数学建模：投资问题

投资的收益与风险问题

摘要

对市场上的多种风险资产和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的设计需要考虑两个目标：总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，而这两个目标在一定意义上是对立的。

本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，并通过“最大化策略”，即控制风险使收益最大，将原模型简化为单目标的线性规划模型一；在保证一定收益水平下，以风险最小为目标，将原模型简化为了极小极大规划模型二；以及引入收益——风险偏好系数，将两目标加权，化原模型为单目标非线性模型模型三。然后分别使用Matlab的内部函数linprog，fminmax，fmincon对不同的风险水平，收益水平，以及偏好系数求解三个模型。

关键词：组合投资，两目标优化模型，风险偏好

2.问题重述与分析

3.市场上有种资产（如股票、债券、…）()供投资者选择，某公司有数额为的

一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买的平均收益率为，并预测出购买的风险损失率为。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。

购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。（）

1、已知时的相关数据如下：

试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。

2、试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。

本题需要我们设计一种投资组合方案，使收益尽可能大，而风险尽可能小。并给出对应的盈亏数据，以及一般情况的讨论。

这是一个优化问题，要决策的是每种资产的投资额，要达到目标包括两方面的要求:净收益最大和总风险最低，即本题是一个双优化的问题，一般情况下，这两个目标是矛盾的，因为净收益越大则风险也会随着增加，反之也是一样的，所以，我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决策方案，我们只能做到的是：在收益一定的情况下，使得风险最小的决策，或者在风险一定的情况下，

使得净收益最大，或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情况下设计出最好的决策方案，这样的话，我们得到的不再是一个方案，而是一个方案的组合，简称组合方案。 设购买S i （i=0,1…….n;S 0表示存入银行，）的金额为x i ;所支付的交易费为c i (x i )，则：

000

0()01, 2, , ,()0i i i i i

i i i i

i i

x c x p u x u i n c x p x x u =??

=<<==??≥?

对S i 投资的净收益为:)()(i i i i i i x c x r x R -= （i ＝0，1，…，n ）

对S i 投资的风险为:i i i i x q x Q =)( （i ＝0，1，…，n ），q 0=0 对S i 投资所需资金（即购买金额x i 与所需的手续费c i (x i ) 之和）是

)()(i i i i i x c x x f += （i ＝0，1，…，n ）

投资方案用x =（x 0，x 1，…，x n ）表示，那么， 净收益总额为：

()()n

i i i R R x ==∑x

总风险为：

)(x Q =)(min 0i i n

i x Q ≤≤

所需资金为：

)()(0

i n

i i x f x F ∑==

所以，总收益最大，总风险最小的双目标优化模型表示为：

?

??

???≥=???? ??-0,)()()(min x M x F x R x Q x

但是像这样的双目标模型用一般的方法很难求解出来的，所以经过分析把次模型转化为三种较简单

的单目标模型。

3.假设与模型

假设该公司在这一时期内是一次性投资；除交易费和投资费用外再无其他的费用开支；在这一时期市场发展基本上是稳定的；外界因素对投资的资产无较大影响；无其他的人为干预；社会政策无较大变化；公司的经济发展对投资无较大影响资产投资是在市场中进行的，市场是复杂多变的，是无法用数量或函数进行准确描述的，因此以上的假设是必要的，一般说来物价变化具有一定的周期性，社会政策也并非天天改变，公司自身的发展在稳定的情况下才会用额外的资金进行较大的风险的投资， 市场与社会的系统发展在一个时期内是良性的、稳定的，以上假设也是合理的。

3.1模型a

假设投资的风险水平是k,即要求总风险Q （x ）限制在k 内，Q （x ）k ≤，则模型可转化为：

max ()x R

s.t ()0,)(,≥=≤x M x F k x Q

3.2模型b

假设投资的收益水平是h ，即净收益总额)(x R 不少于h ：)(x R ≥h ，则模型可转化为：

)(min x Q

s.t 0,)(,)(≥=≥x M x F h x R

3.3模型c

假设投资者对风险和收益的相对偏好参数为ρ（≥0），则模型可转化为：

)()1()(min x R x Q ρρ--

s.t.0,)(≥=x M x F

3.4 模型求解及分析

由于交易费 c i (x i )是分段函数，使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂，是一个非线性

规划问题，难于求解. 但注意到总投资额M 相当大，一旦投资资产S i ，其投资额x i 一般都会超过u i ，于是交易费c i (x i )可简化为线性函数

i i i i x p x c =)(

从而，资金约束简化为

()()(1)n n

i i i i i i F f x p x M ====+=∑∑x

净收益总额简化为

()()[()]()n n n

i i i i i i i i i i i i R R x r x c x r p x =====-=-∑∑∑x

在实际进行计算时，可设 M =1，此时

i y =（i p +1）i x （i ＝0，1，…，n ）

可视作投资S i 的比例.

以下的模型求解都是在上述两个简化条件下进行讨论的.

1）模型 a 的求解

模型 a 的约束条件 Q (x )≤k 即

00()max ()max()i i i i i n

i n

Q Q x q x ≤≤≤≤==x ≤k ，

所以此约束条件可转化为

k x q i i ≤ （i ＝0，1，…，n ）.

这时模型 a 可化简为如下的线性规划问题：

max ()s.t. , =1, 2, , (1)1, 0

n

i i i

i i i n

i

i

i r p x q x k i n p x

==-≤+=≥∑∑ x

具体到n =4 的情形，按投资的收益和风险问题中题中给定的数据，模型为：

43210185.0185.019.027.005.0max x x x x x ++++ s.t k x k x k x k x ≤≤≤≤4321026.0,055.0,015.0,025.0

0,1065.1045.102.101.143210≥=++++i x x x x x x （i ＝0，1， (4)

利用matlab7.1 求解模型a 输出结果是

{0.177638, {x0 -> 0.158192, x1 -> 0.2, x2 -> 0.333333, x3 -> 0.0909091,x4 -> 0.192308}}

这说明投资方案为（0.158192，0.2，0.333333，0.0909091，0.192308）时，可以获得总体风险不超过 0.005 的最大收益是 0.177638M . 当 k 取不同的值（0~0.025），风险与收益的关系见图1. 输出结果列表如下：

表1 模型1的计算结果

图1 模型1中风险k 与收益的关系

结合图1，对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择图中曲线的拐点（0.006，0.2019），

这时对的投资比例见表1的黑体所示。

从表1中的计算结果可以看出，对低风险水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的S 2，然后是S 1和S 4，总收益较低；对高风险水平，总收益较高，投资方向是选择净收益率（r i –p i ）较大的S 1和S 2．这些与人们的经验是一致的，这里给出了定量的结果．

2）模型 b 的求解

模型 b 本来是极小极大规划：

0min max()i i i n

q x ≤≤

s.t.

()n

i

i

i

i r p x

=-∑≥h

(1

)1

n

i

i i p x =+=∑ x ≥0 但是，可以引进变量x n +1=0max()i i i n

q x ≤≤，将它改写为如下的线性规划：

1min()n x +

00.0050.01

0.0150.020.025

风险 a

收益

s.t 1+≤n i i x x q ,i =0,1,2,…,n ,

()n

i

i

i

i r p x

=-∑≥h ,

(1)1n

i

i

i p x

=+=∑, x ≥0

具体到n =4 的情形，按投资的收益和风险问题中题中给定的数据，模型为：

min x 5

s.t 54535251026.0,055.0,015.0,025.0x x x x x x x x ≤≤≤≤

,185.0185.019.027.005.043210h x x x x x ≥++++

,0,1065.1045.102.101.143210≥=++++i x x x x x x （i ＝0，1， (5)

利用 matlab7.1 求解模型 b ，当 h 取不同的值（0.1~0.25），我们计算最小风险和最优决策,收益水平h 取，结果如表2所示，风险和收益的关系见图2. 从表2看出，对低收益水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的资产，然后是和，总收益当然较低。对高收益水平，总风险自然也高，应首选净收益率（）最大的和。这些与人们的经验是一致的。

表2 模型2的计算结果

图2 模型2中风险与收益h 的关系

结合图2，对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择图中曲线的拐点（0.059，0.2），

这时对的投资比例见表2的黑体所示。

3）模型 c 的求解

类似模型 b 的求解，我们同样引进变量x n +1=0max()i i i n

q x ≤≤，将它改写为如下的线性规划：

min ρx n +1–（1–ρ）

()n

i

i

i

i r p x

=-∑

s.t 1+≤n i i x x q ,i =0，1，2，…，n

(1

)1

n

i

i i p x =+=∑ x ≥0 具体到n =4 的情形，按投资的收益和风险问题题中给定的数据，模型为：

)185.0185.019.027.005.0)(1(min 432105x x x x x x ++++--ρρ

s.t 54,535251026.0055.0,015.0,025.0x x x x x x x x ≤≤≤≤

0,1065.1045.102.101.143210≥=++++i x x x x x x （i ＝0，1， (5)

利用 matlab7.1 求解模型 c ，当ρ 取不同的值（0.75~0.95），我们计算最小风险和最优决策

输出结果列表如下：

表3 模型3的计算结果

0.002

0.0040.0060.008

0.010.0120.0140.0160.0180.02

风险

收益

从图5可以看出，模型3的风险与收益关系与模型1和模型2的结果几乎完全一致。

图3 模型3中风险与收益的关系

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

风险

收益

图4模型3中风险与偏好系数的关系

图5 模型3中收益与偏好系数的关系

四 模型评价与推广

本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，通过控制风险使收益最大，保证收益使风险最

小，以及引入收益——风险偏好系数，将两目标模型化为了单目标模型，并使用matlab7.1求解，所得结果具有一定的指导意义。

但是，本文没有讨论收益和风险的评估方法，在实际应用中还存在资产相关的情形，此时，用最大风险代表组合投资的风险未必合理，因此，对不同风险度量下的最优投资组合进行比较研究是进一步的改进方向。

