、视频教学高中数学集合的运算

3、视频教学高中数学集合的运算

复习引入

1、集合的概念：

1、定义每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简

称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.

2、常用数集及记法

（1）非负整数集（自然数集）：记作N，（2）正整数集：记作N*或N+，

（3）整数集：记作Z , （4）有理数集：记作Q ,

（5）实数集：记作R （6）质数（素数）、合数；因数；奇数、偶数

3、元素对于集合的隶属关系

（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A

注意：“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写

4、集合中元素的特征

（1）确定性：（2）互异性：（3）无序性：

2、集合的表示方法

1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合

2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法

格式：{x∈A| P（x）}

含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合

注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}

3、韦恩图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法

4、字符表示

3、理解集合的要点

1、范畴

2、范围

4、子集概念

1、定义：

子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．

一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A 记作:A B B A ??或，A ?B 或B ?A

读作：A 包含于B 或B 包含A

即：B A B x A x ?∈?∈，则若任意

当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作：A ?/B 或B ?/A

注意：B A ?有两种可能（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合

2、集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．

一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何．．

一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B 3、真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ?，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，

记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A

4、空集是任何集合的子集 Φ?A 空集是任何非空集合的真子集Φ A 若A ≠Φ，则Φ A 任何一个集合是它本身的子集A A ?

5、易混符号

①“∈”与“?”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ??-∈Φ?R ，{1}?{1，2，3}

②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合

如 Φ?{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}

5、子集的个数：

结论：含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是n 2，

所有真子集的个数是n 2-1，非空真子集数为2-n

6、全集与补集

1 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ?），由S 中所有不属于A 的元素组成

的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集），记作A C S ，即C S A=},|{A x S x x ?∈且

2、性质：C S （C S A ）=A ，C S S=φ，C S φ=S

3、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示 7、前堂练习：

1、已知S ＝｛a ，b ｝，A ?S ，则A 与C S A 的所有组对共有的个数为（D ）

（A）1（B）2（C）3（D）4

2、设全集U（U≠φ），已知集合M、N、P，且M＝C U N，N＝C U P，则M与P 的关系是M ＝P

3、已知U=﹛（x，y）︱x∈﹛1，2﹜，y∈﹛1，2﹜﹜，A=﹛（x，y）︱x-y=0﹜，求

A=﹛（1，2），（2，1）﹜)

(

A的真子集的个数

4、设全集U=﹛1，2，3，4，5﹜，A=﹛2，5﹜，求

新课讲解

8、交集并集：

A B

1．交集的定义

一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．

记作A B（读作‘A交B’），即A B=｛x|x∈A，且x∈B｝．

如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．

又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e｝,B={c,d,e,f}.则A B={c,d,e}．

2．并集的定义

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B（读作‘A并B’），即A B ={x|x∈A，或x∈B})．

如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝．

9、例题讲解：

例1设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A B.

解：A B=｛x|x>-2｝｛x|x<3｝=｛x|-2

例2设A=｛x|x是等腰三角形｝，B=｛x|x是直角三角形｝，求A B.

解：A B=｛x|x是等腰三角形｝｛x|x是直角三角形｝

=｛x|x是等腰直角三角形｝．

例3 A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A B.

解：A B=｛3,4,5,6,7,8｝．

例4设A=｛x|x 是锐角三角形｝，B=｛x|x 是钝角三角形｝，求A B.

解：A B=｛x|x 是锐角三角形｝｛x|x 是钝角三角形｝

=｛x|x 是斜三角形｝．

例5设A=｛x|-1

解：A B=｛x|-1

说明：求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，

两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示；利用韦恩图表示两个集合的交集，有助于解题

例6设A=｛(x,y)|y=-4x+6｝,B=｛(x,y)|y=5x-3｝,求A B.

解：A B=｛(x,y)|y=-4x+6｝｛(x,y)|y=5x-3｝

=｛(x,y)|?

??-=+-=3564x y x y ｝=｛(1,2)｝注：本题中，(x,y)可以看作是直线上的的坐标，也可以看作二元一次方程的一个解．

例7设集合A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，又A B={9},求实数m的值.

解：∵A B={9}，A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，

∴2m-1=9或m2=9，解得m=5或m=3或m=-3.

