一种极小化交叠的空间索引结构_MOSI_树

第36卷第10期2010年10月

北京工业大学学报JOURNAL OF BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

Vol．36No．10

Oct．2010

一种极小化交叠的空间索引结构—

——MOSI－树刘润涛1，郝忠孝

1，2

（1.哈尔滨理工大学计算机科学与技术学院，哈尔滨150080；2.哈尔滨工业大学计算机科学与技术学院，哈尔滨150001）

摘要：以缩小同层节点间交叠为目标，提出了一种空间数据索引结构—

——MOSI －树．通过定义数据间的序关系对数据空间分割，尽可能使空间位置相邻的数据分配在同一节点中，从而使MOSI －树的同层节点间的交叠有效减少．给出了MOSI －树的建立算法及算法的正确性、可终止性证明及时间复杂度，并给出了节点插入算法．实验结果表明，

MOSI －树上同层节点间交叠明显减少．关键词：空间索引；MOSI －树；极小化交叠；区域查询中图分类号：TP 311

文献标志码：A

文章编号：0254－0037（2010）10－1423－05

收稿日期：2008-09-22．

基金项目：国家自然科学基金资助项目（10571037）；黑龙江省自然科学基金资助项目（F200601）；黑龙江省教育厅资助项

目（11511027）．

作者简介：刘润涛（1961—），男，黑龙江东宁人，教授．

空间数据的快速索引是海量数据有效管理的关键技术，其性能的好坏决定了整个空间数据库系统的

运行效率．R－树［1］

是一种有效的动态空间索引结构，

已广泛应用于空间数据的处理中．由于R－树允许兄弟节点间相互重叠及覆盖存在，因此，对于精确匹配查询会产生多路查询问题，从而大大影响查询速度．

减少中间节点最小外包矩形（minimum bounding rectangle ，MBR ）间的覆盖和重叠是提高R－树查询性能的关键．为此，Bechmann 等［2］给出了R *－树，采用节点强制重新插入的方法来提高检索性能，但是却增加了

CPU 代价［3］；Hung 等［4］给出了Compact R－树；Lee 等［5］从极小化交叠角度给出了构造R －树的算法．这

些研究产生了多种R－树的变形．张军旗等

［6］

、刘兵等［7］

运用聚类方法研究了度量空间的索引问题．周学

海等［8］

给出了一种多维空间数据的索引结构．本文针对R －树的缺点，提出了一种特殊的空间索引结

构———MOSI －树，以尽量减少兄弟节点间的交叠为目标，通过定义空间中数据间的序关系对数据空间分割，尽可能使空间位置相邻的数据分配在一个节点中，从而使记载数据空间中所有数据的树结构的同层节点间交叠尽可能减少，

使树结构具有更高的检索效率．该结构中兄弟节点之间的交叠明显减少，不增加数据量，

从而使查询速度得到提高．同时，该索引结构易于推广到高维空间．1相关定义及算法

在MOSI －树索引结构中，对空间物体采用其MBR

［1］

作为近似表示．

假设有n 个物体，其外包矩形为：｛I i |I i 的左上角点为（a i

x ，a i y ），I i 的右下角点为（b i x ，b i y ）｝n i =1．其中I i 是

第i 个物体的最小外包矩形，

用其左上角点和右下角点表示．定义1设I i 、I j （i ≠j ）是2个不同物体的最小外包矩形，若下面4个条件之一成立：

1）a i y ＞a j y ；

2）a i y =a j y 时，

a i x ＞a j x ；3）a i y =a j y 且a i x =a j x 时，

b i y ＞b j y ；

北京工业大学学报2010年

4）a i y =a j y 且a i x =a j x ，b i y =b j y 时，b i x ＞b j x ；则称I i 按y 坐标大于I j ，记作I i ＞y

I j ．

定义2

设I i 、I j （i ≠j ）是2个不同物体的最小外包矩形，若下面4个条件之一成立：

1）a i x ＞a j x ；

2）a i x =a j x 时，a i y ＞a j y ；

3）a i y =a j y 且a i x =a j x 时，b i x ＞b j x ；4）a i y =a j y 且a i x =a j x ，b i x =b j x 时，b i x ＞b j x ；

则称I i 按x 坐标大于I j ，记作I i ＞x I j ．

定义1和定义2在二维欧氏空间中定义了2种数据间的序关系．通过这些序关系，对数据空间进行分割可使大部分空间位置相邻的数据分在一个节点中，从而使记载数据空间中所有数据的树结构的同层节点间交叠尽可能减少，使树结构具有更高的检索效率．