0.75

0.8

0.850.9

0.951

偏好系数

风险

0.75

0.8

0.850.9

0.95

1

偏好系数

收益

五总结

历经两周的时间终于完成了这次课设，在这次实践课程中，我真的遇到了不少的问题，在同学，老师的帮助以及在图书馆和网站搜集资料，解决了所有遇到的问题。尤其在问题分析的过程中，是难度最大也是问题最多的环节，感觉总是把问题分析的不够全面透彻，经常顾及这个方面而忽视了另一方面，最后我请教了同学，终于完成了问题分析并且建立了模型。在完成这一环节后，接下来的任务都是我独立完成，也遇到了不少的困难，但都是较易解决的。通过这次实践，我确实学到了不少，学会了使用MATLAB，也知道了分析问题的方法。

六参考文献

[1]MATLAB程序设计与实例应用。张铮等。北京：中国铁道出版社，2003.10

[2]运筹学—方法与应用。吴风平。南京：河海大学出版社，2000.12

[3]《数学模型及方法》。李火林主编。江西高校出版社，1997.10

[4]数学建模教育及竞赛。甘筱青主编。南昌：江西高校出版社。2004.6

[5] 萧树铁，面向21世纪课程教材：大学数学数学实验，北京：高等教育出版社，1999.7.

[6]赫孝良，戴永红等编著，数学建模竞赛：赛题简析与论文点评，西安：西安交通大学出版社，2002.6.

[7]陈叔平，谭永基，一类投资组合问题的建模与分析，数学的实践与认识，（29）7：45-49，1999.

七附录

function result=qiujie()

%data为表格数据

data=[28 2.5 1 103

21 1.5 2 198

23 5.5 4.5 52

25 2.6 6.5 40];

data1=[9.6 42 2.1 181

18.5 54 3.2407

49.4 60 6.0 428

23.9 42 1.5 549

8.1 1.2 7.6270

14 39 3.4 397

40.7 68 5.6178

31.2 33.4 3.1 220

33.6 53.3 2.7 475

36.8 40 2.9 248

11.8 31 5.1 195

9 5.5 5.7 320

35 46 2.7267

9.4 5.3 4.5 328

15 23 7.6 131];

data=[[5 0 0 0];data]./100;%增加存银行

r=data(:,1);

q=data(:,2);

p=data(:,3);

% %模型一求解

% result=[];

% for a=0:0.01:0.5

% result=[result;moxing1(r,q,p,a)]; % end

% result=round(result.*10000)./10000; % plot(result(:,1),result(:,2))

% grid on

% xlabel('风险)

% ylabel('收益')

% %模型二求解

% result=[];

% for k=0.1:0.01:0.4

% result=[result;moxing2(r,q,p,k)]; % end

% result=round(result.*10000)./10000; % plot(result(:,1),result(:,2))

% grid on

% xlabel('风险')

% ylabel('收益')

%模型三求解

result=[];

for s=0.76:0.01:0.97

result=[result;moxing3(r,q,p,s)]; end

result=round(result.*10000)./10000; figure(1)

plot(result(:,2),result(:,3))

grid on

xlabel('风险')

ylabel('收益')

pause

figure(2)

plot(result(:,1),result(:,2))

grid on

xlabel('偏好系数')

ylabel('风险')

pause

figure(3)

plot(result(:,1),result(:,3))

grid on

xlabel('偏好系数')

ylabel('收益')

function result1=moxing1(r,q,p,a)

%线性规划模型

%r收益率，为列向量

%p交易费率，为列向量

%q风险率，为列向量

%a风险水平

f=(p-r)';%转为求极小

n=length(q);

I=eye(n);

for i=2:n

A(i-1,:)=q(i)*I(i,:);

end

b=a*ones(n-1,1);

Aeq=(1+p');

beq=1;

lb=zeros(n,1);

ub=[];

[x,fval,exitflag,output]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub);

result1=[a,-fval,x'];

end

function result2=moxing2(r,q,p,k)

%极小极大模型

%r收益率，为列向量

%p交易费率，为列向量

%q风险率，为列向量

%k收益水平

n=length(q);

f=@(x)q.*x(1:n);

A=(p-r)';

b=-k;

Aeq=1+p';

beq=1;

lb=zeros(n,1);

ub=[];

x0=rand(n,1);

[x,fval,maxfval,exitflag]=fminimax (f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub);

result2=[max(q.*x),k,x'];

end

function result3=moxing3(r,q,p,s)

%极小极大模型

%r收益率，为列向量

%p交易费率，为列向量

%q风险率，为列向量

%s投资偏好系数

n=length(q);

f=@(x)(s*max(q.*x)-(1-s)*sum((r-p).*x));

A=[];b=[];

Aeq=1+p';

beq=1;

lb=zeros(n,1);

ub=[];

x0=rand(n,1);

[x,fval,exitflag,output] = fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub); result3=[s,max(q.*x),sum((r-p).*x),x'];

end

end