平行四边形的认识

一．平行四边形

1． 平行四边形的性质

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 因为ABCD

是平行四边形??????

????.

54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；

（）两组对边分别平行；（ （6）中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

（7）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点。 且这条直线二等分四边形的面积．

2．平行四边形的判定

是平行四边形四边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行（ABCD ????

??

54321 3．两条平行线的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离．平行线间的距离处处相等．

注意：(1)距离是指垂线段的长度，是正值．(2)两条平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段位置改变．

(3)平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置 4．平行四边形的面积

平行四边形S =底边长×高

二．矩形

矩形的定义：有一个角是直角的平行

1．矩形的性质： 图1 图

因为四边形ABCD 是矩形???

??

?

）对角线相等（）四个角都是直角（切性质）具有平行四边形的一（321

（4）矩形是轴对称、中心对称图形．（5）矩形面积＝长×宽 （6）矩形的周长=（长+宽）×2 四边形叫做矩形。 2.矩形的判定

??

??

?

+边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321?四边形ABCD 是矩形.

三．菱形 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

注意：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等． 1．菱形的性质

因为四边形ABCD 是菱形???

???

组对角且每一条对角线平分一）对角线垂直平分对角（）四个边都相等

（切性质）具有平行四边形的一（,321

A

B

D

O

C

A

B

D

O

C

A

D B

C O

A

D B

C

A D

B

C

O

A

D

B

C

（4）菱形是轴对称、中心对称图形；（5） 菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半（即2

1

AC ·BD)．

（6）菱形的周长＝边长×4； （7）菱形的计算转化为直角三角形 2.菱形的判定

??

???

+边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321?四边形四边形ABCD 是菱形.

注意：①对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形．②利用菱形的性质及判定可以证明线段相等及倍分、角相等及倍分、直线平行、垂直，以及证明一个四边形是菱形和有关计算

四．正方形 正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

1.正方形的性质

因为ABCD 是正方形???

???

分一组对角分，且每一条对角线平）对角线相等、垂直平（角都是直角）四个边都相等，四个（切性质边形、矩形、菱形的一）具有四边形、平行四（321

（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴．

（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正

方形分成四个小的全等的等腰直角三角形． （6）正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等．

（7）正方形的面积：若正方形的边长为a ，对角线长为b ，则2

22b a S =

=．

2.正方形的判定

??

???

++++一组邻边等矩形）（一个直角

）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321?四边形ABCD 是正方形.

从正方形的定义可知正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，所以既是矩形又是菱形的四边形是正方形．判定正方形的一般顺序：①先证明它是平行四边形；②再证明它是菱形(或矩形)；③最后证明它是矩形(或菱形)．

五．梯形

1．梯形的相关概念 （1）一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形． 梯形中平行的两边叫做梯形的底． 2．梯形的判定

（1）定义法：判定四边形中①一组对边平行；②另一组对边不平行． （2）有一组对边平行且不相等的四边形是梯形．

注意：此判定可由梯形定义和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出． 3．等腰梯形的性质

因为四边形ABCD 是等腰梯形???

???

）对角线相等（）同一底上的底角相等

（）两底平行，两腰相等（321 （4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴． 注意：等腰梯形在同一底上的两个角相等，不能说成：①等腰梯形两底上的角相等； ②等腰梯形同一底上的两底角相等．

C

D

A

B

A

B

C

D O

D

4．等腰梯形的判定

??

???

+++对角线相等）梯形（底角相等）梯形（两腰相等

）梯形（321?四边形ABCD 是等腰梯形

5．梯形的面积

S=（上底+下底）×高÷2

6．梯形问题的常用辅助线

基础训练

一、选择

1、两条对角线互相平分,互相垂直且相等的四边形是 ( ) A 、矩形 B 、菱形 C 、正方形 D 、平行四边形

2、在平行四边形中，四个角之比可以成立的是 ( )

A 、1:2:3:4

B 、2:2:3:3

C 、2:3:3:2

D 、2:3:2:3 3、正方形具有而矩形不具有的性质是 ( )

A 、四个角都是直角

B 、对角线相等

C 、对角线互相平分

D 、对角线互相垂直

4、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )

A 、对角相等

B 、对边相等

C 、对角线互相垂直

D 、对角线相等 5、不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是 ( )

A 、A

B = CD ，AD = B

C B 、AB ∥C

D ，AB = CD C 、AD ∥BC ，AB = CD D 、AB ∥CD ，AD ∥BC

6、菱形的周长是40cm ，两对角线的比为3∶4，则对角线的长分别是 ( )

B

H

O

D

C

B

A

A 、12㎝，16㎝

B 、6㎝，8㎝

C 、3㎝，4㎝

D 、24㎝，32㎝ 7、一个四边形的三个内角的度数依次如下，其中是平行四边形的是 ( )

A 、88°，108°，88°

B 、88°，104°，108°

C 、88°，92°，88°

D 、88°，92°，92°

8、平行四边形的两邻边分别为3、4，那么其对角线必 ( )

A 、大

B 、大于1且小于7

C 、小于7

D 、小于7或大于1 9、如图，在菱形ABCD 中，A

E ⊥BC 于点E ，A

F ⊥CD 于点F ， 且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，则∠EAF 等于 ( )

A 、75°

B 、45°

C 、60°

D 、30°

10、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=5，AB=6，BC=8，且AB ∥DE ，△DEC 的周长是 ( )

A 、3

B 、12

C 、15

D 、19

二、填空

1、在□ABCD 中，∠B=70°，则∠A=______，∠D=______.

