高中数学2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示教案新人教A版必修4
2.3.3 平面向量的坐标运算 2.3.4 平面向量共线的坐标表示
一、教学分析
1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.
2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律.
3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的.
二、教学目标
1、知识与技能:
掌握平面向量的坐标运算;会根据向量的坐标,判断向量是否共线。
2、过程与方法:
通过对共线向量坐标关系的探究,提高分析问题、解决问题的能力。
3情感态度与价值观:
学会用坐标进行向量的相关运算,理解数学内容之间的内在联系。
三、教学重点与难点
教学重点:平面向量的坐标运算。
教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确.
四、教学设想
(一)导入新课
思路 1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行?向量的共线用代数运算如何体现?
思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量OA=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一
确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?
(二)推进新课、新知探究、提出问题
①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐标表示吗?
②如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示AB的坐标?你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗?
标出点P后,你能总结出什么结论?
活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:
图1
a +
b =(x 1i+y 1j )+(x 2i+y 2j )=(x 1+x 2)i+(y 1+y 2)j , 即a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2). 同理a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2).
又λa =λ(x 1i+y 1j )=λx 1i+λy 1j .∴λa =(λx 1,λy 1). 教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为:
两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量AB 平移,使得点A 与坐标原点O 重合,则平移后的B 点位置就是P 点.向量AB 的坐标与以原点为始点,点P 为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.
学生通过平移也可以发现:向量AB 的模与向量OP 的模是相等的. 由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式: |AB |=|OP |=2
212
21)()(y y x x -+-.
教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.
讨论结果:①能.
②AB =OB -OA =(x 2,y 2)-(x 1,y 1)=(x 2-x 1,y 2-y 1).
结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 提出问题
①如何用坐标表示两个共线向量? ②若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么
2
21
1x y x y =是向量a 、b 共线的什么条件?
活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0.我们知道,a 、b 共线,当且仅当存在实数λ,使a =λb .如果用坐标表示,可写为(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2),
即????
?==.
,2121y y x x λλ消去λ后得x 1y 2-x 2y 1=0.
这就是说,当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0时向量a 、b (b ≠0)共线. 又我们知道x 1y 2-x 2y 1=0与x 1y 2=x 2y 1是等价的,但这与
2
21
1x y x y =是不等价的.因为当x 1=x 2=0
时,x 1y 2-x 2y 1=0成立,但
2
21
1x y x y =
均无意义.因此
2
21
1x y x y =
是向量a 、b 共线的充分不必要条件.由此也看出
向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点.
讨论结果:①x 1y 2-x 2y 1=0时,向量a 、b (b ≠0)共线. ②充分不必要条件. 提出问题
a 与非零向量
b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a =λb , 那么这个充要条件如何用坐标来表示呢?
活动:教师引导推证:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠a ,
由a =λb ,(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2)?????==?.
,
2121y y x x λλ消去λ,得x 1y 2-x 2y 1=0.
讨论结果:a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0.
教师应向学生特别提醒感悟:
1°消去λ时不能两式相除,∵y 1、y 2有可能为0,而b ≠0,∴x 2、y 2中至少有一个不为0. 2°充要条件不能写成
2
21
1x y x y =(∵x 1、x 2有可能为0).
3°从而向量共线的充要条件有两种形式:a ∥b (b ≠0)???===?.
01221y x y x b
a λ
(三)应用示例
思路1
例1 已知a =(2,1),b =(-3,4),求a +b ,a -b ,3a +4b 的坐标.
活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.
解:a +b =(2,1)+(-3,4)=(-1,5); a -b =(2,1)-(-3,4)=(5,-3);
3a +4b =3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).
点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式. 变式训练
1.(2007海南高考,4) 已知平面向量a =(1,1),b =(1,-1),则向量
2
1a 2
3-
b 等于( )
A.(-2,-1)
B.(-2,1)
C.(-1,0)
D.(-1,2) 答案:D
2.(2007全国高考,3) 已知向量a =(-5,6),b =(6,5),则a 与b …( )
A.垂直
B.不垂直也不平行
C.平行且同向
D.平行且反向 答案:
A
图2
例2 如图2,已知
ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D 的坐标.
活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD 的坐标,进而得到点D 的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标.
解:方法一:如图2,设顶点D 的坐标为(x,y).
∵AB =(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC =(3-x,4-y).由AB =DC ,得(1,2)=(3-x,4-y).∴???-=-=.42,
31x x
∴??
?==.
2,2y x
∴顶点D 的坐标为(2,2).
