椭圆点差法

10.24——椭圆点差法

1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点00(,)M x y 是椭圆2

2:14

x C y +=上一点，

从原点O 向圆2

00:()()M x x y y r -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ，直线,OP OQ 的斜率分别记为12,k k ．

（1）若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；（2

）若5

r =

． ①求证：1214

k k =-

； ②求OP OQ ?的最大值

2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22

12412

x y +=,设00(,)R x y 是椭圆C 上的任一点，从原点O 向圆R ：()()2

008x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q .

（1）若直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程；

（2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为1k ，2k ，求证：12210k k +=；（3）试问2

OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

3．已知椭圆()012222>>=+b a b

y a x 的右焦点为()0,1F ,离心率22

=e ,B A ,是椭圆

上的动点．

（1）求椭圆标准方程；

（2）若直线OA 与OB 的斜率乘积2

=?OB OA k k ,动点P 满足λ+=,（其中实数λ为常数）．问是否存在两个定点21,F F ,使得421=+PF PF ？若存在,求

21,F F 的坐标及λ的值；若不存在,说明理由．

4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2

，右焦点为F ，上顶点为A ，

且AOF ?的面积为

（O 是坐标原点）. （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上的一点，过P 的直线l 与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限，切点为M ，证明： PF PM +为定值.

5．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为22，左、右焦点分别为12,F F ，

点G 在椭圆C 上，且021=?GF GF ，12GF F ?的面积为2．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）直线)0()1(:<-=k x k y l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．点)0,3(P ，记直线

,PA PB 的斜率分别为12,k k ，当

k k 2

1最大时，求直线l 的方程． 6．已知椭圆C ：2x 2

+3y 2

=6的左焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；

（Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时，求线段AB 的长；

（Ⅲ）设线段AB 的中点为P ，O 为坐标原点，直线OP 交椭圆C 交于M 、N 两点，是否存在直线l 使得|NP|=3|PM|？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．

7．已知椭圆22

22:1x y C a b

+=(0)a b >>上的动点到焦点距离的最小值为12-，以原

点为圆心、椭圆的短半轴长．．．．

为半径的圆与直线0x y -+=相切．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若过点M (2，0)的直线与椭圆C 相交于,A B 两点，P 为椭圆上一点，且满足

t =+（O 为坐标原点）

，当3

2||=AB 时，求实数t 的值． 8．如图，已知焦点在x 轴上的椭圆22

1(0)20x y b b +=>经过点(4,1)M ，直线:l y x m

=+ 交椭圆于,A B 不同的两点．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）求实数m 的取值范围；

（3）是否存在实数m ，使△ABM 是以AMB ∠为直角的直角三角形，若存在，求出m 的值，若不存，请说明理由．

9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

O 为圆心，椭圆C 的

长半轴这半径的圆与直线260x +=相切．（1）求椭圆C 标准方程；

（2）已知点,A B 为动直线(2)(0)y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是

否存在点E ，使2E A E A A B +?

为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由．

10．如图, 椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>

的离心率是,

点

12E ??

?在椭圆上, 设点

11,A B 分别是椭圆的右顶点和上顶点, 过点11,A B 引椭圆C 的两条弦1A E 、1B F .

（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线

1A E 与1B F 的斜率是互为相反数.

①直线EF 的斜率是否为定值？若是求出该定值, 若不是,说明理由；

②设

1A EF ?、1B EF ?的面积分别为1S 和2S ,求12S S +的取值范围.

11．（本题满分15分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，经过点3

(1 , )2

M ，离

心率12

e =

．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，点P 为直线3x =上任意一点（点P 不在x 轴上），连结AP 交椭圆于C 点，连结PB 并延长交椭圆于D 点，试问：是否存在λ，使得

ACD BCD S S λ??=成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

12．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点()1,1A -关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率．．之积等于1

-．（1）求动点P 的轨迹方程；

（2）设直线AP 和BP 分别与直线3x =交于点,M N ，问：是否存在点P 使得PAB △与PMN △的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案

1．（1

）

2211(()24x y -+±=

（2）①详见解析 ②5

2 【解析】

试题分析：（1）求圆的标准方程，就是确定圆心及半径，根据圆M 与x 轴相切于椭圆C 的

右焦点，得圆心M

又点00(,)M x y 是椭圆2

2:1

4x C y +=上一点，所以圆心M

的坐标为1)

