北京市朝阳区2017届高三二模数学(理)试题 Word版含答

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试（理工类）

2017．5

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项．

1．已知i 为虚数单位，则复数z =i(12i)+对应的点位于

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 2．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是 A ．23 B ．31 C ．32 D ．63

3．“0,0x y >>”是“

2y x

x y

+≥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

4．已知函数π

()sin()(0)6

f x x ＞=+ωω的最小正周期为4π，则

A ．函数()f x 的图象关于原点对称

B ．函数()f x 的图象关于直线π

3

x =

对称 C ．函数()f x 图象上的所有点向右平移π

3

个单位长度后，所得的图象关于原点对称

D ．函数()f x 在区间(0,π)上单调递增

5．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为

A ．12

B ． 24

C ．36

D ． 48 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为

A

B

． C ．3 D

．

7．已知函数log ,0,

()3,40a x x f x x x >??=?+-≤

(0a >且1)a ≠．

若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是

A ．(0,1)

B ．(1,4)

C ．(0,1)(1,)+∞U

D ．(0,1)(1,4)U 8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某 中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场 传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场 知识竞赛前三名的得分都分别为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *

∈；选手最后得分为各场 得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一

场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是

A ．每场比赛第一名得分a 为4

B ．甲可能有一场比赛获得第二名

C ．乙有四场比赛获得第三名

D ．丙可能有一场比赛获得第一名

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．双曲线22

136

x y -

=的渐近线方程是 ，离心率是 ． 10．若平面向量(cos ,sin )a =θθ，(1,1)-b =，且a b ⊥，则sin 2θ的值是 ． 11．等比数列{a n }的前n 项和为n S ．已知142,2a a ==-，则{a n }的通项公式n a = ， 9S = ．

1

俯视图

正视图

侧视图

1

12．在极坐标系中，圆2cos ρθ=被直线1

cos 2

ρθ=

所截得的弦长为 ． 13．已知,x y 满足,4,2.y x x y x y k ≥??

+≤??-≥?

若2z x y =+有最大值8，则实数k 的值为 ．

14．已知两个集合,A B ，满足B A ?．若对任意的x A ?，存在,i j a a B ?()i j ≠，使得 12i j x a a λλ=

+（12,{1,0,1}λλ?）

，则称B 为A 的一个基集．若 {1,2,3,4,5,6,7,8A =，则其基集

B 元素个数的最小值是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）

在△ABC 中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且b c =

，2sin B A =．

（Ⅰ）求cos B 的值；

（Ⅱ）若2a =，求△ABC 的面积．

16．（本小题满分13分）

从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．

（Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的

中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；

（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男

生，根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm 以上的概率．若从全市中学

的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X 表示身高在180 cm 以上的男生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ．

a 身高(cm)

17．（本小题满分14分）

如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=?，4,2AC BC ==，D E ,分别为边,AC AB 的中点，点,F G 分别为线段,CD BE 的中点．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使160A DC ∠=?．

点Q 为线段1A B 上的一点，如图2．

（Ⅰ）求证：1A F BE ⊥；

（Ⅱ）线段1A B 上是否存在点Q ，使得FQ 平面1A DE ？若存在，求出1AQ

的长，若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）当1134

A Q A

B =

时，求直线GQ 与平面1A DE 所成角的大小．

18．（本小题满分13分）

已知椭圆W ：22

221x y a b

+=(0)a b >>的上下顶点分别为,A B ，且点B (0,1)-．12,F F 分别

为椭圆W 的左、右焦点，且12120F BF ∠=

．

（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；

（Ⅱ）点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点．直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求 O E G ∠的大小．

19．（本小题满分14分）

已知函数2

()e x

f x x x =+-，2

(),g x x ax b =++,a b ?R ．

图1

图2

B

A 1

F

C

E

D Q

G A

B

C

D

E

F

G

（Ⅰ）当1a =时，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；

（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(0,1)处的切线l 与曲线()y g x =切于点(1,)c ，求

,,a b c 的值；

（Ⅲ）若()()f x g x ≥恒成立，求a b +的最大值．

20．（本小题满分13分）

各项均为非负整数的数列}{n a 同时满足下列条件：

①m a =1 ()N m ∈*；②1n a n ≤- (2)n ≥；③n 是12n a a a +++ 的因数（1n ≥）． （Ⅰ）当5=m 时，写出数列}{n a 的前五项；

（Ⅱ）若数列}{n a 的前三项互不相等，且3≥n 时，n a 为常数，求m 的值； （Ⅲ）求证：对任意正整数m ，存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数．

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试答案（理工类） 2017.5

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

三、解答题：

（15）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为2sin B A =，所以2b =．

所以

a =

．

所以2

2

2

cos 232a c b B ac b +-===． …………7分

（Ⅱ）因为2a =

，所以b c ==

又因为cos B =

，所以sin B =．

所以11sin 2223

ABC S a c B =

??=?= ． …………13分 （16）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）根据题意得：(0.00520.02020.040)101a ?++?+?=．

解得 0.010a =． …………3分

（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为x ，则

1450.051550.11650.21750.41850.21950.05x =?+?+?+?+?+?