方法二:如图2,由向量加法的平行四边形法则,可知
BC BA AD BA BD +=+==(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),
而OD =OB +BD =(-1,3)+(3,-1)=(2,2),
∴顶点D 的坐标为(2,2).
点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算. 变式训练
图3
如图3,已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
解:当平行四边形为ABCD 时,仿例二得:D 1=(2,2); 当平行四边形为ACDB 时,仿例二得:D 2=(4,6); 当平行四边形为DACB 时,仿上得:D 3=(-6,0).
例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系.
活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式.
解:在平面直角坐标系中作出A 、B 、C 三点,观察图形,我们猜想A 、B 、C 三点共线.下面给出证明.
∵AB =(1-(-1),3-(-1))=(2,4), AC =(2-(-1),5-(-1))=(3,6), 又2×6-3×4=0,∴AB ∥AC ,且直线AB 、直线AC 有公共点A,
∴A、B 、C 三点共线.
点评:本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法,其实质是从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.
变式训练
已知a =(4,2),b =(6,y),且a ∥b ,
求
解:∵a ∥b ,∴4y -2×6=0. ∴y=3.
思路2
例2 设点P 是线段P 1P 2上的一点,P 1、P 2的坐标分别是(x 1,y 1)、(x 2,y 2).
(1)当点P 是线段P 1P 2的中点时,求点P 的坐标;
(2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,求点P 的坐标.
活动:教师充分让学生思考,并提出这一结论可以推广吗?即当
2
1PP P P =λ时,点P 的坐标是什么?师生共
同讨论,一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广,有学生可能提出如下推理方法:
由P P 1=λ2PP ,知(x-x 1,y-y 1)=λ(x 2-x,y 2-y),
即???
????++=++=??????-=--=-.1,1)
()(2
1212121λλλ
λλλy y y x x x y y y y x x x x 这就是线段的定比分点公式,教师要给予充分肯定,鼓励学生的这种积极探索,这是学习数学的重要品
质.时间允许的话,可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响,也可鼓励学生课后探索
.
图4
解:(1)如图4,由向量的线性运算可知
OP =
2
1 (OP 1+OP 2)=(
.2
,
2
2
12
1y y x x ++).
所以点P 的坐标是(
.2
,
2
2
12
1y y x x ++)
(2)如图5,当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,有两种情况,即
2
1PP P P =
2
1或
2
1PP P P =2.
如果
2
1PP P P =
2
1,那么
图5
OP =1OP +P P 1=1OP +
3
121P P
=1OP +3
1(2OP -1OP )
=
3
21OP +3
12OP =(
32,
3
22
12
1y y x x ++).
即点P 的坐标是(
3
2,
3
22
12
1y y x x ++).
同理,如果
2
1PP P P =2,那么点P 的坐标是
.3
2,
3
22
12
1y y x x ++
点评:本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式. 变式训练
在△A BC 中,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC 、BC 的中点都在坐标轴上,求点C 的坐标.
解:(1)若AC 的中点在y 轴上,则BC 的中点在x 轴上,
设点C 的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得
,02
5,
02
3=+=+y x
∴x=-3,y=-5,
即C 点坐标为(-3,-5).
(2)若AC 的中点在x 轴上,则BC 的中点在y 轴上,则同理可得C 点坐标为(2,-7). 综合(1)(2),知C 点坐标为(-3,-5)或(2,-7).
例2 已知点A(1,2),B(4,5),O 为坐标原点,OP =OA +t AB .若点P 在第二象限,求实数t 的取值范围. 活动:教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等,把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力,或者让学生到黑板上去板书解题过程,并对思路清晰过程正确的同学进行表扬,同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白“化归”思想的利用.不等式求变量取值范围的基本观点是,将已知条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集.
解:由已知AB =(4,5)-(1,2)=(3,3).∴OP =(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2). 若点P 在第二象限,则3
13
20
23013-
<<-???
?>+<+t t t
故t 的取值范围是(3
2-
,3
1-
).
点评:此题通过向量的坐标运算,将点P 的坐标用t 表示,由点P 在第二象限可得到一个关于t 的不等式组,这个不等式组的解集就是t 的取值范围. 变式训练
已知OA =(cos θ,sin θ),OB =(1+sin θ,1+cos θ),其中0≤θ≤π,求|AB |的取值范围.
解:∵AB =OB -OA =(1+sin θ,1+cos θ)-(cos θ,sin θ) =(1+sin θ-cos θ,1+cos θ-sin θ).
∴|AB |2
=(1+sin θ-cos θ)2
+(1+cos θ-sin θ)2
=[1+(sin θ-cos θ)]2
+[1-(sin θ-cos θ)]2
=2+2(sin θ-cos θ)2
=2+2(1-2sin θcos θ)
=4-4sin θcos θ=4-2sin2θ. ∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π. 从而-1≤sin2θ≤1.
