(-∈?x ，令∑ ∞==1)(n n n x x S ，则)()(1'='∑∞ =n n n x x S x x n n -= =∑∞ =-1111 注意到0) 0(=S ，=∴)(x S ?? --=-='x x x x dx dx x S 0 0)1ln(1)( 一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分) ???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ， 高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数． 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. （A ）424arctan 1x dx x π π-+? （B ）44 arcsin x x dx ππ-? （C ）112x x e e dx --+? （D ）()121sin x x x dx -+? 《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+ A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21. 期中高等数学测验 一 填空（共20分，每小题4分） 1 已知)(cos )(sin 2 2 x f x f y +=，则___________________=dx dy 2 已知x x x y )1( +=,则_________ __________=dx dy 。 3 已知曲线的极坐标方程为θ3sin a r =，则它在6 π θ=处的切线方程____________. 4 x x y 2sin =则) (n y =__________________________. 5 已知 02 ] )2([522 lim =-+--+→x B x A x x ，则A=________,B=___________ 二 计算或证明 （每小题7分，共56分 ） 1求 x x x x e sin 1 )23( lim +-→ 的极限。 2 求函数??????? <<+≤≤-=21,2112 1,ln 2)(x x x x x f 的导数。 3求f(x) = ln x 在x = 1 点的n 阶泰勒公式（Peano 余项） 4求由方程y y x =+)cos(确定的隐函数)(x y y =的二阶导数2 2dx y d 。 5 222,1)1ln(dx y d arctgt y t x 求?? ?-=+= 6. 求函数3326)(x x x f -=的极值 7 求?????>-≤=) 1|(||,1|); 1|(|,2 cos )(x x x x x f π的间断点，并判断其类型。 8 证明方程0132 =---x x e x 有且仅有三个实根。 三 （8分）设 ??? ??=≠-=-0,0;0,)()(x x x e x g x f x 其中，)(x g 有二阶连续导数且 1)0(,1)0('-==g g 。 （1）求)(' x f ; （2）讨论)(' x f 在),(+∞-∞上的连续性。 四（8分） 设 ),,,max (21m a a a A =, 且0>k a （m k ,,2,1 =），证明 A n n m n n n a a a =++∞ → 21lim 。 五 （8分）设 n n x x x +-==+11 2,111（ 3,2,1=n ），证明数列}{n x 的极限存在，并求极限。 紫金学院期中高等数学测验 一 填空（共32分，每小题4分） 3 设???≤<≤≤=2 1,21 0,)(2x x x x x f ，则f(x +1) =_______________________- 4 已知)(cos )2(sin 2 x f x f y +=，则 ___________________=dx dy 5 当a=_____,b=_____时，点（1，3）为曲线y = a x 3 +b x 2 的拐点 6 已知x x x y 2)1( +=,则_________ __________=dx dy 。 7 已知曲线?? ?==θ θsin sin b y a x ，（θ为参数），则它在6π θ=处的切线方程____________. 8 x x y 2sin =则) (n y =__________________________. 9 已知02 ] )2([522 lim =-+--+→x B x A x x ，则A=________,B=___________ 10 1 1 1lim 0--→x x e x ＝_______________-- 二 计算或证明 （每小题7分，共49分 ） 1求 x x x x e sin 1 )23(lim +-→ 的极限。 大一下学期高等数学考 试题 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256） 一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() B. C. D. 2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） A. B. C． D. 4、二次积分交换次序后为（） A. B. C. D. 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值 C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。 四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则 1 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 （本大题共16小题，总计80分） （本小题5分） 3 求极限 lim 一3x - x 2 2x 3 （本小题5分） 求 X 2 2 dx. （1 x ） （本小题5分） （本小题5分） 设函数y y （x ）由方程y 5 in y 2 x 6 所确定，求鱼. dx （本小题5分） 求函数y 2e x e x 的极值 （本小题5分） 2 2 2 2 求极限lim & ° （2x ° （3x ° 辿」 x （10x 1）（11x 1） （本小题5分） cos2x d x. sin xcosx 二、解答下列各题 （本大题共2小题，总计14分） 3 . ---------- 求 x . 