2014届高考数学一轮复习4.3三角函数的图象与性质教学案
4.3 三角函数的图象与性质
考纲要求
1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．
2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及
与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间? ??
??－π2，π2内的单调性．
1．周期函数及最小正周期
对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有__________，则称f (x )为周期函数，T 为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f (x )的最小正周期．
________(_____
1．函数y ＝cos ?
????x ＋π3，x ∈R ( )．
A ．是奇函数
B ．是偶函数
C ．既不是奇函数也不是偶函数_
D ．既是奇函数又是偶函数
2．下列函数中，在????
??π2，π上是增函数的是( )． A ．y ＝sin x
B ．y ＝cos x
C ．y ＝sin 2x
D ．y ＝cos 2x
3．函数y ＝cos ?
????2x ＋π2的图象的一条对称轴方程是( )． A ．x ＝－π
2
B ．x ＝－π
4
C ．x ＝π8
D ．x ＝π
4．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π
4
，则
f ? ??
??π4
的值是( )．
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．π
4
5．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为?
?????－1，12，则b －a 的值不可能是( )． A ．π3 B ．2π3
C ．π
D ．4π
3
一、三角函数的定义域与值域
【例1】(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2
的定义域．
(2)求函数y ＝cos 2
x ＋sin x ?
????|x |≤π4的最大值与最小值．
方法提炼
1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x ，cos x 的值域；
(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；
(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．
请做演练巩固提升2
二、三角函数的单调性 【例2－1】已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )
的最小正周期为6π，且当x ＝π
2
时，f (x )取得最大值，则( )．
A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数
B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数
C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数
D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数
【例2－2】设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2? ????π
2－x 满足f ? ??
??－π3＝f (0)，
求函数f (x )在??????π4
，11π24上的最大值和最小值．
方法提炼
1．熟记y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础．
2．求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间即可，注意A 的正负以及要先把ω化为正数．求y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 和y ＝A tan(ωx ＋φ)＋k 的单调区间类似．
请做演练巩固提升3
三、三角函数的周期性和奇偶性及对称性
【例3－1】设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)?
????ω＞0，|φ|＜π2，给出以下四个论断： ①它的最小正周期为π；
②它的图象关于直线x ＝π
12成轴对称图形；
③它的图象关于点? ??
??π3，0成中心对称图形； ④在区间????
??－π6，0上是增函数． 以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题__________(用序号表示即可)．
【例3－2】(2012湖北高考)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2
ωx
＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈? ??
??12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)若y ＝f (x )的图象经过点? ??
??π4，0，求函数f (x )的值域． 方法提炼
1．求三角函数周期的方法： (1)利用周期函数的定义；
(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π
|ω|
，y ＝
tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π
|ω|
；
(3)利用图象．
2．三角函数的对称性：
正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．
请做演练巩固提升1
不注意A ，ω的符号，易把单调性
弄反或把区间左右的值弄反
【典例】设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤????
??f ? ????π6对一切x ∈R 恒成立，则
①f ? ??
??11π12＝0
②??????f ? ????7π10＜????
??f ? ????π5 ③f (x )既不是奇函数也不是偶函数
④f (x )的单调递增区间是?
?????k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) ⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交． 以上结论正确的是__________(写出正确结论的编号)．
解析：由f (x )≤????
??f ? ????π6对一切x ∈R 恒成立知，直线x ＝π6是f (x )的对称轴， 又f (x )＝a 2＋b 2
sin(2x ＋φ)? ??
??其中tan φ＝b a 的周期为π，
∴f ? ????1112π＝f ? ????π6
＋3π4可看作x ＝π6的值加了34个周期．
∴f ? ??
??1112π＝0，故①正确． ∵7π10－2π3＝π30，π5－π6＝π30， ∴7π10和π
5
与对称轴的距离相等． ∴??????f ? ????7π10＝??????f ? ????π5，故②不正确． ∵x ＝π6是对称轴，∴sin ? ??
??2×π6＋φ＝±1.
∴π3＋φ＝±π
2
＋2k π，k ∈Z . ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π
6
＋2k π，k ∈Z .
∵tan φ＝b a ＝1
3，
∴a ＝3b .
∴f (x )＝2|b |sin ? ????2x ＋π6或f (x )＝2|b |sin ?
????2x －5π6.
∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数，故③正确．
由以上知，f (x )＝2|b |sin ? ????2x ＋π6的单调递增区间为????
??－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z ， f (x )＝2|b |sin ? ????2x －56π的单调递增区间为????
??π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z ， 由于f (x )的解析式不确定，
∴单调递增区间也不确定，故④不正确．
∵f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＝a 2＋b 2
sin(2x ＋φ)?
??