∴4-2sin2θ∈[2,6].故|AB |的取值范围是[2,6].
(四)课堂小结
1.先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识:平面向量的和、差、数乘的坐标运算,两个向量共线的坐标表示.
2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,定义法、归纳、整理、概括的思想,强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神,为将来的发展打下良好基础.
(五)作业
平面向量的坐标运算(教案)
平面向量的坐标运算(一)(教案) 教学目标: 知识与技能:(1)理解平面向量的坐标概念;(2)掌握平面向量的坐标运算. 过程与方法:(1)通过对坐标平面内点和向量的类比,培养学生类比推理的能力; (2)通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生归纳、猜想、演绎的能力; (3)通过用代数方法处理几何问题,提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力. 情感、态度与价值观:(1)让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣,培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神,提高学生的数学素养; (2)使学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性,进而理解数学的本质; (3)让学生体会从特殊到一般,从一般到特殊的认识规律. 教学重点和教学难点: 教学重点:平面向量的坐标运算; 教学难点:平面向量坐标的意义. 教学方法:“引导发现法”、“探究学习”及“合作学习”的模式. 教学手段:利用多媒体动画演示及实物展示平台增加直观性,提高课堂教学效率. 教学过程设计: 一、创设问题情境,引入课题. 同学们,我们知道,向量的概念是从物理中抽象出来的,人们最初对向量的研究是从几何的的角度来进行的,但是随着问题的不断深入,我们发现用图形来研究向量有一些不便之处,那么,有没有一种更简洁的方式可以来表示向量呢? 我国著名数学家华罗庚先生说过:“数无形,少直观;形无数,难入微。”图形关系往往与某些数量关系密切联系在一起,数与形是互相依赖的,所以我们想到了用数来表示向量. 思路一:用一个数能否表示向量?(请学生回答) (不能,因为向量既有大小,又有方向)
思路二:用两个数能否表示向量?(引导学生思考) 在平面直角坐标系内,一个点和一对有序实数对之间有一一对应的关系,那么,向量是否也能找到与之对应的实数呢? 让我们先来探讨这样一个问题: 探究一:如图,为互相垂直的单位向量,请用,i j 表示图中的向量,,,.a b c d 使1122=a e e λλ+ ,其中的1e ,2e 称为平面的一组基底. 强调:基底不唯一,只要不共线,就可作为基底,而一旦基底选定,任一向量在基底方向的分解形式就是唯一的. 二、理解概念,加深认识. 根据平面向量基本定理,我们知道,在选定基底的情况下,所给,,,.a b c d 四 个向量在基底方向的分解形式是唯一的,也就是说,这几个向量用基底、来表示的形式是唯一的,每个向量对应的这对实数对我们就将其称之为向量的坐标. 推广到平面内的任意向量,我们怎样来定义向量的坐标?(引导学生思考,请学生尝试给出定义) 如图,在直角坐标系内,我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得 a xi yj =+ …………○ 1 我们把),(y x 叫做向量的(直角)坐标,记作
高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。
向量的坐标表示及其运算
资源信息表
(2)向量的坐标表示及其运算(2) 一、教学内容分析 向量是研究数学的工具,是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式,则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是向量的坐标及其运算的第二课时,一方面把“形”与“数、式”结合起来思考,以“数”入微,借“形”思考,体会并感悟数形结合的思维方式;另一方面通过例5的演绎推理教学,体会代数证明的严谨性,也为定比分点(三点共线)的教学提供基础. 二、教学目标设计 1.理解并掌握两个非零向量平行的充要条件,巩固加深充
要条件的证明方式; 2.会用平行的充要条件解决点共线问题; 3、定比分点坐标公式. 三、教学重点及难点 课本例5的演绎证明; 分类思想,数形结合思想在解决问题时的运用; 特殊——一般——特殊的探究问题意识. 五、教学过程设计: 复习向量平行的概念: 提问:(1)升么是平行向量方向相同或相反的向量叫做平行向
量。 (2)实数与向量相乘有何几何意义 (3)由此对任意两个向量,a b ,我们可以用怎样的数量关系来刻画平行对任意两个向量,a b ,若存在一个常数λ,使得 a b λ=?成立,则两向量a 与向量b 平行 (4)思考:如果向量,a b 用坐标表示为) ,(),,(2211y x y x ==能否用向量的坐标来刻画这个数量关系12 12 x x y y λλ=??=? 思考:如果向量,a b 用坐标表示为),(),,(2211y x y x ==,则 2 121y y x x =是b a //的( )条件. A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要 由此,通过改进引出 课本例5 若,a b 是两个非零向量,且1122(,),(,)a x y b x y ==, 则//a b 的充要条件是1221x y x y =. 分析:代数证明的方法与技巧,严密、严谨. 证明:分两步证明, (Ⅰ)先证必要性://a b 1221x y x y ?= 非零向量//a b ?存在非零实数λ,使得a b λ=,即
高中数学必修4知识点总结:第二章 平面向量
