北京市顺义区2017届高三第二次统练数学理试题

顺义区2017届高三第二次统练

数学试卷（理科）

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1. 设集合2{|320}A x x x =-+> ，{|340}B x x =->，则A B =

A.4(2,)3--

B.4(2,)3-

C.4(1,)3

D.(2,)+∞

2.执行如图所示的程序框图,则输出的s 值为

A.

116 B.136 C.2512

D. 2912 3.已知向量(1,3),(1,3)AB AC ==-

, 则∠BAC=

A.300

B.450

C.600

D.1200

4. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为

A. 8

B. 8410+

C. 21013+

D. 410213+

5. 已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 垂直”是“平面α和平面β垂直”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 6. 在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域

200

220x y x y x y +≥??

-≤??-+≥?

中的点在直线220x y --=上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │=

A ．

52 B ．352

C ．22

D ．8 7.将函数sin(2)6

y x π

=+

图象上的点3

(,

)2

M θ(0)4πθ<<向右平移(0)t t >个单位长度得到点

'M .若'M 位于函数sin 2y x =的图象上,则

A.,12t π

θ=

的最小值为

12π

B. ,12t π

θ=

的最小值为

6π

C. ,6t πθ=的最小值为6

π D. ,6t πθ=的最小值为12π

8. 某学校为了提高学生综合素质、树立社会主义荣辱观、发展创新能力和实践能力、促进学生健康成长，开展评选“校园之星”活动.规定各班每10人推选一名候选人 ，当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名候选人，那么，各班可推选候选人人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =( []x 表示不大于x 的最大整数)可以表示为

.[

]10x A y = 2.[]10x B y += 3.[]10x C y += 4.[]10

x D y += 第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

9.` 已知(2)(1)z a a i =-++在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是

________ .

10.在2

8

1()2x x

+

的展开式中, 7x 的系数为________.(用数字作答) 11. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若24a =，88S =-，则10a =_______. 12. 在极坐标系中，圆2cos ρθ=-的圆心C 到直线2cos sin 20ρθρθ+-=的距离 等于______.

13. 已知抛物线22(0)y px p =>的准线为l ,若l 与圆22

650x y x +++=的交点为,A B ,且

23AB =.则p 的值为_______．

14．已知函数

32,,(),.

x x m f x x x m ?≤?=?>??，函数()()g x f x k =-.

（1）当2m =时，若函数()g x 有两个零点，则k 的取值范围是 ； （2）若存在实数k 使得函数()g x 有两个零点，则m 的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分13分）

在ABC △中,角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知3cos cos .2cos a b B+A c c C

= （I ）求C ∠的大小；

（II ）求sin 3sin B A -的最小值.

16. （本小题满分13分）

春节期间，受烟花爆竹集中燃放影响，我国多数城市空气中PM2.5浓度快速上升，特别是在大气扩散条件不利的情况下，空气质量在短时间内会迅速恶化.2017年除夕18时和初一2时，国家环保部门对8个城市空气中PM2.5浓度监测的数据如下表（单位：微克/立方米）.

(Ⅰ)求这8

个城市除夕18

时空气中PM2.5浓度的平均值；

(Ⅱ)环保部门发现:除夕18时到初一2时空气中PM2.5浓度上升不超过100的城市都是"禁止燃放烟花爆竹"的城市, 浓度上升超过100的城市都未禁止燃放烟花爆竹.从以上8个城市中随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到“禁止燃放烟花爆竹”的城市个数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；

（Ⅲ） 记2017年除夕18时和初一2时以上8个城市空气中PM 2.5浓度的方差分别为2

1s 和2

2s ，比较2

1s 和2

2s 的大小关系（只需写出结果）.

17. （本小题满分14分）

如图,正三角形ABE 与菱形ABCD 所在的平面互相垂直，2=AB ,?=∠60ABC ,M 是AB 的中点.

（I ）求证：EM AD ⊥;

（II ）求二面角C BE A --的余弦值；

（III ）在线段EC 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面ABE 所成的角为?45，若存在，求出

EC

EP 的值；若不存在，说明理由. 除夕18时PM2.5浓度

初一2时PM2.5浓度

北京 75 647 天津 66 400 石家庄 89 375 廊坊 102 399 太原 46 115 上海 16 17 南京 35 44 杭州

131

39

E

18. （本小题满分14分）

已知函数()1++=-x pe x f x ()R p ∈.

（Ⅰ）当实数e p =时，求曲线()x f y =在点1=x 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()x f 的单调区间；

（Ⅲ）当1=p 时，若直线1+=mx y 与曲线()x f y =没有公共点，求实数m 的取值范围.

19.（本小题满分13分）

已知椭圆:E ()012222>>=+b a b

y a x 经过点3(1,)2-，其离心率21

=e .

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆C 相切，切点为T ，且l 与直线4-=x 相交于点S .

