专题05 立体几何(讲)-2017年高考数学(文)二轮复习讲练测 Word版含解析
考向一空间几何体
1.讲高考
【考纲要求】
空间几何体
①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.
③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.
④会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.
⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.
【命题规律】
该部分的命题通常围绕三个点展开．第一点是围绕空间几何体的三视图，设计由空间几何体的三视图判断空间几何体的形状，由其中的一个或者两个视图判断另外的视图等问题，其目的是考查对三视图的理解和空间想象能力；第二点是围绕空间几何体的表面积和体积展开，设计根据已知的空间几何体求空间几何体的表面积或体积的问题，其中空间几何体一般以三视图的形式给出，目的是考查空间想象能力和基本的运算求解能力；第三点是围绕多面体和球展开，设计求多面体的外接球的表面积、体积或者计算球的内接多面体的相关元素等问题，目的是考查空间想象能力、逻辑推理能力和基本的运算求解能力．
空间几何体的三视图成为近几年高考的必考点，文、理科均考，单独考查三视图的逐渐减少，主要考查由三视图求原几何体的面积、体积、文科求体积占多数，理科则求面积居多，主要以选择题、填空题的形式考查，预测2017年高考会出现给出几何体的三视图，求原几何体的表面积或体积的选择题或填空题
例1【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.
若该几何体的体积是28
3
,则它的表面积是（）
（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】A
例2【2016高考北京文数】某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.
【答案】3.2
【解析】四棱柱高为1，底面为等腰梯形，面积为13(12)122?+?=
，因此体积为3.2
2.讲基础
1．多面体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都平行且______，上下底面是全等且______的多边形． (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个____________的三角形． (3)棱台可由平行于_____的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形． 2．旋转体的结构特征
(1)圆柱可以由矩形绕其____________旋转得到．
(2)圆锥可以由直角三角形绕其____________旋转得到．
(3)圆台可以由直角梯形绕____________或等腰梯形绕________________旋转得到，也可由____________于圆锥底面的平面截圆锥得到．
(4)球可以由半圆面或圆面绕____________旋转得到．
3．空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用正投影得到的，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是____________的，三视图包括____________、____________、____________．
4．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用________画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面____________．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别____________坐标轴．平行于y轴和z轴的线段在直观图中保持原长度____________，平行于x轴的线段长度在直观图中变为____________．
【答案】1.（1）相等平行（2）公共顶点（3）底面
2. （1）任一边（2）任一直角边（3）直角腰上下底中点连线平行（4）直径
3. 完全相同主视图左视图俯视图
4. 斜二测（1）垂直（2）平行于不变原来的一半.
3.讲典例
【例1】【广东省惠州市2017届第二次调研考试】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（）
（A
（B
1
正视图侧视图俯视图
（C （D ）外接球的表面积为4π 【答案】B
【趁热打铁】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ） A ． B ．
13 C ．12 D ．32
【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面积111=?=S ，高1=h ，四棱锥的体积Sh V 3
1
=
3
1
1131=??=，故答案为B. 【例2】【吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测（一）】某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（ ） A ．342π+
B ．63π+
C ．362π+
D ．3
122
π+
【答案】C
【解析】由题意，此模型为柱体，底面大小等于主视图面积大小，即几何体体积为
211
(122)322
V π=?+???，故选C.
【趁热打铁】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
（A ）1（B ）2+
（C ）1+（D ）
【答案】B
4.讲方法
（1）空间几何体的三视图
①三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，正侧一样高，俯侧一样宽，即“长对正，高平齐，宽相等”．
②三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．
③画三视图时，可见的轮廓线用实线画出，被遮挡的轮廓线，用虚线画出.
（2）空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．
（3）解决组合体体积的基本方法就是“分解”，将组合体分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其一个部分，分别计算其体积，然后根据组合体的结构，将整个的体积转化为这些“部分体积”的和或差．
5.讲易错
【题目】已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_______3
m ．
俯视图
侧视图
正视图
【错解】由三视图可知该几何体是组合体，其中下半部分是底面半径为1，高为4的圆柱，上半部分是底面半径为2，高为2的圆锥，其体积为πππ12224122=??+??（3
m ）． 【错因】棱锥、球的体积公式容易忽视公式系数.
【正解】由三视图可知该几何体是组合体，其中下半部分是底面半径为1，高为4的圆柱，上半部分是底面半径为2，高为2的圆锥，其体积为3
2022314122
πππ=???+
??（3
m ）． 【反思提升】由三视图还原空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑．根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体的实际形状时，一般以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．
考向二 点、直线、平面之间的位置关系 1.讲高考
【考纲要求】
点、直线、平面之间的位置关系
①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：
②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.