高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+ . ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+ ; ②结合律:()() a b c a b c ++=++ ;③00a a a +=+= . ⑸坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y +=++ . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y -=-- . 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1 212 ,x x y y A B=-- . 19、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ . ①a a λλ= ; ②当0λ>时,a λ 的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ 的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ= . ⑵运算律:①()()a a λμλμ= ;②()a a a λμλμ+=+ ;③() a b a b λλλ+=+ . ⑶坐标运算:设(),a x y = ,则()(),,a x y x y λλλλ== . 20、向量共线定理:向量() 0a a ≠ 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ= . 设()11,a x y = ,()22,b x y = ,其中0b ≠ ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、() 0b b ≠ 共线. 21、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+ .(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B
平面向量的坐标运算教案
平面向量的坐标运算教 案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
“平面向量的坐标运算”教学方案 教学目标: 1.知识与技能: 理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量坐标的运算。 2.过程与方法: 在对平面向量坐标表示及坐标运算的学习过程中使学生的演绎、归纳、猜想、类比的能力得到发展,利用图形解决问题,也让学生体会到数形结合的思想方法解决问题的能力的重要性。 3.情感、态度与价值观: 通过本节课的学习,使学生感受到数学与实际生产、生活的密切联系,体会客观世界中事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点。 教学重点: 平面向量的坐标表示及坐标运算。 教学难点: 平面向量坐标表示的意义。 教学方法: 结合本节课的目标要求、重难点的确定以及学生实际思维水平,教学设计中采取启发引导、类比归纳、合作探究、实践操作等教学方法。 教学手段: 投影仪、多媒体软件 教学过程 1.情境创设 教师借助多媒体动画演示人站在高处抛掷硬物的过程作为本节课的问题情境引入课题,引导学生注意观察硬物下落轨迹,提出问题:结合同学们的生活常识及物理学知识,想一想硬物的速度可做怎样的分解? 学生回答:速度可按竖直和水平两个方向进行分解 设计目的:情境与生活联系,激发学生学习兴趣,同时为下面展开的知识做好铺垫。 2.展开探究 问题一:平面向量的基本定理内容是什么? 教师请一学生回答,同时投影出示其内容。 问题二:向量能不能象平面坐标系中点一样给出坐标表示呢?我们如何表示更加 合理呢? 组织学生谈论,给出各种想法,教师做点评归纳。 投影展示:将一任意向量a置于直角坐标系中,给出向量的起点、终点坐标,并提出问题 问题三:既然向量的起点和终点的坐标是确定的,那么向量也可以用一对实数来表示吗?
平面向量的基本定理及坐标运算
平面向量的基本定理及坐标运算 【考纲要求】 1、了解平面向量的基本定理及其意义. 2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【基础知识】 一、平面向量基本定理 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数1λ、2λ,使得2211e e λλ+=,不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 二、平面向量的坐标表示 在直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底。由平面向量的基本定理知,该平面内的任意一个向量a 可表示成a xi y j =+,由于a 与数对(,)x y 是一一对应的,因此把(,)x y 叫做向量a 的坐标,记作(,)a x y =,其中x 叫作a 在x 轴上的坐标,y 叫作a 在y 轴上的坐标. 规定:(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量。 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无
关,只与其相对位置有关。 三、平面向量的坐标运算 1、设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a b +=1212(,)x x y y ++. 2、设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a b -=1212(,)x x y y --. 3、设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. 4、设a =()y x ,,R ∈λ,则λa =(,)x y λλ. 5、设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则b a //12210x y x y ?-=(斜乘相减等于零) 6、设a =()y x ,,则22a x y =+ 四、两个向量平行(共线)的充要条件 1、如果0a ≠,则b a //的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b a λ=(没有坐标背景) 2、如果a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则b a //的充要条件是12210x y x y -=(坐标背景) 五、三点共线的充要条件 1、A 、B 、C 三点共线的充要条件是AB BC λ= 2、设OA 、OB 不共线,点P 、A 、B 三点共线的充要条件是 (1,,)OP OA OB R λμλμλμ=++=∈. 特别地,当12 λμ==时,P 是AB 中点。