试问：在x 轴上是否存在一定点，使得以ST 为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该点的坐标；

若不存在，请说明理由.

20.（本小题满分13分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对n N *?∈，总k N *?∈，使得n k S a =，则称数列{}n a 是“G 数列”．

（Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列,其首项11=a ,公差1d =-．证明: 数列}{n a 是“G 数列”；

（Ⅱ）若数列{}n a 的前n 项和3()n n S n N *

=∈，判断数列}{n a 是否为“G 数列”，并说明理由；

（Ⅲ）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“G 数列”}{n b 和}{n c ，使得

().n n n a b c n N *=+∈成立．

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数学试卷答案（理科）

一、DCC D DBAB 二、

9. (1,2)- 10. 7 11. -12 12. 45

5

13. 4或8 14. (]8,4; ()()+∞∞-,10,

三、

15. 解（I ）由正弦定理,得

s i n s i n ,s i n s i n a A b B

c C c C

==,---------------------------------1分 所以,

sin cos sin cos 3

.sin 2cos A B B A C C

+=

即

sin()3

sin 2cos A B C C

+=

. -----------------------------------3分 ∵πA B C ++=，(),,0,π,A B C ∈ ∴()sin sin .

A B C +=

-----------------------------------4分

∴2cos 3C =，3cos .2C =

-----------------------------------5分 ∵()0πC ∈，, ∴π

6

C =

. -----------------------------------6分 （II ）∵π,A B C ++=

∴5

π6A B +=. -----------------------------------7分

∴5

sin 3sin sin()3sin 6

B A A A π-=--

13cos sin 3sin 22

A A A =+- -----------------------------------9分 13

cos sin 22

A A =-πcos()3A =+ . -----------------------------------11分

∵5

π6

A B +=

, ∴5

(0,π)6

A ∈,

∴ππ7(,)336

A π+

∈. -----------------------------------12分 ∴π

cos()3

A +最小值为-1.

即sin 3sin B A -的最小值为-1. -----------------------------------13分 16.解：(Ⅰ)8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值

708

131

351646102896675=+++++++=

v .-------------------------------3分

(Ⅱ)以上8个城市中禁止燃放烟花爆竹的有太原，上海，南京，杭州4个城市，---4分 随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3.------------------------------------5分

03443

81

(0),14C C P X C === 12443

86

(1),14C C P X C === 2144386

(2),14C C P X C ===

30443

81

(3).14

C C P X C === X 的分布列为：

-----------------------------------------------------------------------9分

X 的数学期望1661213012314141414142

EX =?

+?+?+?==. -------------11分 （Ⅲ）21s <2

2s . ----------------------------------------------------------13分

17.(Ⅰ)证明:∵EB EA =,M 是AB 的中点,

∴.EM AB ⊥ --------------------------------------------------------------------1分

∵平面⊥ABE 平面,ABCD -----------------------------------------------------2分 平面 ABE 平面,ABCD AB =

?EM 平面,ABE

∴⊥EM 平面.ABCD -----------------------------------------------------------3分 AD ?平面ABCD ,

∴EM AD ⊥. -----------------------------------------------------------------4分

(Ⅱ)解:∵⊥EM 平面ABCD ,

X 0 1 2 3

P

141 146 146 14

1

∴MC EM ⊥.

显然△ABC 是正三角形, 则AB MC ⊥.

∴ME MC MB ,,两两垂直.

建立如图所示空间直角坐标系M -xyz .-----------------------------------------5分

则)0,0,0(M ,)0,0,1(-A ,)0,0,1(B ,)0,3,0(C ,)3,0,0(E

)0,3,1(-=BC ,(1,0,3).BE =-

设),,(z y x m =是平面BCE 的一个法向量

则?????=?=?00BE m BC m 即?

????=+-=+-0303z x y x 令1=z 得)1,1,3(=m ,--------------------------------------------------------------7分 因为y 轴与平面ABE 垂直.

所以(0,1,0)n =

是平面ABE 的一个法向量.----------------------------------------8分

15cos ,,551m n m n m n

?<>===?

------------------------------------------------9分

所以二面角C BE A --的余弦值为

5

5

.------------------------------------------10分 （III ）解：假设在线段EC 上存在点P ，使得直线AP 与平面ABE 所成的角为?45.

)3,0,1(=AE ,)3,3,0(-=EC ,

设)3,3,0(λλλ-==EC EP ,])1,0[(∈λ

则)33,3,1(λλ-=+=EP AE AP . ------------------------------------------------11分

由2232sin 45cos ,,2

133631

AP n AP n AP n

λ

λλλ?=<>=

=

=

++-+?

