一种基于正则化的边缘定向插值算法_季成涛
正则化全参数地确定方法.doc
实用标准文案 1.拟最优准则 Tikhonov 指出当数据误差水平和未知时，可根据下面的拟最优准则： min dx opt （1-1 ） 0 d 来确定正则参数。其基本思想是：让正则参数以及正则解对该参数的变化率同时稳定在尽可能小的水平上。 2. 广义交叉验证 令 ( I A( 2 / m )) y V ( ) A( ))]2 （2-1 ） [tr ( I / m 其中， A( ) A h (A *h A h I) 1 A *h，tr (I m A( )) k 1 (1 kk ( ))， kk ( )为 A( ) 的 对角元素。这样可以取* 满足 V( *) min V ( ) （2-2 ） 此法源于统计估计理论中选择最佳模型的PRESS 准则，但比它更稳健。 3. L_曲线法 L 曲线准则是指以log-log尺度来描述与的曲线对比，进而根据该对比结果来确定正则 参数的方法。其名称由来是基于上述尺度作图时将出现一个明显的L 曲线。 运用L 曲线准则的关键是给出L 曲线偶角的数学定义,进而应用该准则选取参数。Hanke 等[64]建议定义L 曲线的偶角为L 曲线在log-log尺度下的最大曲率。令log b Ax，log x，则该曲率作为参数的函数定义为 ' '''' ' c( )3（3-1） ((')2( ')2)2 其中“ '”表示关于的微分。 H.W.Engl在文献[40]中指出:在相当多的情况下,L 曲线准则可通过极小化泛函 精彩文档
( ) x b Ax 来实现。即,选取* 使得 * arg inf ( ) （3-2 ） 这一准则更便于在数值计算上加以实施。 但到目前为止 ,还没有相关文献获得过关于L 曲线准则的收敛性结果。另一方面,有文献己举反例指出了L 曲线准则的不收敛性。虽然如此,数值计算的结果表明,L 曲线准则与 GCV 一样 ,具有很强的适应性。 4.偏差原理 : 定理 4-1:(Morozov 偏差原理 )[135] 如果( ) 是单值函数,则当U ( A z0, u) 时存在这样的( ),使得: U ( A z ( ) , u) （4-1 ） , 式中z0 z | [ z] inf F1 [ ] 。 事实上，令( ) ( ) 2 ，由( ) 的单调性和半连续性，可知( ) 也是单调和半连续的，并且 lim ( ) 0 ， 同时，由 z0的定义以及( ) 的半连续性，对于给定的，可以找到这样的0 0( )，使得： (0()) (0()) U ( A z 0 ( ), u) ， 由 ( ) 的单值性可导出( ) 的单值性，从而必定存在( ) [0, 0 ] 满足方程（4-1 ）。 根据上述定理，若方程 Az u,u F ，u U （4-2 ） 的准确右端项u R(A) , 的近似 u s U 且满足条件： U (u ,u ) ； (0, u ) ，而 u 精彩文档
一种改进的用于稀疏表示的正交匹配追踪算法
第10卷 第5期 信 息 与 电 子 工 程 Vo1．10，No．5 2012年10月 INFORMATION AND ELECTRONIC ENGINEERING Oct．，2012 文章编号：1672-2892(2012)05-0579-05 一种改进的用于稀疏表示的正交匹配追踪算法 王燕霞，张 弓 (南京航空航天大学 电子信息工程学院，江苏 南京 210016) 摘 要：稀疏表示理论在军事目标识别、雷达目标参数估计等领域应用越来越广，而目标信号的稀疏表示通常不唯一，因此产生了大量的稀疏表示算法。本文基于现有稀疏表示算法的研究，提出一种改进的正交匹配追踪(OMP)算法。首先采用非线性下降的阈值更快速地选择原子，确定备选原子集，提高了算法速度；其次用正则化的二次筛选剔除备选原子集中能量较低的原子，保证了算法精确度；并设置迭代停止条件实现算法的稀疏度自适应。实验结果表明，本文算法可以实现稀疏表示求解精确度和速度上的平衡，求解速度比基追踪(BP)算法快，精确度比OMP 、正则化OMP(ROMP)、基于自适应OMP 回溯(BAOMP)算法高。 关键词：过完备字典；稀疏表示；正交匹配追踪；正则化 中图分类号：TN850.6；TP753 文献标识码：A An improved orthogonal matching pursuit algorithm for sparse representation WANG Yan -xia，ZHANG Gong (College of Electronics and Information Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing Jiangsu 210016，China) Abstract：Usually sparse representation of signal is not unique, which results in a large number of sparse representation algorithms. An improved Orthogonal Matching Pursuit(OMP) algorithm is proposed. The atoms are selected more quickly with nonlinear decline threshold and the set