??其中tan φ＝b a ，
∴－a 2
＋b 2
≤f (x )≤a 2
＋b 2
. 又∵ab ≠0，∴a ≠0，b ≠0.
∴－a 2＋b 2＜b ＜a 2＋b 2
.
∴过点(a ，b )的直线必与函数f (x )的图象相交，故⑤不正确． 答案：①③ 答题指导：
1．在解答本题时易犯以下两点错误：
(1)在求④中f (x )的单调递增区间时，运算化简不准确，而使判断错误；
(2)对于⑤的判断不是根据推导，而是凭借印象想当然做出判断，而使解答错误． 2．解决三角函数性质的问题时，还有以下几点在备考时要高度关注： (1)化简时公式应用要准确；
(2)有的题目涉及到角的范围时要考虑全面； (3)和其他内容结合时要注意三角函数的值域．
1．(2012大纲全国高考)若函数f (x )＝sin
x ＋φ
3
(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝
( )．
A ．π2
B ．2π3
C ．3π2
D ．5π3
2．函数y ＝ln(sin x －cos x )的定义域为__________．
3．函数y ＝2sin ?
????x －π4的单调递增区间为__________．
4．已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4＋3cos x
2
. (1)求函数f (x )的最小正周期及最值；
(2)令g (x )＝f ?
????x ＋π3，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．
5．已知函数f (x )＝sin x (cos x －3sin x )．
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移a ?
????0＜a ＜π2个单位，向下平移b 个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，求a ，b 的值；
(3)求函数f (x )的单调增区间．
参考答案
基础梳理自测 知识梳理
1．f (x ＋T )＝f (x )
2．{y |－1≤y ≤1} {y |－1≤y ≤1} R ??????－π2＋2k π，π2＋2k π ????
??π2＋2k π，3π2＋2k π [(2k －1)π，2k π] [2k π，(2k ＋1)π] ? ????－π2＋k π，π2＋k π π
2
＋2k π
－π2＋2k π 2k π π＋2k π 奇 偶 奇 (k π，0)，k ∈Z ? ??
??k π＋π2，0，k ∈Z ? ??
??k π2，0，k ∈Z x ＝k π＋π2，k ∈Z x ＝k π，k ∈Z 2π 2π π 基础自测
1．C 解析：∵f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )，
∴f (x )＝cos ?
????x ＋π3，x ∈R 既不是奇函数，也不是偶函数．
2．D 解析：y ＝sin x 和y ＝cos x 在??????π2，π上是减函数，y ＝sin 2x 在????
??π2，π上不单调，y ＝cos 2x 在??????π2，π上是增函数． 3．B 解析：令2x ＋π2＝k π(k ∈Z )．即x ＝k π2－π4(k ∈Z )，检验知，x ＝－π
4
，
故选B.
4．A 解析：由题意，周期T ＝π4，∴ω＝πT ＝4.则f ? ????π4＝tan ?
????4×π4＝tan π＝0.
故选A.
5．A 解析：画出函数y ＝sin x 的草图(图略)，分析知b －a 的取值范围为??????2π3
，4π3，
故选A.
考点探究突破
【例1】解：(1)依题意有?
????
sin 2x >0，
9－x 2
≥0，
解得???
??
k π 即函数的定义域为 ??? x ? ???? ?－3≤x <－π2，或0 (2)设sin x ＝t ，则t ∈? ?? ? ?? － 22，22. ∴y ＝1－sin 2 x ＋sin x ＝－? ????t －122＋54，t ∈??????－22 ，22. 故当t ＝12，即x ＝π6时，y max ＝5 4 ， 当t ＝－ 22，即x ＝－π4时，y min ＝1－22 . 【例2－1】A 解析：∵函数f (x )的最小正周期为6π， ∴2πω＝6π，得ω＝13，在x ＝π 2时，函数f (x )取得最大值， ∴13×π2＋φ＝2k π＋π2 . 又∵－π＜φ≤π，∴φ＝π 3 . ∴f (x )＝2sin ? ????13 x ＋π3. 由2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π 2(k ∈Z )， 得6k π－52π≤x ≤6k π＋1 2 π(k ∈Z )． ∴f (x )的增区间是??????6k π－52π，6k π＋π2(k ∈Z )． 取k ＝0，得??????－5 2 π，π2是f (x )的一个增区间， ∴函数f (x )在区间[－2π，0]上是增函数． 【例2－2】解：f (x )＝a sin x cos x －cos 2 x ＋sin 2 x ＝a 2 sin 2x －cos 2x . 由f ? ?? ??－π3＝f (0)得－32·a 2＋12＝－1，解得a ＝2 3. 因此f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ? ????2x －π6. 当x ∈???? ??π4，π3时，2x －π6∈??????π3，π2，f (x )为增函数， 当x ∈??????π3 ，11π24时，2x －π6∈??????π2，3π4，f (x )为减函数， 所以f (x )在??????π4，11π24上的最大值为f ? ?? ??π3＝2. 又因f ? ????π4＝3，f ? ?? ? ?11π24＝2， 故f (x )在??????π4，11π24上的最小值为f ? ?? ??11π24＝ 2. 【例3－1】①②?③④(答案不唯一，也可填①③?②④) 解析：若把①②作条件可知ω＝2π π ＝2， ωx ＋φ＝2×π12＋φ＝k π＋π2，取φ＝π 3 . 因此f (x )＝sin ? ????2x ＋π3， 可验证③④都是正确的，因此①②?③④， 同理可验证①③?②④. 【例3－2】解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2 ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ? ????2ωx －π6＋λ， 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ? ????2ωπ－π6＝±1. 所以2ωπ－π6＝k π＋π 2(k ∈Z )， 即ω＝k 2＋1 3 (k ∈Z )． 