拉格朗日中值定理的证明与应用

拉格朗日中值定理的证明与应用

屈俊1，张锦花2

摘要:本文首先用辅助函数法,区间套法,参数变异法,巴拿赫不动点定理法,行列式法,旋转坐标法，面积法证明了拉格朗日中值定理。然后用具体的例子,说明了如何应用拉格朗日中值定理求极限,证明不等式,恒等式,求函数的解析性,证明级数的收敛性,解决估值问题。

关键字:拉格朗日中值定理 证明 应用

三大微分中值定理（其中包括罗尔中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中值）是《数学分析》中的一个重要章节。微分中值定理建立了函数与导数之间的联系，他们使微积分建立在严密而坚实的基础上，构成了微积分优美的基本理论，而且是利用导数研究函数的性质与状态的重要理论基础。拉格朗日中值定理是几个微分中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁。由于罗尔中值定理条件的限制，他的用途没有拉格朗日中值定理广泛，在证明拉格朗日中值定理时方法多样，下面介绍证明拉格朗日中值定理时常常采用的方法以及用具体的例子说明拉格朗日中值定理的应用。

(一)拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日(Lagrange)中值定理:若函数(x)f 满足如下条件： (1)在闭区间[a,b]上连续；

(2)在开区间(,)a b 内可导；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得

'()()

()f b f a f

b a

ξ-=

-

拉格朗日中值定理的几何意义：函数()y f x = 在区间[,]a b 上的图形是连续光滑曲线弧

AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB.

从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()f x 在闭区间[]a,b ,两端点的函数值相等，即()()f a f b = ，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()f x 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.

证明：

1.1：辅助函数法

目前教材的常见证明方法如下： 作辅助函数

()()

()(x)()(),[,],f b f a x f f a b a x a b b a

?-=--

-∈-

由于函数()f x 在闭区间[]a,b 上连续，在开区间(,)a b 上可导，并且有

()()0,a b ??==

于是由Rolle 定理，至少存在一点(,)a b ξ∈ ，使得'

()0.?ξ= 对()x ? 的表达式求导并令'

()0.?ξ=整理后便得到

'()()

()f b f a f b a

ξ-=

-

1.2行列式

令

()1()()1.()1f a a F x f b b f x x ?? ?= ? ???

根据拉格朗日中值定理的条件知，函数()F x 在闭区间[]a,b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，并且有

''()1()()1(x)10f a a F x f b b f ?? ?

= ? ???

由于()F (a )0,F b == 所以根据罗尔中值定理知，在(,)a b 内至少有一点ξ ，使得'

()0F ξ= ，即

'()1()10()10f a a f b b f ξ?? ?= ? ???

根据行列式的性质不难得到

'()1()f(a)00,()10f a a f b b a f ξ?? ?--= ? ???

在按照第三列展开该行列式得

'[()()]()()0,f b f a f b a ξ---=

即

'()()

()f b f a f b a

ξ-=

-

证毕

1.3旋转坐标法

分析：做辅助函数'

(x)y sin ()cos ,F x f x θθ==-+ 因为

(b)sin (b)cos ,

()sin ()cos ,

F b f F a a f a θθθθ=-+=-+

由sin ()()

.cos f b f a tg b a

θθθ-=

=- 可得()().F a F b =

经此坐标轴的旋转变换，使旋转角θ 满足()()

.f b f a tg b a

θ-=

- 由此，构造辅助函数为

()sin ()cos F x x f x θθ=-+

即可把问题转化为符合罗尔定理的条件。

证明：作坐标轴的旋转变换，使旋转角θ 满足()()

.f b f a tg b a

θ-=

-有坐标轴的旋转公式：

''

cos sin sin cos x x y y x y θθθθ

??=+ ?=-+??