of alternative atoms is determined, which improves the algorithm speed. Regularized secondary screening can remove lower -energy atoms from the alternative atoms set to ensure the accuracy. A stop condition for iteration is preset to realize the adaptive sparsity of new algorithm. Simulation results show that, the improved algorithm can keep a balance between accuracy and speed for sparse solving with a faster speed than Basis Pursuit(BP) algorithm and a higher accuracy than OMP, Regularized OMP(ROMP) and Backtracking -based Adaptive OMP(BAOMP) algorithms. Key words：over -complete dictionary；sparse representation；orthogonal matching pursuit；regularized 稀疏表示理论在军事目标识别[1]、雷达目标参数估计[2]等领域的应用越来越广，2010年Vishal 和Nasser 等人基于科曼奇族前视红外数据库将稀疏表示用于军事目标的识别，稀疏求解的结果表明算法取得了较好的识别效果[1]。对于稀疏表示理论应用于各种目标信号处理来说，信号的表示应该能对自身不同性质，以及各性质间的差异提供明确信息，这就促进了信号在基于大量波形的过完备字典上的分解[1]。然而过完备库中的波形数远远超过信号的维数，因此它对给定信号的表示不是唯一的，由此产生了信号处理工作中大量的稀疏表示算法。 基于过完备字典的稀疏表示起源于20世纪90年代，Mallat 和Zhang 首次提出了匹配追踪(Matching Pursuit ，MP)算法来解决该稀疏分解问题[3?4]，通常这些算法可以分为3类：基于p l 范数正则化的方法、迭代收缩算法和贪婪追踪算法。基于p l 范数正则化的方法通过求解在重构条件下系数的p l 范数最小化来寻找稀疏解，此类比较典型的算法有基追踪(BP)[5]；迭代收缩算法首先要获得系数的初始集，然后迭代修正获得稀疏表示，早期的这类方法有噪声整形(Noise Shaping ，NS)[6]等；贪婪追踪算法力求从字典中选取与余量最匹配的原子作为信号的近似表示，并通过减去与该原子相关的分量来更新余量，此类算法研究的成果较多，典型的有MP [5],OMP [7],ROMP [8]及BAOMP [9]等。 收稿日期：2011-12-14；修回日期：2012-02-09
几种常用边缘检测算法的比较
几种常用边缘检测算法的比较摘要:边缘是图像最基本的特征，边缘检测是图像分析与识别的重要环节。基于微分算子的边缘检测是目前较为常用的边缘检测方法。通过对Roberts，Sobel，Prewitt，Canny 和Log 及一种改进Sobel等几个微分算子的算法分析以及MATLAB 仿真实验对比，结果表明，Roberts，Sobel 和Prewitt 算子的算法简单，但检测精度不高，Canny 和Log 算子的算法复杂，但检测精度较高，基于Sobel的改进方法具有较好的可调性，可针对不同的图像得到较好的效果，但是边缘较粗糙。在应用中应根据实际情况选择不同的算子。 0 引言 边缘检测是图像分析与识别的第一步，边缘检测在计算机视觉、图像分析等应用中起着重要作用，图像的其他特征都是由边缘和区域这些基本特征推导出来的，边缘检测的效果会直接影响图像的分割和识别性能。边缘检测法的种类很多，如微分算子法、样板匹配法、小波检测法、神经网络法等等，每一类检测法又有不同的具体方法。目前，微分算子法中有Roberts，Sobel，Prewitt，Canny，Laplacian，Log 以及二阶方向导数等算子检测法，本文仅将讨论微分算子法中的几个常用算子法及一个改进Sobel算法。 1 边缘检测 在图像中，边缘是图像局部强度变化最明显的地方，它
主要存在于目标与目标、目标与背景、区域与区域( 包括不同色彩) 之间。边缘表明一个特征区域的终结和另一特征区域的开始。边缘所分开区域的内部特征或属性是一致的，而不同的区域内部特征或属性是不同的。边缘检测正是利用物体和背景在某种图像特征上的差异来实现检测，这些差异包括灰度、颜色或纹理特征，边缘检测实际上就是检测图像特征发生变化的位置。边缘的类型很多，常见的有以下三种: 第一种是阶梯形边缘，其灰度从低跳跃到高; 第二种是屋顶形边缘，其灰度从低逐渐到高然后慢慢减小; 第三种是线性边缘，其灰度呈脉冲跳跃变化。如图1 所示。 (a) 阶梯形边缘(b) 屋顶形边缘 (b) 线性边缘 图像中的边缘是由许多边缘元组成，边缘元可以看作是一个短的直线段，每一个边缘元都由一个位置和一个角度确定。边缘元对应着图像上灰度曲面N 阶导数的不连续性。如果灰度曲面在一个点的N 阶导数是一个Delta 函数，那么就
图像增强与边缘检测..
