【最新】北师大版九年级上第一章特殊平行四边形导学案

新北师大版九年级数学上册特殊平行四边形导学案

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．

2、能运用综合法证明矩形、菱形、正方形性质定理和判定定理．

3、体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法．

【重点难点】

掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定以及证明方法．

知识概览图

新课导引

【生活链接】如图（1）所示，田村有一口呈四边形的池塘，在它的4个顶点A，B，C，D处均有一棵大核桃树．田村准备挖池塘建养鱼池，想使养鱼池面积为原池塘面积的两倍，又想保持核桃树不动．并要求扩建后的养鱼池为平行四边形．田村能否实现这一设想?

【问题探究】问题中要求扩建后的养鱼池面积为原池塘面积的两倍，形状成平行四边形，且核桃树不动，即设法使A，B，C，D四点在所作平行四边形的边上，联想平行四边形的性质，将原四边形分成四个三角形，把每一个三角形都补成一平行四边形，即得到满足条件的平行四边形．设计出符合题意的图形，如图（2）所示．

【点拨】分别以AB，BC，CD，DA为对角线作BFCP CGDO，

，则△ABO≌△BAE，△BCO≌△CBF，△CDO≌△DCG，△ADO≌△DAH，所以S△ABO+S△BCO+S

△CDO +S△ADO＝

1

2

S EFGH.即S四边形ABCD＝

1

2

S EFGH．

教材精华

知识点1 矩形的性质

定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．

矩形的性质．

矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质．除此之外，它还有自己特有的性质，矩形的相关性质定理如下．

（1）矩形的四个角都是直角．

用数学符号语言表示：如图3—40所示，如果四边形ABCD是矩形，那么∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．

（2）矩形的对角线相等．

用数学符号语言表示：如图3—4l所示，如果四边形ABCD是矩形，那么AC＝BD.

性质定理的推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

用数学符号语言表示：如图3-42所示，在Rt△ABC中，AD是斜边BC的中线，则AD＝1

BC．这是证明线段相等、线段倍分关系、角相等的重要依据．

2

拓展矩形的两条对角线把矩形分成四个腰长相等的等腰三角形，当两条对角线夹角为60°时，必有一边长等于对角线长的一半，即这四个三角形中有两个是等边三角形．知识点2 矩形的判定

矩形的判定．

（1）用定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形．

（2）矩形的判定定理l：有三个角是直角的四边形是矩形．

（3）矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．

矩形的判定定理的证明．

（1）判定定理1的证明：

已知：如图3-43所示，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°

求证：四边形ABCD是矩形．

证明：∵∠A＝∠B＝90°，∴∠A+∠B＝180°，

∴AD∥BC．同理，AB∥DC．

∴四边形ABCD是平行四边形．

∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．

（2）判定定理2的证明：

已知：如图3—44所示，四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD．

求证：平行四边形ABCD是矩形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，