高中数学第二讲直线与圆的位置关系本讲测评1新人教A版选修41

第二讲 直线与圆的位置关系

本讲检测

一、选择题(每小题5分,共60分)

1.如图2-8,PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点,∠APB=80°,C 是圆上异于A 、B 的一动点,则∠ACB 等于( )

图2-8

A.80°

B.50°

C.130°

D.50°或130° 解析:分两种情况,C 在优弧

上,在劣弧

上,

(1)当C 在优弧上,连结AB. ∵PA、PB 是⊙O 切线,∴PA=PB. ∴∠ABP=∠BAP. ∴∠ABP=

2

80180?

-?=50°. 由弦切角定理, ∴∠ACB=50°.

(2)当C 在劣弧上C′点位置, ∵ACBC′内接于⊙O, ∴∠C′=130°. 答案:D

2.如图2-9,MN 切⊙O 于点A,∠AOB=60°,那么∠BAM 等于( )

图2-9

A.120°

B.90°

C.60°

D.30° 解析:同弧对的圆周角等于圆心角一半,而弦切角等于它所夹弧所对的圆周角, ∴∠BAM=

2

1

∠AOB=30°. 答案:D

3.已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径,则四边形ABCD 一定是( )

A.等腰梯形

B.菱形

C.矩形

D.正方形 解析:∵直径所对圆周角是90°, ∴AB、CD 所对圆周角都是90°. ∴ABCD 一定是矩形. 答案:C

4.如图2-10,AB 是⊙O 的直径,∠C=30°,则∠ABD 等于( )

图2-10

A.30°

B.40°

C.50°

D.60° 解析:∵∠C=30°, ∴

的度数是60°.

∴的度数是180°-60°=120°. ∴∠ABD=60°. 答案:D

5.如图2-11,⊙O 为△ABC 的内切圆,∠C=90°,AO 的延长线交BC 于点D,AC=4,CD=1,则⊙O 的半径等于( )

图2-11

A.

54 B.45 C. 43 D.6

5 解析:过O 作OE⊥AC, ∵AC 是⊙O 的切线, ∴点E 为切点.

设半径为r,则CE=r, ∵OE∥CD,

∴

CD OE =AC AE ,即4

41r

r -=. 解得r=5

4

.

答案:A

6.如图2-12,已知AB 是⊙O 直径,P 是AB 延长线上的一点,PCD 是割线,⊙O 的半径为

4

11

,PB=CD=2,则BC∶AD 的值为( )

图2-12

A.

53 B. 52 C.73 D.7

4

解析:∵PAB、PCD 是⊙O 割线, ∴PB·PA=PC·PD. ∵⊙O 的半径为4

11

,PB=CD=2, ∴PA=PB+AB=

2

15. ∴PD=PC+CD=PC+2. ∴2×

2

15

=PC(PC+2). 解得PC=3或-5(舍去).

∵ABCD 是⊙O 的内接四边形, ∴∠PBC=∠D.

又∵∠P=∠P,∴△ADP∽△CBP. ∴

AD BC =PD PB =5

2

. 答案:B

7.如图2-13,⊙O 中弦AB 、CD 相交于点F,AB=10,AF=2,若CF∶DF=1∶4,则CF 的长为( )

图2-13

A.2

B.2

C.3

D.22 解析:设CF=x,则FD=4x.

由相交弦定理,得AF·FB=CF·FD,即2×8=x·4x. x=2或-2(舍去). 答案:B

8.如图2-14,PA 切⊙O 于点A,PBC 是⊙O 的一条割线,且PA=23,PB=BC,那么BC 的长是( )

图2-14

A.3

B.23

C.3

D.32 解析:设BC 为x,则PB=x,PC=2x.由切割线定理PA 2

=PB·PC, 即(23)2

=2x·x.解得x=3.

答案:A

9.如图2-15,⊙O 的直径为10 cm,弦AB 为8 cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数,则满足

条件的点P 有_____________个.( )

图2-15

A.2

B.3

C.4

D.5 解析:双向延长OP 交⊙O 于C 、D 两点. 由相交弦定理AP·BP=CP·DP,

∴AP(AB -AP)=(OC-OP)(OD+OP),即AP(8-AP)=(5-OP)(5+OP).

整理得OP=9)4(2

+-AP (AP≤8).

∴当AP=0,4-7,4,4+7,8时,OP=5,4,3,4,5.

答案:D

10.如图2-16,已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,且AB=CD=5,AC=7,BE=3,下列命题错误的是( )

图2-16

A.△AED∽△BEC

B.∠AEB=90°

C.∠BDA=45°

D.图中共有2对全等三角形 解析:①∵AB=CD,∴

=

.