数字图像处理作业----第三次 1、什么是图像增强？常见算法有哪些？典型算法的程序实现，其优缺点？结果对比。 1.1图像增强的定义 为了改善视觉效果或者便于人和机器对图像的理解和分析，根据图像的特点或存在的问题采取的简单改善方法或者加强特征的措施称为图像增强。 一般情况下，图像增强是按特定的需要突出一幅图像中的某些信息，同时削弱或去除某些不需要的信息的处理方法，也是提高图像质量的过程。图像增强的目的是使图像的某些特性方面更加鲜明、突出，使处理后的图像更适合人眼视觉特性或机器分析，以便于实现对图像的更高级的处理和分析。图像增强的过程往往也是一个矛盾的过程：图像增强希望既去除噪声又增强边缘。但是，增强边缘的同时会同时增强噪声，而滤去噪声又会使边缘在一定程度上模糊，因此，在图像增强的时候，往往是将这两部分进行折中，找到一个好的代价函数达到需要的增强目的。传统的图像增强算法在确定转换函数时常是基于整个图像的统计量，如：ST转换，直方图均衡，中值滤波，微分锐化，高通滤波等等。这样对应于某些局部区域的细节在计算整幅图的变换时其影响因为其值较小而常常被忽略掉，从而局部区域的增强效果常常不够理想，噪声滤波和边缘增强这两者的矛盾较难得到解决。 1.2 图像增强的分类及方法 图像增强可分成两大类：频率域法和空间域法。前者把图像看成一种二维信号，对其进行基于二维傅里叶变换的信号增强。采用低通滤波（即只让低频信号通过）法，可去掉图中的噪声；采用高通滤波法，则可增强边缘等高频信号，使模糊的图片变得清晰。具有代表性的空间域算法有局部求平均值法和中值滤波（取局部邻域中的中间像素值）法等，它们可用于去除或减弱噪声。 图像增强的方法是通过一定手段对原图像附加一些信息或变换数据，有选择地突出图像中感兴趣的特征或者抑制(掩盖)图像中某些不需要的特征，使图像与视觉响应特性相匹配。在图像增强过程中，不分析图像降质的原因，处理后的图像不一定逼近原始图像。图像增强技术根据增强处理过程所在的空间不同，可分
贪婪算法中ROMP算法的原理介绍及MATLAB仿真
压缩感知重构算法之正则化正交匹配追踪(ROMP) 正交匹配追踪算法每次迭代均只选择与残差最相关的一列，自然人们会想：“每次迭代是否可以多选几列呢?”，正则化正交匹配追踪(RegularizedOMP)就是其中一种改进方法。本篇将在上一篇《压缩感知重构算法之正交匹配追踪(OMP)》的基础上给出正则化正交匹配追踪(ROMP)算法的MATLAB函数代码，并且给出单次测试例程代码、测量数M与重构成功概率关系曲线绘制例程代码。 0、符号说明如下： 压缩观测y=Φx，其中y为观测所得向量M×1，x为原信号N×1（M< 我将原子选择过程封装成了一个MATLAB函数，代码如下(Regularize.m)： 1.function [val,pos] = Regularize(product,Kin) 2.%Regularize Summary of this function goes here 3.% Detailed explanation goes here 4.% product = A'*r_n;%传感矩阵A各列与残差的内积 5.% K为稀疏度 6.% pos为选出的各列序号 7.% val为选出的各列与残差的内积值 8.% Reference:Needell D，Vershynin R. Uniform uncertainty principle and 9.% signal recovery via regularized orthogonal matching pursuit. 10.% Foundations of Computational Mathematics, 2009,9(3): 317-334. 11. productabs = abs(product);%取绝对值 12. [productdes,indexproductdes] = sort(productabs,'descend');%降序排列 13. for ii = length(productdes):-1:1 14. if productdes(ii)>1e-6%判断productdes中非零值个数 15. break; 16. end 17. end 18. %Identify:Choose a set J of the K biggest coordinates 19. if ii>=Kin 20. J = indexproductdes(1:Kin);%集合J 21. Jval = productdes(1:Kin);%集合J对应的序列值 22. K = Kin; 23. else%or all of its nonzero coordinates,whichever is smaller 24. J = indexproductdes(1:ii);%集合J 25. Jval = productdes(1:ii);%集合J对应的序列值 26. K = ii; 27. end 28. %Regularize:Among all subsets J0∈J with comparable coordinates 29. MaxE = -1;%循环过程中存储最大能量值 30. for kk = 1:K 31. J0_tmp = zeros(1,K);iJ0 = 1; 32. J0_tmp(iJ0) = J(kk);%以J(kk)为本次寻找J0的基准(最大值) 33. Energy = Jval(kk)^2;%本次寻找J0的能量 34. for mm = kk+1:K 35. if Jval(kk)<2*Jval(mm)%找到符合|u(i)|<=2|u(j)|的 36. iJ0 = iJ0 + 1;%J0自变量增1 37. J0_tmp(iJ0) = J(mm);%更新J0 38. Energy = Energy + Jval(mm)^2;%更新能量 39. else%不符合|u(i)|<=2|u(j)|的 40. break;%跳出本轮寻找，因为后面更小的值也不会符合要求 41. end 42. end 43. if Energy>MaxE%本次所得J0的能量大于前一组 44. J0 = J0_tmp(1:iJ0);%更新J0 45. MaxE = Energy;%更新MaxE，为下次循环做准备 46. end 47. end 48. pos = J0; 49. val = productabs(J0); 大地测量中不适定问题的正则化解法研究 摘要：为了解决大地测量中的不适定问题，人们提出了正则化解法，并期望通 过对正则解法的不断研究从而彻底解决大地测量中的不适定问题。