2017高考数学一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的基本定理课时练理
2017高考数学一轮复习第五章平面向量 5.1平面向量的概念及
线性运算平面向量的基本定理课时练理
时间：50分钟基础组
1.[2016·衡水二中预测]已知非零向量a ，b ，则“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件答案A
解析
若a ＋b ＝0，即a ＝－b ，则a ∥b ；若a ∥b ，不一定有a ＋b ＝0.
2．[2016·衡水二中猜题]已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及其所在平面内一点P 满足PA →
＋PB →＋PC →＝AB →
，则(
)
A．P 在△ABC 内B．P 在△ABC 外C．P 在直线AB 上
D．P 是AC 边的一个三等分点答案D
解析
由已知，得PA →＋PC →＝AB →＋BP →＝AP →，即PC →＝2AP →
，
∴|PC →|＝2|AP →
|，∴P 为AC 边的一个三等分点．故选D.
3．[2016·冀州中学期末]如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，则AF →
＝(
)
A.12a ＋14b
B.14a ＋1
2b C.12a －14b D.14a －12
b 答案A
解析
AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →，则AF →＝12AE →＋12AD ＝12a ＋14
b .
4．[2016·衡水中学期末]设a ，b 都是非零向量，下列条件中，一定能使a |a |＋b |b |
＝0成立的是(
)
A．a ＝－1
3b
B．a ∥b C．a ＝2b D．a ⊥b
答案A 解析
由
a |a |＋
b |b |＝0得b |b |＝－a |a |，即b ＝－|b ||a |
·a ，则向量a ，b 共线且方向相反．因此当向量a ，b 共线且方向相反时，能使
a |a |＋b
|b |
＝0成立．B 项中向量a ，b 的方向相同或相反，C 项中向量a ，b 的方向相同，D 项中向量a ，b 互相垂直，只有A 项能确定向量a ，b 共线且方向相反．故选A.
5．[2016·冀州中学预测]设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是(
)A．2B．－2C．±2D．0
答案B
解析
由向量a ，b 方向相反，得a ＝λb (λ<0)，
∴(x,1)＝λ(4，x )＝(4λ，λx )，
＝4λ，
λx ，
＝－1
2，
＝－2
＝12，
＝2
(舍去)，则x 的值是－2.
6．[2016·武邑中学模拟]已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →
＝(－k,10)，且A ，B ，
C 三点共线，则k 的值是(
)
A．－23
B.43
C.
12
D.
13
答案A 解析
AB →＝OB →－OA →
＝(4－k ，－7)，
AC →＝OC →－OA →
＝(－2k ，－2)．
因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →
共线，所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－2
3
.
7.
[2016·枣强中学一轮检测]如图，已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →
＝0，点C 在线段AB 上，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m
n
＝(
)
A.13B．3C.33
D.3
答案
B
解析由|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0可得∠AOB ＝90°，|AB →
|＝2，所以∠OAC ＝60°，又∠AOC ＝30°，故∠OCA ＝90°，则AC →＝14AB →＝14(OB →－OA →)，OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋14(OB →－OA →)＝34OA
→＋14OB →，故m ＝34，n ＝14，m
n
＝3，选B.8.[2016·衡水中学周测]O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋
λ
∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的(
)
A．外心B．内心C．重心D．垂心
答案
B
解析
如图所示，易知AP →
＝λAB →|AB →|AC →|AC →|AB →|AB →|AC →|AC →|是单位向量，故点P 在∠BAC 的平分
线上，所以点P 的轨迹通过△ABC 的内心，选B.
9．[2016·冀州中学月考]已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →
＝0，AP →＝λPD →
，则实数λ的值为________．
答案－2
解析如图所示，由AP →＝λPD →且PA →＋BP →＋CP →
＝0，则P 为以AB 、AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝－2PD →
，则λ＝－2.