得

'sin ()cos y x f x θθ=-+

作辅助函数'

()sin ()cos ,F x y x f x θθ==-+ 则

(b)sin (b)cos ,F b f θθ=-+ ()sin ()cos ,F a a f a θθ=-+

因为sin ()()

.cos f b f a tg b a

θθθ-=

=-经检验可得()().F a F b =且()F x 满足罗尔中值定理的另外两个条件，

故至少存在一点(,),a b ξ∈ 使得'

'

()sin ()cos 0,F f ξθξθ=-+= 即得'

sin ()()()cos f b f a

f b a

θξθ-=

=

- 1.4区间套法

引理1 若()f x 满足：（1）在[,]a b 上连续，则存在属于[,]a b 的,αβ 使得 (1)()()()()

;(2)2b a f b f a f f b a βαβαβα

----==-- 证明：

设 1

()()()[()()]22b a F x f x f x f b f a -=+

--- 有条件可知F()x 在[,]2

a b

a + 上连续，且

11

()()[()()]()[()()]2222

a b a b F a f a f b f a f f b f a ++=+--=-+

11()()()[()()][()()]()()2222222

a b a b b a a b a b F f f f b f a f b f a f F a ++-++=+---=+-=-

①若 ()0,F a = 则 1

()[()()]22

a b f f b f a +=+

令

,,2a b a αβ+==

显然有22b a

βα--=

且

11

()()()()[()()]()[()()]222

a b f f f f a f b f a f a f b f a βα+-=-=+-=-

∴

()()()(a)

f f f b f b a

βαβα--=--

此时， ,

2a b

a + 即为引理1要求的,αβ ； 同理可证，,2

a b

b +也为引理1要求的,αβ 。

②()0,F a ≠ 则由闭区间上连续函数的性质可知，存在(,

),2

a b

a a +∈ 使得()0F a = 。 即1

()()[(b)()]22b a f a f a f f a -+

-=- 亦即1

()()[(b)()]0,

22

b a f a f a f f a -+---=

1

[()(a)]

()()()(a)

21()2

f b f f f f b f b a b a βαβα---==

---∴ 综合①②引理1得证。

引理2 若(x)f 在(,)a b 内一点0x 可导，{}{},n n b α 为任意两个数列，且0n n x αβ≤≤ ，

0lim lim ,n n n n x αβ→→∞

∞

==

则 '000

()()

lim

()n n n f f x f x x ββ→∞

-=-

证明：∵()f x 在点0x 可导且0lim n n x β∞

→=

∴

00

''0000

()()lim

()()lim ()()n n n n n n f f x x f f x f x f x x ββββ→∞

→∞---==-

∴对于10,,N ε?>? 当1n N > 时，恒有

'000()()()2

n n f f x f x x βε

β--<-

同理，对于20,,N ε?>? 当2n N > 时，恒有

'000()()()2

n n f f x f x x αε

α--<-

所以对于120,max{,},N N N ε?>?= 当n N > 时，有

''0000000000''

000000000000()()()(x )()(x )

()()

()(x )()(x )()[()]

()(x )[n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n f f x f f x f f f x f x x x x f f x x f f x f x f x x x x f f βαββααβαβαββααβββαααβαββαβααβαβββαβ------=-------------=-----------≤--''000000''000000

()(x )

()][()]

()(x )()(x )

()()

2

2

n n n n n n n n n x f f f x f x x x f f f f f x f x x x ααβααβαβαεεε

---+-----≤-+---<

+

=

00

00

(0,1)n n n n x x βαβαβα--≤

≤--

所以'

000

()()lim

()n n n f f x f x x ββ→∞

-=-

拉格朗日中值定理证明：

()f x 在[,]a b 上连续，有引理1可知，存在11[,][,],a b αβ?

使得

111111,2

()()()()

b a

f f f b f a b a

βαβαβα--=

--=

--

同理，存在2211[,][,],αβαβ?

11

2222112211

,

24

()()()()

b a

f f f f βαβαβαβαβαβα---=

=

--=

--

以此类推，可得[,]a b 上的一系列闭区间

{}0

0[,](0,1,2,;),,3n

n

b n a αββ

α?===

满足11(1,2,3,)2

()[,][,](1,2,3,)(?)

(1,2,3,()()()()

)

n n n n n n n

n n n n f f f b f a b a

b a

n n n βαββααααββ++--==??=?=--=-?-（ⅰ）ⅱⅲ

有区间套定理可知，在(,)a b 内存在一点ξ ，有l im l im n n n n αβξ∞

∞

→→==

应用引理2，有'

00()()()()()()()lim

lim n n n n f f f b f a f b f a

f b a b a

βαξβα→∞

∞→---===--- 即'

()()()()f b f a f b a ξ-=-

证毕

1.5参数变易法

设

()()

f b f a k b a

-=

-

则有

()()()f a f b k b a -=-

所以

()()f b kb f a ka -=-

令

()(x)kx x f ?=-

由于()f x 闭区间[,]a b

上连续，开区间(,)a b 内可导，所以()x ? 满足罗尔定理的三个条件闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且()()a b ??= ，因此在(,)a b 内至少有一点ξ ，使得

