【KS5U首发】海南省琼海市2012年高考模拟测试一(数学理)2012琼海市一模

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琼海市2012年高考模拟测试一

理科数学

命题教师：邢大福 审题教师：莫 思

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目睥答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

球的表面积公式: 2

4S R π=（其中R 为球的半径）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且

只有一项符合题目要求。 1．复数12i

i +（i 是虚数单位）的虚部是（ ）

A ．25

B ．25-

C ．15

-

D ．

1

5

2．已知,A B 是非空集合，命题甲：A

B B =，命题乙：A B ?≠，那么 （ ）

A.甲是乙的充分不必要条件

B. 甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件

D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 3．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若,,//m l m l αα⊥⊥则； ②若,,,.l m l m αβα

ββ⊥=⊥⊥则

③若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则； ④若//,//,,//l m l m αβαβ?则.

其中正确命题的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x

x

f x

g x a a -+=-+

()1,0≠>a a 且，若(2)g a =，则(2)f =（ ）

A. 2

B.

174 C. 154

D. 2

a

5．一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大

于1的地方的概率为（ ）

A ．

12

π B ．112

π

-

C ．16π-

D ．13

π- 6．ABC ?的三个内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，设向量)sin ,(C b a m +=，

(3,sin sin )n a c B A =+-，若//，则角B 的大小为 （ ）

A ．

6

5π

B ．

6π C ．3π D ．3

2π 7．设a ＝

(sin cos )x x dx

π

?

＋，则二项式6

(-

展开式中不含2x 项的系数和是（ ） A ．－192 B ．193 C ．－6 D ．7

8．方程0)1lg(12

2=-+-y x x 所表示的曲线的图形是（ ）

9．若6

x π

=

是函数()sin cos f x x x ωω=+图象的一条对称轴，当ω

取最小正数时

A ．()f x

在(0,)6

π

单调递增

B ．()f x 在(,)36

π

π

-

-单调递减

C ．()f x 在(,0)6

π

-

单调递减 D ．()f x 在(,)63

ππ

单调递增 10．以下正确命题的个数为（ ）

①命题“存在0

0,2

0x x R ∈≤”的否定是：“不存在00,20x

x R ∈>”；

②函数13

1()()4

x

f x x =-的零点在区间11(,)43

内；

③若函数()f x 满足(1)1f =且(1)2()f x f x +=，则(1)(2)(10)f f f +++…=1023； ④函数()x

x f x e

e -=-切线斜率的最大值是2.

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 11．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正

三角形，则这个几何体的外接球的表面积为 ( )

A ．

B ．

83π

C ．

D ．163

π

12．过双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆222

4a x y +=的切线，

切点为E ，直线FE 交双曲线右支于点P ，若1

()2

OE OF OP =+，则双曲线的离心率为

（ ）

A

B

C

D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．椭圆2212x y +=的弦被点11

(,)22

平分，则这条弦所在的直线方程是 14．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从

1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 个

15．当对数函数log (01)a y x a a =>≠且的图象至少经过区域

(,)

80(,)30x y M x y x y x y R y ??-≥??

??

=+-≤∈??????-≥???

内的一个点时，实数a 的取值范围是 16．在ABC ?

中，60,C AB AB =?=

边上的高为4

,3

则AC BC +=

三、解答题：大本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

已知各项都不相等的等差数列{}n a 的前6项和为60，且6a 为1a 和21a 的等比中项.

(1)求数列{}n a 的通项公式；

18．（本小题满分12分）

中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q （简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q ≤80时，为酒后驾车；当Q ＞80

时，为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门于2012年1月的某天晚上8点至11点在市区昌隆饭店设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q ≥140的人数计入120≤Q ＜140人数之内）.

（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；

（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，

再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数X 的分布列和数学期望. 19．（本小题满分12分）

已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形， 且2AD =，1AB =，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分 别是线段AB 、BC 的中点．

（1）证明：PF FD ⊥；

（2）判断并说明PA 上是否存在点G ，

使得EG ∥平面PFD ； 第19题图 （3）若PB 与平面ABCD 所成的角为45，求二面角A PD F --的余弦值． 20．（本小题满分12分）

已知抛物线2

2(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，

抛物线的准线与x 轴交于点C ． （1）证明：ACF BCF ∠=∠；

（2）求ACB ∠的最大值，并求ACB ∠取得最大值时线段AB 的长．

21．（本小题满分12分）

已知函数21

()ln

(0).f x ax x a x

=-+>

（1）若()f x 是定义域上的单调函数，求a 的取值范围； （2）若()f x 在定义域上有两个极值点1x 、2x ，证明：12()()32ln 2.f x f x +>-

