2018届高三一轮复习讲义第1章第1节集合及其运算
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法
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【知识拓展】
1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.
3．A∩(?U A)＝?；A∪(?U A)＝U；?U(?U A)＝A.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集．(×)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)
(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)
(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(√)
(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)恒成立．(√)
(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×)
1．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是() A．{a}?A B．a?A
C．{a}∈A D．a?A
答案 D
解析由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22，知a?A.
2．(2016·杭州质检)设集合A＝{x|x2－2x≥0}，B＝{x|－1 C．{x|－1 答案 B 解析因为A＝{x|x≥2或x≤0}，所以?R A＝{x|0 C．{1,3} D．{1,4} 答案 D 解析因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1； 当x＝2时，y＝3×2－2＝4； 当x＝3时，y＝3×3－2＝7； 当x＝4时，y＝3×4－2＝10； 即B＝{1,4,7,10}． 又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D. 4．(2016·云南名校联考)集合A ＝{x |x －2<0}，B ＝{x |x 解析 由A ∩B ＝A ，知A ?B ， 从数轴观察得a ≥2. 题型一 集合的含义 例1 (1)(2016·济南模拟)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中元素的个数是( ) A ．9B ．8C ．7D ．6 (2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 (1)B (2)0或98 解析 (1)当a ＝0时，a ＋b ＝1,2,6； 当a ＝2时，a ＋b ＝3,4,8； 当a ＝5时，a ＋b ＝6,7,11. 由集合中元素的互异性知P ＋Q 中有1,2,3,4,6,7,8,11共8个元素． (2)若a ＝0，则A ＝???? ?? 23，符合题意； 若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝9 8. 综上，a 的值为0或9 8 . 思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型是数集、点集还是其他类型的集合． (2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． (1)(2016·宁波模拟)已知A ＝{x |x ＝3k －1，k ∈Z }，则下列表示正确的是( ) A ．－1?A B ．－11∈A C ．3k 2－1∈A (k ∈Z ) D ．－34?A (2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝? ?? ? ??0，b a ，b ，则b －a ＝________. 答案 (1)C (2)2 解析 (1)∵k ∈Z ，∴k 2∈Z ，∴3k 2－1∈A . (2)因为{1，a ＋b ，a }＝? ?? ? ??0，b a ，b ，a ≠0， 所以a ＋b ＝0，得b a ＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2. 题型二 集合的基本关系 例2 (1)(2016·余姚一模)设A ，B 是全集I ＝{1,2,3,4}的子集，A ＝{1,2}，则满足A ?B 的B 的个数是( ) A ．5B ．4C ．3D ．2 (2)已知集合A ＝{x |x 2－2017x ＋2016<0}，B ＝{x |x ∴满足条件的集合B 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个． (2)由x 2－2017x ＋2016<0，解得1 又B ＝{x |x 可得a ≥2016. 引申探究 本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，1] 解析 A ＝{x |1 可得a ≤1. 思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题． (1)(2016·宁波模拟)已知集合A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{1，x ，x 2－x }，且B ?A ，则 x 等于( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．－1 (2)(2016·连云港模拟)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1 数m 的取值范围是____________． 答案 (1)D (2)(－∞，4] 解析 (1)当x ＝0时，x 2－x ＝0，不满足条件； 当x ＝2时，x 2－x ＝2，不满足条件； 当x ＝－1时，x 2－x ＝2，满足条件， 所以x ＝－1，故选D. (2)当B ＝?时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2； 当B ≠?时，若B ?A ，如图， 则???? ? m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1， 解得2 例3 (1)(2016·全国乙卷)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B 等于( ) A.????－3，－32 B.????－3，3 2 C.??? ?1，32 D.????32，3 (2)(2016·浙江)已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(?R Q )等于( ) A ．[2,3] B ．(－2,3] C ．[1,2) D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 答案 (1)D (2)B 解析 (1)由A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1 2 }， 得A ∩B ＝{x |3 2 例4 (1)已知集合P ＝[1,3]，集合Q ＝(－∞，a )∪(b ，＋∞)，其中a A ．a ＝2，b ＝3 B ．a ＝2，b ≤3 C ．a ＝2，b ≥3 D ．a ≤2，b ≥3 (2)设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x 2 C ．