10.[2016·衡水中学月考]△ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量m ＝(3c －b ，a －b )，n ＝(3a ＋3b ，c )，m ∥n ，则cos A ＝________.
答案16
解析
∵m ∥n ，∴(3c －b )·c ＝(a －b )(3a ＋3b )，
即bc ＝3(b 2＋c 2－a 2)，
∴b 2＋c 2－a 2bc ＝13，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝16
.
11．[2016·武邑中学周测]已知点O (0,0)、A (1,2)、B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →
，试问：(1)t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？P 在第三象限？
(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解
(1)∵AB →
＝(3,3)，
∴OP →
＝(1,2)＋(3t,3t )＝(3t ＋1,3t ＋2)，若点P 在x 轴上，则3t ＋2＝0，解得t ＝－2
3；
若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，解得t ＝－1
3；
若点P t <0，t <0.
解得t <－2
3
.
(2)不能，若四边形OABP 成为平行四边形，
则OP →＝AB →t ＝3，t ＝3.∵该方程组无解，
∴四边形OABP 不能成为平行四边形．
12．[2016·枣强中学猜题]在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．
(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；
(2)设OP →＝mAB →＋nAC →
(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．解
(1)解法一：∵PA →＋PB →＋PC →＝0，PA →＋PB →＋PC →
＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x ，6－3y )，
x ＝0，y ＝0，
解得x ＝2，y ＝2，
即OP →＝(2,2)，故|OP →
|＝2 2.解法二：∵PA →＋PB →＋PC →
＝0，
则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →
)＝0，∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →
)＝(2,2)，
∴|OP →
|＝2 2.
(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →，AB →＝(1,2)，AC →
＝(2,1)，
∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )，
＝m ＋2n ，＝2m ＋n ，
两式相减得，m －n ＝y －x ，
令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，
t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.
能力组
13.[2016·衡水中学期中]设a 是已知的平面向量且a ≠0，关于向量a 的分解，有如下四个命题：
①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；
②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；
③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μc ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()
A．1B．2C．3D．4答案
B
解析利用向量加法的三角形法则，易得①正确；利用平面向量的基本定理，易知②正确，因为没有说明b ，c 不共线；以a 的终点为圆心作长度为μ的圆，这个圆心须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③不正确；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须满足|a |＝|λb ＋μc |≤λ＋μ，而向量a 的模大小不定，所以④是假命题．综上，选B.
14．[2016·武邑中学模拟]在平面直角坐标系中，A (3，1)，B 点是以原点O 为圆心的单位圆上的动点，则|OA →＋OB →
|的最大值是(
)
A．4B．3C．2D．1答案
B
解析解法一：设B (cos θ，sin θ)，则OA →＋OB →＝(cos θ＋3，sin θ＋1)，所以|OA →
＋OB
→|＝
cos θ＋3
2
＋sin θ＋1
2
＝23cos θ＋2sin θ＋5＝
B.
解法二：由题意知|OB →|＝1，所以|OB →＋OA →|≤|OA →|＋1＝2＋1＝3，当OB →与OA →
同向时等号成立．故选B.
15.[2016·冀州中学猜题]在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋y CB →
且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为3
2
，则|CO →|的最小值为________．
答案12
解析
∵CO →＝xCA →＋yCB →，
∴CO →＝x (OA →－OC →)＋y (OB →－OC →)＝xOA →＋yOB →－(x ＋y )OC →，
∵x ＋y ＝1，∴xOA →＋yOB →
＝0，∴A ，O ，B 三点共线，f (m )＝|CA →－mCB →
|＝CA →－mCB
→2
＝
|CA →|2＋m 2
|CB →|2－2mCA →·CB
→＝1＋m 2
－2m cos∠ACB ，当m ＝cos∠ACB 时，
f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为3
2，
即cos 2∠ACB －2cos 2
∠ACB ＋1＝34，
∵∠ACB 为钝角，∴cos∠ACB ＝－1
2，
∴∠ACB ＝120°，∠B ＝∠A ＝30°，∴|CO →|的最小值为12
.
