关于矩阵方程ATX+XHA=B的一般解

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关于矩阵方程ATX+XHA=B的一般解

作者：王青朱利刚陈生安

来源：《价值工程》2018年第17期

摘要：本文主要研究了矩阵方程ATX+XHA=B的求解问题，我们证明该方程的解总可以通过矩阵方程ATX+XHA=B的特解和其对应的齐次矩阵方程ATX+XHA=B的解表出。

Abstract： In this paper， we mainly study the problem of solving matrix equations

ATX+XHA=B. We prove that the solution of the equation can always be expressed by the special solution of the matrix equation ATX+XHA=B and the solution of its corresponding homogeneous matrix equation ATX+XHA=B.

关键词：矩阵方程；共轭转置；零因子；广义逆

Key words： matrix equation；conjugate transposition；zero factor；generalized inverse

中图分类号：O151.21 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2018）17-0197-03

0 引言

矩阵方程是线性代数的一个重要内容，是矩阵最重要的数字特征之一。1920年，Moore首次给出矩阵广义逆的概念；1955年，Penrose用方程组给出广义逆的定义。此后，广义逆的研究获得了迅速发展并逐步应用在数理统计、最优化理论、控制理论等许多领域。目前广义逆已广泛应用于求解矩阵方程。近年来，一些学者对应用于机械系统、控制理论的较为典型的矩阵方程进行了广泛研究和应用，其中包括研究AX-XB=C[1，2]，ATX±XTA=B[3]等矩阵方程分别在有限域和无限域的广义解的存在性的讨论。

本文将在前人研究的基础上，讨论矩阵方程ATX+XHA=B的解的存在性，并得出其一般解的形式。

1 预备知识

记Cm×n为m×n的复矩阵的全体，本文所讨论的矩阵均为Cm×n中的矩阵。我们首先介

绍一些众所周知的定义和结果。

定义1.1 设A∈Cm×n，用A表示以A的元素的共轭复数为元素组成的矩阵，AH=（A）T 称为A的共轭转置矩阵。

易知矩阵的共轭转置运算具有下列性质：