a ≥－1 D ．a >－1 答案 (1)C (2)D 解析 (1)因为?R Q ＝[a ，b ]，P ∩(?R Q )＝[a ，b ]∩[1,3]＝[2,3]，所以a ＝2，b ≥3，故选C. (2)因为A ∩B ≠?，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a >－1. 思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况． (2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化． (1)(2016·山东)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B 等于( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞) D ．(0，＋∞) (2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1 答案 (1)C (2)D 解析 (1)∵A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－1 (2)由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ?A . ①当B ＝?时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠?时，有???? ? －3≤2m －1，m ＋1≤4， 2m －1 解得－1≤m <2. 综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)． 题型四 集合的新定义问题 例5 若对任意的x ∈A ，1x ∈A ，则称A 是“伙伴关系集合”，则集合M ＝{－1,0，1 2，1,2} 的所有非空子集中，具有伙伴关系集合的个数为________． 答案 7 解析 具有伙伴关系的元素组有－1；1；2和1 2共三组，它们中任一组、两组、三组均可组 成非空伙伴关系集合，所以非空伙伴关系集合分别为{1}，{－1}，{1 2，2}，{－1,1}，{－1， 12，2}，{1，12，2}，{－1,1，1 2 ，2}，共7个． 思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点 (1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在； (2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质． 定义一种新的集合运算△：A △B ＝{x |x ∈A 且x ?B }．若集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}， B ＝{x |2≤x ≤4}，则按运算△，B △A 等于( ) A ．{x |3 C ．{x |3 D ．{x |2≤x ≤4} 答案 B 解析 A ＝{x |1 1．集合关系及运算 典例 (1)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3或0 (2)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ?A ，则实数a 的取值范围是________． 错解展示 解析 (1)由A ∪B ＝A 得B ?A ，∴m ＝3或m ＝m ， 故m ＝3或m ＝0或m ＝1. (2)∵B ?A ，讨论如下： ①当B ＝A ＝{0，－4}时，???? ? Δ＝4(a ＋1)2 －4(a 2 －1)>0，－2(a ＋1)＝－4， a 2－1＝0， 解得a ＝1. ②当B A 时，由Δ＝0得a ＝－1， 此时B ＝{0}满足题意， 综上，实数a 的取值范围是{1，－1}． 答案 (1)D (2){1，－1} 现场纠错 解析 (1)A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ?A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3，故选B. (2)因为A ＝{0，－4}，所以B ?A 分以下三种情况： ①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得 ???? ? Δ＝4(a ＋1)2 －4(a 2 －1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0， 解得a ＝1； ②当B ≠?且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝?时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1. 综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}． 答案 (1)B (2)(－∞，－1]∪{1} 纠错心得 (1)集合的元素具有互异性，参数的取值要代入检验． (2)当两个集合之间具有包含关系时，不要忽略空集的情况. 1．(2016·台州模拟)若A ＝{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，则( ) A ．A ?B B ．B ?A C ．A ＝B D ．A ∩B ＝? 答案 A 解析 ∵k ∈Z ，∴4k ＋1∈B ，∴A ?B . 2．(2016·四川)设集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( ) A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C 解析 由题意可知，A ∩Z ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩Z 中元素的个数为5.故选C. 3．已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M 且2x ?M }的子集的个数为( ) A．8B．4C．3D．2 答案 B 解析由题意得P＝{3,4}，∴集合P有4个子集． 4．(2016·绍兴期末调研)设集合S＝{x|x>2}，T＝{x|x2－x－12≤0}，则S∩T等于() A．[3，＋∞) B．[4，＋∞) C．(2,3] D．(2,4] 答案 D 解析由x2－x－12≤0，得－3≤x≤4， 所以T＝{x|－3≤x≤4}，所以S∩T＝(2,4]，故选D. 5．(2017·杭州二中月考)已知全集为U，集合M＝{x|－2≤x<2}，N＝{x|y＝log2(x－1)}，则图中阴影部分表示的集合是() A．{x|－2≤x≤1} B．{x|1 C．{x|1≤x<2} D．{x|－2≤x<0} 答案 A 解析由x－1>0，解得x>1，所以N＝{x|x>1}． 图中阴影部分表示的集合为M∩(?U N)， 又?U N＝{x|x≤1}， 所以M∩(?U N)＝{x|－2≤x≤1}，故选A. 6．已知集合A＝{x|－1 A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，0) D．(0，＋∞) 答案 B 解析用数轴表示集合A，B(如图)， 由A?B，得a≥0. 7．(2015·浙江)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(?R P)∩Q等于() A．