2±，半径为1

2，（2）①由直线与圆相切得圆心到切线距离等

于半径，列出两个等量关系，并化简得：

222

010010(45)10450x k x y k y -++-=，222020020(45)10450x k x y k y -++-=，由于这两个方程类似，因此可转化为12,k k 是方程

222

0000(45)10450x k x y k y -++-=的两根，结合韦达定理得2

012204545y k k x -=-，将

2200114x y +=代入化简得

1214k k =-②先联立直线与椭圆方程组解出P,Q 点坐标（用斜率表

示

）

2122

(,)1414k P k k ++，

2222

(,)1414k Q k k ++ ,因此

222

12222211224444

()()

14141414k k OP OQ k k k k ?=+?+++++222

2121122

12114(1)4(1)44

14141

414k k k k k k k k ++++=?=?++++，结合基本

不

等

式

得

122221520()

252(14)4k OP OQ k +?≤=

试题解析：（1）因为椭圆C

右焦点的坐标为，所以圆心M

的坐标为1

)

2±，从而圆M

的方程为

2211

(()24x y +±=

．

（2）①因为圆M 与直线

1:OP y k x =

，

即

222

010010(45)10450x k x y k y -++-=，同理，有

222

020020(45)10450x k x y k y -++-=，所以12,k k 是方程

222

0000(45)10450x k x y k y -++-=的两根，从而

000

122

2200015

45(1)1451444545454x x y k k x x x ---+-=

===-

---．

②设点111222(,),(,)P x y P x y ，联立12214y k x

x y =???+=??，解得

221

11221144,1414k x y k k ==++，同理，22

22222

2244,1414k x y k k ==++，

所以222

122222

11224444

()()14141414k k OP OQ k k k k ?=+?+++++

2222

1211222

212114(1)4(1)4411614141414k k k k k k k k ++++=?=?++++

22122

1520()

252(14)4k k +≤=+，当且仅当112k =±时取等号．所以OP OQ ?的最大值为52．……

16分

考点：圆方程，直线与椭圆位置关系

2．（1

）

(

x y ±+±=（2）详见解析（3）

36OP OQ += 【解析】

试题分析：（1）求圆的标准方程，一般用待定系数法，由于已知半径，只需列出关于圆心坐

标的两个独立条件即可.因为直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，

所以

OR ==，

0016x y +=，又点R 在椭圆C 上，所以22

0012412x y +=

，解得00x y ?=±??=±?

?（2）利用直线与圆相切得出关于直线斜率的条件，再根据韦达定理给予证明：因为直线OP ：

1y k x =与

圆R 相切，

=,化简得222010010(8)280x k x y k y --+-=，同理由OQ ：

2y k x =与圆R 相切得22

020020(8)280x k x y k y --+-=，所以12,k k 是方程

2220000(8)280x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，因此2

0122

8y k k x -?=-,因为点

00(,)R x y 在椭圆C 上，所以22001122y x =-,从而

122

0141282x k k x -

==--（3）分别用直线斜率表示出P ，Q 坐标，利用（2）的结论进行化简.注意讨论斜率不存在的情形. 试题解析：（1）由圆R 的方程知，圆R

的半径的半径r = 因为直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，

所以

OR ==，即

0016x y +=，① 1分又点R 在椭圆C 上，所以22

001

2412x y +=，② 2分

联立①②，解得00x y ?=±??

=±?

? 3分所以所求圆R

的方程为(

x y ±+±=． 4分

（2）因为直线OP ：

1y k x =，OQ ：2y k x =，与圆R 相切，

=,化简得

222

010010(8)280x k x y k y --+-= 6分同理

222020020(8)280x k x y k y --+-=， 7分所以12,k k 是方程

2220000(8)280x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，

122

088y c k k a x -?===- 8分因为点00(,)R x y 在椭圆C 上，所以22

001

2412x y +=，即

2001122y x =-，

所以

1220141282x k k x -

==-

-，即12210k k +=． 10分

（3）22OP OQ +是定值，定值为36， 11分

理由如下：

法一：（i ）当直线,OP OQ 不落在坐标轴上时,设

1122(,),(,)P x y Q x y ,

联立122,

1,2412y k x x y =???+=??解得2

1212

2112124,1224.12x k k y k ?=?+???=?+?