若m=5，则A={-4，9，25}，B={9，0，-4}与A B={9}矛盾；

若m=3，则B中元素m-5=1-m=-2，与B中元素互异矛盾；

若m=-3，则A={-4，-7，9}，B={9，-8，4}满足A B={9}.∴m=-3．

例10．设A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},又A B={3，5}，A∩B={3}，求实数a,b,c的值. 解：∵A∩B={3},∴3∈B，∴32+3c+15=0，

∴c=-8.由方程x2-8x+15=0解得x=3或x=5，

?（A B={3，5}知，

∴B={3，5}.由A

3∈A，5?A（否则5∈A∩B，与A∩B={3}矛盾）

故必有A={3}，∴方程x2+ax+b=0有两相同的根3，

由韦达定理得3+3=-a ，3?3=b ，即a=-6,b=9，c=-8.

10、交集、并集的性质用韦恩图表示 (1)若A ?B,则A B=A ，A B=B

(2)若A ?B 则A B=B ，A B=A (3)若A=B, 则A A=A A A=A (4)若A,B 相交，有公共元素，但不包含

则A B A,A B B

A B A, A B B (5) )若A,B 无公共元素，则A B=Φ

从图中观察分析、思考、讨论，完全归纳以下性质，并用集合语言证明：

1．交集的性质

(1)A A=A A Φ=Φ，A B=B A (2)A B ?A, A B ?B ．

B A

(B)

2．并集的性质

(1)A A=A (2)A Φ=A (3)A B=B A (4)A B?Ａ,A B?B

?A B?A?A B．

联系交集的性质有结论：Φ

3. 摩根定律：(C u A) (C u B)= C u (A B),

(C u A) (C u B)= C u(A B)(可以用韦恩图来理解)．

结合补集，还有①A (C u A)=U, ②A (C u A)= Φ．

容斥原理

一般地把有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有

card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B)．

11、例题讲解：

例1设U=｛1,2,3,4,5,6,7,8｝,A=｛3,4,5｝,B=｛4,7,8｝,求C u A, C u B, (C u A) (C u B), (C u A) (C u B), C u(A B) ,

C u(A B)．

解：C u A=｛1,2,6,7,8｝ C u B=｛1,2,3,5,6｝

(C u A) (C u B)= C u (A B)=｛1,2,6｝

(C u A) (C u B)= C u (A B)=｛1,2,3,5,6,7,8｝

例2 已知集合A={y |y=x 2-4x+5},B={x |y=x -5}求A ∩B,A ∪B ．

解：A ∩B= {x |1≤x ≤5}, A ∪B=R ．

例3 已知A={x |x 2≤4}, B={x |x>a },若A ∩B=Ф,求实数a 的取值范围．解：a ≧2

例4 集合M=｛(x,y) |∣xy ∣=1,x ＞0｝,N=｛(x,y) |xy=-1｝,求M ∪N ．解：M ∪N=｛(x,y) |xy=-1,或xy=1(x ＞0)｝．

例5 已知全集U={x |x 2-3x+2≥0}，A={x ||x-2|>1}，B=?

?????≥--021x x x ，求C U A ，C U B ，A ∩B ，A ∩（C U B ），（C U A ）∩B

解：∵U={x |x 2-3x+2≥0}＝{x|x ≤1或x ≥2}，

A={x ||x-2|>1}={x|x<1或x>3}， B=?

?????≥--021x x x ={x| x ≤1或x>2} ∴C U A={}321≤≤=x x x 或

C U B={}2=x x

A ∩B=A={x|x<1或x>3}，={x|x<1或x>3}，

A ∩（C U

B ）=φ

（C U A ）∩B={}

3212≤<=x x x 或

12、作业：

1．P=｛a 2,a+2,-3｝,Q=｛a-2,2a+1,a 2+1｝,P Q=｛-3｝,求a ．（a=-2）

2．已知集合A={y|y=x 2-4x+5},B={x|y=x -5}求A B,A B ．

（A B= {x|1≤x ≤5}, A B=R ．）

3．已知A={x|x 2≤4}, B={x|x>a},若A B=φ,求实数a 的取值范围．(a>2)

4．集合M=｛(x,y) |∣xy ∣=1,x ＞0｝,N=｛(x,y) |xy=-1｝,求M N ．

（M N=｛(x,y) |xy=-1,或xy=1(x ＞0)｝．）

5．已知全集U=A B=｛1,3,5,7,9｝,A (C U B)=｛3,7｝, (C U A) B=｛5,9｝.则A B=____．

6. 已知集合A={x|x 2+4x-12=0}、B={x|x 2+kx-k=0}.若B B A = ，求k 的取值范围

(-4

4. 若集合M 、N 、P 是全集S 的子集，则图中阴影部分表示的集合是（C ）

A.P N M )( B ．P N M )(

C ．P C N M S )(

D ．P C N M S )(

M N

第9题