[0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．[1,2] 答案 C 解析∵P＝{x|x≥2或x≤0}，?R P＝{x|0＜x＜2}， ∴(?R P)∩Q＝{x|1＜x＜2}，故选C. 8．(2016·杭州第二中学考试)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A?B， 则实数c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1) D ．(1，＋∞) 答案 B 解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ?B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1. 9．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0 解析 由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}． 由题意知B ＝{1,2,3,4}． ∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个． *10.设集合M ＝? ??? ??x |m ≤x ≤m ＋34，N ＝? ??? ??x |n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集， 如果把b －a 叫作集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( ) A.13B.23C.112D.512 答案 C 解析 由已知，可得????? m ≥0，m ＋34≤1， 即0≤m ≤1 4 ； ????? n －13≥0，n ≤1， 即1 3 ≤n ≤1，取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝????0，34，N ＝????23，1，所以M ∩N ＝????0，34∩????23，1＝????23，34，此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝1 12，故选C. 11．(2016·浙江五校高三联考)定义集合A ＝{x |2x ≥1}，B ＝{x |log 12 x <0}，则A ∩(?U B )＝ ________. 答案 [0,1] 解析 ∵A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |x >1}，∴?U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩(?U B )＝[0,1]． 12．(2016·诸暨高三5月质检)已知集合P ＝{1，m }，Q ＝{m 2}，若P ∪Q ＝P ，则实数m 的 值是________． 答案0或－1 解析由P∪Q＝P，得Q?P，∴m2∈{1，m}， 当m2＝1时，m＝1(舍)或m＝－1； 当m2＝m时，m＝1(舍)或m＝0. 综上，m＝－1或m＝0. 13．(2016·临安模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|y＝x2－2x－3}，B＝{y|y＝e x＋1}，则A∪B ＝__________. 答案(－∞，－1]∪(1，＋∞) 解析因为A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{y|y>1}， 所以A∪B＝{x|x>1或x≤－1}． 14．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1?A，则实数a的取值范围是__________． 答案(－∞，1] 解析∵1?{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1. 15．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________． 答案 5 解析当x＝0，y＝0时，x－y＝0； 当x＝0，y＝1时，x－y＝－1； 当x＝0，y＝2时，x－y＝－2； 当x＝1，y＝0时，x－y＝1； 当x＝1，y＝1时，x－y＝0； 当x＝1，y＝2时，x－y＝－1； 当x＝2，y＝0时，x－y＝2； 当x＝2，y＝1时，x－y＝1； 当x＝2，y＝2时，x－y＝0. 根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个． *16.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________. 答案－1 1 解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5 由A∩B＝(－1，n)，可知m<1， 则B＝{x|m （时间80分钟，满分100分） 一、选择题：（每小题4分，共计40分） 1、如果集合{ }8,7,6,5,4,3,2,1=U ，{}8,5,2=A ，{}7,5,3,1=B ，那么(A U )B 等于（ ） (A){}5 (B) { }8,7,6,5,4,3,1 (C) {}8,2 (D) {}7,3,1 2、如果U 是全集，M ，P ，S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合为 （ ） （A ）（M ∩P ）∩S ； （B ）（M ∩P ）∪S ； （C ）（M ∩P ）∩（C U S ） （D ）（M ∩P ）∪（C U S ） 3、已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合M N 为（ ） A 、3,1x y ==- B 、(3,1)- C 、{3,1}- D 、{(3,1)}- 4. 2{4,21,}A a a =--,B={5,1,9},a a --且{9}A B ?=,则a 的值是 ( ) A. 3a = B. 3a =- C. 3a =± D. 53a a ==±或 5.若集合2{440,}A x kx x x R =++=∈中只有一个元素,则实数k 的值为 ( ) B. 1 C. 0或1 D. 1k < 6. 集合2{4,,}A y y x x N y N ==-+∈∈的真子集的个数为 ( ) A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 7. 符号{}a ?≠{,,}P a b c ?的集合P 的个数是 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知2{1,},{1,}M y y x x R P x x a a R ==-∈==-∈,则集合M 与P 的关系是( ) A. M=P B. P R ∈ C . M ?≠P D. M ?≠P 9. 设U 为全集,集合A 、B 、C 满足条件A B A C ?=?，那么下列各式中一定成立的是（ ） A.A B A C ?=? B.B C = C. ()()U U A C B A C C ?=? D. ()()U U C A B C A C ?=? 集合教案设计 数学科学之所以被广泛应用．一个重要的原因是数学能运用数学语言将客观事物的数量关系和数学结构表示出来．符号化、形式化是数学的一个显著特点．学习数学的任务之一，就是学习用形式化语言去表述、解释、解决各种问题． 一、教学内容 本章的主要内容是集合的概念、表示方法和集合之间的关系与运算。本章共分两大节。 第一大节，是集合与集合的表示方法。