∴∠DAE=∠DBC=∠ADB=∠ACB. ∴△AED∽△BEC.正确. ∵AB=CD,∠BAE=∠CDE, ∴∠AEB=∠CED.

∴△ABE≌△DCE.∴BE=EC. ∴AE=AC -EC=7-3=4.

∴AB 2=AE 2+BE 2

.

∴△ABE 是直角三角形,∠AEB=90°. ∴△AE D 为等腰直角三角形. ∴∠BDA=45°,正确.

图中全等三角形,除了△ABE≌△DCE, △ABC≌△DCB 外,还有△ABD≌△DCA. ∴D 不正确. 答案:D

11.如图2-17,若直线PAB 、PCD 分别与⊙O 交于点A 、B 、C 、D,则下列各式中正确的是( )

图2-17

A.PA∶PC=PB∶PD

B.PA∶PB=AC∶BD

C.PA∶PC=PD∶PB

D.PB∶PD=AD∶BC

解析:若A正确,则PA·PD=PC·PB,与割线定理矛盾.

∵∠PCA=∠ABD,∠P=∠P,

∴△PAC∽△PDB.

PA∶PB不是对应边,故B错误.

由割线定理PA·PB=PC·PD,

∴PA∶PC=PD∶PB,故C正确.

答案:C

12.如图2-18,△ABC内接于⊙O,DE∥BC,且DE相切⊙O于F,则图中与∠CFE相等的角有_____________个.( )

图2-18

A.2

B.3

C.4

D.5

解析:∵,∴∠CFE=∠FAC,∠CFE=∠FBC.

∵BC∥DE,∴∠CFE=∠BCF.

又,∴∠BCF=∠BAF=∠BFD.

∴共5个.

答案:D

二、填空题(每小题4分,共16分)

13.如图2-19,已知AB是直径,CD是弦,过C点的切线与AD的延长线交于E点.若∠A=56°,∠B=64°,则∠CED=______________.

图2-19

解析:连结BD,∵AB是直径,

∴∠A+∠ABD=90°.

∴∠ABD=90°-∠A=34°.

∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=64°-34°=30°.

∴∠DCE=∠CBD=30°.

又∵∠EDC=∠ABC=64°,∴∠CED=180°-∠EDC-∠DCE=86°.

答案:86°

14.如图2-20,已知AB 是⊙O 直径,AC 是⊙O 的切线,A 为切点,割线CDF 交AB 于E,并且CD∶DE∶EF=1∶2∶1,AC=4,则⊙O 的直径AB=_________.

图2-20

解析:设CD=k,则DE=2k,EF=k,CF=4k.

由切割线定理,得AC 2

=CD·CF, ∴42

=k·4k.∴k=2. ∴CE=6,DE=4,EF=2. 在Rt△ACE 中,

AE=52462222=-=-AC CE . 根据相交弦定理,得AE·EB=DE·EF. ∴52·EB=4×2.∴EB=

5

5

4. ∴AB=AE+EB=

5

5

14. 答案:

5

5

14 15.如图2-21,PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C,PO=13 cm,⊙O 半径r=5 cm,则△PDE 的周长为______________.

图2-21

解析:连结OB,∵PB 切⊙O 于B, ∴OB⊥PB. 在Rt△POB 中,

PB=2222513-=-OB PO =12.

据切线长定理PA=PB=12, DA=DC,EC=EB,

∴△PDE 的周长=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE =PD+DA+EB+PE =PA+PB=24 cm. 答案:24 cm

16.如图2-22,已知两圆相交于C 、D,AB 为公切线,CD 的延长线交AB 于M,若AB=12,CD=9,则

MD=________________.

图2-22

解析:由切割线定理,MA 2=MD·MC,MB 2

=MD·MC,

∴MA 2=MB 2

. ∴MA=MB=

2

1

AB=6. ∵MA 2

=MD·MC, ∴62

=MD(MD+9).解得MD=3. 答案:3

三、解答题(共74分)

17.(12分)如图2-23,已知AB 是⊙O 的直径,C 是AB 延长线上一点,CD 切⊙O 于D,DE⊥AB 于E.

求证:∠CDB=∠EDB.

图2-23

证明:连结AD,∵AB 是直径,∴∠ADE+∠EDB=90°. ∵∠A+∠ADE=90°,∴∠A=∠EDB. 又∠CDB=∠A,∴∠CDB=∠EDB.

18.(12分)如图2-24,已知AB 是⊙O 的直径,CD 切⊙O 于E,AC⊥CD,BD⊥CD,垂足分别为C 、D.

求证:AB 是以CD 为直径的圆的切线.

