最新华师版九年级数学上册单元测试题及答案全套
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第21章达标检测卷
(120分，90分钟)
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列式子中一定是二次根式的是()
A.a＋1
B.a2－1
C.1
a D.a
2
2．若式子
m＋1
m－1
有意义，则m的取值范围为()
A．m＞－1 B．m≥－1
C．m≥－1且m≠1 D．m＞－1且m≠1 3．下列计算正确的是()
A.2＋3＝5
B.2·3＝ 6
C.8＝4
D.（－3）2＝－3
4．下列二次根式是最简二次根式的是()
A. 1.5
B.45
C.1
2D.x
2＋y2
5．(2014·福州)若(m－1)2＋n＋2＝0，则m＋n的值是() A．－1 B．0 C．1 D．2
6．下列说法正确的是()
A．被开方数相同的两个最简二次根式一定是同类二次根式B.8与80是同类二次根式
C.2与1
50不是同类二次根式
D．同类二次根式是根指数为2的根式
7．已知a－b＝23－1，ab＝3，则(a＋1)(b－1)的值为()
A．－3B．33C．33－2 D.3－1
8．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a－1|＋a2的结果是()
A ．－1
B ．2a
C ．1
D ．2a －1
9．若3的整数部分为x ，小数部分为y ，则3x －y 的值是( ) A ．33－3 B .3C ．1 D ．3 10．观察下列等式：①1＋112＋122＝1＋11－11＋1＝112
；②1＋122＋132＝1＋12－12＋1＝11
6
；③
1＋132＋142＝1＋13－13＋1＝1112.根据上面三个等式提供的信息，请猜想1＋142＋1
5
2的结果为( ) A ．114B ．115C ．119D ．1120
二、填空题(每题3分，共30分)
11．(2015·盐城)若二次根式x －1有意义，则x 的取值范围是________． 12．(2015·哈尔滨)计算：24－3
2
3
＝________． 13．使12n 是整数的最小正整数n ＝________． 14．化简：(2－a)2＋（a －2）2＝________． 15．(2015·聊城)计算：(2＋3)2－24＝________．
16．定义运算符号“☆”的运算法则为x ☆y ＝xy ＋1，则(2☆4)☆9＝________． 17．若xy ＞0，则二次根式x
－y
x
2化简的结果为________． 18．若x ＝2－10，则代数式x 2－4x －6的值为________．
(第19题)
19．如图所示，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为 ________． 20．有下列四个结论：①二次根式b 2是非负数；②若a 2－1＝a ＋1·a －1，则a 的取值范围是a ≥1；③将m 4－36在实数范围内分解因式，结果为(m 2＋6)(m ＋6)(m －6)；④当x ＞0时，x ＜x.其中正确的结论是________________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)
三、解答题(22－25题每题7分，26题8分，21、27题每题12分，共60分) 21．计算：(1)48÷3－12×12＋24； (2)8－1848－???
?2
3
41
2
－234；
(3)6÷????13＋12＋50； (4)????－12－1－12＋(1－2)0－|3－2|
22．若最简二次根式324a 2＋1与2
36a 2－1是同类二次根式，求a 的值．
23．已知???x ＝2，
y ＝3
是关于x ，y 的二元一次方程3x ＝y ＋a 的一组解，求(a ＋1)(a －1)＋7的值．
24．已知：x ＝1－2，y ＝1＋2，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值．
25．如图，大正方形纸片的面积为75 cm2，它的四个角处都是面积为3 cm2的小正方形，现将这四个小正方形剪掉，用剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积．(结果保留根号)
(第25题)
26．阅读下面的解题过程：
1
1＋2＝
1×（2－1）
（2＋1）（2－1）
＝2－1；
1
3＋2＝
3－2
（3＋2）（3－2）
＝3－2；
1
5＋2＝
5－2
（5＋2）（5－2）
＝5－2.
(1)求
1
7＋6
的值；
(2)求
1
32＋17
的值．
27．阅读材料：
小明在学习完二次根式后，发现一些式子可以写成另一个式子的平方，如3＋22＝(1＋2)2.善于思考的小明进行了如下探索：
设a＋b2＝(m＋n2)2(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a＋b2＝m2＋2n2＋2mn2，
∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.
这样小明就找到了把类似a＋b2的式子化为完全平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b3＝(m＋n3)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a ＝________，b＝________；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：________＋________3＝(________＋________3)2；
(3)若a＋43＝(m＋n3)2，且a，m，n均为正整数，求a的值.
答案
一、1.D 点拨：根据二次根式的定义可知被开方数为非负数，选项中只有a 2≥0一定成立．
2．C 点拨：根据题意，得?
???
?m ＋1≥0，m －1≠0，解得m ≥－1且m ≠1，故选C .
3．B 点拨：本题考查二次根式的运算，只有B 正确．此题是易错题． 4．D
5．A 点拨：∵(m －1)2≥0，n ＋2≥0，且(m －1)2＋n ＋2＝0，∴m －1＝0，n ＋2＝0，解得m ＝1，n ＝－2，∴m ＋n ＝1＋(－2)＝－1.
6．A
7．A 点拨：(a ＋1)(b －1)＝ab －(a －b)－1.将a －b ＝23－1，ab ＝3整体代入上式，得原式＝3－(23－1)－1＝－ 3.
8．C 点拨：由题中数轴可知0＜a ＜1，则|a －1|＝1－a ，a 2＝a ，所以|a －1|＋a 2＝1.故选C . 9．C
10．D 点拨：第1个等式结果的分母为1×2，第2个等式结果的分母为2×3，第3个等式结果的分母为3×4，…，第n 个等式结果的分母为n(n ＋1)．
13．3 点拨：当n ＝1时，12n ＝23，不是整数，当n ＝2时，12n ＝26，不是整数，当n ＝3时，12n ＝36＝6，是整数，故使12n 是整数的最小正整数n ＝3.
14．4－2a 点拨：由2－a 易得a ≤2，所以原式＝2－a －(a －2)＝2－a －a ＋2＝4－2a. 15．5
16．27 点拨：根据题中的定义可得，2☆4＝2×4＋1＝3，所以(2☆4)☆9＝3×9＋1＝28＝27. 17．－－y 点拨：由题意知x ＜0，y ＜0，所以x －y
x
2＝－－y.解此类题要注意二次根式的隐含条件：被开方数是非负数．
18．0 点拨：因为x ＝2－10，所以x －2＝－10，因此x 2－4x －6＝(x －2)2－10＝(－10)2－10＝10－10＝0.