又ω∈? ?? ??12，1，k ∈Z ，所以ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π 5. (2)由y ＝f (x )的图象过点? ?? ??π4，0， 得f ? ?? ??π4＝0， 即λ＝－2sin ? ????56×π2－π6 ＝－2sin π 4 ＝－2，即λ＝－ 2. 故f (x )＝2sin ? ????53 x －π6－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－2]． 演练巩固提升 1．C 解析：∵f (x )＝sin x ＋φ 3 是偶函数， ∴f (0)＝±1. ∴sin φ3＝±1.∴φ3＝k π＋π 2 (k ∈Z )． ∴φ＝3k π＋3π 2 (k ∈Z )． 又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，φ＝3π 2 .故选C. 2．??? x ???? ? ?π4＋2k π 4π＋2k π，k ∈Z 解析：由已知得sin x －cos x ＞0， 即sin x ＞cos x . 在[0,2π]内满足sin x ＞cos x 的x 的集合为? ?? ??π4，54π. 又正弦、余弦函数的周期为2π， ∴所求定义域为????? x ??? π 4 ＋2k π ? ??5 4π＋2k π，k ∈Z . 3．? ?????2k π－π4，2k π＋3π4(k ∈Z ) 解析：由2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得 2k π－π4≤x ≤2k π＋3π 4 (k ∈Z )， ∴函数的单调递增区间为 ???? ??2k π－π4，2k π＋3π4(k ∈Z )． 4．解：(1)f (x )＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin ? ?? ??x 2＋π3， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π 12 ＝4π. 当sin ? ????x 2＋π3＝－1时，f (x )取得最小值－2， 当sin ? ?? ??x 2＋π3＝1时，f (x )取得最大值2. (2)由(1)知f (x )＝2sin ? ?? ??x 2＋π3， 又g (x )＝f ? ????x ＋π3， ∴g (x )＝2sin ??????12? ????x ＋π3＋π3 ＝2sin ? ????x 2＋π2＝2cos x 2. ∴g (－x )＝2cos ? ?? ?? －x 2＝2cos x 2＝g (x )， ∴函数g (x )是偶函数． 5．解：f (x )＝sin x (cos x －3sin x ) ＝sin x cos x －3sin 2 x ＝12sin 2x －3×1－cos 2x 2 ＝12sin 2x ＋32cos 2x －32 ＝sin ? ????2x ＋π3－32. (1)f (x )的最小正周期T ＝2π 2 ＝π. (2)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移a 个单位得y ＝sin 2(x ＋a )的图象，再向下平移b 个单位，得函数y ＝sin(2x ＋2a )－b 的图象， 依题意得a ＝π6，b ＝3 2. (3)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )得，k π－5π12≤x ≤k π＋π 12 (k ∈Z )， 所以f (x )的单调增区间为? ?????k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． 三角函数的图像与性质 1．三角函数中的值域及最值问题 a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．0 答案：B 解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π 4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2 2， f (0) 高中三角函数说课稿 在高中的教师需要进行三角函数的教学那么相关的说课稿应该如何准备呢下面是小编分享给大家的高中三角函数说课稿欢迎阅读 一、教材分析 （一）内容说明 函数是中学数学的重要内容中学数学对函数的研究大致分成了三个阶段 三角函数是最具代表性的一种基本初等函数本章我们将开始三角函数的入门从最基础的任意角和弧度制以及任意角的三角函数讲起本节课是数形结合思想方法的良好素材数形结合是数学研究中的重要思想方法和解题方法 著名数学家华罗庚先生的诗句：......数缺形时少直观形少数时难入微数形结合百般好隔裂分家万事休......可以说精辟地道出了数形结合的重要性本节通过对数形结合的进一步认识可以改进学习方法增强学习数学的自信心和兴趣另外三角函数的曲线性质也体现了数学的对称之美、和谐之美因此本节课在教材中的知识作用和思想地位是相当重要的 （二）课时安排 教材安排为4课时,我计划用5课时 （三）目标和重、难点 1．教学目标 教学目标的确定考虑了以下几点： （1）高一学生有一定的抽象思维能力而形象思维在学习中占有不可替代的地位所以本节要紧紧抓住数形结合方法进行探索； （2）本班学生对数学科特别是函数内容的学习有畏难情绪所以在内容上要降低深难度 （3）学会方法比获得知识更重要本节课着眼于新知识的探索过程与方法巩固应用主要放在后面的三节课进行 由此我确定了以下三个层面的教学目标： （1）知识层面：结合单位圆的图像研究正弦函数、余弦函数和正切函数的性质； （2）能力层面：通过在教师引导下探索新知的过程培养学生观察、分析、归纳的自学能力为学生学习的可持续发展打下基础； （3）情感层面：通过运用数形结合思想方法让学生体会（数学）问题从抽象到形象的转化过程体会数学之美从而激发学习数学的信心和兴趣 2．重、难点 由以上教学目标可知本节重点是师生共同探索正、余函数的性质在探索中体会数形结合思想方法 难点是：弧度制的换算以及正弦函数、余弦函数和正切函数的简单性质为什么这样确定呢因为周期概念是学生第一次接触理解上易错 如何克服难点呢通过图像让学生直观的理解这些函数的性质通过多做练习让学生巩固所学的知识 高三数学必背公式总结 高三数学必背公式总结汇总 一、对数函数 log.a(MN)=logaM+logN loga(M/N)=logaM-logaN logaM^n=nlogaM(n=R) logbN=logaN/logab(a>0,b>0,N>0 a、b均不等于1) 二、简单几何体的面积与体积 S直棱柱侧=c*h(底面周长乘以高) S正棱椎侧=1/2*c*h′(底面的周长和斜高的一半) 设正棱台上、下底面的周长分别为c′，c，斜高为h′,S=1/2*(c+c′)*h S圆柱侧=c*l S圆台侧=1/2*(c+c′)*l=兀*(r+r′)*l S圆锥侧=1/2*c*l=兀*r*l S球=4*兀*R^3 V柱体=S*h V锥体=(1/3)*S*h V球=(4/3)*兀*R^3 