图2-24

证明:连结AE 、OE,作EF⊥AB 于F, ∵CD 切⊙O 于E,∴OE⊥CD.

∵AC⊥CD,BD⊥CD,∴AC∥OE∥BD.

∵AO=OB,∴CE=ED.又∵OA=OE,∴∠1=∠3. ∵AC∥OE,∴∠2=∠3.∴∠1=∠2.∴EF=CE. ∴AB 是以CD 为直径的圆的切线.

19.(12分)如图2-25,已知⊙O 1和⊙O 2相交于点B 、C,A 是⊙O 1上一点,直线AB 与AC 分别交⊙O 2于D 、E,直线BC 与ED 交于点F,与过A 的⊙O 1的切线交于点T.

求证:2

2

FD BF TC TB .

图2-25

证明:∵AT 切⊙O 1于A,∴∠ABT=∠TAC. ∵∠ABT=∠FBD,∴∠TAC=∠FBD. ∵四边形BDEC 内接于⊙O 2, ∴∠FDB=∠BCE.

又∠BCE=∠ACT,∴∠FDB=∠ACT. ∴△ACT∽△BDF.∴

TC

AT

FD BF =. ∴2

2

22TC AT FD BF =. 又∵AT 2

=TC·TB,∴TC TB

TC

TB TC FD BF =?=2

22. 20.(12分)如图2-26,已知⊙O 和⊙O′外切于点E,AC 是外公切线,A 、C 是切点,AB 是⊙O 的

直径,BD 是⊙O′的切线,D 是切点,求证:AB=BD.

图2-26

证明:作两圆内公切线EF,连结AE 、BE 、CE. ∵∠FAE=∠FEA,∠FEC=∠FCE,

∴∠AEF+∠FEC=90°,即∠AEC=90°. ∵AB 是直径,∴∠AEB=90°. ∴B、E 、C 在一条直线上. ∵AC 切⊙O 于A,∴AB⊥AC.

在Rt△ABC 中,由射影定理,得AB 2

=BE·BC.

又BD 切⊙O′于D,由切割线定理BD 2

=BE·BC,

∴AB 2=BD 2

.∴AB=BD.

21.(12分)如图2-27,已知线段AB 、CD 相交于点O,且OA·OB=OC·OD,求证:A 、B 、C 、D 四点共圆.

图2-27

证明:连结AC 、AD 、BC 、BD, ∵OA·OB=OC·OD, ∴

OB

OD

OC AO . ∠AOD=∠COB,∴△AOD∽△COB. ∴∠1=∠2.

同理,可证△AOC∽△BOD,∠3=∠4.

∴∠5+∠1+∠6+∠3=∠5+∠2+∠6+∠4=180°, 即∠CAD+∠CBD=180°. ∴A、B 、C 、D 四点共圆.

22.(14分)(1)如图2-2-8,已知直线AB 过圆心O,交 ⊙O 于A 、B,直线AF 交⊙O 于F(不与B 重合),直线l 交⊙O 于C 、D,交AB 于E,且与AF 垂直,垂足为G,连结AC 、AD. 求证:①∠BAD=∠CAG; ②AC·AD=AE·AF.

(2)在问题(1)中,当直线l 向上平行移动,与⊙O 相切时,其他条件不变.

①请你画出变化后的图形,并对照图2-28标记字母;②问题(1)中的两个结论是否成立?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.

图2-28

(1)证明:①连结BD, ∵AB 是⊙O 的直径,

∴∠ADB=90°.∴∠AGC=∠ADB. 又∵ACDB 是⊙O 内接四边形, ∴∠ACG=∠B. ∴∠BAD=∠CAG. ②连结CF.

∵∠BAD=∠CAG,∠EAG=∠FAB, ∴∠DAE=∠FAC.

又∵∠ADE=∠F,∴△ADE∽△AFC. ∴

AF AD =AC

AE

. ∴AC·AD=AE·AF.

(2)解析:①图2-29为变化后的图形.

图2-29

②两个结论都成立,证明如下. (ⅰ)连结BC, ∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°.

∴∠ACB=∠AGC=90°.

∵GC 切⊙O 于C,∴∠GCA=∠ABC. ∴∠BAC=∠CAG,即∠BAD=∠CAG. (ⅱ)连结CF,

∵∠CAG=∠BAC,∠GCF=∠GAC, ∴∠GCF=∠CAE.

∠ACF=∠ACG -∠GCF,∠E=∠ACG -∠CAE, ∴∠ACF=∠E. ∴△ACF∽△AEC. ∴

AE AC =AC

AF .∴AC 2

=AE·AF, 即AC·AD=AE·AF.