论文对大地测 量中不适定问题的正则化解法研究进行详细论述，给相关人士提供参考。 关键词：大地测量;?不适定问题;?正则化解法;?系统误差; 大地测量是一项对地球的相关数据进行测量的活动。大地测量活动的开展不 但可以有效提升地形测图以及工程测量的精准度，同时还可以促进国家空间科学 以及国防建设的发展。此外，随着大地测量的不断深入，人们可以对地壳运动以 及地震等地质活动进行预测，从而降低地震等自然灾害对于人类的危害。然而在 大地测量中，时常会遇到一些不适定问题。例如，测量中所存在的控制网平差、GPS无法快速定位等。这些大地测量中的不适定问题虽然表现形式不同，但却有 着一些相同点。首先，这些不适定问题一般解均不唯一。再者，这些不适定问题 有时还会出现无解的状况。此外，这些不适定问题常常还会出现解不稳定的现象。这些不适定问题的出现严重影响了大地测量的进行与发展，因此，为了解决大地 测量中的不适定问题，对其解决方法进行了深入的研究，并将其逐步演变为正则 化解法。通过正则化解法，可以有效地解决大地测量中的不适定问题，并针对病 态性的算法进行改进，从而促进大地测量的快速发展。 1 推导了大地测量不适定问题解的统一表达 为对大地测量中不适定问题开展正则化解法研究，最初研究推导了大地测量 中不适定问题解的同意表达。旨在分析大地测量中不适定问题常用的一些数学模型，研究表明在该阶段常见的数学模型主要有拟合推估模型、自由网平差模型、 病态模型和半参数模型等。经计算显示，这些数学模型的解可以用某个数学关系 式统一表达，而令研究者所震惊的是这些数学模型都能够在TIKHONOV正则化原 理下推导出。实际推导过程中，为保证计算结果的准确度，研究者要把握好这些 数学模型之间的共性问题，尽可能地分析出他们的个性，求解时既要考虑数学模 型的基本计算理论，又要寻求合适的优化求解方案，以此来深化研究。 2 克服病态性的改进算法研究 在克服病态性的改进算法研究中，从以下3步展开论述：首先，针对一些难 以确定的岭参数，系统会主动选择研究确定的岭参数L曲线。为使L曲线的效果 能够更加清晰地展现出来，该算法研究采用对比法，将L曲线法同传统的岭迹法 相比较，以此来得出全新的结论。其次，研究还提出了克服病态性的两步解法， 需重点研究了两步解法的计算原理和相关数据性质以及相应的计算适应条件等。 同常规的克服病态性改进算法研究方案相比，该方案更为优异。最后，研究提出 了一种新的奇异值修正方案，该方案的核心是将奇异值分为2个部分进行分别修 正处理。实践证明这种方案是很有研究效果的，同其他克服病态性的改进算法相 比该方案的结算结果更为精准。 3 单频GPS快速定位中减弱病态性的新方法研究 本次研究，主要论述了单频GPS快速定位中减弱病态性的新方法，能够在较 短的时间内实现快速GPS定位。为此，首先分析了关于GPS快速定位的矩阵的结 构特性。在正则化原理的前提下，有针对性地提出了以下2种正则化矩阵的构造 方法。利用这2种新的方案，可以在很大程度上减弱传统法矩阵的病态性，利用 较短的时间就可以得出较为准确的结论。为此，对这2种新型的减弱矩阵病态性 在图像增强过程中，通常利用各类图像平滑算法消除噪声，图像的常见噪声主要有加性噪声、乘性噪声和量化噪声等。一般来说，图像的能量主要集中在其低频部分，噪声所在的频段主要在高频段，同时图像边缘信息也主要集中在其高频部分。这将导致原始图像在平滑处理之后，图像边缘和图像轮廓模糊的情况出现。为了减少这类不利效果的影响，就需要利用图像锐化技术，使图像的边缘变得清晰。图像锐化处理的目的是为了使图像的边缘、轮廓线以及图像的细节变得清晰，经过平滑的图像变得模糊的根本原因是因为图像受到了平均或积分运算，因此可以对其进行逆运算(如微分运算)就可以使图像变得清晰。微分运算是求信号的变化率，由傅立叶变换的微分性质可知，微分运算具有较强高频分量作用。从频率域来考虑，图像模糊的实质是因为其高频分量被衰减，因此可以用高通滤波器来使图像清晰。但要注意能够进行锐化处理的图像必须有较高的性噪比，否则锐化后图像性噪比反而更低，从而使得噪声增加的比信号还要多，因此一般是先去除或减轻噪声后再进行锐化处理。 图像锐化的方法分为高通滤波和空域微分法。图像的边缘或线条的细节（边缘）部分与图像频谱的高频分量相对应，因此采用高通滤波让高频分量顺利通过，并适当抑制中低频分量，是图像的细节变得清楚，实现图像的锐化，由于高通滤波我们在前面频域滤波已经讲过，所以这里主要讲空域的方法——微分法。 一阶微分运算一阶微分主要指梯度模运算，图像的梯度模值包含了边界及细节信息。梯度模算子用于计算梯度模值，通常认为它是边界提取算子，具有极值性、位移不变性和旋转不变性。 图像在点处的梯度定义为一个二维列矢量： 梯度大的幅值即模值，为： 梯度的方向在最大变化率方向上，方向角可表示为： 李辉，王华忠，张兵．层析反演中的正则化方法研究［Ｊ］．石油物探，２０１５，５４（５）：５６９ － ５８１Ｌｉ Ｈｕｉ，Ｗａｎｇ Ｈｕａｚｈｏｎｇ，Ｚｈａｎｇ Ｂｉｎｇ．Ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ［Ｊ］．Ｇｅｏｐｈｙｓｉｃａｌ Ｐｒｏｓｐｅｃｔｉｎｇ ｆｏｒ Ｐｅｔｒｏｌｅｕｍ，２０１５，５４（５）：５６９ － ５８１收稿日期：２０１４－１１－２４；改回日期：２０１５－０２－ ２６。作者简介：李辉（１９８５—） ，男，博士，现从事射线类偏移与反演的研究工作。