19．22－2
20．①②③ 点拨：二次根式b 2表示b 2的算术平方根，所以b 2是非负数，①正确；若a 2－1＝a ＋1·a －1，则a ＋1≥0，a －1≥0，所以a ≥1，②正确；在实数范围内分解因式，m 4－36＝(m 2＋6)(m 2－6)＝(m 2＋6)(m ＋6)(m －6)，③正确；若x ＝14，则x ＝1
2
＞x ，④错误．
三、21.解：(1)原式＝48÷3－1
2×12＋26＝4－6＋26＝4＋ 6. (2)原式＝22－18×43－???
?
2
3×
92
－234＝22－123－23×322＋2×32＝22－123－2＋3＝
2＋1
2
3. (3)原式＝6÷??
??
33
＋22＋52＝
6÷
23＋32
6
＋52＝
6×
6
23＋32
＋5
2＝
6
×
6×（32－23）
6＋52＝32·6－23·6＋52＝63－62＋52＝63－ 2.
(4)原式＝－2－23＋1－(2－3) ＝－2－23＋1－2＋ 3 ＝－3－ 3.
22．解：根据题意，得4a 2＋1＝6a 2－1，即2a 2＝2，所以a ＝±1.
23．解：∵???x ＝2，y ＝3
是关于x ，y 的二元一次方程3x ＝y ＋a 的一组解，
∴23＝3＋a ，∴a ＝3，
∴(a ＋1)(a －1)＋7＝a 2－1＋7＝3－1＋7＝9.
点拨：此题主要考查了二次根式的混合运算以及二元一次方程的解，根据题意得出a 的值是解决问题的关键．
24．解：∵x ＝1－2，y ＝1＋2， ∴x －y ＝(1－2)－(1＋2)＝－22， xy ＝(1－2)(1＋2)＝－1. ∴x 2＋y 2－xy －2x ＋2y ＝(x －y)2－2(x －y)＋xy ＝(－2)2－2×(－2)＋(－1)
＝7＋4 2.
25．解：设大正方形的边长为x cm ，小正方形的边长为y cm ，则x 2＝75，y 2＝3，∴x ＝53，y ＝3(负值全舍去)．
由题意可知这个长方体盒子的底面为正方形，且底面边长为53－2×3＝33(cm )，高为3cm . ∴这个长方体盒子的体积为(33)2×3＝273(cm 3)． 26．解：(1)
1
7＋6＝1×（7－6）（7＋6）（7－6）
＝7－ 6. (2)1
32＋17＝1×（32－17）（32＋17）（32－17）＝32－17. 27．解：(1)m 2＋3n 2；2mn (2)答案不唯一；如21；12；3；2. (3)由b ＝2mn ，得4＝2mn ，mn ＝2，
因为a ，m ，n 均为正整数，所以mn ＝1×2或mn ＝2×1， 即m ＝1，n ＝2或m ＝2，n ＝1.
当m ＝1，n ＝2时，a ＝m 2＋3n 2＝12＋3×22＝13； 当m ＝2，n ＝1时，a ＝m 2＋3n 2＝22＋3×12＝7. 因此a 的值为13或7.
第22章达标检测卷
(120分，90分钟)
一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列方程是一元二次方程的是( ) A .1x 2－1
x
＝0 B ．xy ＋x 2＝9 C ．7x ＋6＝x 2D ．(x －3)(x －5)＝x 2－4x
2．一元二次方程3x 2－4x －5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A ．3，－4，－5 B ．3，－4，5 C ．3，4，5 D ．3，4，－5
3．方程2(x ＋3)(x －4)＝x 2－10的一般形式为( ) A ．x 2－2x －14＝0 B ．x 2＋2x ＋14＝0 C ．x 2＋2x －14＝0 D ．x 2－2x ＋14＝0 4．下列方程中，常数项为零的是( )
A ．x 2＋x ＝1
B ．2x 2－x －12＝12
C ．2(x 2－1)＝3(x －1)
D ．2(x 2＋1)＝x ＋2
5．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为300元的药品进行连续两次降
A．300(1－x)2＝243 B．243(1－x)2＝300
C．300(1－2x)＝243 D．243(1－2x)＝300
6．下列方程，适合用因式分解法解的是()
A．x2－42x＋1＝0 B．2x2＝x－3
C．(x－2)2＝3x－6 D．x2－10x－9＝0
7．(2014·烟台)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是()
A．－1或5 B．1 C．5 D．－1
8．三角形的一边长为10，另两边长是方程x2－14x＋48＝0的两个实数根，则这个三角形是() A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
9．(2015·安顺)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第()象限．
A．四B．三C．二D．一
10．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的周长是()
A．11 B．11或13 C．13 D．以上选项都不正确
二、填空题(每题3分，共30分)
11．当m________时，关于x的方程(m－2)x2＋x－2＝0是一元二次方程．
12．已知x ＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m2＋2mn＋n2的值为________.
13．若将方程x2－8x＝7化为(x－m)2＝n的形式，则m＝________.
14．如果关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是________．
15．(2015·内江)已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足1
x1＋
1
x2＝3，则k的值
是________．
16．2015年2月28日，前央视知名记者柴静推出了关于雾霾的纪录片——《穹顶之下》，引起了极大的反响．某市准备加大对雾霾的治理力度，2015年第一季度投入资金100万元，第二季度和第三季度计划共投入资金260万元，求这两个季度计划投入资金的平均增长率．设这两个季度计划投入资金的平均增长率为x，根据题意可列方程为____________．
17．(2015·毕节)关于x的两个方程x2－4x＋3＝0与
1
x－1
＝
2
x＋a
有一个解相同，则a＝________.