本节首先通过实例，引入集合与集合的元素的概念，接着给出了空集的含义。然后，学习了集合的两种表示方法（列举法和特征性质描述法）。 第二大节，是集合之间的关系与运算。本节首先从观察集合与集合之间元素的关系开始，给出子集、真子集以及集合相等的概念，同时学习了用维恩（Venn）图表示集合。接着，学习了交集、并集以及全集、补集的初步知识。 本章的最后安排了一篇介绍数学文化的阅读材料“聪明在于学习，天才由于积累――自学成才的华罗庚” 。安排这篇阅读材料的主要目的是，培养学生的爱国主义和刻苦学习、勤奋钻研的精神。 二、地位及作用 集合语言是现代数学的基本语言。通过集合语言的学习，有利于学生简明准确地表达学习的数学内容。集合的初步知识是学生学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的出发点。 三、教学目标 本章是将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁性、准确性；帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行表达和交流的能力．了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．掌握某些数集的专用符号． 1．理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 3．能在具体情境中，了解全集与空集的含义． 4．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．培养学生从具体到抽象的思维能力．5．理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 高三数学专题练习1 集合的概念与运算 小题基础练① 一、选择题 1．[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝() A．{3} B．{5} C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7} 答案：C 解析：A∩B＝{1,3,5,7}∩{2,3,4,5}＝{3,5}．故选C. 2．[2018·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则?R A＝() A．{x|－1 A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．无穷多个 答案：B 解析：因为A ＝{x |0 高中数学复习讲义 第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础练习】 1.集合用列举法表 2.设集合，，则 3.已知集合，，则集合_ 4.设全集，集合，，则实数a 的值为_____． 【范例解析】 例.已知为实数集，集合.若，或，求集合B . 【反馈演练】 1．设集合，，，则=_________． 2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P +Q =，则P +Q 中元素的个数是______个． 3．设集合，. （1）若，求实数a 的取值范围； {(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈{21,}A x x k k Z ==-∈{2,}B x x k k Z ==∈A B ?={0,1,2}M ={2,}N x x a a M ==∈M N ?={1,3,5,7,9}I ={1,5,9}A a =-{5,7}I C A =R 2{320}A x x x =-+≤R B C A R ?={01R B C A x x ?=<<23}x <<{ }2,1=A {}3,2,1=B {}4,3,2=C ()C B A U ?},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q 2{60}P x x x =--<{23}Q x a x a =≤≤+P Q P ?= 第一章集合与函数概念 §1．1集合 教学目标： (1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 1.1.1集合的含义与表示 （一）集合的有关概念: ⒈定义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 5.常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集. 整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R； 6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2} ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： ⑶大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流； ⑶非负奇数；⑷某校2011级新生；⑸血压很高的人； 7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?”两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4?A，等等。 练：A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32?A. 8.空集：是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 空集不是无；它是内部没有元素的集合。可以将集合想象成一个装有元素的袋子，而空集的袋子是空的，但袋子本身确实是存在的。 用符号?或者{ }表示。 集合章节复习 1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性． 2．元素与集合有且只有两种关系：∈，?.（属于、不属于） 3．集合表示方法有列举法，描述法，韦恩图法，常用数集字母代号．4．集合间的关系与集合的运算 符号定义Venn图子集A?B x∈A?x∈B 真子集A B A?B且存在x0∈B但x0?A 并集A∪B {x|x∈A或x∈B} 交集A∩B {x|x∈A且x∈B} 补集?U A(A?U) {x|x∈U且x?A} 5.常用结论 (1)??A. (2)A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝A?A?B. (3)A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝A?A?B. (4)A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?； ?U(?U A)＝A. 1．若A ＝{} x ，|x |，则x <0.( √ ) 2．任何集合至少有两个子集．( × ) 3．若{} x |ax 2＋x ＋1＝0有且只有一个元素，则必有Δ＝12－4a ＝0.( × ) 4．设A ，B 为全集的子集，则A ∩B ＝A ?A ∪B ＝B ??U A ??U B .( √ ) 类型一 集合的概念及表示法 例1 下列表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(2,1)，(3,2)}，N ＝{(1,2)} B ．M ＝{2,1}，N ＝{1,2} C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈N } D ．M ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R } 答案 B 解析 A 选项中M ，N 两集合的元素个数不同，故不可能相同； B 选项中M ，N 均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M ＝N ； C 选项中M ，N 均为数集，显然有N M ； D 选项中M 为点集，即抛物线y ＝x 2－1上所有点的集合，而N 为数集，即抛物线y ＝x 2－1的值域，故选B. 反思与感悟 要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等． 跟踪训练1 设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝0}，B ＝{(x ，y )|2x －3y ＋4＝0}，则A ∩B ＝________. 答案 {(4,4)} 解析 由????? x －y ＝0，2x －3y ＋4＝0，得????? x ＝4， y ＝4. ∴A ∩B ＝{(4,4)}． 高中数学必修一——集合 一、填空题 1．集合{1，2，3}的真子集共有______________。 （A ）5个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个 2．已知集合A={022≥-x x } B={0342≤+-x x x }则A B ?=______________。 3．已知A={1，2，a 2-3a-1},B={1,3},A =?B {3,1}则a =______________。 （A ）-4或1 （B ）-1或4 （C ）-1 （D ）4 4.设U={0，1，2，3，4}，A ={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（C U A ）?（C U B ）=_____________。 5．设S 、T 是两个非空集合，且S ?T ，T ?S ，令X=S ,T ?那么S ?X=____________。 6．设A={x 0152=+-∈px x Z },B={x 052=+-∈q x x Z },若A ?B={2,3,5},A 、B 分别为____________。 7．设一元二次方程ax 2+bx+c=0(a<0)的根的判别式042 =-=?ac b ，则不等式ax 2+bx+c ≥0的解集为____________。 8．若M={Z n x n x ∈=,2 }，N={∈+=n x n x ,21Z}，则M ?N=________________。 9．已知U=N ，A={0302>--x x x }，则C U A 等于_______________。 10．二次函数132 +++-=m mx x y 的图像与x 轴没有交点，则m 的取值范围是_______________。 11．不等式652+-x x 》 第一章集合与函数概念 §集合 1．集合的含义与表示 第1课时集合的含义 课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用． 1．元素与集合的概念 · (1)把________统称为元素，通常用__________________表示． (2)把________________________叫做集合(简称为集)，通常用____________________ 表示． 2．集合中元素的特性：________、________、________. 3．集合相等：只有构成两个集合的元素是______的，才说这两个集合是相等的．4 — 5. ____ 一、选择题 1．下列语句能确定是一个集合的是( ) ! A．著名的科学家 B．留长发的女生 C．2010年广州亚运会比赛项目 D．视力差的男生 2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是( ) A．0∈A B．a?A C．a∈A D．a＝A 3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( ) # A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( ) A．1 B．－2 C．6 D．2 5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为( ) A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3均可 6．由实数x、－x、|x|、x2及－3 x3所组成的集合，最多含有( ) # A ．2个元素 B ．3个元素 C ．4个元素 D ．5个元素 二、填空题 7．由下列对象组成的集体属于集合的是______．(填序号) ①不超过π的正整数； ②本班中成绩好的同学； ③高一数学课本中所有的简单题； ④平方后等于自身的数． @ 8．集合A 中含有三个元素0,1，x ，且x 2 ∈A ，则实数x 的值为________． 9．用符号“∈”或“?”填空 －2_______R ，－3_______Q ，－1_______N ，π_______Z . 三、解答题 10．判断下列说法是否正确并说明理由． (1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合； (3)1,，32，1 2组成的集合含有四个元素； ^ (4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合． ` 11．已知集合A 是由a －2,2a 2 ＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a . ' 。 能力提升 12．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少 高中数学复习讲义 第一课时函数概念及其性质 第1课 函数的概念 【基础练习】 1． 设有函数组：①y x = ，y = y x = ，y = ；③y ，y = ；④1(0),1 (0), x y x >?=?- (3) ()1f x x =+，(1,2]x ∈． 值域是(2,3]． 【范例解析】 例 1.设有函数组：①21 ()1 x f x x -=-，()1g x x =+； ②()f x = ， ()g x = ③()f x =()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个函数的有 ． 例2.求下列函数的定义域：① 12y x =+- ② ()f x = 例3.求下列函数的值域： （1）242y x x =-+-，[0,3)x ∈； （2）2 2 1 x y x =+()x R ∈； （3 ）y x =- 【反馈演练】 1．函数f (x )＝x 21-的定义域是___________． 2．函数) 34(log 1 )(2 2-+-= x x x f 的定义域为_________________． 3. 函数2 1 ()1y x R x = ∈+的值域为________________． 4. 函数23y x =-+_____________． 5．函数)34(log 25.0x x y -= 的定义域为_____________________． 6.记函数f (x )=1 3 2++- x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． (1) 求A ； (2) 若B ?A ，求实数a 的取值范围． 