12分

所以22

211

2124(1)12k x y k ++=+，同理，得222

2222

224(1)12k x y k ++=+， 13分

由

1212k k =-

，

所以2222221122OP OQ x y x y +=+++

22122

21224(1)24(1)1212k k k k ++=+++

112

211

124(1())24(1)211212()

2k k k k +-

+=+

++-

2121367212k k +=

36= 15分

（ii ）当直线,OP OQ 落在坐标轴上时,显然有22

36OP OQ +=，综上：

36OP OQ +=． 16分法二：（i ）当直线,OP OQ 不落在坐标轴上时,设

1122(,),(,)P x y Q x y ,

因为12210k k +=，所以1212210y y x x +=,即2222121214y y x x =， 12分

因为1122(,),(,)P x y Q x y 在椭圆C 上，所以22

1122

22124121

2412x y x y ?+=????+=??，

即221122

2211221122y x y x ?=-???

?=-??， 13分

所以

2222

1212111(12)(12)224x x x x -

-=，整理得

1224x x +=，所以22

22121211121212

22y y x x ????+=-+-= ? ?????，

所以

36OP OQ +=． 15分（ii ）当直线,OP OQ 落在坐标轴上时,显然有22

36OP OQ +=，

综上：

36OP OQ +=． 16分考点：直线与圆位置关系，直线与椭圆位置关系

3．(1) 12

=+y x (2)存在, ()(

)

0,2,0,22

1F F -

【解析】试题分析：

(1)根据题意,可知???

??-===222221c a b a

c ,可得b a ,,从而得到椭圆方程．

(2)假设存在，因为这两点是由点决定的，而点离不开点B A ,,所以设出点P ,B A ,三点,根据2

=?OB OA k k ,OB λOA OP +=寻找三点坐标之间的关系．可得出结论P 点是椭圆11222

22=+++λ

y λx 上的点,根据421=+PF PF ,可知42=a ,所以得到λ值．进而可确定是否存在两点21,F F ．

（1）有题设可知：222

1=∴?????=

=a a c c 又1,2

22=∴-=b c a b ∴椭圆标准方程为12

=+y x

（2）假设存在这样的两点，则设()()()2211,,,,,y x B y x A y x P ，

由OP OA OB λ=+

得2121,y λy y x λx x +=+=,

因为点B A ,在椭圆2222=+y x 上,所以22,222

1=+=+y x y x , 故(

)(

)

212

2221212

2221222222y y λy λy x x λx λx y x +++++=+

()()

()21212

22212

12222y y x x λy x λy x +++++=

()212122222y y x x λλ+++=

由题设条件知2

2121-==

?x x y y k k OB OA ,因此022121=+y y x x ,所以222222λy x +=+．即11222

222=+++λy λx 所以P 点是椭圆11222

22=+++λy λx 上的点，设该椭圆的左、右焦点为21,F F ,则由椭圆的定义42222

21=+=+λPF PF ．

1±=∴λ又因212=+=λc

因此两焦点的坐标为()(

)

0,2,0,221F F - ．

考点：椭圆方程;椭圆定义．

4．（1）2

212

x y +=（2

【解析】试题分析：（1

）离心率2

c e a =

， 1122AOF S bc ?== ，和222

a b c =+得到,,a b c ，求解方程；

（2）设()00,P x y ，根据两点间距离求PF ,再根据弦长公式求PM ，利用点在椭圆上化简PF PM +得到定值.

试题解析：解：（1）设椭圆的半焦距为c ，由已知得222221,2

{,22.

c a bc b c a ==+= 22,{ 1.a b =?=.

∴椭圆的方程为2

212

x y +=. （2）以短轴为直径的圆的方程为()2

1,1,0x y F +=，.