16．[2016·衡水中学期末]如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →
分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →
＝b .
(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →
；(2)若OE →＝λOA →
，求实数λ的值．解
(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23
OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →
，
所以OC →＝2OA →－OB →
＝2a －b ，
DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .
(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →
.因为EC →＝OC →－OE →
＝(2a －b )－λa
＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －5
3b ，
所以(2－λ)a －b ＝
a －53b
因为a 与b
λ＝2x ，
53
x ，
＝35，
＝45
.
故λ＝4
5
.
平面向量的概念与线性运算知识点
平面向量的概念与线性运算知识点 一.平面向量的有关概念 １．向量：既有大小，又有方向的量． ２．数量：只有大小，没有方向的量． ３．有向线段的三要素：起点、方向、长度． ４．零向量：长度为0的向量． ５．单位向量：长度等于1个单位的向量． ６．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 注：任一组平平行向量都可以平移到同一直线上 ７．相等向量：长度相等且方向相同的向量． ８．相反向量：长度相等且方向相反的向量 二．向量的表示法 １．字母表示法：如：a ，AB 等 ２．几何表示法：用一条有向线段表示向量 ３．代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA 的起点Ｏ是坐标原点，终点坐标是（x ，y ），则（x ，y ）称为OA 的坐标，记作：OA ＝（x ，y ） 三．向量的运算 １．向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=． b a C B A a b C C -=A -AB =B
⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． ２．向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． ３．向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． ４．向量共线定理： 向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠共线． 四．跟踪训练 １．=++++（ ） A ． B ．0 C ． D ． ２．给出命题 （1）零向量的长度为零，方向是任意的.（2）若a ，b 都是单位向量，则a ＝b . （3）向量AB 与向量BA 相等.（4）若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线. 以上命题中，正确命题序号是 A.（1） B.（2） C.（1）和（3） D.（1）和（4） ３．在四边形ABCD 中，如果0AB CD =，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.直角梯形 ４．如图，在△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点 G ，则下列各等式中不正确的是
向量的概念及线性运算
向量的概念及线性运算 编制人：马兰主审人: 朱礼强 一、新课引入 1. 老鼠以10 m/s的速度向东跑，猫以50 m/s的速度向西追，猫能否追上老鼠？ 分析：老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线实际上都是有方向、有长短的量. 2. 问题：质量、力、速度这三个物理量有什么区别？ 质量只有大小；力、速度既有大小，又有方向. 二、概念建构 1．向量的有关概念 2.向量的线性运算
3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa ． 三、例题选讲 【例1】（1）已知下列结论： ① 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ① 非零向量a 与b 同向是a =b 的必要不充分条件； ① 四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是=； ① λ，μ为实数，若λa = μb ，则a 与b 共线. 其中正确的序号为 . （2）设,a b 都是非零向量，下列四个条件中，使 =a b a b 成立的充分条件是( ) A .|a |=|b |且a ∥b B .a =-b C .a ∥b D .a =2b 【解题导引】（1）利用共线向量定理及向量相等的概念逐一判断. （2）利用单位向量与向量相等的概念求解. 【规范解答】（1）对于①，当b =0时，条件满足但结论不成立； 对于①，因为向量a 与b 都是非零向量，所以该命题是正确的；