解得 2

3

λ=

----------------------------------------------------------------------------------13分 所以存在点P ，且

2

3

EP EC =.----------------------------------------------------------------14分 B

A C

D

E

M

x

y

z

18.解：（Ⅰ）当e p =时，()11++=+-x e x f x ，()11+-='+-x e x f

∴()31=f ，()01='f

∴曲线()x f y =在点1=x 处的切线方程为3=y -----------------------------4分

（Ⅱ）∵()1++=-x pe x f x ，∴()1+-='-x pe x f ---------------------------------5分

①当0≤p 时，()0>'x f ，则函数()x f 在的单调递增区间为()+∞∞-,；

-----------------------------------6分

②当0>p 时，令()0f x '=，得p e x =，解得p x ln =.---------------------7分 则当x 变化时，()x f '的变化情况如下表：

x ()p ln ,∞-

p ln

()+∞,ln p

()x f ' -

0 +

()x f

p ln 2+

------------------------------9分

所以, 当0>p 时,()x f 的单调递增区间为 ()+∞,ln p , 单调递减区间为()p ln ,∞-. ------------------------------10分

（Ⅲ）当1=p 时，()1++=-x e x f x

，直线1+=mx y 与曲线()x f y =没有公共点，

等价于关于x 的方程11++=+-x e mx x

在()+∞∞-,上没有实数解，

即关于x 的方程()x

e

x m -=-1（*）在()+∞∞-,上没有实数解.

①当1=m 时，方程（*）化为0=-x

e ，

显然在()+∞∞-,上没有实数解. --------------------------------12分

②当1≠m 时，方程（*）化为1

1-=

m xe x

，令()x xe x g =，则有()()x

e x x g +='1. 令()0='x g ，得1-=x ，则当x 变化时，()g x '的变化情况如下表：

x (),1-∞-

1-

()1,-+∞

()g x '

-

+

()g x

1e

-

当1x =-时，()min 1

g x e

=-

，同时当x 趋于+∞时，()g x 趋于+∞， 从而()g x 的值域为1,e ??-+∞????

． -----------------------------------13分 所以当

e

m 1

11-<-时，方程（*）无实数解，解得实数m 的取值范围是()1,1e -． 综合①②可知实数m 的取值范围是(]1,1e -.----------------------------14分

19.解：（Ⅰ）由点3

(1,)2-在椭圆上得，

22

1914a b +=-----------------① 依题设知2a c =，则2

2

3b c =. ----------------------------------②

②代入①解得2221,4,3c a b ===

故椭圆E 的标准方程为22

143x y +=. ---------------------------------4分 （Ⅱ）由???

??=++=134

2

2y x m

kx y 消去y ,得 ()

0124834222=-+++m kmx x k . -----------------------------------5分 因为动直线l 与椭圆C 相切，即它们有且只有一个公共点T ，可设()00,y x T ，

所以0≠m 且0=?，

即()()

0124344642222=-+-m k m k ，化简得0342

2=+-m k ------------③

此时，m k k km x 43

4420-=+-=，m m kx y 30

0=+=，所以点T 的坐标为43

(,)k m m -. 由??

?+=-=m

kx y x 4

得()m k S +--4,4. -----------------------------------9分

假设在x 轴上存在定点满足条件，不妨设为点()0,1x A .

则由已知条件知AT AS ⊥,即0=?AT AS 对满足③式的k m ,恒成立. 因为()m k x AS +---=4,41，??? ??--

=m x m

k

AT 3,41，由0=?AT AS 得

0312********=+-+++m k x x m kx m k ，整理得()034441211=++++x x m

k

x --------④ 由④式对满足③式的k m ,恒成立，所以???=++=+034044121

1x x x ，解得11-=x .

故在x 轴上存在定点()0,1-，使得以ST 为直径的圆恒过该定点.-----------------13分

20.解（1）由题意1(1)(1)2n a n n =+--=-， ---------------------------1分

(1)

(1)2n n n S n -=+

-， -----------------------------------2分 若(1)

(1)22

n k n n S n a k -=+-==- , -----------------------------------3分 则(1)

22

n n k n -=+

-. 所以，存在*∈N k ，使得n k S a =.

所以, 数列{}n a 是“G 数列. ---------------------------------------4分 （2）解：首先113a S ==，

当2≥n 时，1

13

2--?=-=n n n n S S a ，

所以?

??≥?==-2,321

,31

n n a n n ， -----------------------------------6分 当2n =时，1923k -=?，得k N *?因此数列{}n a 不是“G 数列”． ----------------8分 （3）若n d bn =，（b 为常数），则数列{}n d 的前n 项和(1)

2

n n n S b +=

是数列{}n d 中的第(1)

2

n n +项，因此数列{}n d 是“G 数列”． 对任意的等差数列{}n a ，1(1)n a a n d =+-，（d 为公差）， 设1n b na =，1()(1)n c d a n =--， 则n n n

a b c =+，而数列

{}n b ，

{}

n c 都是“G 数列”.--------------------------------13分