18．小明的妈妈周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0.5元，结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2瓶酸奶，她周三买了________瓶酸奶．
19．现定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是________．
(第20题)
20．(2014·贵阳)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以2cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t s(0 三、解答题(21题8分，22、23题每题6分，24、25题每题9分，26题10分，27题12分，共60分) 21．用适当的方法解下列方程． (1)x2－x－1＝0; (2)x2－2x＝2x＋1； (3)x(x－2)－3x2＝－1; (4)(x＋3)2＝(1－2x)2. 22.关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2mx＋m＋3＝0有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)当m取满足条件的最大整数时，求方程的根． 23．晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x(x＋4)＝6. 解：原方程可变形，得 [(x＋2)－2][(x＋2)＋2]＝6. (x＋2)2－22＝6， (x＋2)2＝6＋22， (x＋2)2＝10. 直接开平方并整理，得x1＝－2＋10，x2＝－2－10. 我们称晓东这种解法为“平均数法”． (1)下面是晓东用“平均数法”解方程(x＋2)(x＋6)＝5时写的解题过程． 解：原方程可变形，得 [(x＋□)－○][(x＋□)＋○]＝5. (x＋□)2－○2＝5， (x＋□)2＝5＋○2. 直接开平方并整理，得x1＝☆，x2＝¤. 上述过程中的“□”，“○”，“☆”，“¤”表示的数分别为________，________，________，________. (2)请用“平均数法”解方程：(x－3)(x＋1)＝5. 24．已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根． (1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． (2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值． 25．(2014·随州)楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车．当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30辆． (1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30，且x为正整数)，实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式； (2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润为25万元，那么该月需售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价) 26．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动． (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33 cm2? (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q之间的距离是10 cm? (第26题) 短了120 km .已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的10 3 h 缩短到2 h . (1)求A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程． (2)若货物运输费用包括运输成本和时间成本，某车货物从A 地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？ (3)A 地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B 地．若有一批货物(不超过10车)从A 地按外运路线运到B 地的运费需8 320元，其中从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与(2)中相同，从宁波港到B 地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：1车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？ 答案 一、1.C 点拨：因为1x 2－1 x ＝0中分母含有未知数，B 中xy ＋x 2＝9含有两个未知数，所以A 、B 都不 是一元二次方程，D 中可变形为x 2－8x ＋15＝x 2－4x.化简后不含x 2，故不是一元二次方程，故选C . 2．A 3.A 4.D 5．A 点拨：第一次降价后的价格为300×(1－x)元，第二次降价后的价格为300×(1－x)×(1－x)元，则列出的方程是300(1－x)2＝243. 6．C 7.D 8．C 点拨：由x 2－14x ＋48＝0，得x 1＝6，x 2＝8.因为62＋82＝102，所以该三角形为直角三角形． 9．D 10.C 二、11.≠2 12.1 13.4 14．a ＜1且a ≠0 15．2 点拨：∵x 2－6x ＋k ＝0的两根分别为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝k. ∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝6k ＝3. 解得k ＝2.经检验，k ＝2满足题意． 16．100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260 点拨：根据题意知：第二季度计划投入资金100(1＋x)万元，第三季度计划投入资金100(1＋x)2万元．∴100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260. 17．1 点拨：由方程x 2－4x ＋3＝0，得 (x －1)(x －3)＝0， ∴x －1＝0，或x －3＝0. 解得x 1＝1，x 2＝3； 当x ＝1时，分式方程1x －1＝2 x ＋a 无意义； 当x ＝3时，13－1＝2 3＋a ，解得a ＝1， 经检验a ＝1是方程13－1＝2 3＋a 的解． 18．4 点拨：设她周三买了x 瓶酸奶，根据题意得(x ＋2)·??? ?10x －0.5＝10＋2，化简得x 2＋6x －40＝0，解得x 1＝4，x 2＝－10(舍去)． 19．－1或4 点拨：根据题中的新定义将x ★2＝6变形得x 2－3x ＋2＝6，即x 2－3x －4＝0，解得x 1 ＝4，x 2＝－1，则实数x 的值是－1或4. 20．6 点拨：∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝16 cm ，AD 为BC 边上的高，∴AD ＝BD ＝CD ＝82cm .又∵AP ＝2t cm ，∴S 1＝12AP·BD ＝1 2×2t ×82＝8t(cm 2)，PD ＝(82－2t)cm .易知PE ＝ AP ＝2t cm ，∴S 2＝PD·PE ＝(82－2t)·2t cm 2.∵S 1＝2S 2，∴8t ＝2(82－2t)·2t.解得t 1＝0(舍去)，t 2＝6. 三、21.解：(1)(公式法)a ＝1，b ＝－1，c ＝－1， 所以b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×(－1)＝5. 所以x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝1±5 2， 即原方程的根为x 1＝1＋52，x 2＝1－5 2. 配方，得x 2－4x ＋4＝1＋4，(x －2)2＝5. 两边开平方，得x －2＝±5， 所以x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5. (3)(公式法 )原方程可化为2x 2＋2x －1＝0， 所以a ＝2，b ＝2，c ＝－1，b 2－4ac ＝22－4×2×(－1)＝12. 所以x ＝－2±122×2 ＝－1±3 2， 即原方程的根为x 1＝－1＋32，x 2＝－1－3 2. (4)(因式分解法)移项，得(x ＋3)2－(1－2x)2＝0， 因式分解，得(3x ＋2)(－x ＋4)＝0， 解得x 1＝－2 3 ，x 2＝4. 22．解：(1)∵关于x 的一元二次方程(m －2)x 2＋2mx ＋m ＋3＝0有两个不相等的实数根， ∴m －2≠0且Δ＝(2m)2－4(m －2)(m ＋3)＝－4(m －6)>0. 解得m<6且m ≠2. ∴m 的取值范围是m<6且m ≠2. (2)在m<6且m ≠2的范围内，最大整数为5. 此时，方程化为3x 2＋10x ＋8＝0. 解得x 1＝－2，x 2＝－4 3 . 23．解：(1)4；2；－1；－7(最后两空可交换顺序)； (2)(x －3)(x ＋1)＝5， 原方程可变形，得[(x －1)－2][(x －1)＋2]＝5， 整理，得(x －1)2－22＝5， (x －1)2＝5＋22，即(x －1)2＝9， 直接开平方并整理，得x 1＝4，x 2＝－2. 24．解：(1)Δ＝4a 2－4a(a －6)＝24a ，∵一元二次方程有两个实数根，∴Δ≥0，即a ≥0.又∵a －6≠0，∴a ≠6.∴a ≥0且a ≠6.由题可知x 1＋x 2＝2a 6－a ，x 1x 2＝a a －6.∵－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2，即x 1x 2＝4＋x 1＋x 2，∴ a a －6＝4＋ 2a 6－a .解得a ＝24，经检验，符合题意．∴存在实数a ，a 的值为24； (2)(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝2a 6－a ＋a a －6＋1＝－6a －6.∵－6a －6 为负整数，∴整数a 的值应取7，8，9，12. 