三、两直线的位置关系及距离公式 (1)数轴上两点间的距离公式|AB|=|x2-x1| (2) 平面上两点A(x1,y1),(x2,y2)间的距离公式 |AB|=sqr[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2] (3) 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式 d=|Ax0+By0+C|/sqr (A^2+B^2) (4) 两平行直线l1:=Ax+By+C=0,l2=Ax+By+C2=0之间的距离d=|C1- C2|/sqr(A^2+B^2) 同角三角函数的基本关系及诱导公式 sin(2*k*兀+a)=sin(a) tan(2*兀+a)=tana sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana sin(2*兀-a)=-sina,cos(2*兀-a)=cosa,tan(2*兀-a)=-tana sin(兀+a)=-sina sin(兀-a)=sina cos(兀+a)=-cosa cos(兀-a)=-cosa tan(兀+a)=tana 四、二倍角公式及其变形使用 1、二倍角公式 sin2a=2*sina*cosa cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2*(cosa)^2-1=1-2*(sina)^2 tan2a=(2*tana)/[1-(tana)^2] 2、二倍角公式的变形 (cosa)^2=(1+cos2a)/2 (sina)^2=(1-cos2a)/2 tan(a/2)=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina 五、正弦定理和余弦定理 正弦定理: a/sinA=b/sinB=c/sinC 余弦定理: a^2=b^2+c^2-2bccosA b^2=a^2+c^2-2accosB c^2=a^2+b^2-2abcosC cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab tan(兀-a)=-tana sin(兀/2+a)=cosa sin(兀/2-a)=cosa 三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x ＝k π＋ π2(k ∈Z)； 对称轴： x ＝k π(k ∈Z) 对称中心： 对称中心：? ?? ?? ?k π2，0 (k ∈Z) 3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界. 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02π???? << ?? ? 个单位长度， 所得的部分图象如右图所示，则?的值为（ ） A ．6 π B ．3 π C ．12 π D ．23 π 2．已知函数()sin 23f x x π??=+ ?? ? ，为了得到()sin 2g x x =的图象，则 只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移3π个长度单位 B ．向右平移6 π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3 π 个长度单位 3．若113sin cos αα +=sin cos αα=（ ） A ．13- B ．13 C ．13-或1 D ．13或-1 4．2014cos()3 π的值为（ ） A ．12 B ． 3 2 C ．12- D ．32 - 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A 2 1k -．2 1k - C 2 1k -．2 1k k -- 6．若sin a = -45 ，a 是第三象限的角，则sin()4 a π +=（ ） （A ）-7210 （B ） 7210 （C ）2 - 10 （D ） 210 7 ．若 55 2) 4 sin(2cos -=+ π αα，且)2 ,4(ππα∈，则α2tan 的值为（ ） A ．3 4- B ．4 3- C ．4 3 D ．3 4 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是 （ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在)0,2 (π-上单调递减 C ．)(x f 的最大值为2 D ．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数2（ωφ），φ＜2 π的图象，那么 A.ω=11 10，φ=6 π B.ω=10 11，φ6π C.ω=2，φ=6 π D.ω =2，φ6 π 10．要得到函数sin(4)3 y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的 图象（ ） A ．向左平移3 π个单位 B ．向右平移3 π 个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12 π个单位 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象 《三角函数的图像与性质》说课稿 各位领导、老师们大家好： 今天我说课的内容是北师版数学高中教材必修四第一章第五、六、七节，我将从八个方面（教材、学情、教学模式、教学设计、板书、评价、开发、得失，出示ppt）说我对此课的思考和我的教学。 一、说教材 本节课是在学习了任意角和弧度制、任意角的三角函数、三角函数的诱导公式的基础上，对三角函数的进一步探索和研究，是一类与其他函数有很多共性但又有独具特性的一类函数。本节课的学习对培养学生的观察分析能力、作图读图能力、类比联想能力、归纳概括能力有着重要的作用。本课的重点：三角函数的图像与性质。本课的难点：三角函数与三角恒等变换交汇命题。(ppt知识树) 一节课不可能面面俱到，本着对教材和教学大纲的理解，我确定的教学目标是：知识与技能目标是1、掌握三角函数图像的作法；2、理解并掌握五点法做图。过程与方法目标是先以动手操作的形式激发学生的探究兴趣，再通过分析动态演示三角曲线的形成过程，让学生领会数形结合的数学思想方法。情感态度与价值观目标是使学生体验探究的乐趣，培养学生善于观察勇于探究的良好习惯和严谨的科学态度，同时也能够促进师生间的教学相长。 二、说学情 学生经过学习，尤其是必修1、必修4函数的训练，已经具有理解三角函数的能力，已经能够独立分析问题。但高三学生水平参差不齐，要以优促差，促进同学之间的互帮互学，加强小组之间的合作。 三、说教学模式 在教学过程中，我采用四步导学模式。四步导学模式，通过导引——学——导——练四个步骤，集中教学内容，突出教学目标，培养自主学习能力，精讲精练，当堂任务当堂完成。