(145195)0.051550.1(165185)0.21750.4=+?+?++?+?

1715.57070172.5=+++=．

所以估计该市中学全体男生的平均身高为172.5 cm ． …………7分

（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180 cm 以上的概率约为

14

． 由已知得，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3．

所以003

31327(0)()()44

64

P X C ==?=

； 11

231327(1)()()4464P X C ==?=；

2213139

(2)()()4464

P X C ==?=；

33

03131(3)()()4464

P X C ==?=．

随机变量X 的分布列为

因为X ~1

(34B ，，所以13

344

EX =?

=．…………………………………13分 （17）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为11,60A D DC A DC =∠=?，

所以△1A DC 为等边三角形． 又因为点F 为线段CD 的中点， 所以1A F DC ⊥．

由题可知1,ED A D ED DC ⊥⊥， 所以ED ⊥平面1A DC ．

因为1A F ?平面1A DC ，所以ED ⊥1A F ． 又ED DC D = ，所以1A F ⊥平面BCDE ．

所以1A F BE ⊥． …………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知错误！不能通过编辑域代码创建对象。平面错误！不能通过编辑域代码创建对象。，

错误！不能通过编辑域代码创建对象。，如图

建立空间直角坐标系，则错误！不能通过编辑域代码创建对象。，错误！不能通过编辑域代码创建对象。， 错误！不能通过编辑域代码创建对象。，错误！不能通

过编辑域代码创建对象。，错误！不能通过编辑域代码创建对象。，错误！不能通过编辑域代码创建对象。．

设平面错误！不能通过编辑域代码创建对象。的一个法向

量为错误！不能通过编辑域代码创建对象。，

错误！不能通过编辑域代码创建对象。,错误！不能通过编

辑域代码创建对象。，

所以错误！不能通过编辑域代码创建对象。即错误！不能

通过编辑域代码创建对象。

令错误！不能通过编辑域代码创建对象。，所以错误！不能通过编辑域代码创建对象。，所以错误！不能通过编辑域代码创建对象。 假设在线段错误！

不能通过编辑域代码创建对象。上存在点错误！不能通过编辑域代码创建对象。，使错误！不能通过编辑域代码创建对象。平面错误！不能通过编辑域代码创建对象。． 设错误！不能通过编辑域代码创建对象。，错误！不能通过编辑域代码创建对象。.

又1(2,1

,A B = ，所以错误！不能通过编辑域代码创建对象。． 所以错误！不能通过编辑域代码创建对象。.则错误！不能通过编辑域代码创建对象。. 所以错误！不能通过编辑域代码创建对象。. 解得，错误！不能通过编辑域代码创建对象。.

B

A 1

F

C

E

D Q

G

则在线段错误！不能通过编辑域代码创建对象。上存在中点错误！不能通过编辑域代码创建对象。，使错误！不能通过编辑域代码创建对象。平面错误！不能通过编辑域代码创建对象。．

且1AQ = ……………………10分 （Ⅲ）因为1134A Q A B =

，又1(2,1,A B =

，所以133(,,24AQ = ．

所以33(,24Q ．又因为3(,0,0)2G ，

所以3(0,44

GQ = ．

因为(0,=n 设直线GQ 与平面1A DE 所成角为θ，

则1sin .2GQ GQ θ?=== n n

直线GQ 与平面1A DE 所成角为

30?. ………………………………14分 （18）（本小题满分13分）

解：(Ⅰ)依题意，得1b =．又12120F BF ∠=?，

在1Rt BFO ?中，160F BO ∠=?，所以2a =．

所以椭圆W 的标准方程为2

214

x y +=． …………4分 (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 0

0(

,)2

x y ． 因为点M 在椭圆W 上，所以2

20014

x y +=．即220044x y =-． 又A (0,1)，所以直线AE 的方程为00

2(1)

1y y x x --=

． 令1y =-，得C 0

(

,1)1x y --． 又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 0

0(

,1)2(1)

x y --．

所以00(,)2x OE y = ，00

00(,1)22(1)

x x GE y y =-+- ．

因为000

000()(1)222(1)

x x x OE GE y y y ?=-++-

22

20000044(1)

x x y y y =-++-

2

0004414(1)

y y y -=-+-

0011y y =--+0=， 所以OE GE ⊥

．90OEG ∠=?． ……………………13分

（19）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）()e 2x F x x b =--，则()e 2x

F x '=-.