25．解：(1)当x ≤5时，y ＝30. 当5 ∴y ＝?????30，（x ≤5，且x 为正整数）， －0.1x ＋30.5，（5＜x ≤30，且x 为正整数）. (2)当x ≤5时，(32－30)x ＝2x ≤10<25，不合题意． 当5 解得x 1＝－25(舍去)，x 2＝10. 答：该月需售出10辆汽车． (第26题) 26．解：(1)设P ，Q 两点从出发开始到x s 时，四边形PBCQ 的面积为33 cm 2，则AP ＝3x cm ，CQ ＝2x cm ，所以PB ＝(16－3x)cm .因为(PB ＋CQ)×BC ×12＝33，所以(16－3x ＋2x)×6×1 2＝33.解得x ＝5，所以 P ，Q 两点从出发开始到5 s 时，四边形PBCQ 的面积为33 cm 2. (2)设P ，Q 两点从出发开始到a s 时，点P 和点Q 之间的距离是10 cm . 如图，过点Q 作QE ⊥AB 于E ，易得EB ＝QC ，EQ ＝BC ＝6 cm ， 所以PE ＝|PB －BE|＝|PB －QC|＝|16－3a －2a|＝|16－5a|(cm )． 在直角三角形PEQ 中，PE 2＋EQ 2＝PQ 2，所以(16－5a)2＋62＝102，即25a 2－160a ＋192＝0，解得a 1 ＝85，a 2＝245，所以P ，Q 两点从出发开始到85s 或24 5 s 时，点P 和点Q 之间的距离是10 cm . 27．解：(1)设A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为x km ， 由题意得x ＋120103 ＝x 2，解得x ＝180. ∴A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180 km . (2)1.8×180＋28×2＝380(元)，∴该车货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是380元． (3)设这批货物有y 车，由题意得y[800－20×(y －1)]＋380y ＝8 320，整理得y 2－60y ＋416＝0，解得y 1＝8，y 2＝52(不合题意，舍去)，∴这批货物有8车． 第23章达标检测卷 (120分，90分钟) 一、选择题(每题3分，共30分) 1．已知a ∶b ＝2∶3，那么下列等式中成立的是( ) A ．3a ＝2b B ．2a ＝3b C .a ＋b 2＝52D .a －b b ＝1 3 2．如图，△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若DE ＝2，则BC ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．在平面直角坐标系中，将点P(2，－1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P′， A．(6，2) B．(5，3) C．(5，－5) D．(－1，3) 4．若两个相似多边形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为() A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．4∶1 5．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是() A．AB2＝BC·BD B．AB2＝AC·BD C．AB·AD＝BD·BC D．AB·AD＝AD·CD (第2题) (第5题) (第6题) (第7题) 6．如图，为估算某河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于() A．60 mB．40 mC．30 mD．20 m 7．如图，△ABO是由△A′B′O经过位似变换得到的，若点P′(m，n)在△A′B′O上，则点P′经过位似变换后的对应点P的坐标为() A．(2m，n) B．(m，n) C．(m，2n) D．(2m，2n) 8．如图，点E为?ABCD的AD边上一点，且AE∶ED＝1∶3，点F为AB的中点，EF交AC于点G，则AG∶GC等于() A．1∶2 B．1∶5 C．1∶4 D．1∶3 9．(2014·南通)如图，在△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内， A ．1 B ．2 C ．122－6 D ．62－6 (第8题) (第9题) (第10题) 10．(2015·齐齐哈尔)如图，在钝角三角形ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边向△ABC 的外侧作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACF ，EM 平分 ∠AEB 交AB 于点M ，取BC 的中点D ，AC 的中点N ，连接DN ，DE ，DF.下列结论：①EM ＝DN ；②S △CND ＝1 3S 四边形ABDN ；③DE ＝DF ；④DE ⊥DF.其中正确 结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题(每题3分，共30分) 11．假期，爸爸带小明去A 地旅游．小明想知道A 地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1∶500 000的地图上测得所居住的城市距A 地32 cm ，则小明所居住的城市与A 地的实际距离为________km . 12．已知a －b a ＋b ＝413 ，则b a 的值是________． 13．课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小华对小刚说：“如果我的位置用坐标(0，0)表示，小军的位置用坐标(2，1)表示，那么你的位置可以表示成________．” 14．如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC>AC.若S 1表示以BC 为边的正方形的面积，S 2 表示长为AD(AD ＝AB)、宽为AC 的矩形的面积，则S 1与S 2的大小关系为________． (第13题) (第14题) (第15题) (第16题) 15．(2014·荆门)如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶2，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是________． 16．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是BC延长线上一点，CF＝1，DF交CE 于点G，且EG＝CG，则BC＝________． 17．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，若BE＝4，DE＝9，则矩形ABCD的面积是________．18．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝________. 19．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________． (第17题) (第18题) (第19题) 22．1. 二次根式（1） 教学内容： 二次根式的概念及其运用 教学目标：1a ≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键：1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程：一、回顾 当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义． 二、概括：a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一 个非负数，它的平方等于a ．即有： （1）a ≥0（a ≥0）； （2）2)(a =a （a ≥0）． 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式． 注意：在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数． 三、例题讲解 例题： x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？ 分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数． 解： 被开方数x-1≥0，即x ≥1． 所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义． 思考：2a 等于什么？ 我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律： 概括: 当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2． 这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质， 可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如： 22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==． 四、练习: x 取什么实数时，下列各式有意义. （1）x 43-； （2）23-x ； （3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+- 正面 A B C D 年 九 年 级 数 学 练 习 卷 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共21分）每题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确 的，请在答题卡相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分． 1． －5的相反数是………………………………………………………………………………（ ） A ．－ 51 B ．5 1 C ．－5 D ．5 2． 下列计算正确的是…………………………………………………………………………（ ） A ．2 3 5 a a a += B ．6 2 3 a a a ÷= C ．() 3 26a a = D ．236a a a ?= 3． 二元一次方程组2, 0x y x y +=??