1 xdx . 5 sin x , 2—dx. 0 8 sin 2 x （本小题5分） 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 x 2的单调区间 设 x(t) e kt (3cos 4sin t), 求 dx . 12x 16 9x 2 12x .1 arcs in x 求极限 limarctan x x （本小题5分） 求—^dx. 1 x （本小题5分） 求—x .1 t 2 dt . dx 0 （本小题5分） 求 cot 6 x esc 4 xdx. （本小题5分） 求-1 1 , 求 cos dx. x x 5分） ［曲2确定了函数y es int 5分） （本小题 设 x y （本小 y(x),求乎 dx （本大题6分） 设f （x ） x （x 1）（ x 2）（ x 3）,证明f （x ） 0有且仅有三个实根 一学期期末高数考试（答案） 、解答下列各题 （本大题共16小题，总计77分） 1、（本小题3分） lim 」^ x 2 12x 18 2、（本小题3分） (1 2 1 d(1 x ) 2 (1 x 2)2 1 1 2 1 x 2 3、（本小题3分） 故 limarctan x 4、（本小题3分） dx dx 」 dx dx 1 x x In 1 x c. 5、 (本小题3分) 原式 2x 1 x 4 6、 (本小题4分) .6 4 cot x csc xdx cot 6 x(1 cot 2 x)d(cot x) 1、（本小题7分） 某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围 另三边需砌新石条围沿 2、（本小题7分） 2 求由曲线y -和y 2 三、解答下列各题 ，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省? 3 —所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 8 沿， 体积. 解:原式 lim x 2 6x 3x 2~ 2 12 18x 12 c. 因为 arctanx —而 limarcsin 2 x .1 x arcs in x 高等数学A （下） 课程考试试题参考解答 一、单项选择题(满分15分，每小题3分，共5道小题), 请将合适选项填在括号内． 1. 函数3y z x e =-的全微分dz =【 C 】． (A) 2 2y x dx e dy -； (B) 2 3y x dx e dy +； (C) 2 3y x dx e dy -； (D) 2 3y e dx x dy -． 2. 球面2 2 2 1x y z ++= 在点P 处的切平面方程是【 D 】． (A) 0x y -=； (B) 0x y ++=； (C) 0x y -=； (D) 0x y +=． 3. 设区域{} 2(,)11, 1.D x y x x y =-≤≤≤≤，二重积分 ()2 cos D x x xy dxdy +=??【 B 】 ． (A) 1-； (B) 0； (C) 1； (D) 1 2 ． 4. 级数n n ∞ = A 】． (A) 条件收敛； (B) 绝对收敛； (C) 发散； (D) 其它选项都不对． 5. 曲线22 1() 4 4 z x y y ?=+???=?在点)5,4,2(处的切线对于x 轴的倾角为【 C 】． (A) 3 π ； (B) 3π-； (C) 4 π ； (D) 4π-． 二、填空题 ( 满分15分，每小题3分，共5道小题 )，请将答案填在横线上． 1. dx x y dy I y ? ? = 55 1 ln 1 = 4 . 2. 设L 是圆周2 2 2 R y x =+，曲线积分 ()2 2L x y ds +??= 32R π . 3. 设?? ?? ? ≤<≤≤=πππx x x f 20201)(可以展开为正弦级数，此正弦级数在4x π=处收敛于 1 . 解 由于4 π= x 是)(x f 的连续点，则)(x f 的正弦级数在4 π= x 收敛于1)4 (=π f ． 4. 微分方程20y y y '''-+=的通解为 12()x y c c x e =+ . 5. 函数33 (,,)3f x y z z xyz y =-+在点(1,2,3)处的梯度为 (18,3,21)- . 三．（满分10分）设( ) 22 ,ln 2z f xy x y =+，求z x ??和2z x y ???（其中f 具有二阶连续偏导数）. 解 2122z f y f xy x ?''=+? 2z x y ???33221211 221222225yf xf xy f x yf x y f ''''''''=++++ 四. （满分10分）计算曲线积分22 L xy dy x ydx -??，其中L 为圆周222a y x =+的正向. 解 2 2 ,xy Q y x P =-=， 22,y x Q x y P =??-=??，由格林公式，得 ydx x dy xy L 22-? = 222x y a Q P dxdy x y +≤????- ???? ??? ()222 2 2x y a x y dxdy +≤= +?? 2 4 3 20 a dr r d a πθπ= =?? . 五．（满分10分）试将函数()2 x t f x e dt =? 展成x 的幂级数， （要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域）。 解： 因为 ∑∞ ==0! n n t n t e ()+∞<<∞-t 则∑∞ ==02! 2 n n t n t e ()+∞<<∞-t ， 将上式两端逐项积分，得 ()?∑????? ??==∞=x n n x t dt n t dt e x f 00 20!2 第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy + （C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?， 大一下学期高等数学考试 题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020. 