基金项目：国家自然科学基金（４１３７４１１７）、国家重点基础研究发展计划（９７３计划）项目（２０１１ＣＢ２０１００２） 、国家科技重大专项项目（２０１１ＺＸ０５００３－００３，２０１１ＺＸ０５００５－００５－００８ＨＺ，２０１１ＺＸ０５００６－００２）和中国石化地球物理重点实验室开放基金项目（３３５５０００６－１４－ ＦＷ２０９９－ ００２６）共同资助。层析反演中的正则化方法研究 李 辉１，２，王华忠１，张 兵１， ３ （１．同济大学海洋与地球科学学院波现象与反演成像研究组，上海２０００９２；２．青凤致远应用地球物理研究所，上海２０００９３；３．中国石油化工股份有限公司石油物探技术研究院，江苏南京２１１１０３ ）摘要：正则化可显著降低层析反演解的非唯一性，提高层析反演结果的质量。主要研究了模型参数正则化和数据正则化。地下介质参数之间的关联性如何加入模型正则化是讨论的问题之一；观测数据之间的关联性加入数据正则化的方法则是另一个主要议题。此外，讨论了Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化和预条件两种模型正则化实现策略，指出前者理论比较直观，后者计算效率更高，并证明了两者在理论上的等价性。模型正则化通过构造各向异性光滑算子加入地质构造特征，数据正则化则通过在层析矩阵中加入预先构造的数据预条件矩阵来实现。通过层析偏移速度分析给出了模型正则化和数据正则化的具体实现策略。理论分析和层析偏移速度分析的数值实验说明本文的模型正则化和数据正则化可显著提高层析反演的质量。 关键词：层析偏移速度分析；模型正则化；数据正则化；预条件；地质构造约束中图分类号：Ｐ６３１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００－１４４１（２０１５）０５－０５６９－１３ ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ ．ｉｓｓｎ．１０００－１４４１．２０１５．０５．０１０Ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙＬｉ Ｈｕｉ １，Ｗａｎｇ Ｈｕａｚｈｏｎｇ１，Ｚｈａｎｇ Ｂｉｎｇ１，２ （１．Ｗａｖｅ Ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ａｎｄ Ｉｎｖｅｒｓｉｏｎ Ｉｍａｇｉｎｇ Ｇｒｏｕｐ（ＷＰＩ），Ｔｏｎｇｊｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２０００９２，Ｃｈｉｎａ；２．Ｑｉｎｇｆｅｎｇ－ ｚｈｉｙｕａｎ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｇｅｏｐｈｙｓｉｃｓ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２０００９３，Ｃｈｉｎａ；３．Ｓｉｎｏｐｅｃ Ｇｅｏｐｈｙｓｉｃａｌ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｎａｎｊｉｎｇ２１１１０３，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ ｉｓ ａｂｌｅ ｔｏ ｗｅａｋｅｎ ｔｈｅ ｎｏｎ－ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｓｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔ－Ｔｈｅ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｎｃｌｕｄｅｓ ｍｏｄｅｌ－ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｄａｔａ－ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎＭｏｄｅｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｒｅ ｎｏｔ ｉ－ｓｏｌａｔｅｄ，ｈｏｗ ｔｏ ａｄｄ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｎｔｏ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ ｉｓ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍｉｓｓｉｏｎｓ ｈｅｒｅＳｉｍｉｌａｒｌｙ，ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｄａ－ｔｕｍ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｉｎ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ ｉｓ ａｎｏｔｈｅｒ ｐｒｏｂｌｅｍＴｈｅ ｓｏ－ｃａｌｌｅｄ“ｓｔｒａｉｇｈｔｆｏｒｗａｒｄ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ”ａｎｄ ｔｈｅ“ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｒｅｇｕ－ｌａｒｉｚａｔｉｏｎ”ａｒｅ ｆｏｃｕｓｅｄ，ａｎｄ ｗｅ ａｃｈｉｅｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｏｒｍｅｒ ｉｓ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ａｎｄ ｔｈｅ ｌａｔｔｅｒ ｉｓ ｍｏｒｅ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙＡｌｓｏ，ｗｅ ｐｏｉｎｔ ｏｕｔ ｔｈａｔｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｔｗｏ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ａｒｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｅａｃｈ ｏｔｈｅｒ，ａｎｄ ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｓｈｏｗｎ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒＴｈｅ ｇｅｏｌｏｇｉｃａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒ－ｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｄｉｕｍ ｃａｎ ｂｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ－ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ ｓｍｏｏｔｈ ｍａｔｒｉｘ．Ｔｈｅ ｄａｔａ－ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｒｅａｌｉｚｅｄ ｗｉｔｈ ａｎｏｔｈｅｒ ｓｍｏｏｔｈ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｂｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｉｃ ｍａｔｒｉｘ．Ｔｈｅｍｏｄｅｌ－ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｄａｔａ－ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ａｒｅ ｔｅｓｔｅｄ ｗｉｔｈ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｉｃ ｍｉｇｒａｔｉｏｎ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ（ＭＶＡ）ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｗｉｔｈ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｉｃ ＭＶＡ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｏｄｅｌ－ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｄａ－ｔａ－ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ａｒｅ ｂｏｔｈ ａｂｌｅ ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｑｕａｌｉｔｙ ｏｆ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ ｏｂｖｉｏｕｓｌｙ．Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｔｏｍｏｇｒａｐｈｉｃ ＭＶＡ，ｍｏｄｅｌ－ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ，ｄａｔａ－ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ，ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ｇｅｏｌｏｇｉｃａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ 随着勘探地震技术的发展以及石油工业需求 的提高，叠前深度偏移逐渐成为工业应用中偏移技 ９ ６５第５４卷第５期２０１５年９月石 油 物 探 ＧＥＯＰＨＹＳＩＣＡＬ ＰＲＯＳＰＥＣＴＩＮＧ ＦＯＲ ＰＥＴＲＯＬＥＵＭＶｏｌ．５４， Ｎｏ．５Ｓｅｐ．，２０１５ 正则化和反问题 正则化(regularization)在线性代数理论中，不适定问题通常是由一组线性代数方程定义的，而且这组方程组通常来源于有着很大的条件数的不适定反问题。大条件数意味着舍入误差或其它误差会严重地影响问题的结果。反问题有两种形式。最普遍的形式是已知系统和输出求输入，另一种系统未知的情况通常也被视为反问题。许多反问题很难被解决，但是其他反问题却很容易得到答案。显然，易于解决的问题不会比很难解决的问题更能引起人们的兴趣，我们直接解决它们就可以了。那些很难被解决的问题则被称为不适定的。一个不适定问题通常是病态的，并且不论是简单地还是复杂地改变问题本身的形式都不会显著地改善病态问题。另一方面，病态问题不一定是不适定的，因为通过改变问题的形式往往可以改善病态问题。在严格的数学意义上，我们通常不可能对不适定问题进行求解并得到准确解答。然而，通过使用我们的先验知识，我们通常有希望能够得到一个接近准确解答的答案。 求解不适定问题的普遍方法是：用一族与原不适定问题相"邻近"的适定问题的解去逼近原问题的解,这种方法称为正则化方法。如何建立有效的正则化方法是反问题领域中不适定问题研究的重要内容。通常的正则化方法有基于变分原理的Tikhonov正则化、各种迭代方法以及其它的一些改进方法,这些方法都是求解不适定问题的有效方法,在各类反问题的研究中被广泛采用,并得到深入研究。 正则化：Normalization，代数几何中的一个概念。 通俗来说，就是给平面不可约代数曲线以某种形式的全纯参数表示。 