''()()0,f k ?ξξ=-=

即在(,)a b 内至少有一点ξ，使得

'()()()().f b f a f b a ξ-=-

证毕

1.6巴拿赫不动点定理法

因为任意闭区间在通常的欧几里得度量下是完备的，针对[,]a b 上凸（凹）函数()f x 可以先证明拉格朗日中值定理成立，对任意小的0ε> 成立，在闭区间[,]a b εε+- 上构造自映射

'

()()

()()f b f a A x x f x b a

-=-+

-

假设12,[,],x x a b εε∈+- 且12x x < ，则有

''121212(x )(()())Ax Ax x f x f x -=-+-

假设()f x 在闭区间[,]a b 上是凸函数，由凸函数的导数性质，可知'

(x)f 在区间[,]a b εε+-内单调递减，所以有

''12()()0f x f x ->

从而存在一个数(0,1)λ∈ ，使得

''12120()()()x x f x f x λ<-<-

因此

1212(1).Ax Ax x x λ-=≤--

所以()A x 是[,]a b εε+-上的压缩映射。由巴拿赫不动点定理知必存在唯一的不动点(,)a b λ∈ ，使得

().A ξξ=

于是有

'()()

()f b f a f b a

ξ-=

-

证毕

1.7面积法

利用直观的几何关系，构造出辅助函数，再利用罗尔中值定理，便可得到定理结果，分析如下：

假设曲线L 的方程()y f x = 。在曲线L 上任意取一点(,(x))P x f 与弦AB 组成的 ,ABP 则 ABP 的面积

()111()()1.22()1 a

f a S x AB AP b

f b x f x ??

?

=?= ?

???

()S x 在区间[,]a b 上满足罗尔中值定理的三个条件。故由罗尔中值定理，在(,)a b 内至少有一点,ξ 使得

'()()()().f b f a f b a ξ-=-

证毕

B

y

x

A

P(x,f(x))

y=f(x)

b

a O

(二)拉格朗日中值定理的应用

在高等数学中我们应用拉格朗日中值定理，以求极限,证明不等式,恒等式,求函数的解析性,证明级数的收敛性,解决估值问题

2.1应用拉格朗日中值定理证明不等式

证明不等式的方法很多，但是对于某些不等式，用初等解法不一定解的出来，这是如果考虑拉格朗日中值定理，会比较简单。 其思想是：假设函数(x)f 在闭区间[,]a b 上连续且在开区间(,)a b 内可导，由拉格朗日中值定理得，在(,)a b 内至少存在一点ξ ，使得

'()()

().f b f a f x b a

-=

-

我们可以作以下变形

''

()()()()(a b)()()()(01f b f a f b a f a h f a f a h h ξξθθ-=-<<+-=+<<，

）.

不难看出，h 有限，'

()f a h h θ+ 是()()f f a h f a =+- 的准确表达式，且当θ 在(0,1)内变动时，

'()f a h θ+ 有最大值M 和最小值m ，从而有

()()Mh.mh f a h f a ≤+-≤

这就是拉格朗日中值定理证明不等式的理论基础.

2.11直接用拉格朗日中值定理证明不等式

例1,设()f x 在[,]a b 上二阶可导.()()0f a f b == ，且存在一点(,)c a b ∈ 使得()0f c > . 证明：至少存在一点(,)a b ξ∈ 使得''

()0f ξ< .

证明：对于()f x 在[,c]a 上利用拉格朗日中值定理，存在1(a,),c ξ∈ 使得'

1()()()()f c f a f c a ξ-=-

由于()0,(c )0,c a 0,

f a f =>-> 故'

1()0f ξ>

对于()f x 在[,]c b 上利用拉格朗日中值定理，存在2(,)c b ξ∈ ，使得'

2()()()()f b f c f b c ξ-=- 又(b)0,()0,0,f f c b c =>-> 故'

2()0f ξ< .

因为'

1212,(),]a c b f x ξξξξ<<<<在[上可导， 在根据拉格朗日中值定理，存在12ξξξ∈

?（，）（a,b), 使得''"

2121

()()()()f f f ξξξξξ-=- 由此得出"

()0.f ξ<

2.12先构造函数，在利用拉格朗日中值定理证明不等式

方法是根据所要证明的不等式和拉格朗日中值公式的形式构造一个函数，并取定一个区间，然后对构造的函数在取定区间上利用拉格朗日中值定理.