一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() 、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） . C． D. 4、二次积分交换次序后为（） . . 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在 处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值 C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。 四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则 当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则 . 一.选择题（3分10） 1.点到点的距离（）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量，则有（）. A.∥ B.⊥ C. D. 3.函数的定义域是（）. A. B. C. D 4.两个向量与垂直的充要条件是（）. A. B. C. D. 5.函数的极小值是（）. A.2 B. C.1 D. 6.设，则＝（）. A. B. C. D. 7.若级数收敛，则（）. A. B. C. D. 8.幂级数的收敛域为（）. A. B C. D. 9.幂级数在收敛域内的和函数是（）. A. B. C. D. 10.微分方程的通解为（）. A. B. C. D. 二.填空题（4分5） 1.一平面过点且垂直于直线，其中点，则此平面方程为______________________. 2.函数的全微分是______________________________. 3.设，则_____________________________. 4.的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程的通解为_________________________________. 三.计算题（5分6） 1.设，而，求 2.已知隐函数由方程确定，求 3.计算，其中. 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（为半径）. 5.求微分方程在条件下的特解. 四.应用题（10分2） 1.要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省 2..曲线上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点，求此曲线方程试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.. 2. . 3. . 4. . 5. . 三.计算题 1. ，. 2.. 3.. 4. . 5.. 四.应用题 1.长、宽、高均为时，用料最省. 2. 高数试卷2（下）一.选择题（3分10） 1.点，的距离（）. A. B. C. D. 2.设两平面方程分别为和，则两平面的夹角为（）. A. B. C. D. 3.函数的定义域为（）. A. B. C. D. 4.点到平面的距离为（）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数的极大值为（）. A.0 B.1 C. D. 6.设，则（）. A.6 B.7 C.8 D.9 7.若几何级数是收敛的，则（）. A. B. C. D. 8.幂级数的收敛域为（）. A. B. C. D. 9.级数是（）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题（4分5） 1.直线过点且与直线平行，则直线的方程为__________________________. 2.函数的全微分为___________________________. 3.曲面在点处的切平面方程为_____________________________________. 4.的麦克劳林级数是______________________. 三.计算题（5分6） 1.设，求 2.设，而，求 3.已知隐函数由确定，求 4.如图，求球面与圆柱面（）所围的几何体的体积. 四.应用题（10分2） 1.试用二重积分计算由和所围图形的面积. 试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.. 2.. 3.. 4.. 5.. 三.计算题 1.. 2. . 3.. 4. . 四.应用题 1.. 高等数学试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（） 4 5 A、10 B、20 C、24 D、22 2、设ai2j-k,b2j3k，则a与b 的向量积为（） A、i-j2k B、8i-j2k C、8i-3j2k D、8i-3ik 3、点P（-1、-2、1）到平面x2y-2z-50的距离为（） A、2 B、3 C、4 D、5 4、函数zxsiny在点（1，）处的两个偏导数分别为（） A、 B、 C、 D、 5、设x2y2z22Rx，则分别为（） A、 B、 C、 D、 6、设圆心在原点，半径为R，面密度为的薄板的质量为（）（面积A） A、R2A B、2R2A C、3R2A D、 7、级数的收敛半径为（） A、2 B、 C、1 D、3 8、cosx的麦克劳林级数为（） A、 B、 C、 D、 9、微分方程y4y5y20的阶数是（） A、一阶 B、二阶 C、三阶 D、四阶 10、微分方程y3y2y0的特征根为（） A、-2，-1 B、2，1 C、-2，1 D、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L1xyz与直线L2___________。直线L3____________。 3、二重积分___________。 4、幂级数__________，__________。三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 1、用行列式解方程组-3x2y-8z17 2x-5y3z3 x7y-5z2 2、求曲线xt,yt2,zt3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程. 3、计算. 4、问级数 5、将函数fxe3x展成麦克劳林级数 6、用特征根法求y3y2y0的一般解四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分） 1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。 