令()e 20,x

F x '=->得ln 2x >，所以()F x 在(ln 2,)+∞上单调递增.

令()e 20,x F x '=-<得ln 2x <，所以()F x 在(,ln 2)-∞上单调递减. …………4分 （Ⅱ）因为()e 21x f x x '=+-，所以(0)0f '=，所以l 的方程为1y =.

依题意，12

a

-

=，1c =. 于是l 与抛物线2

()2g x x x b =-+切于点(1,1)， 由2121b -+=得2b =.

所以2,2, 1.a b c =-== …………8分

（Ⅲ）设()()()e (1)x

h x f x g x a x b =-=-+-,则()0h x ≥恒成立.

易得()e (1).x

h x a '=-+ （1）当10a +≤时，

因为()0h x '>，所以此时()h x 在(,)-∞+∞上单调递增. ①若10a +=，则当0b ≤时满足条件，此时1a b +≤-； ②若10a +<，取00x <且01,1

b

x a -<

+ 此时0001()e (1)1(1)01

x

b

h x a x b a b a -=-+-<-+-=+，所以()0h x ≥不恒成立． 不满足条件； （2）当10a +>时，

令()0h x '=，得ln(1).x a =+由()0h x '>，得ln(1)x a >+；

由()0h x '<，得ln(1).x a <+

所以()h x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增. 要使得“()e (1)0x

h x a x b =-+-≥恒成立”，必须有

“当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥”成立. 所以(1)(1)ln(1)b a a a ≤+-++.则2(1)(1)ln(1) 1.a b a a a +≤+-++- 令()2ln 1,0,G x x x x x =-->则()1ln .G x x '=- 令()0G x '=，得 e.x =由()0G x '>，得0e x <<；

由()0G x '<，得 e.x >所以()G x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减, 所以，当e x =时，max ()e 1.

G x =-

从而，当e 1,0a b =-=时，a b +的最大值为e 1-.

综上，a b +的最大值为e 1-. …………14分

（20）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）5，1，0，2，2. …………3分 （Ⅱ）因为10-≤≤n a n

，所以20,1032≤≤≤≤a a ，

又数列}{n a 的前3项互不相等， （1）当02=a 时，

若13

=a ，则3451a a a ==== ，

且对3≥n ，12

)2(0+-=-++n

m n n m 都为整数，所以2=m ；

若23

=a ，则3452a a a ==== ，

且对3≥n ，

24

)2(20+-=-++n

m n n m 都为整数，所以4=m ；

（2）当12=a 时，

若03

=a ，则3450a a a ==== ，且对3≥n ，

n

m n n m 1

)2(01+=-?++都为整数，所以

1-=m ，不符合题意；

若23

=a ，则3452a a a ==== ，

且对3≥n ，

23

)2(21+-=-++n

m n n m 都为整数，所以3=m ；

综上，m 的值为2,3,4. …………8分

（Ⅲ）对于1≥n ，令12n

n S a a a =+++ ，

则

11111+=+≤+=<++++n

S n n S n a S n S n S n

n n n n n . 又对每一个n ，

n

S n 都为正整数，所以11++n S n m S

n S n =≤≤≤1...1，其中“<”至多出现1

-m 个.故存在正整数M m >，当n M >时，必有

n

S n S n

n =

++11成立. 当

n S n S n n =++11时，则n

S

S n S n S S a n n n n n n =-+=-=++)1(11.

从而

2

2)1(221

2

112122+-+=+++=+++=+++++++++n a a a n a n a n S a a n S n n n n n n n n n . 由题设知

121

2||12<++≤+-++n n n a a n n ，又2

2++n S n 及1+n a 均为整数，

所以

=++22n S n =+1n a 11+=+n S

n S n n ，故1212

n n n S S S n n n ++====++ 常数. 从而==-+=

-=++n

S

S n S n S S a n n n n n n )1(11常数. 故存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数. ………………………………13分