设()00,P x y

，则2

20001(02

x y x +=<<. ∴

PF =

)022

x =

=-. 又l 与圆221x y +=相切于M ，

∴PM =

x ==

∴

)00222

PF PM x x +=

-+= 5．（1）12422=+y x ；（2）)1(4

10:--=x y l ．【解析】

试题分析：（1）首先由椭圆的离心率为

，可得a ==，再由021=?GF ，可得12GF GF ⊥，进而可得2

2212

42GF GF c a +==，结合12GF F ?的面积为2可得，

121

GF GF ?=，联立方程组即可求出222,,a b c ，从而求出椭圆的方程；（2）首先设出直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-<，然后将其与椭圆的方程联立并整理得到关于x 的一元二次方程，由韦达定理可求出1212,x x x x +，进而用参数k 表示出k

k k 2

1，最后运用基本不等式求出其最大值即可得出结论．

试题解析：（1）

因为2

c e a =

=，

所以a ==，点G 在椭圆C 上，且021=?GF GF ，

GF F ?的面

积

为

2，所以

2212121212,

2,422

GF GF a GF GF GF GF c a +=?=+==，解之224,2a b ==，所以椭圆方程为12

2=+y x ．（2）)0()1(:<-=k x k y l 与124:2

2=+

y x C 联立解得:0424)21(2222=-+-+k x k x k 2

2212

221214

2,214k k x x k k x x +-=+=+∴

)(31

)()3)(3()1)(1()3)(3(2121212

121212212121++-++-=----=--=x x x x x x x x k x x k x x k x x k y y k k k 2

2222222

22222

22853)21(91242214429)214(3214212142142k k k k k k k k k k

k k k k k k k k +-=

++--++--?=++-+-++-+-?=

)8()5(38532≤

-+-=+-k k k k ,当且仅当410-=k 时，取得最值。此时)1(4

:--

=x y l ．考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆相交的综合问题；3、基本不等式的应用． 6．（Ⅰ）

；（Ⅱ）

；（Ⅲ）存在直线l ：x=±

y ﹣1，使得|NP|=3|PM|．

【解析】试题分析：（Ⅰ）将椭圆方程化为标准方程，求得a ，b ，c ，进而得到离心率；

（Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时，即为x=﹣1，代入椭圆方程，求得纵坐标，进而得到弦长；

（Ⅲ）设直线AB ：x=my ﹣1，代入椭圆方程，可得（3+2m 2）y 2

﹣4my ﹣4=0，运用韦达定理，以及中点坐标公式可得P 的坐标，再由向量共线的坐标表示，解方程可得m ，进而判断存在这样是直线l ．

解：（Ⅰ）椭圆C ：2x 2+3y 2

=6，即为

=1，可得a=

，b=

，c=1，

即有e==；

（Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时，即为x=﹣1，代入椭圆方程可得y 2

=，解得y=±，

则线段AB 的长为

；

（Ⅲ）由F （﹣1，0），设直线AB ：x=my ﹣1，代入椭圆方程，

可得（3+2m 2）y 2

﹣4my ﹣4=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2=

，

即有中点P 的坐标为（，），

直线OP ：y=﹣x ，代入椭圆方程，可得

x=±，

可设x N =，x M =﹣，

假设存在直线l 使得|NP|=3|PM|，即有=3

，即为

﹣

=3（﹣

﹣

），

解得m=±，

则存在直线l ：x=±

y ﹣1，使得|NP|=3|PM|．

考点：椭圆的简单性质．

7．解：(Ⅰ）椭圆C 的方程为12

=+y x ．（Ⅱ）3

2±

=t ．【解析】本试题主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用

（1）由题意知a c 1-=；又因为b 1

=，所以得到a 2,b 2

故可得椭圆的方程。

（2）设直线AB 的方程为y=k(x-2),与椭圆方程联立，结合韦达定理和向量关系得到结论

8．（1）

1205

x y +=（2）5 5.m -<<（3）见解析【解析】试题分析：（1）设出椭圆方程的标准形式，由离心率的值及椭圆过点（4，1）求出待定系数，得到椭圆的标准方程．

（2）把直线方程代入椭圆的方程，由判别式大于0，求出m 的范围即可；

（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数m 满足题意，再利用△ABM 为直角三角形，结合向量垂直的条件求出m ，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