-=? 的解是………………………………………………………（ ） A ．1,1.x y =?? =? B ．1,1.x y =-??=-? C ．0,2.x y =??=? D ．2,0. x y =??=? 4．下面几何体的俯视图是……………………………………………………………………（ ） 5．下列图形属于轴对称图形的是……………………………………………………………（ ） A B C D 6．如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD ．依次连接四边形ABCD 各边的 中点所得到的四边形为…………………………………………（ ） A ．梯形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 7．如图，CE 是梯形OABD 的中位线， B 点在函数= y x k 的图象上， 若A （13，0）、C （8，2），则k 的值为………………………（ ） 华师大版九年级上册数学知识点总结 第21章 二次根式 1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式． 2. 二次根式的性质： （1）=2)(a （a ≥0）；（2 ；（ 3） ??? ??<=>== )0___()0___()0___(____2a a a a 3. 二次根式的乘除： 计算公式：___(0,0) ___(0,0) a b a b ?≥≥??=≥>?? 4. 概念： 1.2.?? ?最简二次根式：(1) (2) (3)同类二次根式： 5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”： 根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 7. 二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 第22章 一元二次方程 1. 一元二次方程： 1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ． 它的特征：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零． 2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数 项． 2. 一元二次方程的解法： 1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法． 直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程．根据平方根的定义可知， 最新华东师大版九年级上册数学知识总结 华东师大版数学九年级上知识点小结 第21章 二次根式 1、二次根式的意义 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式。 二次根式a 有意义，a 的取值范围是;0≥a 当a 0<时，a 在实数范围内没有意义。 2、最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（被开方数因数因式的次数为1）； ③分母不含根式。 3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式 以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 4、二次根式的主要性质 （1）双重非负性：)0(0≥≥a a （2）还原性：（a 2)=a )0(≥a 。 ＊（3）绝对性：?? ???<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a 5、二次根式的运算 （1）因式的外移和内移 如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根 号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。 反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。 （2）有理化因式与分母有理化 两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 （3）二次根式的加、减法 先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。步骤：一化二找三合并 （4）二次根式的乘、除法 二次根式相乘（除），就是把被开方数相乘（除），并将运算结果化为最简二次根 式。 0,0).a b ?=≥≥ = (0,0)b a ≥> （5）加法、乘法运算律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。 2018学年第二学期华东师大版初三数学下册教 学计划 一、学情分析 本学期我仍担任初三年级的数学教学工作，经过上一学期的努力，很多学生在学习风气上有了较大的改变，学习积极性有所提高，也有不少学生自知能力较差，特别是到了最后一学期，有些学生对自己要求不严，甚至自暴自弃，这些都需要针对不同情况采取相应的措施，耐心教育，此外，面临中考阶段对学生要有总体的掌握，使之考出好成绩。 二、教材分析 本学期的内容只剩两章，：圆与统计与概率。 圆这一章的主要内容是圆的定义和性质，点、直线、圆与圆的位置关系，圆的切线，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图。本章设涉及的概念、定理较多，应弄清来龙去脉，准确理解和掌握概念和定理。垂径定理及推论、圆的切线的判定定理和性质定理是本章的重点。垂径定理、圆周角定理的证明、运用与圆有关的性质解决实际问题，是本章的难点。统计与概率这章有总体与样本、用样本估计这两节内容。统计是统计理论和应用的一项重要内容，其基本思想是通过部分估计全体。本章在介绍总体、个体、样本、样本容量的概念后，先后以百分比、平均数和方差为例，介绍了用样本估计总体的统计思想方法。 除了这两章，还要复习初中数学教材其他的内容。 三、教学目标 1、知识与技能：理解点、直线、圆与圆的位置关系，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图，掌握圆的切线及与圆有关的角等概念和计算。教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理的进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽 象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理，提高学生学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度，掌握初中数学教材、数学学科“基本要求”的知识点。 2、过程与方法：经历探索过程，让学生进一步体会数学来源与实践，又反应用于实践，通过探索、学习，使学生逐步学会正确、合理的进行运算，逐步学会观察、分析、综合、抽象、会用归纳、演绎、类比进行简单的推理，围绕初中数学教材、数学学科“基本要求”进行知识梳理，围绕初中数学主要内容进行专题复习，适时地进行分层教学，面向全体学生、培养学生、发展全体学生。 3、情感目标及价值观：通过学习交流、合作、讨论的方式，积极探索，激发学生的学习兴趣，改进学生的学习方式，提高学习质量，逐步形成正确的教学价值观，使学生的情感得到发展。 四、教学重点与难点 重点： 《圆》这章中垂径定理及推论、圆的切线的判定定理和性质定理是本章的重点。 《统计与概率》这章的重点是用样本的某种特殊性来估计总体的统计思想方法。 难点： 垂径定理、圆周角定理的证明、运用与圆有关的性质解决实际问题，以及根据三视图描述基本的几何体或实物原型。 统计估计是用样本的某种特殊性来估计总体的统计思想方法。 五、教学中要采取的措施： 1、认真学习钻研新课标，通盘熟悉初中数学教材及教学目标，认真备好每一堂课，精心制作总复习计划。 2、认真上好每一堂课，抓住关键，分散难点，突出重点，在培养能力上下功夫。 第二十四章相似三角形 习题24. 1 月日星期 1. 选择题: (1) （A）（B）（C）（D） (2)下面给出的图形中，不是相似形的是（） （A）由同一张底片印出来的原尺寸的照片和放大印出来的照片； （B）一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片； （C）同一个人在平面镜和哈哈镜里看到的图像； （D）在两幅用不同比例尺绘制的地图上，上海市的边界线所围成的图形. (3)关于两个相似图形的特征，下列说法正确的是（） （A）形状、大小都相同； （B）形状、大小都不相同； （C）形状相同，大小不相同； （D）形状相同，大小不一定相同. (4)关于两个相似多边形的特性，下列说法正确的是（） （A）对应角都相等，且对应边的长度也都相等； （B）对应角都相等，但对应边的长度不全相等； （C）对应边的长度成比例，但对应角不一定相等； （D）对应角都相等，且对应边的长度成比例. 2.在下列方格图中，分别画出一个与△ABC、四边形DEFG相似的图形. 3.已知△ABC与△A′B′C′相似，并且A与点A′、点B与点B′、点C与点C′是对应顶点，其中AB、BC、CA 的长分别为6厘米、8厘米、10厘米.A′B′的长为4厘米，求B′C′、C′A′的长. 4.如下图所示的两个相似四边形中，求未知边x 、y 的长度和角α的大小. 11 109 α y x 72? 83? 83? 72? 117? 18 *5.(1)四个内角都对应相等的两个四边形一定相似吗？为什么？ (2)所有的等边三角形都一定相似吗？所有的菱形呢？为什么？ **6.将一张长方形的报纸对折，对折后半张报纸构成的长方形与整张报纸构成的长方形相似，求这张报纸长与宽的比. 习 题 24. 2(1) 月 日 星期 1.填空题： (1)A 、B 两地的实际距离AB=250米,画在地图上的距离A'B'=5厘米,则地图上的距离与实际距离之比为 . (2)已知a 、b 、c 、d 是比例线段,其中a=12厘米,b=3厘米,c=4厘米,则第四比例项d 的长度等于 . (3)如果线段m 是线段n 和p 的比例中项，那么列出的比例式为 . (4)已知线段a 、b 、c 、d.如果ab=cd,那么a ：d= . (5)如果 23 a b =，那么a b b += . (6)如果45x y =，那么 x y y -= . 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.二次根式有意义的条件：被开方数a ≥0 3. 