给定n 个空间数据的MBR ，记录于三维数组I （2，

2，n ）中．其中，（I （0，0，i ），I （1，0，i ））为第i 个MBR 的左上角顶点，（I （0，1，i ），I （1，1，i ））为第i 个MBR 的右下角顶点，排序算法记为x-y-Direction_Sorting_MBR （I ，n ，d level ）．其中，要排序的n 个MBR 序列存储于三维数组I 中．d level 为标识变量：d level =0时，进行

x 方向排序；d level =1时，进行y 方向排序．

2

MOSI －树空间数据索引结构

2.1

节点构成

在基于对象分割的MOSI －树中有2类节点：中间节点和叶子节点．中间节点结构形式为（I ，left-pointer ，right-pointer ）．其中，I 是该中间节点所包含的所有叶子节点的最小外包矩形，其左上角点为

a i （a i x ，a i y ），其右下角点为

b i （b i x ，b i y ）；left-pointer 是指向其左孩子节点的指针，如无左孩子，则指向null ；right-pointer 是指向其右孩子的指针，如无右孩子，则指向null ．叶子节点的结构形式为（I ，元组标

识符）．2.2

MOSI －

树的生成算法

图1节点的MBR 依数据分布划分的2种划分方法Fig．1

The two kinds of partitions for a node ’s MBR according to data ’s distribution

MOSI －树的生成算法思想为：给定n 个数据节点的MBR ，首先求出包含这n 个数据的MBR ，作为这棵树的根节点的I ，同时作为整个数据空间．然后，依据这些数据的分布沿x 方向或y 方向将数据空间分成2份，

使得每个部分包含个数几乎相等的数据．分别将包含这2个部分中的所有数据的MBR 求出，用于生成该树根节点的2个孩子节点的数据项I ，并建立与根节点的链接关系，从而完全确定了根节点的所有孩子节点．对根节点的MBR 依数据

分布的划分有2种分法，如图1所示．求出这2种分法下孩子节点的MBR 间的交叠面积，选择交叠面

积最小的分法为当前数据空间的分割策略．对根节点的所有孩子节点递归地实施同样的操作，直至所有数据处理完毕．

具体算法描述如下．

算法1MOSI-Tree_Creation （I ，n ）/*MOSI －树生成算法*/输入：n （n 不小于2）个矩形的序列，记录在三维数组I 中；

输出：MOSI －树根节点的指针head ；

4241

第10期刘润涛，等：一种极小化交叠的空间索引结构———MOSI－树

Begin

node=malloc（sizeof node）；/*为要插入的数据申请空间*/

head＜-node；

call x-y-Direction_Sorting_MBR（I，n，0）；/*对I中n个MBR按x方向排序*/计算节点node的MBR，记为I1；

node-＞I=I

1

；

n 1=「n?；n

2

=n－n

1

；/*将节点node中所含的MBR分成几乎相等的2部分*/

I

1

←I中前n1个MBR按顺序；I2←I中后n－n1个MBR按顺序；

分别计算包含I1和I2中所有MBR的MBR，记为I x left和I x right；

call x-y-Direction_Sorting_MBR（I，n，1）；/*对I中n个MBR按y方向排序*/

I

1

←I中前n1个MBR按顺序；I2←I中后n－n1个MBR按顺序；

分别计算包含I1和I2中所有MBR的MBR，记为I y left和I y right；

if I y

right

∩I y left的面积≤I x right∩I x left的面积，then

node-＞I

right =I y

right

，node-＞I

left

=I y

left

；/*采用y方向的分割*/

else

node-＞I

right =I x

right

；node-＞I

left

=I x

left

；/*采用x方向的分割*/

if n

1

≥2then/*node-＞I leftt中包含的小矩形个数≥2*/

call MOSI-Tree_Creation（I

1，n

1

）；/*递归对右孩子节点进行划分*/

else

node

left -＞I=I

1

；/*将这个数据链接为节点node的左孩子*/

if n

2

≥2then/*node-＞I right中包含的小矩形个数≥2*/

call MOSI-Tree_Creation（I

2，n

2

）；/*递归对左孩子节点进行划分*/

else

node

left -＞I=I

1

；/*将这个数据链接为节点node的左孩子*/

return head；End

定理1对于输入n（n不小于2）个矩形的序列｛I

i ｝n

i=1

，算法1能在有限步内正确完成MOSI－树的生

成，并且算法的时间复杂度不超过O（n log22n）．

证明：

1）可终止性．算法对n个数据进行划分，每次都是近似于二等分均分，因此，至多需要进行1+2+ 4+…+2log2n=21+log2n－1=2n－1次划分，是有限次划分，可终止性是正确的．

2）正确性．算法中，每进行1次划分时都运用使划分后得到的2个新节点所交叠的面积最小的原则，从而使划分的结果达到了局部最优的效果．由划分过程可知，生成的MOSI－树是一棵高度平衡树．正确性是明显的．

