江苏省淮安市2012届高三数学第四次调研测试试题

江苏省淮安市2012届高三第四次调研测试数学试题

11．已知△ABC 中，角C B A ,,所对边分别为c b a ,,，若tan 21tan A c

B b +=

．则2a bc

的最小值为 ▲ ． 14．已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，111

10a b c

++=，则abc 的最小值为 ▲ ．

二、解答题： 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答．题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明，求证过程或演算步骤． 18． (本小题满分16分)

如图，椭圆2

2221y x a b

+=(a >b >0)的上、下两个顶点为A 、B ，直线l ：2y =-，点P 是椭圆上异于

点A 、B 的任意一点，连接AP 并延长交直线l 于点N ，连接PB 并延长交直线l 于点M ，设AP 所在

的直线的斜率为1k ，BP 所在的直线的斜率为2k

，且过点(01)A ,

． （1）求21k k ?的值；

（2）求MN 的最小值；

（3）随着点P 的变化，以MN 为直径的圆是否恒过定点， 若过定点，求出该定点，如不过定点，请说明理由． 19． (本小题满分16分)

已知函数()21,,

442,x x a

x ax x a f x x a

-?-+?=?-?

(2) 若4a -≥时，函数()f x 在实数集R 上有最小值，求实数a 的取值范围． 20． (本小题满分16分)

已知数列}{n a ，{}n b ，且满足1n n n a a b +-=（1,2,3,n = ）. （1）若10,2n a b n ==，求数列}{n a 的通项公式；

（2）若11(2)n n n b b b n +-+=≥，且121,2b b ==.记61(1)n n c a n -=≥，求证：数列}{n c 为常数列；

（3）若11(2)n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==.若数列}{n

a n

中必有某数重复出现无数次，求首项1a 应满足的条件. 23．（本题满分10分）

已知x x p =)(，n n x x f )1()(+=．

（1）若567()(1)()(2)()(3)()g x p f x p f x p f x =++，求)(x g 的展开式中5

x 的系数； （2）证明：1

1212

1)1(32++-++++++=

++++m n m m

n m m

m m

m m

m C m n m nC C C C ,(*∈N n m ,) ．

淮安市2011—2012学年度高三年级第三次调研测试

数学试题参考答案与评分标准 2012年５月

数学Ⅰ 必做题部分

一、填空题

11．1． 14．1

32

．

二、解答题 18．（1）因为c e a =

=，1b =，解得2a =， 所以椭圆C 的标准方程为2

214

x y +=．……………2分

设椭圆上点()00,P x y ，有22

0014

x y +=， 所以2000122

0001111

4

y y y k k x x x -+-?=?==-．…………4分 （2）因为,M N 在直线l ：2y =-上，所以设()1,2M x -，()2,2N x -，由方程2

214

x y +=知，()()0,1,0,1A B -，

所以1212

2(1)2(1)3

00BM AN k k x x x x ----+-?=

?=

--，……………………………………………………6分 又由（1）知121

4

AN BM k k k k ?=?=-，所以1212x x =-，…………………………………………8分

不妨设10x <，则20x >

，则12212212MN x x x x x x =-=-=+=≥

所以当且仅当21x x =-=MN

取得最小值…………………………………………10分 （3）设()1,2M x -，()2,2N x -，

则以MN 为直径的圆的方程为()()()2

1220x x x x y --++=……………………………………12分 即()()2

2122120x y x x x ++--+=，圆过定点，必与12x x +无关， 所以有()2

20,2120x x y =++-=

，解得定点坐标为(0,2-±，

所以，无论点P 如何变化，以MN

为直径的圆恒过定点(0,2-±．………………………16分 19． (1) 因为x a <时，()442x x a f x -=-?，所以令2x

t =，则有02a

t <<， ()1f x <当x a <时恒成立，转化为241

2a t t -?

<，即412a t t

>-在()

0,2a

t ∈上恒成立，………2分 令p (t )＝t －1t ，()0,2a t ∈，则()2110p t t

'=+>，所以p (t )＝t －1t 在()

0,2a

上单调递增，

所以

41222

a a a >-

，所以2a

2log a ≤ ……………………………………6分 (2) 当x a ≥时，()2

1f x x ax =-+，即()2

2124a a f x x ??=-+- ???

，

当0a ≥时，即2

a

a ≥

，()min 1f x =； 当40a -<≤时，即2a a >，()2

min 14

a f x =-．……………………………………………9分

当x a <时，()442

x

x a

f x -=-?，令2x

t =，(

)0,2

a

t ∈，则()2

2

424

224

a

a a h t t

t t ??=-=-- ???， 当12a >

时，即222a

a >，()min 44a h t =-； 当12a ≤时，即222

a a ≤，()()44,0a

h t ∈-，此时()h t 无最小值；……………………12分

所以，当12a >时，即414a >-，函数()min 4

4

a f x =-；

当102

a ≤≤

时， 4401a

-<<，函数()f x 无最小值； 当40a -<≤时， 2

44314

a

a -<--≤，函数()f x 无最小值．…………………………15分

综上所述，当12a >

时，函数()f x 有最小值为44

a -；当1

42a -≤≤时，函数()f x 无最小值． 所以函数()f x 在实数集R 上有最小值时，实数a 的取值范围为1,2??