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图设M 为线段AB 中点，AE 与BD 交于点C ∠DME=∠A=∠B=α，且DM 交AC 于F ，EM 交BD 于G 。

（1）写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明； （2）连结FG ，设α=45°，AB=42，AF=3，求FG 长。

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为

（θ为参数0>r ）

以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，直线l

的极

坐标方程2

2)4

sin(=

+

π

θρ （1）求圆心的极坐标。

（2）若圆C 上点到直线l 的最大距离为3，求r 的值。

???

????+-=+-=θθrSin y r x 22cos 2

2

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数a a x x f +-=2)(．

（1）若不等式6)(≤x f 的解集为{}

32≤≤-x x ，求实数a 的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．

琼海市2012年高考模拟测试一

数学科参考答案（理科）

一、选择题： DBACC ABDAB DC 二、填空题：

（13）2430x y +-= （14）40

（15

） （16）11

三、解答题：

（17）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d (0d ≠)，

则()()12

11161560,205,a d a a d a d +=???+=+??

解得1

2,5,d a =??=?

…………………4分

∴23n a n =+． ………………6分 （Ⅱ）由1n n n b b a +-=， ∴11n n n b b a ---=()

*2,n n ≥∈N ，

()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+

+-+

1211n n a a a b --=++

++

()()()11432n n n n =--++=+．

∴()2n b n n =+()

*n ∈N ． …………………8分 ∴

()11111222n b n n n n ??==- ?++??

………………10分

11111112324

2n T n n ??=-+-+

+- ?+??()()21311352212412n n n n n n +??=--= ?++++??

… 12分 （18）解：（Ⅰ） (0.0032+0.0043+0.0050)×20=0.25,0.25×60=15,

所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人．………………………………………………4分 （Ⅱ） 易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人；所以x 的所有可能取值为0,1,2；

P(x =0)=383

6

C C =145,P(X=1)=381226C C C =2815,P(x =2)=3

8

2216C C C =283 X 的分布列为

…………………………………………………………………………………………………10分

4

32832281511450)(=?+?+?

=X E .……………………………………………………12分 （19）解：解法一：（Ⅰ）∵ PA ⊥平面ABCD ，90BAD ∠=，

1AB =，2AD =，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 则()()0,0,0,1,0,0,(1,1,0),(0,2,0)A B F D ．…………2分

不妨令(0,0,)P t ∵(1,1,)PF t =-，(1,1,0)DF =- ∴111(1)()00PF DF t =?+?-+-?=， 即PF FD ⊥．…………………………4分 （Ⅱ）设平面PFD 的法向量为(),,n x y z =，

由00

n PF n DF ??=???=??，得00x y tz x y +-=??-=?，令1z =，解得：2t x y ==．

∴,,122t t n ??

=

???

． ………………………………………………………6分 设G 点坐标为(0,0,)m ，1,0,02E ??

???

，则1(,0,)2EG m =-，

要使EG ∥平面PFD ，只需0EG n =，即1()0102

224

t t t

m m -?+?+?=-=， 得14m t =

，从而满足1

4

AG AP =的点G 即为所求．……………………………8分 （Ⅲ）∵AB PAD ⊥平面，∴AB 是平面PAD 的法向量，易得()1,0,0AB =，

……………………………9分

又∵PA ⊥平面ABCD ，∴PBA ∠是PB 与平面ABCD 所成的角，

得45PBA ∠=，1PA =，平面PFD 的法向量为11,,122n ??

=

???

……10分 ∴1

cos ,1AB n AB n AB n

?=

=

=?