这种模式步骤简洁，易于操作实践。第一步，板书课题，出示目标。通过故事展开进入课堂环节，明确目标，师生学习有的放矢。第二步，自学指导，自主学习。学生带着问题学习，更有目的性，便于很快抓住重点，突破难点。第三步，合作互助，共同探究。分组分板块阅读，能够更深入，学生在思考教师提问时，可以圈点出自己疑难的地方，然后通过小组讨论，全班讨论，得到解决。第四步，拓展迁移，形成能力。根 高考公式大总结 根式 当n 为奇数时,a a n n =； 当n 为偶数时,???<-≥==0,0,a a a a a a n n . 正数的正(负)分数指数幂: １．n m n m a a =1,,0(*>∈>n N n m a ，且) 2.n m n m a a 1 = -1,,0(*>∈>n N n m a ，且）． 整数指数幂的运算性质： (1）();,,0Q s r a a a a s r s r ∈>=+ （2）() ()Q s r a a a rs s r ∈>=,,0; (3）()()Q r b a b a ab r r r ∈>>=,0,0. （4)();,,0Q s r a a a a s r s r ∈>=÷- 对数 (1）对数的性质: ① N a N a =log ; ② N a N a =log ； ③ a N N b b a log log log = (换底公式); （2）对数的运算法则： ① ();log log log N M MN a a a += ② ;log log log N M N M a a a -= ③ M n M a n a log log =； 错误! M m n M a n a m log log = ① 常用对数:以１０为底的对数叫做常用对 数，并把log 10N 记作_lg １0; ② 自然对数：以_e_为底的对数称为自然对 数，并把ｌｏｇe N 记作ｌn N ． 1.同角三角函数的基本关系 1cos sin 22=+αα αααtan cos sin =(Z k k ∈+≠,2 ππ α） 2.诱导公式的规律： 三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变,符号看 象限.其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π 2 的 奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍，则正、余弦互变；若是偶数倍，则函数名称不变．“符号看象限”是把α当锐角时,原三角函数式中的2πα?? + ??? 所在象限的原三角函数值的符号． 二倍角公式: αααcos sin 22sin =; ααα22sin cos 2cos -=＝1cos 22-α =α2sin 21-; α α α2 tan 1tan 22tan -= 三角恒等变换 ()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±; ()βαβαβαsin sin cos cos cos =±; ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan ±= ±； 解三角形 1.正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin === 正弦定理的三种变式: 三角函数性质与图像 知识清单： ．．．．．．．．．． 函数s i n ()y A x ω?=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x =????→图例变化为 ②sin()y A x ω?=+(A >0,ω>0)相应地， ①的单调增区间2,22 2 k k ππππ??-++?? ? ? ??? →变为 222 2 k x k π π πω?π- +++≤≤ 的解集是②的增区间. 注:⑴)sin(?ω+=x y 或cos()y x ω?=+（0≠ω ）的周期ω π 2= T ; ⑵sin()y x ω?=+的对称轴方程是2 x k π π=+ （Z k ∈），对称中心(,0)k π； cos()y x ω?=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈） ，对称中心1(,0) 2 k ππ+； )tan(?ω+=x y 的对称中心（ 0,2πk ）. 课前预习 1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 2π . 2． 函数1 π2sin()23 y x =+ 的最小正周期T = 4π ． 3．函数sin 2 x y =的最小正周期是2π 4．函数]),0[)(26 sin( 2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是]6 5, 3 [ ππ 5．函数22cos()( )3 6 3 y x x π π π=- ≤≤的最小值是1 6．为了得到函数)6 2sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向左平移3 π 个单位长度 7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移 3 π 个单位，所得图象的解析式是y=sin( 2 1x+ 6 π ). 8． 函数sin y x x =+ 在区间[0, 2 π ]的最小值为___1___. 9．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2 x + 3 2 5（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期；y=5sin(2x-3π ) T=π ⑵求f (x )单调区间；[k 12 π π- ,k π+ 12 5π], [k 12 5ππ+ ,k π+ 12 11π]k Z ∈ ⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。x=1252ππ+k ,( 0,6 2π π+ k ) k Z ∈ 典型例题 例1、三角函数图像变换 将函数1 2cos()3 2 y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？ 变式1：将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4 y x π =-的图像？ 例2、已知简谐运动π π()2sin 32f x x ????? ?=+< ? ???? ?的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最 小正周期T 和初相?分别为6T =，π6 = 例3、三角函数性质 求函数34sin(2)2 3 y x ππ= + 的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合．