3）算法的时间复杂度．从生成算法的描述中可以看出：求根节点的MBR需要4（n－1）次比较运算；对所给的n个矩形x和y方向进行分类，需进行2n log2n次比较运算；计算I y right、I y left、I x right和I x left需要2（「n/

2?+2）次比较运算；计算I y

right 、I y

left

、I x

right

、I x

left

、I y

right

∩I y left和I x right∩I x left的面积需常数次运算；划分过程最多重复

2n－1次，因此，该算法共需要2n log

2n+2（「n/2?+2）+2「n/2?log

2

「n/2?+…+2k|n/2k|log

2

|n/2k|次比

较运算，近似等于n log2n+O（n log22n），即算法的时间复杂度为O（n log22n）．

2.3MOSI－树的节点插入

假设head为已存在的一棵MOSI－树的根节点指针，它指向该MOSI－树的根节点，I为欲插入到该

MOSI－树的数据对象的MBR，其左上角点为a i（a i

x ，a i

y

），右下角点为b i（b i

x

，b i

y

），则插入算法描述如下．

5241

北京工业大学学报2010年

算法2MOSI-Tree_Node_Insertion（I data，head）/*MOSI－树数据节点插入算法*/

输入：MOSI－树的根节点指针head和要插入数据的MBR，I data；

输出：MOSI－树的根节点指针head；

Begin

NODE=malloc（sizeof node）；/*为要插入的数据申请空间*/

NODE-＞I=I

data ；NODE

left

=null；NODE

right

=null；node

1

←head；node=node1；

if node=null，then

node-＞I=I

data ；node

left

=NODE；node

right

=null；return head，end；

else if node

right

=null，then

node

right

=NODE；return head，end；

else

计算a=包含I data与node right-＞I的MBR∩node left-＞I的面积，b=包含I与node left-＞I的MBR ∩node right-＞I的面积；

if a≤b，then

node

1-＞I=包含I

data

与node right-＞I的MBR；/*修改节点node1的MBR*/

node

1

←node right；/*到节点node的右孩子节点中寻找NODE的插入地址*/ else

node-＞I=包含I与node

right -＞I的MBR；/*修改节点node

1

的MBR*/

node

1

←node left；/*到节点node的左孩子节点中寻找NODE的插入地址*/

call MOSI-Tree_Node_Insertion（I

data ，node

1

）；

End

定理2给定有n个叶子节点的MOSI－树的头节点指针和要插入节点的最小外包矩形I

data

，算法2能在有限步内正确地完成新节点的插入，并且算法的时间复杂度为O（log2n）．

证明：

1）可终止性．从MOSI－树的生成算法可知：树的高度k=「log

2

n?，而节点插入算法中，只对k个中间节点进行修改，因此，算法在有限步内终止．

2）正确性．算法中为要插入的节点寻找插入地址时，运用了使插入该节点后兄弟节点间的交叠面积最小的原则，从而使该节点插入后，MOSI－树仍然保持原有的特性，即插入该节点的结果达到了局部最优的效果．当然，当很多次插入节点后有可能破坏它是一棵高度平衡树的性质，可以采用重构索引的方法解决这个问题．

3）算法的时间复杂度．插入1个节点共需修改k个中间节点．修改1个中间节点需要常数时间，因此，共需要的时间为ck，即算法的时间复杂度为O（log2n）．

3MOSI－树中各层节点上的交叠实验

先给出反映MOSI－树中第i层节点的交叠程度的量———交叠率的概念．

第i层节点间的交叠率=第i层上所有节点的MBR所交叠的面积/第i层上所有节点的MBR的面积的总和．

分别对372个和4096个随机生成的空间数据运用Visual C++语言进行编程测试，将本文给出的索引结构与OMT［5］方法中每一层节点的交叠率加以比较．MOSI－树分别有7层和13层节点．图2是2种方法下各层节点的交叠率比较．从图中可以清楚地看出，用本文给出的MOSI－树上各层节点的交叠率比用OMT方法生成的树上各层节点的交叠明显减少．

6241

第10期刘润涛，等：一种极小化交叠的空间索引结构———MOSI －

树图2

MOSI －树和OMT 方法构造的树上各层节点的交叠率比较

Fig．2

The overlap ratio comparison on every level of MOSI-tree and OMT method

4结束语

R－树是目前最流行的空间数据索引方法之一，它是一种完全动态的空间索引结构，其插入、删除及查

询等操作可同时进行．它的致命弱点之一就是同一层节点交叠大小难以有效缩小，因此，对于精确匹配查

询，它会使查询的范围增大，从而增加查询的时间，降低查询的效率．本文针对这个问题，以降低兄弟节点间的交叠为目标，通过定义空间中数据间的序关系对数据空间分割，结合树R －树思想，提出了一种空间