对于①，四边形是大前提，当AB DC =u u u r u u u r 时，即AB∥DC ，且AB=DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形，反之，若四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r ， 所以①正确； 对于①，当λ=μ=0时，a 与b 可为任意向量，不一定共线，所以①不正确. 答案：①①. （2）选D .由a a 表示与a 同向的单位向量，表示与b 同向的单位向量，故只要a 与b 同向即可，观察可知D 满足题意. 【变式】 1. 本例（2）①中，若b ≠0，该结论是否正确? 【解析】若b ≠0，又a ①b ，b ①c ，所以a ①c 显然成立，故该结论正确. 2. 若本例（2）①中的实数λ，μ满足λ2+μ2 ≠ 0，该结论是否正确? 【解析】由λ2+μ2 ≠ 0知实数λ，μ 中至少有一个不为0. (①)若λ≠0，μ=0，则λa =0·b =0.因为λ≠0，所以a =0，又0与任何向量共线， 所以结论正确. (①)同理，若λ=0，μ≠0，结论也正确； (①)若λ≠0，μ≠0，由λa = μb 得a =μ λ b ，由共线向量定理知结论正确. 综上所述，该结论正确. 【易错警示】解答本例题（1）有两点容易出错. （1） 不清楚 ,a b a b 表示何种向量，不知道a a 是a 方向上的单位向量. （2） 求解时易忽视两向量是同向还是反向，是共线还是相等. 【规律方法】把握向量有关概念的关键点 （1）定义：方向和长度. （2）非零共线向量：方向相同或相反，长度没有限制. （3）相等向量：方向相同且长度相等. （4）单位向量：方向没有限制，但长度都是一个单位长度. （5）零向量：方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线. 【变式训练】设a 0为单位向量，下列命题中：
41平面向量的概念及线性运算
6. （2010浙江杭州调研）设a 、b 是两个不共线向量, AB = 2a + pb , BC = a + b , CD = a — 2b , 第四单元 平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算 、选择题 1.在厶 ABC 中，AB = c , AC = b ,若点 D 满足 BD = 2DC ，则 AD =( ) 2 1 A ?3b + 3c 5 2 B ?3c — 3b C.2b -3c 3 3 1 2 D ?1b + 3c …AD = AB + BD = c + 3( b — c) = §b + 3c 答案：A 2. （2010广东中山调研）已知a 、b 是两个不共线的向量，AB =入a b, AC = a +讥入 此R ）, 那么 A 、B 、C 三点共线的充要条, 件是 ( ) A . ?+尸 2 B .入一 (i= 1 C . 入=—1 D . 入=1 解析 由 AB =入 a b, AC = a + 3 b 人 卩€ R ）及 A 、B 、 C 三点共线得AB = tAC (t € R), 入=t 所以 入 t+ b^ t(a + ub ta +1 3, 「所以 1 ，即入 =1. 1 = t 3 答案 :D 3. （2009 ?东）设P 是厶ABC 所在平面内的一点， BC + BA = 2BP ，则（ ） A . PA + PB = 0 C . PB + PC =0 B . P C + PA = 0 D . PA + PB + PC = 0 V ----------- 」 解析：如上图，根据向量加法的几何意义 Be + B A = 2B P ? P 是AC 的中点, 故 PA + PC = 0. 答案：B 4.已知平面内有一点 P 及一个△ ABC ，若PA + PB + PC = AB ，则（ ） A .点P 在厶ABC 外部 B .点P 在线段 AB 上 C .点P 在线段BC 上 D .点P 在线段AC 上 解析：?/ PA + PB + PC = AB , ??? PA + PB + PC = PB — PA ??? PC = — 2PA.A 2PA = CP ，?点 P 在线段 AC 上. 答案：D 、填空题 5. （2009宁夏银川模拟）若AB = 3% CD = — 5e i ,且AD 与CB 的模相等，则四边形 ABCD 是 解析：?/ AB = — 3CD , ??? AB // CD ，且 |AB|M |CD|. 5 答案：等腰梯形 解析: D C =AC — AB = b- c , B D = 2BC = 2(b — c),
平面向量的概念、运算及平面向量基本定理
05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一)平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 考点 平面向量的有关概念 ［典例］⑴设a , b 都是非零向量，下列四个条件中，使 向=而成立的充分条件是( ) A . a =- b B . a // b C . a = 2b D . a // b 且 |a|= |b| ⑵设a o 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，贝U a = |a| a o ;②若a 与a o 平行，则 a = |a|a o ;③若a 与a o 平行且|a|= 1,则a = a o .假命题的个数是( ) A . o B . 1 C . 2 D . 3 ［解析］⑴因为向量合的方向与向量a 相同，向量￡的方向与向量b 相同，且￡，所以向量a 与 |a| |b| |a| |b| 向量b 方向相同，故可排除选项 A , B , D.