知识点3、集合间的基本关系知识梳理 1、子集的概念 定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集 图示 结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A. (2)对于集合A，B，C，若A?B，且B?C，则A?C 2、集合相等的概念 如果集合A是集合B的子集(A?B)，且集合B是集合A的子集(B?A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B. 3、真子集的概念 (1)A?B且B?C，则A?C；(2)A?B且A≠B，则A?B 常考题型 题型一、集合间关系的判断 例1、(1)下列各式中，正确的个数是() ①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}?{2,1,0}；③??{0,1,2}；④?＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0} A．1B．2 C．3 D．4 (2)指出下列各组集合之间的关系： ①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； ②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； ③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 判断集合间关系的方法 (1)用定义判断． 首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A?B，否则A不是B的子集； 其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B?A，否则B不是A的子集； 若既有A?B，又有B?A，则A＝B. (2)数形结合判断． 对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍． 变式训练 能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是() A. B. C. D. 题型二、有限集合子集的确定 例2、(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是() A．6 B．7 C．8 D．9 (2)满足{1,2}?≠M?{1,2,3,4,5}的集合M有________个． 公式法求有限集合的子集个数 (1)含n个元素的集合有2n个子集． (2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集． (3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集． (4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集． (5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A?B?C，则符合条件的集合B有2m－n个．变式训练 非空集合S?{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个． 题型三、集合间关系的应用 例3、已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，求实数a的取值范围． 第四讲函数的概念与表示 一．知识归纳： 1．映射 （ 1）映射：设 A 、 B 是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合 A 中的任一个 元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及 A到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f ： A→B。 （ 2）象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么集合 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象， a 叫做 b 的原象。 注意：（ 1）对映射定义的理解。（ 2）判断一个对应是映射的方法。 2．函数 （ 1）函数的定义 ①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是 x 的函数， x 叫作自变量。 ②近代定义：设 A 、 B 都是非空的数的集合，f： x→y是从 A 到 B 的一个对应法则，那么从 A 到 B 的映射 f ： A→B就叫做函数，记作y=f(x) ，其中 x∈ A,y ∈ B，原象集合 A 叫做函数的定义域，象集合 C 叫做函数的值域。 注意：①C B; ② A,B,C 均非空 （ 2）构成函数概念的三要素：①定义域②对应法则③值域 3．函数的表示方法：①解析法②列表法③图象法 注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。 二．例题讲解： 【例 1】下列各组函数中，表示相同函数的是（） (A) f(x)=lnx 2,g(x)=2lnx (B)f(x)= a log a x (a>0 且 a≠1),g(x)=x (C) f(x)= 1 x 2 , g(x)=1 - |x| (x ∈[ - 1,1]) (D) f(x)= log a a x (a>0 且 a≠1),g(x)= 3 x3 解答：选D 点评：判断两个函数是否相同主要是从定义域、对应法则两个方面加以分析。 变式：下列各对函数中，相同的是（ D ） (A) f(x)= x 2, g(x)=x (B)f(x)=lgx 2 ,g(x)=2lgx (C)f(x)= lg x 1 , g(x)=lg(x - 1)- lg(x+1) (D) f(x)= 1 u 1 v 1 , g(x)= v x 1 u 1 【例 2】（ 1）集合 A={3,4},B={5,6,7} ，那么可以建立从 A 到 B 的映射的个数是；从B 到 A 的映射的个数是。 （ 2）设集合 A 和 B 都是自然数集合N，映射 f：A→B把集合 A 中的元素 n 映射到集 合 B 中的元素2n+n，则在映射 f 下，像20 的原象是。 解答：（ 1）从 A 到 B 可分两步进行，第一步 A 中的元素 3 可有 3 种对应方法（ 5 或 6 精选 第一章集合与常用逻辑用语 1．集合 (1)集合的含义与表示 ①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系． ②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． (2)集合间的基本关系 ①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． ②在具体情境中，了解全集与空集的含义． (3)集合的基本运算 ①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． ②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． ③能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算． 2．常用逻辑用语 (1)理解命题的概念． (2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． (3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义． (4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． (5)理解全称量词和存在量词的意义． (6)能正确地对含一个量词的命题进行否定． 