试题解析：解：（1）依题意

2161

120b

+=，解得25b =， 2分所以椭圆的标准方程是

1205

x y +=． 3分（2）由22,1205y x m x y =+???+

=??得22

584200x mx m ++-=， 4分

直线l 与椭圆有两个不同的交点，

22(8)20(420)m m ∴?=--2164000m =-+> 6分

解得5 5.m -<< 7分

（3）假设存在实数m 满足题意，则由AMB ∠为直角得MA MB ⊥， 8分

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由（2）得1285m

x x +=-，2124205m x x -?= 9分

∴12122y y x x m +=++，1212()()y y x m x m ?=++21212()x x m x x m =+++ 10分

11(4,1)MA x y =-- ，22(4,1)MB x y =--

11分

1212(4)(4)(1)(1)MA MB x x y y ∴?=--+--

121212124()16()1x x x x y y y y =-+++-++

212122(5)()217x x m x x m m =+-++-+ 12分

2242082(5)()21755

m m m m m -=?+--+-+2

40402175m m m -=+-+2690m m =++=得3m =- 13分因为3(5,5)m =-∈-，

综上所述，存在实数3m =使△ABM 为直角三角形． 14分

考点：1.直线与圆锥曲线的综合问题；2.椭圆的标准方程．

9．（1）12

622=+y x ；（2）95-．

【解析】

试题分析：（1）根据离心率3

e ，求得a c 36

=，再根据直线与圆相切，可得

2(262

=-+=

a ，代入2c =，求解,,a

c 的值，从而得到椭圆的方程；

（2）利用直线方程与椭圆方程联立，得?????-==+)2(12

2x k y y x 得061212)31(2222=-+-+k x k x k ，利用韦

达定理得2221222131612,3112k k x x k k x x +-=+=+，假设存在点M ，化简EA EB ? 与k 无关，

得37=m ，代入可得25

EA EA AB +?=- ，从确定定值．

试题解析：（1）由3

e 得36=a c ，即a c 36

= ① 又以原点O 为圆心，椭圆C 的长轴长为半径的圆为2

a y x =+ 且与直线0622=+-y x 相切，所以6)

2(262

2=-+=

a 代入①得c=2，

所以22

=-=c a b ．所以椭圆C 的标准方程为12

2=+y x （2）由?????-==+)

2(12

2x k y y x 得061212)31(2222=-+-+k x k x k

设()()1122,,,A x y B x y ，所以2

2212221316

12,3112k

k x x k k x x +-=+=+ 根据题意，假设x 轴上存在定点E （m ，0），

使得2()EA EA AB EA AB EA EA EB +?=+?=?

为定值．则()()()11221212,,()EA EB x m y x m y x m x m y y ?=-?-=--+

=()()()(

)()()

222

212

316

10123421k

m k m m

k x x m k x x k +-++-=++++-+ 要使上式为定值，即与k 无关，()

631012322-=+-m m m ，

得37=

m ．此时，22

569

EA EA AB m +?=-=- ，

所以在x 轴上存在定点E （37，0）使得2EA EA AB +? 为定值，且定值为9

-．

考点：椭圆的标准方程及简单的几何性质；直线与圆锥的综合问题，

【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单的几何性质及其应用及直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档试题，本题的解答中，根据椭圆的离心率3

=e ，确定,a c

的关系，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求解a =

椭圆的标准方程，第2问中，利用直线与椭圆方程联立，得到

2212221316

12,3112k

k x x k k x x +-=+=+，假设存在点M ，化简EA EB ? ，根据题设条件求解m 的值，代入确定向量的值，其中转化为利用韦达定理的应用是解答此类问题的关键．

10．(1)

2214

x y +=；(2)①是定值21

；②(

0,. 【解析】

试题分析：(1)借助题设条件建立方程组求解；(2)借助题设运用直线与椭圆的位置关系探求. 试题解析：

（1

）22

311

4c e a a b ?==????+=??,解得21a b =??=?,∴椭圆方程为

2214x y +=. （2）①设点()()1122,E x y F x y ,直线()1:2A E y k x =-,直线1:1B F y kx =-+, 联

立

方程组

()

244

y k x x y ?=-??+=??,消去y 得：

()2

22241161640

k x k x k +-+-=,

()222

11112221648242,,2414141

k k k x x y k x k k k ---===-=+++,

点2222824,4141k k E k k ??