例2：证明：

2

arctan 1h

h h h

<<+ ，其中 0.h > 分析：求解这类题的思路是构造一个函数，然后对其求导。

证明：设()arctan ,f x x = 在[0,]h 上运用拉格朗日中值定理得，

2

arctanh 1

((0,)1h h ξξ

=∈+ 经过变形整理得2

arctan 1h

h ξ=

+ ，由于0h ξ<< 从而2

arctan ,arctan 1h

h h h h

<<+

所以

2

arctan 1h

h h h <<+ 2.2应用拉格朗日中值定理证明恒等式

要点： 根据拉格朗日公式

'00()()()(),f x f x f x x ξ=--

由此导数''

()0f x ≡ 时，()f x 恒等于某常数，利用这一原理，可以证明恒等式。 例3：求证：当1x ≤- 时，有2

22arctan arctan sin .1x

x x

π+=-+ 证明：当1x =- 时，结论显然成立。

当1x <- 时，令2

2()2arctan arctan sin

,1x

f x x x =++

22

'

2

2

()01f x x =+

=+ 有拉格朗日中值定理推论，得

2

2()2arctan arcsin

1x

f x x c x

=+=+

令x =，代入上式得c π=- 所以2

22arctan arcsin

.1x

x x π+=-+ 例4：证明对于任何实数恒有arctan cot .2

x arc x π

+=

证明：设

()arctan cot f x x arc x =+

在区间(,)+∞-∞ 上恒有'

()0.f x = 有拉格朗日定理可知(x)0f ≡ .因为(1),4

4

2

f π

π

π

=

+

=

所以

().2

f x c π

==

即对于任意的实数x 恒有

arctan cot .2

x arc x π

+=

例5：ln(1)

()x

o t x dt t ?-=

? 在11x -<< 有意义，

证明：2

1()()().

2

x x x ???+-= （北京航空航天大学） 证明：问题等价于要证明函数

21

()()(x)()02

f x x x ???≡+--≡

事实上'

'

'

'

2

()()()().f x x x

x x ???=---

而'

ln(1)

()x x x

?-=

，故 2'

2

ln(1)ln(1)ln(1)

()0x x x f x x x x x -+-=+-=

由此''

()f x c ≡ 。但是 (0)0?= 知f(0)0=，所以0,(x )0.c f =≡

证毕

2.3应用拉格朗日中值定理证明根的存在性

有的方程，特别是超越方程特别难直接求解，有时我们没有必要知道方程的根的确定值，而只要知道方程解的存在

性或者近似值就可以了。证明方程根的存在性，根据所给根的范围就是区间[,]a b ，把所给方程设为函数()f x ，然后用拉格朗日中值定理证明根的存在性（一般用反证法）。

例6：设(x)f 在[0,1] 上可导，且0()1f x << ，又对于(0,1）

内所有的点有'

(x)1,f ≠- 证明方程()x 10f x +-= 在(0,1) 内有唯一的实根。

证明：先正存在性。

令()()x 1,g x f x =+- 则()g x 在[0,1] 上可导， 故 0()1,(0)(0)10,(1)(1)0f x g f g f <<=-<=>

所以，有零点定理知()g x 在(0,1) 内至少有一个实根，即 ()10f x x +-= 再证唯一性（用反证法）。

假设方程()10f x x +-= 在(0,1) 内有两个实根12,,x x 不妨设1201,x x <<< 则

2211()1,()1f x x f x x =-=-

对()f x 在12[,]x x 上运用拉格朗日中值定理，有

'212112()()()()((,))f x f x f x x x x ξξ-=-∈

由此'

2121

2121

()()1(1)()1f x f x x x f x x x x ξ----=

==---

这与已知条件'