即对于PC^2中的不可约代数曲线C，寻找一个紧Riemann面C*和一个全纯映射σ：C*→PC^2,使得σ(C*)=C 严格的定义如下： 设C是不可约平面代数曲线，S是C的奇点的集合。如果存在紧Riemann 面C*及全纯映射σ：C*→PC^2,使得 3.2正则化方法的概念 从数学角度来分析，CT 中的有限角度重建问题相当于求解一个欠定的代数方程组，属于不适定问题研究范畴，解决这类问题通常需要引入正则化方法]27,26[。 3.2.1不适定的概念 设算子A 映X x ∈为P p ∈，X 与P 分别为某类赋范空间，记 P Ax = (3.9) 在经典意义下求解(3.9)，就存在下述问题： (1)(3.9)式的解是否存在； (2)(3.9)式的解如果存在，是否唯一； (3)(3.9)式的解是否稳定或者说算子A 是否连续：对于右端的P 在某种意义下作微小的变动时，相应的解童是不是也只作微小的变动。 只要这些问题中有一个是否定的，就称(3.9)的解是不适定的。 3.2.2正则化方法概念的引入 设算子A 映X x ∈为P p ∈，X 与P 分别为某类赋范空间，二者满足(3.9)式。设A 的逆算子1-A 不连续，并假定当右端精确值为r p 时，得到经典意义下的解为r x ，即满足 r r P Ax = (3.10) 现在的问题是，如果右端受到扰动后变为δp ，且二者满足关系 δδ≤-r p p (3.11) 其中，?为某范数。则由于1-A 的不连续性，我们显然不能定义r p 对应的解为： δδp A x 1-= (3.12) 因此，必须修改该逆算子的定义。 定义：设算子),(αp R 映p 成x ，且依赖一个参数α，并具有如下性质： (1)存在正数01>δ，使得对于任意0>α，以及r p 的)(1δδδ≤邻域中的p ，即满足 10,δδδ≤<≤-p p r (3.13) 的p ，算子R 有定义。 (2)若对任意的0>ε，都存在),0(1δδ∈及依赖于δ的参数)(δαα=，使得算子),(αp R 映r p 的δ邻域到r x 的ε领域内，即 εδαδδ≤-=r x x x p R ,))(,( (3.14) 则称),(αp R 为方程(3.14)中A 的正则逆算子；δx 称为方程(3.14)的正则解，当0→δ时，正则解可以逼近我们所要求的精确解；α称为正则化参数。这样的求解方法就称为正则化方法。 1. 拟最优准则 Tikhonov 指出当数据误差水平δ和η未知时，可根据下面的拟最优准则： 0min opt dx d ααααα>????=?????? （1-1） 来确定正则参数。其基本思想是：让正则参数α以及正则解对该参数的变化率同时稳定在尽可能小的水平上。 2. 广义交叉验证 令 22(())/()[(())]/I A y m V tr I A m δααα-=- （2-1） 其中，* 1*()A (A A I)A h h h h A αα-=+，1(I A())(1())m kk k tr ααα=-=-∑，()kk αα为()A α的 对角元素。这样可以取* α满足 *()min ()V V αα= （2-2） 此法源于统计估计理论中选择最佳模型的PRESS 准则，但比它更稳健。 3. L_曲线法 L 曲线准则是指以log-log 尺度来描述与的曲线对比，进而根据该对比结果来确定正则 参数的方法。其名称由来是基于上述尺度作图时将出现一个明显的L 曲线。 运用L 曲线准则的关键是给出L 曲线偶角的数学定义,进而应用该准则选取参数α。Hanke 等[64]建议定义L 曲线的偶角为L 曲线在log-log 尺度下的最大曲率。令log b Ax αρ=- ，log x αθ=，则该曲率作为参数α的函数定义为 '''''' 3 '2'22()(()())c ρθρθαρθ-=+ （3-1） 其中“'”表示关于α的微分。 H.W.Engl 在文献[40]中指出:在相当多的情况下,L 曲线准则可通过极小化泛函 ()x b Ax ααφα=-来实现。即,选取*α使得 {} *0arg inf ()ααφα>= （3-2） 这一准则更便于在数值计算上加以实施。 但到目前为止,还没有相关文献获得过关于L 曲线准则的收敛性结果。另一方面,有文献己举反例指出了L 曲线准则的不收敛性。虽然如此,数值计算的结果表明,L 曲线准则与GCV 一样,具有很强的适应性。 4. 偏差原理: 定理4-1:(Morozov 偏差原理)[135]如果()φα是单值函数,则当0(,)U z A u ρδ>时存在这 样的()ααδ=,使得: public class EdgeDetect : ImageInfo { /*********************************************************** * * * Roberts, Sobel, Prewitt, Kirsch, GaussLaplacian * 水平检测、垂直检测、边缘增强、边缘均衡化 * ************************************************************ / /// 正则化图像超分辨率重建算法 1. MAP 正则化算法理论介绍 图像超分辨率重建问题是一个病态的问题，而在求解中加入先验信息可以提供一个很好的正则化机制来获得具有物理意义的解。贝叶斯（Bayesian ）方法可以用先验概率分布的形式来加入先验限制，从而可以获得超分辨率问题的正则解，而且该方法在近年的研究中被证明十分有效，因此成为图像超分辨率重建的主要方法之一。 贝叶斯的基本思想是：假设原始图像X 和降质图像Y 都是随机场，当概率 ()|P X Y 取最大值时，X 代表了在已知降至图像Y 时，原始图像X 的最大可能， 被称为X 的最大后验概率估计。 ()()()()arg max || arg max MAP X X X P X Y P Y X P X P Y =???? ?? =?? ?? (1) 由于以e 为底数的log 函数是单调递增函数，因此可以将上述概率函数取log 对数，不会影响最大值的结果。 ()()()arg max log log log MAP X X Y X P X P Y ??=+-?? (2) 由上式可知，()log P Y 与MAP X 取得最大值无关，因此可以忽略不计。由此可得： ()()arg max log log MAP X X Y X P X ??=+?? (3) 假定图像的噪声是均值为0，方差为2σ的高斯分布，则在给定的HR 图像的 当前估计X 的条件下，LR 图像的概率密度为： ( )22,,,,,|()2)k i j k i j k n i j P Y X Y Y σ=-- (4) 由此可得 ( )22,,,,,22,,,,,,2,,,,,,?arg max log |arg max log ()2)arg min ()2arg min ()X X i j k i j k n i j X i j k i j k n i j k X i j k i j k i j k X P Y X Y Y Y Y Y Y σσ??=?? ??=--?? ??????=-?? ?? ??=-???? ∑∑ (5) 上式中，由于方差齐次性，所以可以消去n σ的影响。 2. 图像超分辨率重建的正则化处理 由于图像成像系统降质过程模型表达式为： y Hx n =+ (6) 图像超分辨率重建问题转化为求解使下式达到最小值的X 2?arg min X X Y HX =- (7) 其Euler-Lagrange 方程为： T T H HX H Y = (8) 由此可看出，H 及Y 的很小变化就会造成解的很大变化，从而导致解不连续依赖于观测数据，所以这种情况是病态的。由于上述问题，我们通常加入正则化项2 CX α，对X 进行约束，构造正则化泛函如下： { }2 2 ?arg min X X Y HX CX α=-+ (9) 2Y HX -表示数据拟合项，通过已知数据和未知数据的差来衡量数据拟合程 度；2 CX α是正则项，用来平衡数据的奇异性，并补偿降质图像所丢失的一些信息，使问题不在病态；α为正则化参数，起平衡正则项和数据项的作用，其值 的变化，可以影响数据的平滑性和数据拟合误差，直接影响重建数据的效果；C 通常代表高通滤波。 上式作为代价函数是凸函数，可以找到唯一解 1()T T T x H H C C H y α-=+ (10) 但由于逆矩阵的求解十分复杂，本文采用迭代下降算法求解重建图像，可以得到迭代表达式为： 1(())T T T k k k k x x H y H H x C C x α+=+-+ (11) 222 2 ()15k k x y Hx y α=- (12) Tikhonov regularization From Wikipedia, the free encyclopedia Tikhonov regularization is the most commonly used method of regularization of ill-posed problems named for Andrey Tychonoff. In statistics, the method is also known as ridge regression . It is related to the Levenberg-Marquardt algorithm for non-linear least-squares problems. The standard approach to solve an underdetermined system of linear equations given as ,b Ax = is known as linear least squares and seeks to minimize the residual 2b Ax - where ?is the Euclidean norm. However, the matrix A may be ill-conditioned or singular yielding a non-unique solution. In order to give preference to a particular solution with desirable properties, the regularization term is included in this minimization: 2 2x b Ax Γ+- for some suitably chosen Tikhonov matrix , Γ. In many cases, this matrix is chosen as the identity matrix Γ= I , giving preference to solutions with smaller norms. In other cases, highpass operators (e.g., a difference operator or a weighted Fourier operator) may be used to enforce smoothness if the underlying vector is believed to be mostly continuous. This regularization improves the conditioning of the problem, thus enabling a numerical solution. An explicit solution, denoted by , is given by: ()b A A A x T T T 1?-ΓΓ+=大地测量中不适定问题的正则化解法研究
(整理)图像锐化和边缘增强.
层析反演中的正则化方法研究
正则化和反问题
正则化方法
正则化参数的确定方法
边缘提取算法
正则化图像超分辨率重建算法
Tikhonov吉洪诺夫正则化