2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，（已知比例系数为k）已知t0时，铀的含量为M0，求在衰变过程中铀含量M 高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ； 高等数学B （上）试题1答案 一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”） （ × ）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. （ × ）2. 闭区间上的间断函数必无界. （ √ ）3. 若)(x f 在某点处连续，则)(x f 在该点处必有极限. （ × ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ √ ）5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量. （ × ）6. ()y f x =在点0x 连续，则()y f x =在点0x 必定可导. （ × ）7. 若0x 点为()y f x =的极值点，则必有0()0f x '=. （ × ）8. 若()()f x g x ''≡，则()()f x g x ≡. 二、填空题（每题3分，共24分） 1. 设2 )1(x x f =-，则(3)f =16. 2．1lim sin x x x →∞ ＝1 。 3.112lim sin sin x x x x x x x x →∞??+??++=?? ??????? 2 1e +. 4. 曲线3 26y y x -=在(2,2)-点切线的斜率为2 3 . 5．设0()f x A '=，则000 (2)(3) lim h f x h f x h h →+--＝ 5A . 6. 设1 ()sin cos ,(0)f x x x x =≠，当(0)f =0时，)(x f 在0=x 点连续. 7. 函数3 3y x x =-在x =1 -处有极大值. 8. 设)(x f 为可导函数,(1)1f '=，2 1()()F x f f x x ??=+ ??? ，则=')1(F 1 . 三、计算题（每题6分，共42分） 1．求极限 3(2)(3)(4) lim 5n n n n n →+∞+++ . 解： 3 (2)(3)(4) lim 5n n n n n →+∞+++ 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 221 n n n n n n ππ ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 高等数学试题 一、填空题 1.设sin z xyz 1,-=则 z yz x cos z xy ?=?-. 2.设L 为圆周22x y 4+= ，则对弧长曲线积分=12π? . 3.交换积分次序( )22 2y 410y 0x 2dy f x,y dx =dx y)dy ????. 4.方程2x y"4y'4y e -++=的一个特解是2x x e -212 . 二、选择题 1.函数( )2222x y 0f x,y 0x y 0 +≠=+=?在点（0，0）处A . A.连续 B.两个偏导数都存在，且为0 C.两个偏导数都存在，但不为0 D.全微分存在 2.设有空间区域2221:x y z 1,z 0Ω++≤≥； 2222:x y z 1,x 0,y 0,z 0Ω++≤≥≥≥,则C . A.12xdv 4xdv ΩΩ=?????? B.12 ydv 4ydv ΩΩ=?????? C.12zdv 4zdv ΩΩ=?????? D.12 xyzdv xyzdv ΩΩ=?????? 3.设∑为球面222x y z 1++=的外侧，则222 x dydz x y z ∑++?? 等于C . A.0 B. 22y z 1+≤?? C.43π D.22x z 1 +≤-?? 4.下列微分方程中，通解为()2x 12y e c cos x c sin x =+的方程是B . A.y"4y'5y 0--= B.y"4y'5y 0-+= C.y"2y'5y 0-+= D.2x y"4y'5y e -+= 三、计算二重积分2y 2D e dxdy y ??.其中D 为3x y =与5x y =所围区域. 1e 12- 五、设y u y f 2x,x ??=? ??，f 具有二阶连续偏导数，求 22 11222223u 2y 2y y 2f f f f x y x x x ?''''''=+--??. 六、设()f x 是一个连续函数，证明： （1）()()22f x y xdx ydy ++是一个全微分；（2）()()()u 2201d f u du f x y xdx ydy 2??=++ ??? ?，其中22u x y =+. 证明：（1） ()()()( ) 222222222222222222f x y xdx ydy xf (x y )dx yf (x y )dy (xf (x y ))2xyf (x y )y (yf (x y ))(xf (x y ))2xyf (x y )x y f x y xdx ydy ++=+++?+'=+??+?+'=+=??∴++ （2） ()()22 u x y 2222002222111d f u du f u du f (x y )d(x y )2221f (x y )(2xdx 2ydy)f (x y )(xdx ydy).2 +??==++ ???=++=++?? 七、求：由曲面2222z 0,z y 1,x y 4== +=+=所围空间立体Ω的体积. 解： 22010V dxdydz d d dz 14d d dz 3πρρρθθρρπΩΩ ====????????? 是一个全微分。 四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）高等数学(下册)期末复习试题及答案
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