； 变式1：函数y =2sin x 的单调增区间是［2k π－2 π ，2k π＋ 2 π ］（k ∈Z ） 变式2、下列函数中，既是（0， 2 π）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( B) (A)y =lg x 2 (B)y =|sin x | (C)y =cos x (D)y=x 2sin 2 变式3、已知? ? ???? ∈2, 0πx ，求函数)12 5cos( )12 cos( x x y +--=ππ 的值域y=2sin （x+ 6 π ）?? ? ??2,22 变式4、已知函数12 ()log (sin cos )f x x x =- y=log 2 1()4 sin(2π -x ) ⑴求它的定义域和值域；(2k 4 52,4 πππ π+ + k ) k ∈Z ?? ? ?? ?+∞- ,21 《三角函数的诱导公式》说课稿 尊敬的评委老师： 大家好！我今天说课的题目是《三角函数的诱导公式》，本节课节选自人教版高中教材必修四第一章第三节第一课时，根据新课程理念，我将围绕“教什么”、“怎么教”、“为什么这样教”三个问题，从以下几个方面阐述我对本节课的理解与设计。 一、教材分析 （一）教材中的地位与作用 本节课的主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式四，是三角函数的主要性质。前面学生已经学习了任意角的三角函数的定义和诱导公式一，在此基础上，继续学习这三组公式，为以后的三角函数求值、化简以及三角函数图像、性质等做好铺垫，它体现了三角函数之间的内在联系，蕴含着归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力、概括能力以及创新意识。 （二）学情分析 学生理解和掌握了任意角的三角函数的定义，并学习了诱导公式一，对诱导公式的结构特征有了初步的认识，同时学生比较熟悉几何图形的对称性，具备一定的看图识图能力，但还不能熟练的把单位圆的性质与三角函数联系起来，对于数形结合、归纳、类比推理的思想方法还需要加强训练。 二、教学目标 根据新课程标准的要求和教学内容的结构特征，结合学生的认知 水平，制定本节课的教学目标如下： （1）知识与技能目标：通过本小节的学习要使学生理解并掌握三角函数的诱导公式，并能应用这些公式解决求值、化简、证明等问题。 （2）过程与方法目标：借助单位圆中的对称关系，启发学生探索发现诱导公式并推导，培养学生勇于探求新知、善于归纳总结的能力。 （3）情感态度与价值观目标：让学生在分析问题，解决问题的过程中体验成功的喜悦，培养学生的自信心。 三、重点难点 根据教学大纲要求，结合本节课的教学目标，我确定了如下的教学重点、难点： （1）教学重点：利用三角函数的定义并借助单位圆，特别是观察角的终边的对称性、角的终边与单位圆的交点的对称性，推导出诱导公式。 （2）教学难点：相关角终边的几何对称性关系及诱导公式结构特征的认识。 四、教法学法 结合本节课的教学内容，我采用以下教法学法指导： （1）教法：本节课涉及的公式比较多，为使学生有效掌握和运用公式，采用教师引导、学生自主探究的教学方法。 （2）学法：指导学生通过公式的推导过程，体会数形结合、转 文科高考数学必背公式 文科高考数学必背公式 高中数学诱导公式全集： 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα 高中数学教案三角函数的图象及性质 精编习题 三角函数的图象及性质 一、知识网络 二、高考考点 （一）三角函数的性质 1、三角函数的定义域，值域或最值问题； 2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇 函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性；寻求型三角函数的周期以及 难度较高的含有绝对值的三角函数的周期. （二）三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换； 2、型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草 图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式； 3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用； 4、利用函数图象解决应用问题. （三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域及值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数；为奇函 数 . 3、周期性 （1）基本公式 （ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期 的周期为； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点及（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究 今天我说课的课题是人教版初中数学新教材九年级数学下册 28章《锐角三角函数》。对于本章，我将从教材内容，学情分析、教学目标，教学重点、难点，教学方法和学法等几个方面加以说明。 一、教材内容分析 本章教材分为二个小节：第一节包括锐角三角函数的概念(主要是正弦、余弦、正切的概念)，特殊角三角函数值以及用计算器求已知锐角角函数值或已知三角函数值求锐角；第二节包括解直角三角形。这两大块是紧密联系的，锐角三角函数是角直角三角形的基础，为解直角三角形提供了有效的工具。解直角三角形又为锐角三角函 数提供了与实际紧密联系的沃土，为锐角三角函数提供了与实际联 系的机会。锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，如测量、建筑、物理学中，人们常常遇到距离、角度、高度的计算，这 些都归结到直角三角形中边角的关系问题，而这些关系又恰好是锐 角三角函数中的正弦、余弦和正切的关系。纵观江西省近年来的中考，特殊角三角函数的运算以及解直角三角形的应用也是考查的重点，题目设计贴近于实际生活。因此，是初中数学的教学的重要内 容之一。同时，又为学生进入高中后学习任意角三角函数打下基础。 二、学情分析 九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探 究活动经历和应用数学的意识。并且学生已经掌握直角三角形中各 边和各角的关系（如直角三角形中的勾股定理，两锐角互余等知识），能灵活运用相似图形的性质及判定方法解决问题，有一定的 推理证明能力，这为顺利完成本节课的教学任务打下了坚实基础。 心理上九年级学生的逻辑思维已从经验型逐步向理论型发展，观察 能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。 