二次根式的性质： （1）（a ）2 =a （a ≥0）； （2）==a a 2 4．二次根式的乘法---------)0,0(≥≥? ?b a ab b a 5．二次根式的除法--------- )0,0(>≥? b a b a b a 6．最简二次根式： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 7．同类二次根式--------化成最简二次根式后，被开方数相同。 8.二次根式的加减--------先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。 9.分母有理化：把分母中的根号化去。 ① a 的有理化因式是a ； ② a 的有理化因式是a 。 1． 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。 2.一般形式：c b a c bx ax ,,(02 =++是已知数，)0≠a 。 其中c b a ,,分别叫做二次项的系数，一次项的系数，常数项。 3. 一元二次方程的解---------- 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法-----------若()02 ≥=a a x ，则a x ±= （2）配方法-----步骤：①把常数项移到方程的右边；②把二次项的系数化为1；③方程两边同时 加上1次项的系数的一半的平方，配成完全平方公式；④直接开平方。 （3）公式法-------求根公式：)04(242 2≥--±-= ac b a ac b b x 步骤：①把方程化为()002 ≠=++a c bx ax 的形式，确定的值c b a .,（注意符号）；②求出ac b 42 -的值；③若 042≥-ac b ，则.,b a 把及ac b 42-的值代入求根公式，求出21,x x 。 （4）因式分解法-----------要求方程右边必须是0，左边能分解因式。 注意：形如“ ()()为常数b a b a x b a x ,02=+++可将左边分解因式，方程变形为()()0=++b x a x ，则 00=+=+b x a x 或，即b x a x -=-=21,。 5.一元二次方程根的判别式-----------------△=ac b 42 - ①△=ac b 42 -﹥0?方程有两个不相等的实数根； ②△=ac b 42-=0?方程有两个相等的实数根； ③△=ac b 42-﹤0?方程没有实数根。 注意：逆用根的判别式求未知数的值或取值范围，不能忽略二次项系数不为0这一条件。 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）； 2020年秋华东师大版九年级数学上册期末模拟走综合测试卷一、选择题(每题3分，共30分) 1．若a是最简二次根式，则a的值可能是() A．－2 B．2 C.3 2D．8 2．下列说法中，正确的是() A．不可能事件发生的概率为0 B．随机事件发生的概率为1 2 C．概率很小的事件不可能发生 D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次 3．如图，一个正六边形转盘被分成六个全等的正三角形，任意转动这个转盘一次，指针指向阴影区域的概率是() A.1 3 B. 2 3 C. 1 9 D. 2 9 4．下列计算正确的是() A. 5－3＝ 2 B.3 3 ＝1 C．(2 3)2＝24 D．3 5×2 3＝6 15 5．已知tanα＝5 12，α是锐角，则sinα的值是() A.13 5 B. 12 13 C. 5 13 D. 12 5 6.若一元二次方程x2＋bx＋5＝0配方后为(x－3)2＝k，则b，k的值分别为() A．0，4 B．0，5 C．－6，5 D．－6，4 7．将点A(－2，3)平移到点B(1，－2)处，正确的移法是() A．向右平移3个单位长度，向上平移5个单位长度 B．向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度 C．向右平移3个单位长度，向下平移5个单位长度 D．向左平移3个单位长度，向上平移5个单位长度 8．关于一元二次方程2 018(x－2)2＝2 019的两个根判断正确的是() A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于－2，另一根大于2 C．两根都小于0 D．两根都小于2 9．如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，D，C分别是垂足，E为AB的中点，则△CDE 一定是() A．等腰三角形B．等腰直角三角形 C．直角三角形D．等边三角形 10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，等腰直角三角形DEF的顶点D，E分别在边AC，AB上，且ED⊥AC于点D，连结AF并延长交BC 于点G.已知DE＝EF＝2，则BG的长为() 水东江中学九年级上期数学竞赛试题 一、选择题（本大题共9个小题，每小题5分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是 （A ）221x y += （B ） 21121 x x =+ （C ）2 4535x x --= （D 0= 2．下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是 （A ） （B （C （D 3．若 b a b -=14，则a b 的值为 （A ）5 （B ）15 （C ）3 （D ）1 3 4．△ABC 的顶点A 的坐标为(2,4)-，先将△ABC 沿x 轴对折，再向左平移两个单位，此时A 点的 坐标为 （A ）(2,4)- （B ）(0,4)- （C ）(4,4)-- （D ）(0,4) 5．用配方法解方程2 420x x -+=，下列配方变形正确的是 （A ）2 (2)2x += （B ）2 (2)2x -= （C ）2 (2)4x += （D ）2 (2)4x -= 6．如图（1），小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形 （阴影部分）与△ABC 相似的是 7．某服装店搞促销活动，将一种原价为56元的衬衣第一次降价后，销量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为31.5元，设降价的百分率为x ，则列出方程正确的是 （A ）2 56(1)31.5x -= （B ）56(1)231.5x -÷= （C ）2 56(1)31.5x += （D ）2 31.5(1)56x -= 8．已知x 1 x π -++ 的值是（ ） A 、1 1π - B 、1 1π+ C 、 1 1π - D 、无法确定 9．已知关于x 的方程2 40x x a ++=有两个实数根12,x x ，且1227x x -=，则a 的值为 （ ） A 、-3 B 、-4 C 、-5 D 、-6 （B ） （C ） （D ） （A ） C A B 图（1） 第25章解直角三角形 (2) §25.1 测量 (3) §25.2 锐角三角函数 (4) 1.锐角三角函数 (4) 2．用计算器求锐角三角函数值 (7) §25.3 解直角三角形 (9) 阅读材料 (13) 小结 (14) 复习题 (15) 课题学习 (18) 第25章 解直角三角形 测量物体的高度是我们在工作和生活中经常遇到的问题． 222c b a =+ a b B = tan §25.1 测量 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？ 你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题． 图25.1.1 如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度． 如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识． 试一试 如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度． 你知道计算的方法吗？ 图25.1.2 实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容． 练习 1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度． 2．请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度． b a b a b a a a b a b a a a --= +==1,,1 第21章 二次根式 1.二次根式：形如a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开得尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式。 | 4.二次根式的性质： （1）（a ）2 =a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． [ （2）二次根式的乘除法=（a≥0，b≥0）； （b≥0，a>0）． 6.实数的大小比较和估计值 （1）大小比较的方法：平方法、倒数法、作差法。 （2）实数的估计值，例如：__5的整数部分是2_______________- 7.绝对值、二次根式、平方的和为0，那么每个加数分别为0 第22章 一元二次方程 a b ab b b a a = （＞0） （＜0） 0 （=0）； 21212121211 (3)()4,(4) ___________,(5)_____x x x x x x x x -=+-?+=+=2222,;();,a x a mx n p x n p a b a ==±+=+=±=±若x 则若，则m 若则=b 提公因式法： 完全平方公式： 平方差公式： 十字相乘法： 2 2 24()24b ac b ax bx c a x a a -++=++1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是：ax 2 +bx+c=0（a ≠0），其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 2.一元二次方程的解法 ~ （1）直接开平方法： （2） 因式分解法： （3） 两边同时加上一次项系数一半的平方）四开方． （4）公式法：一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当b 2 －4ac ≥0时，x ＝____________. ( 5)换元法:2222 (21)3(21)40,()3()40x x x x x x +-+-=----= 3.