1．1 集合及其运算 1．集合的基本概念 (1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________． (2)集合中元素的三个特性：______，______，_________. (3)集合常用的表示方法：________和________． 2 3.元素与集合、集合与集合之间的关系 (1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a ________集合A，记作________；如果a 不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________． (2)集合与集合之间的关系： 相等集合A与集合B中的所有元素都 相同 __________ ?A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素________或________ 真子集 A中任意一个元素均为B中的元 素，且B中至少有一个元素不是A 中的元素 ________或________ 空集空集是任何集合的子集，是任何 ______的真子集 ??A，?B (B≠?) 结论：集合{a1，a2，…，a n}的子集有______个，非空子集有________个，非空真子集有________个． 集合的并集集合的交集集合的补集 符号表示若全集为U，则集合A 的补集记为________ Venn图表示(阴影部分) 意义 5.集合运算中常用的结论 (1)①A∩B________A；②A∩B________B； ③A∩A＝________；④A∩?＝________； ⑤A∩B________B∩A. (2)①A∪B________A; ②A∪B________B； ③A∪A＝________；④A∪?＝________； ⑤A∪B________B∪A. (3)①?U(?U A)＝________； ②?U U＝________； ③?U?＝________； ④A∩(?U A)＝________； ⑤A∪(?U A)＝________. (4)①A∩B＝A?________?A∪B＝B； 高一数学必修1第一章：集合概念 集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队 员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 u 注意：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集) 记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1) 列举法：{a,b,c……} 2) 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xÎR| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4) Venn图: 4、集合的分类： (1) 有限集含有有限个元素的集合 (2) 无限集含有无限个元素的集合 (3) 空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意： 有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。AÍA ②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果AÍB, BÍC ,那么AÍC ④如果AÍB 同时BÍA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的 心智家三优教育高一特训营数学教学进度表 ¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、 集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. ¤知识要点： 1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性. 2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ???，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集. 3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ???表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或 N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R . 4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、?表示，例如3N ∈， 2N -?. ¤例题精讲： 【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B . 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2 y x =的自变量的值组成的集合. *【例4】已知集合2{| 1}2 x a A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ． 集合 1.1 集合的含义与表示 (2) 1.11 集合的含义 (2) 1.12集合的表示 (5) 1.2 子集、全集、补集 (9) 1.3 交集、并集 (13) 第一章集合 1.1 集合的含义与表示 1.11 集合的含义 一、知识梳理 1．集合的含义：一些元素组成的构成一个集合(set).注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述. （2）集合是一个“整体. （3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的2．集合中的元素： 集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）.简称元.集合一般用大写拉丁字母表示，如集合A, 元素一般用小写拉丁字母表示.如a,b,c……等. 思考:构成集合的元素是不是只能是数或点？ 【答】 3．集合中元素的特性： （1）确定性.设A 是一个给定的集合，x是某一元素，则x是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立. （2）互异性.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的. （3）无序性.集合与其中元素的排列次序无关. 4．常用数集及其记法： 一般地，自然数集记作____________正整数集记作__________或___________整数集记作________有理数记作_______实数集记作________ 5．元素与集合的关系： 如果a是集合A的元素，就记作__________ 读作“___________________”； 如果a不是集合A的元素，就记作______或______读作“_______________”； 6．集合的分类： 按它的元素个数多少来分： （i） _________________叫做有限集； （ii）________________________叫做无限集； （iii） _______________叫做空集，记为_____________ 二、例题讲解 1、运用集合中元素的特性来解决问题 例1．