三、教学目标 根据教学内容和学情确定本章的教学目标 （一）知识与技能目标： 1、通过实例使学生理解并认识锐角三角函数的概念，符号的含义，掌握锐角三角函数正弦、余弦、正切的表示。 2、使学生知道当直角三角形的锐角固定时，那么它的三角函数值也都固定这一事实。 3、掌握特殊角30°、45°、60°正弦、余弦、正切值。 4、能够正确使用计算器，由已知角求函数值求或由已知函数值求锐角。 5、使学生学会根据定义求锐角的三角函数。 6、了解坡度问题中坡比、铅直高度、水平距离等有关的概念，用坡度解决实际问题。 （二）情感、态度与价值观目标： 学生要得出直角三角形中边与角之间的关系，需要学生进行观察、思考、交流，合作、探究进一步体会数学知识之间的联系，充分感受数学中数形结合的数学思想，体会锐角三角函数的意义，提高应用数学和合作交流的能力。 通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的合理性和严谨性，使学生养成积极思考的好习惯，并且同时培养学生的团队合作精神。 四、教学重点、难点、关键 高考数学必背公式大全 由于高中数学公式很多，同学们复习的时候不方便查阅，下面是我给大家带来的高考必背数学公式，希望能帮助到大家! 高考必背数学公式1 两角和公式 sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb ) ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga ) 倍角公式 tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2) cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2) tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa)) ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa)) 高考必背数学公式2 和差化积 1、2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b) 2、2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b) 3、sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4、tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosb 5、ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb 等差数列 1、等差数列的通项公式为： an=a1+(n-1)d(1) 2、前n项和公式为： Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2) 从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0. 在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项. , 且任意两项am,an的关系为： an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式. 3、从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n} 三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数 专题九三角函数图像与性质．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 ．三角函数的单调区间： 的递增区间是，递减区间是 ； 的递增区间是，递减区间是， 的递增区间是， ．函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 ．由＝的图象变换出＝(ω＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进 行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换 (伸缩变换) 先将＝的图象向左(＞)或向右(＜＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞)，便得＝(ω＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将＝的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞)，再沿轴向左(＞)或向右(＜＝平移 个单位，便得＝(ω＋)的图象。 ．由＝(ω＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式（ω）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，）作为突破口， 要从图象的升降情况找准 ．．第一个零点的位置。 ．对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 ．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； ．求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 ．五点法作（ω）的简图： 五点取法是设ω，由取、、π、、π来求相应的值及对应的值，再描点作图。 四．典例解析 高考必背数学公式结论大全 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有 个；非空的真子集有个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式 (3)零点式；当已知抛物线与轴的交点坐标为 时，设为此式 4切线式：。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 . 7.方程在内有且只有一个实根,等价于 或。 8.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在 处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若，则； ，，. (2)当a<0时，若，则， 若，则，. 9.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如，，不同上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (3) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)的有 解充要条件是。 (4) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是。 对于参数及函数.若恒成立，则；若 恒成立，则；若有解，则；若有解，则 ；若有解，则.若函数无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论 10.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也 是减函数; 如果函数和都是增函数,则在公共定义域内,和函数 也是增函数; 如果函数和在其对应的定义域上都是 减函数,则复合函数是增函数；如果函数和在其对 应的定义域上都是增函数,则复合函数是增函数；如果函数 和在其对应的定义域上一个是减函数而另一个是增函数,则复合函数 是减函数. 11.常见函数的图像： 12.若,则函数的图象关于点对称; 若,则函数为周期为的周期函数. 一、选择题 1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－5 4，－1] C ．[－5 4，1] D ．[－1，5 4 ] [答案] C [解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2 ＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－5 4 ≤y ≤1，选C. 2．(2011·山东理，6)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π 3]上单调递增， 在区间[π3，π 2 ]上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C.32 D.2 3 [答案] C [解析] 本题主要考查正弦型函数y ＝sin ωx 的单调性 依题意y ＝sin ωx 的周期T ＝4×π3＝43π，又T ＝2π ω， ∴2πω＝43π，∴ω＝32 . 故选C(亦利用y ＝sin x 的单调区间来求解) 3．(文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C [解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性． f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，最小正周期T ＝2π 2＝π， 且f (x )是奇函数． (理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π 2)上是递增的 B ．f (x )的图像关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2 [答案] B [解析] 本题考查三角函数的性质．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f (－x )＝sin(－2x )＝－2sin x ，为奇函数，其图像关 于原点对称，B 正确；函数的递增区间为???? ??k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A. 4．函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π 8对称，则a 的值为 ( ) 难点15 三角函数的图象和性质 三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用. ●难点磁场 (★★★★)已知α、β为锐角，且x(α+β－2π)＞0,试证不等式f(x)=)sin cos ()sin cos (αββα+x x ＜2对一切非零实数都成立. ●案例探究 ［例1］设z1=m+(2－m2)i,z2=cos θ+(λ+sin θ)i,其中m,λ,θ∈R ，已知z1=2z2，求λ的取值范围. 命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目. 知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决. 错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题. 技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 解法一：∵z1=2z2， ∴m+(2－m2)i=2cos θ+(2λ+2sin θ)i,∴ ???+=-=θλθ sin 222cos 22m m ∴λ=1－2cos2θ－sin θ=2sin2θ－sin θ－1=2(sin θ－41)2－89 . 当sin θ=41时λ取最小值－89 ，当sin θ=－1时，λ取最大值2. 解法二：∵z1=2z2 ∴ ???+=-=θλθsin 222cos 22m m ∴??????? --==222sin 2cos 2 λθθm m , ∴4)22(42 22λ--+m m =1. ∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ=0,设t=m2,则0≤t ≤4, 令f(t)=t2－(3－4λ)t+4λ2－8λ,则 ???????? ?≥≥≤-≤ ≥?0 )4(0)0(424300 f f λ或f(0)·f(4)≤0 ∴??? ??? ??? ≤≥≤≤≤≤--≥02204345 89λλλλλ或或 ∴－89 ≤λ≤0或0≤λ≤2. ∴λ的取值范围是［－89 ，2］. ［例2］如右图，一滑雪运动员自h=50m 高处A 点滑至O 点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O 点保持速率v0不为，并以倾角θ起跳，落至B 点，令OB=L ，试问，α=30°时，L 的最大值为多少？当L 取最大值时，θ为多大？ 命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属★★★★★级题目. 知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题. 错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活. 技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题. 解：由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程：三角函数的图像与性质
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