配方法：将二次三项式配方： … 4.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式是__________． (1)b 2 －4ac ＞0?一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根； (2)b 2 －4ac ＝0?一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根； (3)b 2 －4ac ＜0?一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__________实数根． 5.一元二次方程根与系数的关系 （1）若一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝ __________，x 1x 2＝__________. 【 注意：(1)222121212()2x x x x x x +=+-?（2）22 121212()()4x x x x x x -=+-?； 九年级上学期数学教学计划 一、学生基本情况（基本知识、基本技能掌握情况，能力发展、学习心理情况） 上学期期末考试的成绩平均分为61.16分，最高分108.5，最低分12分，有23人几格，及格率为41.81%，全乡前10名有2人；11~20名有4人；21~30名有7人；31~40名有2人：41~50有4人；51~60有5人，总体来看，成绩一般，但缺乏中等生和尖子生。与前一期相比较，平均分、最高分、最低分有所提高，全乡前六十名人数个数未变(24人)，11~30名增加6人，但及格率下降八个百分点、全乡前十名减少2人。在学生所学知识的掌握程度上，一部分学生能够理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，但个别学生连简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差。在学习能力上，一些学生课外主动获取知识的能力较差，向深处学习知识的能力没有得到培养，学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要进一步加强，以提升学生的整体成绩；在学习态度上，半数以上学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去，但有一部分学生缺乏学习数学的信心和毅力，根本就不学习数学，甚至不做数学作业。 二、本学期教学内容和教材特点m 本掌期教学内容，共计五章，第二十二章《二次根式》，本章通过平方根的有关性质的回顾建立了二次根式的概念、性质和运算法则，并在此基础上学习根式的化简、求值。第二十三章《一元二次方程》一章是与实际生活密切相关的内容，教材从与学生熟悉的实际情景出发，引入并展开有关知识，使学生体会到一元二次方程是反映现实世界数量关系和变化规律的一种重要的数学模型，并学会运用一元二次方程解决实际生活中的具体问题。该章的最后，还设置了“实践与探索”一小节，目的在于通过一两个实例，与学生一起解剖分析，尝试解决实际问题，逐步提高这种能力。第二十四章《图形的相似》的主要内容是相似图形的概念和性质、相似三角形的判定和应用、相似多边形、位似变换。在本章学习之前，已经研究了图形的全等以及图形的一些变换，如平移、轴对称、旋转等，本章将在这些内容的基础上研究相似三角形和相似多边形的性质与判定，并进一步研究一种特殊的变换（位似变换），结合一些图形性质的探索、证明等，进一步发展学生的探究能力，培养学生的逻辑思维能力。第二十五章《解直角三角形》，本章是在图形相似的基础上，充分运用图形变换这一有效的数学工具探索发现直角三角形边角的关系。第二十六章《随机事件的概率》一章是在前几册统计内容的基础上，引入概率的随机事件的频率，统计定义的概率，古典定义及特点的关系。通过学习，应初步具备概率的运算能力。利用概率的基本知识，能够解决一些实际问题。概率论是研究现实世界中随机现象规律性的科学，是近代数学的重要组成部分，它在自然科学以及经济工作中都有着广泛的应用，具备一些概率论的基本知识对于经济工作人员是十分必要的。由于学生刚刚接触随机事件的概率，对内容觉得新鲜和抽象，学习起来感到难。 三、教学工作目标和教学要求 1、知识与技能 （1）经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识二次根式、一元二次方程、二次函数，掌握根式、一元二次方程、二次函数等进行描述。 （2）经历探索物体与图形的基本性质、变换、位置关系的过程，掌握图形相似的基本性质， 体会证明的必要性：掌握基本的推理技能。 （3）从事收集、描述、分析数据，作出判断并进行交流的活动，感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思想，掌握必要的数据处理技能，进一步丰富对概率的认识，知道频率与概率的关系，会计算一些事件发生的概率。 2、数学思考 （1）能对具体情境中较大的数字信息作山合理的解释和推断，能用二次根式、一元二次方程、函数刻画事物间的相互芙系。 （2）在探索图形的性质、图形的位似变换以及平面图形与空间几何体的相互转换等活动过程中，初步建立空间观念，发展几何直觉。 （3）能收集、选择、处理数学信息，并作出合理的推断或大胆的猜测。 （4）能用实例对一些数学猜想作出检验，从而增加猜想的可信程度或推翻猜想。 （5）体会证明的必要性，发展初步的演绎推理能力。 3、解决问题 （1）能结合具体情境发现并提出数学问题。 （2）尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，尝试评价不同方法之间的差异。 （3）体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。 （4）能用文字、字母或图表等清楚地表达解决问题的过程，并解释结果的合理性。 第21章 二次根式 1.二次根式：形如a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开得尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2 =a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （2a≥0，b≥0（b≥0，a>0）． 6.实数的大小比较和估计值 （1）大小比较的方法：平方法、倒数法、作差法。 （27.绝对值、二次根式、平方的和为0，那么每个加数分别为0 第22章 一元二次方程 1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是：ax 2 +bx+c=0（a ≠0），其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 =a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）； 12122112 11 (3)___________,(5)_____x x x x x x x x -=+=+=(1)n a x b ± =2222,(),a x mx n p x n a b a ==+=+==±若x 则若，则m 若则=b 提公因式法： 完全平方公式： 平方差公式： 十字相乘法： 2 2 24()24b ac b ax bx c a x a a -++=++22,102m n x x m m n --=--是的两个根，求的值2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法： （2） 因式分解法： （3） 两边同时加上一次项系数一半的平方）四开方． （4）公式法：一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当b 2 －4ac ≥0时，x ＝____________. ( 5)换元法:2222 (21)3(21)40,()3()40x x x x x x +-+-=----= 3.配方法：将二次三项式配方： 4.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式是__________． (1)b 2 －4ac ＞0?一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根； (2)b 2 －4ac ＝0?一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根； (3)b 2 －4ac ＜0?一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__________实数根． 5.一元二次方程根与系数的关系 （1）若一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝ __________，x 1x 2＝__________. 注意：(1)22 2121212()2x x x x x x +=+-?（2）22121212()()4x x x x x x -=+-?； 注意：代入降次法也是常考题型，例： 6.一元二次方程的应用(审、设、列、解、验、答) （1）图形（面积、体积）问题（2）经济问题(3)增长率问题 第22章一元二次方程 22.1 一元二次方程 【知识与技能】 1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）. 2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识. 【过程与方法】 通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力. 【情感态度】 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情. 【教学重点】 判定一个数是否是方程的根. 【教学难点】 由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根. 一、情境导入，初步认识 问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0.（1） 问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5 （1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2） 【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题. 