数据索引结构———MOSI －树．参考文献：

［1］ANTONIN Guttmann．R-trees ：a dynamic index structure for spatial searching ［C ］∥Proc of the ACM SIGMOD International

Conference on Management of Data．New York ：ACM Publisher ，1984：45-57．

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rectangles ［C ］∥Proc of the ACM SIGMOD international conference on management of data．New York ：ACM Publisher ，1990：322-331．

［3］张明波，陆锋，申排伟，等．R 树家族的演变和发展［J ］．计算机学报，2005，28（3）：289-300．

ZHANG Ming-bo ，LU Feng ，SHEN Pai-wei ，et al．The evolvement and progress of R-tree family ［J ］．Chinese Journal of Computer ，2005，28（3）：289-300．（in Chinese ）

［4］HUNG P W ，LIN H Y．Optimizing storage utilization in R-tree dynamic index structure for spatial databases ［J ］．Journal of

Systems and Software ，2001，55（3）：291-299．

［5］LEE T ，LEE Sukho．OMT ：overlap minimizing top-down bulk loading algorithm for R-tree ［J ］．Advanced Information Systems

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［6］张军旗，周向东，王梅，等．基于聚类分解的高维度量空间索引B +-tree ［J ］．软件学报，2008，19（6）：1401-1412．

ZHANG Jun-qi ，ZOU Xiang-dong ，WANG Mei ，et al．Clustering splitting based high dimensional metric index B +-tree ［J ］．Journal of Software ，

2008，19（6）：1401-1412．（in Chinese ）［7］刘兵，严和平，段江娇，等．度量空间一种自底向上索引树构造算法［J ］．计算机研究与发展，2006，43（9）：1651-1657．

LIU Bing ，YAN He-ping ，DUAN Jiang-jiao ，et al．A bottom-up distance-based index tree for metric space ［J ］．Journal of Computer Research and Development ，2006，43（9）：1651-1657．（in Chinese ）

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8］周学海，李曦，徐海燕，等．多维向量动态索引结构研究［J ］．软件学报，2002，13（4）：768-773．ZHOU Xue-hai ，LI Xi ，XU Hai-yan ，et al．Research on indexing structure for multi-dimensional vectors ［J ］．Journal of Software ，2002，13（4）：768-773．（in Chinese ）（下转第1432页）

7

241

2341

北京工业大学学报2010年（3）：397-418．

［8］LI J，MIAO S F，ZHANG W．Analysis on bifurcations of multiple limit cycles for a parametrically and externally excited mechanical system［J］．Chaos，Solitons and Fractals，2007，31（4）：960-976．

［9］LI J，TIAN Y，ZHANG W，et al．Bifurcation of multiple limit cycles for a rotor-active magnetic bearings system with time-varying stiffness［J］．International Journal of Bifurcation and Chaos，2008，18（3）：755-778．

Phase Portraits of a Generalized Camassa-Holm Equation

LI Jing，SUN Min

（College of Applied Sciences，Beijing University of Technology，Beijing100124，China）

Abstract：In order to conduct research on traveling wave solutions of a generalized Camassa-Holm equation，a bifurcations of a generalized Camassa-Holm equation is considered in this paper by using the transformation of traveling wave，bifurcation theory of planar dynamical system and the Maple symbolic computation program．Different phase portraits of the system in different regions are obtained．

Key words：phase composition；generalized Camassa-Holm equation；transform of traveling wave

（责任编辑梁洁）（上接第1427页）

A Spatial Index Structure of Minimizing Overlap：MOSI-Tree

LIU Run-tao1，HAO Zhong-xiao1，2

（1.College of Computer Science and Technology，Harbin University of Science and Technology，Harbin150080，China；

2.College of Computer Science and Technology，Harbin Institute of Technology，Harbin150001，China）Abstract：An index structure：MOSI-tree for spatial data，is proposed for the purpose of reducing the overlap among the nodes on the same level of the tree．The data，whose spatial positions are adjacent，are allocated into the same node as far as possible by partitioning the data space in orders between the data defined in this paper to make the overlap among the nodes on the same level of the tree reduce effectively．An algorithm for constructing the MOSI-tree is proposed，and the algorithm is proved to be correct．And the termination and the time complexity of the algorithm are also presented．Finally，the algorithm for node insertion is obtained．Experiment shows that the overlap among the nodes on the same level of MOSI-tree is reduced evidently．

Key words：spatial index；MOSI-tree；minimizing overlap；range query

（责任编辑梁洁）