-- ?++??,联立方程组22

144

y kx x y =-+??+=?,消去y 得：

()2222

84180,41

k x kx x k +-==

+, 222214141k y kx k -=-+=+,点222

2814,4141k k F k k ??- ?++??

,故12121

2EF y y k x x -==-. ②设直线1:2EF y x b =+,联立方程组2212

y x b x y ?

=+?

??+=?

,消去y 得：222220x bx b ++-=, ()(

222422840,b b b b ?=---=-><<

1212122,22,x x b x x b EF x +=-=-=-=

设12d d 分别为点11,A B 到直线EF 的距离,

则12d d =

()(

12121

112

S S d d EF b b +=

+=++-

当1b <<

,()1220,1S S += ；

当11b -≤≤时

,12S S ?+=?

；

当1b <-时

,()1220,1S S +=- ；

12S S ∴+

的取值范围是(

0,.

考点：椭圆的标准方程及直线与圆的位置关系等有关知识的综合运用． 11．（Ⅰ）24x y =；（Ⅱ）1

m <<

【解析】(1)由离心率和椭圆上的一个点可建立关于a,b 的两个方程，然后求解即可.

(II)先根据抛物线方程和椭圆方程解出A ，然后设1l ：(2)1y k x =-+，则2l ：

(2)1y x k

=--+，1122(,),(,),B x y C x y 由l 1与椭圆方程联立，借助韦达定理可求出1x ,同

理可求出2x ,

然后再根据||||AB m AC ==

,得到m 关于k 的函数关系式，由k>0,可确定m 的取值范围.

（Ⅰ）22

1:163

x y C +=

的焦点为(，22:2(0)C x py p =>的焦点为(0,)2p ，

由条件得22

()4,022

p p +=>∴= 所以抛物线2C 的方程为24x y =

（Ⅱ）由22

2163

4x y x y

=???=?

得21x y =??=?，交点(2,1)A 设1l ：(2)1y k x =-+，则2l ：1

(2)1y x k

=--+，设1122(,),(,),B x y C x y

将(2)1y k x =-+代入22

163x y +=得：222(12)4(12)2(12)60k x k k x k ++-+--=，由韦达定理得：2122(12)6212k x k --=+，212

442

12k k x k --∴=+；

同理，将1

(2)1y x k

-+代入24x y =得：24840kx x k +--=，由韦达定理得：2842k x k --=

，22(2)

k x k

-+∴=，

所以22

442

212||2(2)12||2k k k k AB k m k k AC k --?-+====-++- 因为0k >，所以1

m <<

12．（1）()2

341x y x +=≠±；（2

）5,3? ?

．【解析】

试题分析：（1）利用直接法设()(),1P x y x ≠±，利用直线AP 与BP 的斜率之积等于1

-，得到关于,x y 的方程，求得其轨迹方程；（2）根据题意设P ()00,x y ，点,M N 的坐标分别为

()()3,,3,y M N y 三个点的坐标，再利用三角形的面积公式和点到直线的距离公式，求得

PAB S △和PMN S △的面积，利用PAB

△PMN S =△，进而得到关于0x 的方程，求得点P 的坐标

为5,3? ?．试题解析：（1）点P 的轨迹方程为()2

341x y x +=≠±； 5分（2）设点P 的坐标为()00,x y ，点,M N 的坐标分别为()()3,,3,y M N y ，则直线AP 的方程为()001

111

y y x x --=

++，直线BP 的方程为()001

111

y y x x ++=

--．令3x =，得0000

004323

,y 11

M N y x y x y x x +--+=

=+-，于是PMN △的面积()()2

00002031

y 321

PMN

M N x y x S y x x +-=--=-△， 8分直线AB 的方程为0x y +=

，AB =，

点P 到直线AB

的距离d

于是PAB △的面积PAB S △001

AB d x y =

?=+， 10分当PAB S △PMN S =△时，得()2

000002

031

x y x x y x +-+=

-，

又000x y +≠，所以()2

0031x x -=-，解得053

x =，因为220034x y +=

，所以0y =，故存在点P 使得PAB △与PMN △的面积相等，

此时点P

的坐标为5,3? ?． 12分考点：1．动点的轨迹方程；2．点到直线的距离公式和三角形的面积公式．