二、思考探究，获取新知 思考、讨论 问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： （1）都是整式方程 （2）只含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2 【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式： 华东师大初中九年级数学上册教案 21．1. 二次根式（1） 教学目标：1a ≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键：1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程：一、回顾 当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义． 二、概括：a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方 等于a ．即有： （1）a ≥0（a ≥0）； （2）2)(a =a （a ≥0）． 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式． 注意：在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数． 三、例题讲解 例题： x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？ 分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数． 解： 被开方数x-1≥0，即x ≥1． 所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义． 思考：2a 等于什么？ 我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律： 概括: 当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2． 这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方” 出来，从而达到化简的目的．例如： 22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==． 四、练习: x 取什么实数时，下列各式有意义. （1）x 43-； （2）23-x ； （3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+- 五、 拓展 华师版九年级上册全册教案 第21章二次根式 21.1 二次根式 教学目标： 知识与技能： 1、了解二次根式的概念、 2、掌握二次根式的基本性质。 过程与方法：经历观察、比较、总结二次根式的定义，培养学生的归纳能力。 情感、态度与价值观：经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识。 教学过程 一、提出问题 上一节我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号a，现在请同学们思考并回答下面两个问题： 1、a表示什么? 2、a需要满足什么条件?为什么? 二、合作交流，解决问题 让学生合作交流，然后回答问题(可以补充)，归纳为； 1、当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的两个平方根中的一个正数； 2、当a是零时，a表示零，也叫零的算术平方根； 3、a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零、 三、归纳特点，引入二次根式概念 1、基本性质、 问题1 你能用一句话概括以上3个结论吗? 让一个学生回答、其他学生补充，概括为：a(a≥0)表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a(a≥0)是一个非负数，即a≥0(a≥0)。 问题2 (a)2(a≥0)等于什么?说说你的理由并举例验证。 让学生小组讨论或自主探索得出结论：(a)2=a(a≥0)，如(4)2=4，(2)2=2等、 以上两个问题的结论就是基本性质，特别是(a)2=a(a≥0)可以当公式使用，直接应用于计算。反过来，把(a)2＝a(a≥0)写成a=(a)2(a ≥0)的形式，这说明：任何一个非负数a都可以写成一个数的平方的形式、例如：3=(3)2，0.3= (0.3)2 提问： (1)0=(0)2对不对? (2)－5=(－5)2对不对?如果不对，错在哪里? 2、二次根式概念 形如a(a≥0)的式子叫做二次根式、 说明:二次根式必须具备以下特点； (1)有二次根号； (2)被开方数不能小于0。 北阳一中九年级数学检测试卷 一、选择题（共36分） 1、下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）81 2 6D 23a 2、方程x x 42 =的解是（ ） A ．4=x B ．2,221-==x x C ．0=x D ．4,021==x x 3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=2，则cosA 的值是（ ） A 、 215 B 、25 C 、21 2 D 、52 4．如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭 头各指着轮子上的一个数字，这两个数字和为偶数的概率是（ ） A ． 2 1 B ．61 C ．125 D ．43 5．点P 是△ABC 边AB 上一点（AB ＞AC ），下列条件不一定能使△ACP ∽△ABC 的是（ ） A 、∠ACP ＝∠B B 、∠APC ＝∠ACB C 、AC AP AB AC = D 、AB AC BC PC = 6、关于x 的方程013)2(2 2=--+-x x a a 是一元二次方程，则a 的值是（ ） A. 2±=a B. 2-=a C. 2=a D. 2±=a 7．、关于x 的一元二次方程 2 210kx x +-= 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A 、1k >- B 、1k > C 、1x ≠ D 、1k >-且0k ≠ 8、如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（粗线）与左图中△ABC 相似的是（ ） A 9、若点(2，5)，(4，5)在抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 上，则它的对称轴是( ) A ．a b x - = B ．x ＝1 C ．x ＝2 D ．x ＝3 10、李龙沿着坡度为1：3的坡面向下走了2米，那么他下降高度为（ ） A ．1米 B 3 C ．3米 D ． 3 3 米 二次根式 21.1 二次根式 【知识与技能】 1.理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目. 2.理解a（a≥0）是非负数和(a)2=a. a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简. 3.理解2 【过程与方法】 1.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题. 2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出(a)2=a（a≥0），最后运用结论严谨解题. 3.通过具体数据的解答，探究并利用这个结论解决具体问题. 【情感态度】 通过具体的数据体会从特殊到一般、分类的数学思想，理解二次根式的概念及二次根式的有关性质. 【教学重点】 1.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式. 2. a（a≥0）是一个非负数；(a)2=a（a≥0）及其运用. 3. 【教学难点】 利用“a（a≥0）”解决具体问题. 关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出 一、情境导入，初步认识 回顾： 当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根. 当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根. 当a是负数时，a没有意义. 【教学说明】通过对算术平方根的回顾引入二次根式的概念. 二、思考探究，获取新知 概括：a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，它的平方等于a.即有： （1）a≥0；（2）(a)2=a（a≥0）. 形如a（a≥0）的式子叫做二次根式. 注意：在a中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数. 思考：2a等于什么？ 我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3等，分别计算对应的2a的值，看看有什么规律. 概括：当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a. 三、运用新知，深化理解 1.x取什么实数时，下列各式有意义？ 2.计算下列各式的值： 华师大版九年级下册数学知识点总结 第二十六章 二次函数 一、二次函数概念： 1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。二次函数的定义域是全体实数。 2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。 ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 3. ()2 y a x h =-的性质： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。 概括成八个字“左加右减，上加下减”。 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）华师大版九年级数学上册教案
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