2、在□ABCD 中，∠A = 2∠B ，则∠C = .

3.如图1，在□ABCD 中，AC=6,BD=10,AB AC,⊥则图中全等三

角形共有_______对,AB=______,______BC = 4、如图2，菱形ABCD 中，∠ADC=120°，AB=10,则

BD=________,AC=__________,菱形ABCD 的面积=________。

5、如图4，矩形ABCD 的面积是16，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，阴影部分的面积是。

6、如图5，等腰梯形ABCD 中，AD//BC,AB=AD=DC

B=45,1AE ∠?=，则梯形ABCD 的周长=____________，

梯形ABCD 的面积________=

三、解答题

1、如图菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AC=16 cm ，BD=12 cm ， 求菱形ABCD 的高DH 和AB 的长 。

图1

图2

图5

2、如图，在矩形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，AB=4，AD 34 (1) 求BD 的长度，并判定△AOB 的形状 (2)计算△BOC 的面积

3、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，∠B ＝600

，

对角线AC 平分∠BCD ，AE ∥DC

（1）试说明四边形AECD 的形状，并说明理由； （2）梯形周长为20cm ，求BC 的长。

一、填空题。

1、若正方形的对角线为6，则它的面积为 。

2、一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是。

3、一个正多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数是。

4、菱形的一个内角是60o，边长是5，则这个菱形的较短的对角线长是。

5、等腰梯形的上、下底边长分别为5 、11 ，高为4 ，则这个等腰梯形的的周长为。

6、若矩形的面积S =16 cm 2,其中一边是a = 22cm,则另一边b =_______cm.

7、已知菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的周长是，面积是。

8、若矩形的对角线长为8cm ，两条对角线的一个交角为60°，则该矩形的面积为cm 2。 9、若菱形的两对角线之比为3∶4，对角线之差为2cm ，则该菱形的周长为cm 。 10、若矩形的对角线长为10cm ，一边长为6 cm ，则另一边长为cm 。

11、正方形的边长为2，则对角线长为，若对角线长为1，则正方形的边长为

二、选择题。

1、以不在同一直线上的三点这三点A 、B 、C 为顶点画平行四边形，可画（ ）

A、4个

B、3个

C、2个

D、1个

2、若多边形的边数由3开始增加，则其外角和（）

A、增加

B、减少

C、不变

D、（n-2）×180°

3、如图二-3，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，AB=6，BC=8，

且AB∥DE，△DEC的周长是（）

A、3

B、12

C、15

D、19

4、如图二-4，□ABCD中，EF过对角线的交点O，AB = 4，AD = 3，

OF = 1.3，则四边形BCEF的周长为( ）

A、8.3

B、9.6

C、12.6

D、13.6

5、当矩形的对角线互相垂直时, 矩形变成( )

A、菱形

B、等腰梯形

C、正方形

D、无法确定.

6、平行四边形一边长为12cm，那么它的两条对角线的长度可以是（）

A、8cm和14cm

B、10cm 和14cm

C、18cm和20cm

D、10cm和34cm

7、如图二-7，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四

边形，照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（）

A、bc－ab+ac+c2

B、ab－bc－ac+c2

C、a2+ab+bc－ac

D、b2－bc+a2－ab

8、已知一个四边形ABCD的边长分别为a、b、c、d，其中a、c为对边，

且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则四边形是（）

A、任意四边形

B、梯形

C、平行四边形

D、对角线互相垂直的四边形；

9、以下图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）

A、平行四边形

B、矩形

C、菱形

D、等腰梯形

10、已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，OF⊥AB，若AC=2AD，OF=9，则BD的长为（）

Ａ９０Ｂ３６ＣＤ

11.如图二－１１，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F处，

如果∠BAF=60°，则∠DAE=（）

A、15°

B、30° C 、45° D、60°

三、解答题：

1、如图，四边形ABCD是平行四边形，BD⊥AD，求BC，CD及OB的长．

2、如图，正方形ＡＢＣＤ的边长ＡＢ＝２０，Ｆ为ＡＤ上的一点，连结ＣＦ，作ＣＥ⊥ＣＦ交ＡＢ的延长线于Ｅ，ＤＧ⊥ＣＦ交ＣＦ于Ｇ，若ＢＥ＝１５，求ＤＧ的长。

3、如图，已知矩形ABCD ，Ｅ为ＣＤ上一点，ＡＥ⊥ＢＥ， 且ＡＢ＝２ＢＥ，ＤＥ＝３，求ＣＥ的长。

四、推理说明题

1、如图，四边形ABCD 中，∠ABC ＝900，DE ⊥BC 于点E ，DE 交AF 于 点G ，且AF ∥BC ，BG ∥AD 。求证：EF ＝FC 。

2、矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥DB ，DE 、CE 交于E ， 那么四边形DOCE 是菱形，请你写出说明过程．

G E F

D

C B

A

五、探究与思考。

观察下面图形, 并回答问题.

①、经过四边形一个顶点有条对角线；经过五边形一个顶点有条对角线；

经过六边形一个顶点有条对角线；经过n形一个顶点有条对角线；

②、四边形共有条对角线；五边形共有条对角线。

③、根据规律求七边形的对角线的总条数是；

④、n边形的对角线的总数量是。

⑤、经过四边形一个顶点有的对角线能把四边形分成三角形；

经过五边形一个顶点有的对角线能把五边形分成三角形；

经过n形一个顶点有的对角线能把n形分成三角形；