聚焦正方体平面展开图.

聚焦正方体平面展开图

江苏葛余常

同学们在解正方体平面展开图“对面”问题遇到困难时,常可用纸剪出各图形,并把它们沿着某些棱折叠,尝试通过实际的操作得出结论.但这样往往耗时较多，有没有不必通过折叠就可找出正方体展开图中各“对面”的方法？其实，这里还是有章可循的，下面请看：

一、图形分类

我们知道，同一个正方体图形，按不同的方式展开得到的平面展开图形一般是不一样的。常见的正方体平面展开图有11种,对正方体表面展开图的11种情况，为加深记忆，可编成如下口诀：一四一呈6种，一三二有3种，二二二与三三各1种，展开图共有11种。具体说可有以下4类11种图形，如作旋转或翻折后，方向会不同，但相对位置不变，这些不重复计算．

1．“一·四·一”，中间一行4个作侧面，两边各1个分别作上下底面，?共有6种．

2．“二·三·一”（或一·三·二）型，中间3个作侧面，上（或下）边2?个那行，相连的正方形作底面，不相连的再下折作另一个侧面，共3种．

3．“二·二·二”型，成阶梯状．

4．“三·三”型，两行只能有1个正方形相连．

二、规律归纳

1.排在同一条直线上的小正方形，与同一个正方形相连的两个正方形折叠后，成为相对的面。

2.正方体的平面展开图中最多只能出现三个正方形有一个公共点的情形，最多只能出现四个正方形与一个正方形相邻的情形。

3.当上下、左右四个面展开成一条直线时，前后两个面应该分布在其两侧，不可能在同侧。

4.原来处于相对位置上的两个面，展开后的正方形无公共顶点和公共边；反之，有一个公共顶点或一条公共边的两个正方形折叠成正方体后，必成为相邻的两个面，不可能成为相对的面。

5.当我们从正方体的某顶点出发，最多只能观察到三个面，这三个面中必包括三组相对面中的各一个，且两个相对的面不能被同时看到。

三、考点例析

1.判断给定的平面图形是否属正方体表面展开图 例1．（2004海口市实验区）下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（ ）

解析：根据规律1：在正方体11种平面展开图中，每一行（或列）的两旁，每旁只能有1个正方形与其相连，超过1个就不是．故排除A 、D ；如以最长的正方形链横排为准，展开图一般是三行，个别是两行，两行只能有1个正方形相连，故排除B.所以应选C

例2．（2005年长沙市（试验区））下列图形中，不是．．正方体的展开图的是

A

Ｂ

Ｃ

Ｄ

解析：A 、Ｂ是“一·四·一”型，Ｃ是“一·三·二”型，而Ｄ不符合规律3，故本题答案是Ｄ。

2、找正方体相邻或相对的面

例3．(2005年河南省)一个正方体的每个面上都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“超”相对的字是 。

解析：根据规律1，“信”与“着”相对；根据规律4，“超”与“沉、着、越”相邻，则“超”与“自”相对；

例4．（2005年四川省）右图是一个正方体的展开图，如果正

y

2x

88

方体相对的面上标注的值，那么x =____，y =_______。

解析：根据规律1，“2x ”与“8”相对,x=4; 根据规律4，“y ”与“2x 、8、8、8”相邻，则“y ”与“10”相对，y=5。

3、由带标志的正方体图去判断是否属于它的展开图 例5．（2005年扬州市）小丽制作了一个如下左图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正方体的平面展开图可能是

解析：根据规律4：有一个公共顶点或一条公共边的两个正方形折叠成正方体后，必成为相邻的两个面，不可能成为相对的面。而Ｂ中与

、Ｃ中

与

、Ｄ中

与

都是相邻，它们不符合题意，故选A .

例6（2005济南中考题）在正方体的表面上画有如图（1）

中所示的粗线，图（2）是其展开图的示意图，但只在A 面上画有粗线，那么将图（1）中剩余两个面中的粗线画入图（2）中，画法正确的是（如果没有把握，还可以动手试一试）

解析：根据规律4，图1中有粗线的面是有公共顶点的，且粗线组成了一个三角形，它们是相邻的，选项Ｂ中有粗线的面出现

了相对的面，不符合题意. Ｃ、Ｄ中的三个面合起来后的不是三角形，也不符合题意，故只有A 画法正确。

四、实战演练

1、下面由正方形组成的图形中,

经过折叠不能围成正方体的是 ( )

A. B. C. D.

A

2、右图中哪两个字所在的正方形，在正方体中是相对的面．

3．如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则填在A 、B 、C 内的三个数依次是（ ）．

（A ）0，－2，1（B ）0，1，－2（C ）1，0，－2（D ）－2，0，1

4、如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是（ ）

5、下面各图都是正方体的表面展开图，若将它们折成正方体，?则其中两个正方体

各面图案完全一样，它们是（ ）．

答案：1.C 2. “祝”与“似”，“你”和“程”，“前”和“锦”相对．3.A 4.C 5. （3）（4）．

（正方体纸盒）

（A ）

（B ）

（C ）

（D ）