下列研究的对象能否构成集合 （1）世界上最高的山峰（2）高一数学课本中的难题（3）中国国旗的颜色 （4）book中的字母（5）立方等于本身的实数 （6）不等式2x-8<13的正整数解 【解】 点评:判断一组对象能否组成集合关键是能否找到一个明确的标准，按照这个确定的标准，它要么是这个集合的元素，要么不是这个集合的元素，即元素确定性. 例2：集合M中的元素为1，x，x2-x，求x的范围？ 分析：根据集合中的元素互异性可知：集合里的元素各不相同，联列不等式组. 高三数学一轮复习（集合、常用逻辑用语01） 【复习课题】集合的概念及运算(1) 【复习要求】 1．了解集合的概念，理解子集、交集、并集、补集的概念；明确子集、真子集相等的定义及它们之间的区别与联系；弄清元素与集合、集合与集合的关系。 2．了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义。 3．掌握有关的术语和符号，会用它们正确表示一些简单的集合。 【复习过程】 (1)一般地，我们把研究对象统称为，把一些元素组成的总体叫做，简称． (2)集合中的元素有三个特点：①；②；③． (3)集合中元素与集合的关系分为和两种，分别用和来表示． 集合有三种表示方法：、、。 注意：区分集合中元素的形式：如：A＝{x|y＝2x＋2x＋1}；B＝{y|y＝2x＋2x＋1}；C＝{(x，y)|y＝2x＋2x＋1}；D＝{x|x＝2x＋2x＋1}；E＝{(x，y)|y＝2x＋2x＋1，x∈Z，y∈Z}；F＝{(x，y)|y＝2x＋2x＋1} 2．集合间的基本关系 (1)一般地，对于两个集合A、B，如，我们就说这两个集合有 包含关系，称集合A为集合B的子集，记作. (2)对于两个集合A、B，若且，则称集合A与集合B相等． (3)如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，我们称集合A是集合B的， 记作. 注意：条件为A?B，在讨论的时候不要遗漏了A＝φ的情况． (4)不含任何元素的集合叫做，记作，并规定：空集是任何集合的子集． 思考：{0}与φ有什么区别？ (5)若A含有n个元素，则A的子集个数为个，A的非空子集个数为个，A的非 空真子集个数为个． 3．集合的基本运算 (1)一般地，由所有的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集， 记作A∪B，即：A∪B＝． (2)一般地，由的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作 A∩B，即：A∩B＝． (3)如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为，通常 记作. (4)对于一个集合A，由全集U中的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集，记作?UA，即?UA＝． (5)A∩B＝A?，A∪B＝A?. 4．集合的运算性质 A∪φ＝，A∪A＝，A∪B＝， A∩φ＝， A∩A＝，A∩B＝， A∪(?UA)＝，A∩(?UA)＝，?U(?UA)＝. 1．由实数33 2, |, |, ,x x x x x- -组成的集合中，最多含有元素个 2．集合{x|x>1且x≤3，x∈N}中的元素有 3．已知集合S＝{x|x≤5 2}，又a＝3，则a与S的关系为 4．设集合A＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝n＋1，n∈Z}，则集合A，B的关系是 5．已知集合M＝{x|－3 第一章 集合与简易逻辑 一、基础知识 定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记 为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ?。例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、 整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用?来表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。 定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ?，例如Z N ?。规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。 定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且I 定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或Y 定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ?∈=?且则称为A 在I 中的补集。 定义6 差集，},{\B x A x x B A ?∈=且。 定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合 },,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞ 定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有： （1）);()()(C A B A C B A I Y I Y I = （2）)()()(C A B A C B A Y I Y I Y =； （3）);(111B A C B C A C I Y = （4）).(111B A C B C A C Y I = 【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。 （1）若)(C B A x Y I ∈，则A x ∈，且B x ∈或C x ∈，所以)(B A x I ∈或)(C A x I ∈，即)()(C A B A x I Y I ∈；反之，)()(C A B A x I Y I ∈，则)(B A x I ∈或)(C A x I ∈，即A x ∈且B x ∈或C x ∈，即A x ∈且)(C B x Y ∈，即).(C B A x Y I ∈ （3）若B C A C x 11Y ∈，则A C x 1∈或B C x 1∈，所以A x ?或B x ?，所以)(B A x I ?，又I x ∈，所以)(1B A C x I ∈，即)(111B A C B C A C I Y ?，反之也有 .)(111B C A C B A C Y I ? 定理2 加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N +++=Λ21种不同的方法。 定理3 乘法原理：做一件事分n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，…，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N ???=Λ21种不同的方法。 二、方法与例题 1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。 例1 设},,{2 2Z y x y x a a M ∈-==，求证： （1）)(,12Z k M k ∈∈-；高中数学必修1-第一章集合测试题
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