故所求二面角A PD F --的余弦值为

6

分

解法二：（Ⅰ）证明：连接AF ，则AF =，DF =

又2AD =，∴ 222DF AF AD +=，∴ DF AF ⊥ ……2分 又PA ABCD ⊥平面，∴ DF PA ⊥，又PA AF A =，

∴

}

DF PAF DF PF PF PAF

⊥?⊥?平面平面……4分

（Ⅱ）过点E 作//EH FD 交AD 于点H ，则EH ∥平面PFD ，且有1

4

AH AD = ……………………………………5分

再过点H 作HG ∥DP 交PA 于点G ，则HG ∥平面PFD 且1

4

AG AP =

， ∴ 平面EHG ∥平面PFD ……………………………………………………7分 ∴ EG ∥平面PFD ． 从而满足1

4

AG AP =

的点G 即为所求． ……………………………………………8分 （Ⅲ）∵PA ⊥平面ABCD ，∴PBA ∠是PB 与平面ABCD 所成的角，且45PBA ∠=． ∴ 1PA AB == ………………………………………………………………9分 取AD 的中点M ，则FM ⊥AD ，FM ⊥平面PAD ，

在平面PAD 中，过M 作MN PD N ⊥于，连接FN ，则PD FMN ⊥平面， 则MNF ∠即为二面角A PD F --的平面角………………………10分

∵Rt MND ?∽Rt PAD ?，∴ MN MD

PA PD

=

，

∵1,1,PA MD PD ===90o FMN ∠=

∴ MN =

，5

FN ==，

∴ cos MN MNF FN ∠=

= ……………12分 （20）解：（Ⅰ）由题设知，F ( p 2，0)，C (－ p

2，0)

，

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 方程为x ＝my ＋ p

2，

代入抛物线方程y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0． y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2． …4分

不妨设y 1＞0，y 2＜0，则

tan ∠ACF ＝y 1x 1＋ p 2＝y 1y 212p ＋ p 2

＝2py 1y 2

1＋p 2＝2py 1y 21－y 1y 2＝2p

y 1－y 2，

tan ∠BCF ＝－

y 2

x 2＋ p 2

＝－2p y 2－y 1

， ∴tan ∠ACF ＝tan ∠BCF ，所以∠ACF ＝∠BCF ． …8分

（Ⅱ）如（Ⅰ）所设y 1＞0，tan ∠ACF ＝2py 1y 21＋p 2≤2py 1

2py 1

＝1，当且仅当y 1＝p 时取等号，

此时∠ACF 取最大值 π 4，∠ACB ＝2∠ACF 取最大值 π

2，

并且A ( p 2，p )，B ( p

2，－p )

，|AB |＝2p ． …12分 （21）解：（Ⅰ）f (x )＝－ln x －ax 2＋x ，

f '(x )＝－ 1

x －2ax ＋1＝－2ax 2－x ＋1x ． …2分 令Δ＝1－8a ．

当a ≥ 1

8时，Δ≤0，f '(x )≤0，f (x )在(0，＋∞)单调递减． …4分

当0＜a ＜ 1

8时，Δ＞0，方程2ax 2－x ＋1＝0有两个不相等的正根x 1，x 2， 不妨设x 1＜x 2，

则当x ∈(0，x 1)∪(x 2，＋∞)时，f '(x )＜0，当x ∈(x 1，x 2)时，f '(x )＞0， 这时f (x )不是单调函数．

综上，a 的取值范围是[

1

8，＋∞)

． …6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当a ∈(

0， 1

8)

时，f (x )有极小值点x 1和极大值点x 2，

且x 1＋x 2＝12a ，x 1x 2＝1

2a ．

f (x 1)＋f (x 2)＝－ln x 1－ax 21＋x 1－ln x 2－ax 2

2＋x 2

＝－(ln x 1＋ln x 2)－ 1 2(x 1－1)－ 1

2(x 2－1)＋(x 1＋x 2)

＝－ln(x 1x 2)＋ 1 2(x 1＋x 2)＋1＝ln(2a )＋1

4a ＋1． …9分

令g (a )＝ln(2a )＋14a ＋1，a ∈(

0， 1

8]

，

则当a ∈(

0， 1 8)时，g '(a )＝ 1 a －14a 2＝4a －14a 2＜0，g (a )在(0， 1

8)

单调递减，

所以g (a )＞g ( 1

8)

＝3－2ln 2，即f (x 1)＋f (x 2)＞3－2ln 2． …12分

（22）（10分）

（II ） △AME ∽△MFE ，△BMD ∽△MGD ， △AMF ∽△BGM …………3分 ∵∠AMD=∠B+∠D ∠BGM=∠DMG+∠D 又∠B=∠A=∠DME=α

∴∠AMF=∠BGM ∴△AMF ∽△BGM …………5分

（II ）由（1）△AMF ∽△BGM AF

BM

AM BG = 38=BG

∠α=45° ∴△ABC 为等腰直角三角形

AB=24 AC=BC=4， CF=AC －AF=1 CG=4－3

4

38=