③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 【命题规律】
该部分的命题主要在三个点展开．第一点是围绕空间点、直线、平面的位置关系展开，设计位置关系的判断、简单的角与距离计算等问题，目的是考查对该部分基础知识的掌握情况及空间想象能力，这类试题多为选择题或者填空题；第二点是围绕空间平行关系和垂直关系的证明，设计通过具体的空间几何体证明其中的平行关系、垂直关系的问题，目的是考查运用空间位置关系的相关定理、推理论证的能力及空间想象能力，这类试题多数是解答题组成部分；第三个点是围绕空间角与距离展开(特别是围绕空间角)，设计求解空间角的大小、根据空间角的大小求解其他几何元素等问题，目的是综合考查利用空间线面位置关系的知识综合解决问题的能力，这类试题多数是解答题的重要组成部分．
高考对空间点、线、面位置关系的考查主要有两种形式：一是对命题真假的判断，通常以选择题、填空题的形式考查，难度不大；二是在解答题中考查平行、垂直关系的证明、常以柱体、锥体为载体，难度中档偏难，预测2017年考查三视图与柱体、锥体的综合问题．
例1【2016高考浙江文数】已知互相垂直的平面αβ，交于直线l.若直线m ，n 满足m∥α，n⊥β，则（ ） A.m∥l
B.m∥n
C.n⊥l
D.m⊥n
【答案】C
【解析】由题意知,l l αββ=∴? ，,n n l β⊥∴⊥ ．故选C ．
例2【2016高考新课标2理数】 ,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥. （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα?，那么//m β.
（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④
2.讲基础
（1）线面平行与垂直的判定定理、性质定理
（3）平行关系及垂直关系的转化示意图
3.讲典例
【例1】对于直线m ，和平面α，β，αβ⊥的一个充分条件是（ ）
.A m n ⊥，m αβ= ，n α? .B m n ⊥，//m α，//n β .C //m n ，n β⊥，m α? .D //m n ，m α⊥，n β⊥
【答案】C .
【解析】
【趁热打铁】设m n ，是两条不同的直线, αβ，是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （ ） A ．若αβ⊥,,m n αβ??,则m n ⊥ B ．若α∥β,,m n αβ??,则∥m C ．若m n ⊥,,m n αβ??,则αβ⊥ D ．若m α⊥,∥m ,∥β,则αβ⊥
【答案】D.
【解析】位于两个互相垂直的平面内的两条直线位置关系不确定，故A 错；分别在两个平行平面内的两条直线可平行也可以异面，故B 错；由m α⊥,∥m 得n α⊥，因为∥β,设,n l γλβ?= ，则//n l ，从而l α⊥，又l β?，故αβ⊥，D 正确．
【例2】【2016高考北京文数】如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥ （I ）求证：DC PAC ⊥平面； （II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；
（III ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面C F E ?说明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（III ）存在.理由见解析.
【趁热打铁】如图，在四棱锥ABCD P -中，已知底面ABCD 为矩形，
⊥PA 平面PDC ,点E 为棱PD 的中点，
求证：（1）//PB 平面EAC ；（2）平面⊥PAD 平面ABCD .
O
P
A
B
C
D
E
【答案】见解析.
因为CD ?平面ABCD ，所以 平面PAD⊥平面ABCD ． …………………14分
4.讲方法
(1)点共线问题的证明方法：
证明空间点共线，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再依据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．
(2)线共点问题的证明方法：
证明空间三线共点，先证两条直线交于一点，再证第三条直线经过这点，将问题转化为证明点在直线上．
(3)点线共面问题的证明方法：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；
②辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证明其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合．（4）平行问题的转化关系：
（5）直线与平面平行的重要判定方法：
①定义法；②判定定理；③面与面的平行性质．
（6）证明面面平行的方法有：
①面面平行的定义；
②面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
③利用垂直于同一条直线的两个平面平行；
④如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；
⑤利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
（7）证线面垂直的方法有：
①利用判定定理，它是最常用的思路．
②利用线面垂直的性质：若两平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面．
③利用面面垂直的性质：（i）两平面互相垂直，在一个面内垂直于交线的直线垂直于另一平面．
(ii)若两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．
(8) 判定面面垂直的方法:①掌握证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用判定定理来证明．也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义来证明．
②已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得出结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．
（9）在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线；若是给出了一些比例关系，则通过比例关系证明线线平行。线线平行是平行关系的根本。
在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直．
5.讲易错
【题目】异面直线,a b 所成的角为，过空间中定点P ，与,a b 都成60?角的直线有四条，则的取值范围是 ． 【错解】将异面直线b a ,平移使它们相交点O ，如图平移后的直线分别用CD AB ,表示，作
ABCD SO 平面⊥,则θ=∠BOC ,满足与,a b 都成60?角的直线有四条，所以必须在区域
SOAB,SOBC,SOCD,SOAD 内各有一条直线与AC,BD 成60°角，当0
60<θ时，在区域SOAB 没有满足条件的直线，当0
60=θ，在区域SOAB 满足条件的直线只能在平面ABCD 内，此时只能有3条，所以0
60>θ，所以的取值范围是)180,0(00.
【错因】没有注意到两直线所成角的范围是(]
0090,0。
【正解】将异面直线b a ,平移使它们相交点O ，如图平移后的直线分别用CD AB ,表示，作
ABCD SO 平面⊥,则θ=∠BOC ,满足与,a b 都成60?角的直线有四条，所以必须在区域
SOAB,SOBC,SOCD,SOAD 内各有一条直线与AC,BD 成60°角，当0
60<θ时，在区域SOAB 没有满足条件的直线，当0
60=θ，在区域SOAB 满足条件的直线只能在平面ABCD 内，此时只能有3条，所以0
60>θ，因为异面直线所成的角的范围(]
0090,0，所以的取值范围是(60,90] .
误区警示：在空间中线线平行和面面平行都有传递性，但线面平行没有传递性．在空间中任意平移两条直
线不改变两条直线所成的角，同时注意两直线所成角的范围是?
?????0，π2.两异面直线所成的角归结为一个三角
形中的内角时，容易忽视这个三角形中的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.