()1f x ≠- 矛盾。唯一性得证。

2.4应用拉格朗日中值定理判断级数的敛散性

例7 ：判断2222

2357

21

n +++++

+- 是发散的。

解：设

()lnx f x =

是定义在闭区间[21,21]n n -+ 的函数。有拉格朗日中值定理知：

12

ln(21)ln(21)[(21)(21)]n n n n ξξ

+--=+--=

因为

2

2

21

n ξ

<

- ，可得 2

ln(21)ln(21),21222

2ln(21)ln1235721

n n n n n S n +--<

-+-<++++

+=-

而

limln(21)ln1,n n →∞

+-=∞

所以

lim .n n S →∞

=∞

即2222

2357

21

n +

++++

+-是发散的。

2.5利用拉格朗日中值定理解决估值问题

证明估值问题，一般情况下选用泰勒公式比较简单，特别是二阶以及二阶以上的导函数估值时，但对于某些积分估值，可以采用拉格朗日中值定理来证明。拉格朗日中值定理可以定量对泰勒公式中的余项的大小进项定量的估计，而泰勒公式有了拉格朗日余项形式才能估计计算误差的范围。

例8：设'

()f x 在[,]a b 上连续，且()()0,f a f b == 试证：

'4

(x)max (),b

a

a x b

f dx f x b a ≤≤≥

-?

证明：若()0f x = ，不等式显然成立

若()f x 不恒等于0，c ?∈

（a,b) ，使得max ()(),a x b

f x f c ≤≤= 在(,),a c 及[,]c b 上分别用拉格朗日中值定理，有

''12()()

(),(),f c f c f f c a c b

ξξ=

=-- 从而有：

2

2

1

1

'

''21()"()"()()()()

()()

b

a

f x dx f x dx f x dx

f f b a f c b c c a ξξξξ

ξξ≥≥

=--=--?

?

?

在利用

2

()()()4

b a

c a b c ---=

即得所证.

2.6利用拉格朗日中值定理求极限

例9:求极限sin 0lim

.sin x x

x e e x x

→-- 解题思路：由sin sin x x e e x x --联想到拉格朗日中值定理的一般形式()()

f b f a b a

-- ，从而构造函数()f t ，再运用拉

格朗日中值定理求极限.

解：函数()t

f t e = 在[x,sinx]或者[sinx,x]上运用拉格朗日中值定理得：

sin e sin x x

e e x x

ξ-=- （ξ 介于x 与sinx 之间）当0x → 时，s i n 0x → ，由介值定理可知0ξ→

则

原式= sin 00

lim

lim 1sin x x

e e e x x ξξξ→→-==- 证毕

例10：若f(x)在0(,)x +∞ 内可导，且lim ()0,x f x →∞

=

求证：()

lim

0.x f x x

→∞

= 分析：在f(x)没有具体表达式的情况下，只能从已知条件中想办法，因为题设中涉及到'

()f x ，于是应该想到拉格朗日中值定理，()f x 可以用下式表示：

'

000()()+()(),(,).f x f x f x x x ξξ=-∈+∞

证得()

f x x

ε｜

︱<. 证明：因为'lim (x f x →∞

）=0, 所以0ε?> ，存在M>0，设0,x M < 则对任意的,M x < 有'

()2

f x ε

<

.

在区间0(,)x +∞的闭子区间[,]M X 上，函数()f x 满足拉格朗日中值定理的条件，即存在ξ ，使得

'()()

()f x f M f x M

ξ-=

-

则()()2()

f x f M x M ε

≤+

-

因为0,011M

x x

><-< 所以有

()()()22(1f x f M f M M x x x x

εε

≤+<+-） 又因为()

lim 0,0,0,x f x X x

ε→∞=?>?>

当x X M >> 时，有

()2

f M x ε

< 综上，对任意的0,ε> 存在0X > ，当x X > 时

().22

f x x εε

ε<+= 致谢

光阴似箭，大学的学习生活也即将结束，感慨万千，可更多的是感动。

首先，对于论文指导老师屈俊老师，在这里我要发自肺腑的说一声谢谢。从论文题目的选定，论文的设计与修改，到最后论文的定稿光，都付出了很多。

其次，我要感谢太原师范学院数学系的各位领导与老师。谢谢他们对我学习和成长的帮助。

参考文献

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[2]陈纪俢於崇华金路，数学分析[M],高等教育出版社，2000

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[5]冯秀芹，拉格朗日中值定理的几种证法[J],科技资讯，2006

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[7]钱吉林，数学分析解题精粹（第二版）武汉：崇文书局，2009

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[9]华东师范大学数学系，数学分析习题解析[M],陕西师范大学出版社，2004

[10]陆子芬，高等数学解析大全[M],辽宁科技出版社，1991