+∞ ???

．……………16分 20．（1）当2n ≥时，有

121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++- 1121n a b b b -=++++ ……………………1分

2(1)022

n n

n n -?=+?

=-，11=a 也满足上式， 所以数列}{n a 的通项为2n a n n =-. ………………………………………………………3分

（2）因为11(2)n n n b b b n +-+=≥，

所以对任意的n ∈*

N 有654312n n n n n n n b b b b b b b ++++++=-=-=-=，

所以数列{}n b 是一个以6为周期的循环数列……………………………………………………5分 又因为121,2b b ==，所以3214325436541,1,2,1b b b b b b b b b b b b =-==-=-=-=-=-=- 所以 1656165646463661n n n n n n n n n n c c a a a a a a a a ++-++++--=-=-+-++-

64636261661432165n n n n n n b b b b b b b b b b b b ++++-=+++++=+++++

1121210=-+++--=(1)n ≥，

所以数列}{n c 为常数列. ……………………………………………………………………7分

（3）因为11(2)n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==，所以345611

2,1,,22

b b b b ====，

且对任意的n ∈*

N ，有516432

1

n n n n n n n b b b b b b b ++++++=

===， 设6(0)n n i c a n +=≥，（其中i 为常数且}6,5,4,3,2,1{∈i ），所以

166666162636465n n n i n i n i n i n i n i n i n i c c a a b b b b b b +++++++++++++++-=-=+++++

()12345611

12217022

b b b b b b n =+++++=++++

+=≥， 所以数列}{6i n a +均为以7为公差的等差数列.……………………………………………10分

记n n a f n =，则6777(6)7766666666i i k i i k i i i k a a a a k f k i i k i k i k

+++--

+===

=+++++，

（其中i k n +=6)0(≥k ，i 为}6,5,4,3,2,1{中的一个常数）， 当76i i

a =

时，对任意的i k n +=6有n

a n 76=；…………………………………………12分 当76i i a ≠时，177666(1)6i i k k i i

a a f f k i k i +-

-

-=-+++711()()66(1)6i

i a k i k i

=--+++ 76

()()6[6(1)](6)

i i a k i k i -=-

+++ ①若76i i

a >，则对任意的k ∈N 有k k f f <+1，数列}6{6i k a i k ++为单调减数列； ②若76i i

a <，则对任意的k ∈N 有k k f f >+1，数列}6{6i

k a i k ++为单调增数列； 综上，当()71,2,3,4,5,66i i

a i =

=时，数列}{n

a n 中必有某数重复出现无数次……………14分 当1i =时，176a =符合要求；当2i =时，272763a ?==符合要求，此时的12143a a

b =-=； 当3i =时，373762a ?=

=符合要求，此时的23212131

,22a a b a a b =-==-=； 当4i =时，4741463a ?==符合要求，此时的143211

3a a b b b =---=-； 当5i =时，5753566a ?==符合要求，此时的15432116a a b b b b =----=-； 当6i =时，67676a ?=

=符合要求，此时的16543211

2

a a

b b b b b =-----=； 即当174111

{,,,,}63236a ∈--时，数列}{n

a n 中必有某数重复出现无数次.………………………16分

23．（1）由已知得)(x g 7

6

5

)1(3)1(2)1(x x x +++++=

)(x g 的展开式中5x 的系数为57

565532C C C ++=76 …………………………………3分 （2）由（1）知m

n m m m m m m m nC C C C 12132-+++++++ 应当为函数

121)1()1(3)1(2)1()(-+++++++++++=n m m m m x n x x x x h 展开式中m x 的系数………5分

又n m m m m x n x x x x h x ++++++++++++=+)1()1(3)1(2)

1()()1(321

两式相减得

121()(1)(1)(1)(1)(1)m m m m n m n xh x x x x x n x +++-+-=++++++++-+

(1)[1(1)](1)1(1)

m n m n x x n x x ++-+=-+-+…………………………………………………7分

所以n m n m m x nx x x x h x +++++-+=)1()1()1()(2

所以)(x h 展开式中m x 的系数等于)(2x h x 展开式中2m x +的系数 ……………………………9分 因为此系数为1

1

2

2

1)1(+++++++++=+-m n m m n m m n m C m n m nC C

所以11

2

12

1)1(32++-++++++=++++m n m m

n m m

m m

m m

m C m n m nC C C C ,(*∈N n m ,)………………10分