当a = 2b 时，a =警=b ，故a = 2b 是耳=g 成立的充分条件. |a| |2b| |b| |a| |b| (2)向量是既有大小又有方向的量， a 与|a|a o 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a =- |a|a o ，故②③也是假命题.综上 所述，假命题的个数是 3. ［答案］(1)C (2)D _ _［易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小 ［…(2)大小与方向是向量的两个要素?j 分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 突破点(二)平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算： 加法、减法、数乘 2. 平面向量共线定理： 向量b 与a(a ^ o )共线的充 要条件是有且只有一个实数 人使得b = 1 ［答案］(1)D ⑵1 —…_［方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……_ _―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「 i 1.平面向量的线性运算技巧： ⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解. ⑵含图形的情况：将它们转化到 ］ 三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解. 2?利用平面向量的线性运算求参数的一般思路： (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置. (2)利用平行四 边形法则或三角形法贝U 进行转化丄转化为要求的向量形式._ _ (3) 比较，观察可知所求.__________ 考点二 平面向量共线定理的应用 ［例2Lu 设两个非零向J a 和b 不共鈿 平面向量的线性运算 …uuur …"uLu r 考点一 ~~uuur ----- u uur ［例 1］ (1)在厶 ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2 DC 12 5 2 A.3b + 3C B.gC — 3b 2 1 2 1 C.gb — 3c D.gb + 3C uuuu 1 uuur ⑵在△ ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN = NC , P 是BN 上一点, 数m 的值是 ______________ . uuur umr ［解析］(1)由题可知BC = AC - uuur + BD = c + 2 1 —c)= 3b + §c,故选 D. uuuu 1 uuur (2)如图，因为AN = 2 NC ，所以 uuur 2 uuuu m AB + 3 AN ?因为B ，P ，N 三点共线, ―uuur ，贝U AD =( ) UULT uuur 2 uuur 若 AP = m AB + 9 AC ，则实 2 uuir 2 uuir uur uuur uuur uuur UULT AB = b — c , '^BD = 2 DC ,「.BD = 3 BC = 3(b — c)，则 AD = AB uuuu 1 uuur AN = 3 AC ，所以 2 所以m +3= 1,则 UULT uuur 2 uuur AP = m AB + 9 AC = 1 m = 3.
2015届高考数学一轮总复习 5-1平面向量的概念与线性运算
2015届高考数学一轮总复习 5-1平面向量的概念与线性运算 基础巩固强化 一、选择题 1．(文)(2014·南通中学月考)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC → ＋BA → ＝2BP → ，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB → ＋PC → ＝0 D.P A → ＋PB → ＋PC → ＝0 [答案] B [解析] 如图，根据向量加法的几何意义，BC → ＋BA → ＝2BP → ?P 是AC 的中点，故P A → ＋PC → ＝0. (理)已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD → ＝2DB →，CD → ＝rAB → ＋sAC → ，则r ＋s 的值是( ) A.23 B.43 C ．－3 D ．0 [答案] D [解析] CD → ＝AD → －AC → ，DB → ＝AB → －AD → . ∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB → －1 2CD →－AC →. ∴3 2 CD →＝AB →－AC → ，
∴CD →＝23AB →－2 3 AC → . 又CD →＝rAB →＋sAC → ，∴r ＝23，s ＝－2 3， ∴r ＋s ＝0. 2．(2012·四川理，7)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b |b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥b C ．a ＝2b D ．a ∥b 且|a |＝|b | [答案] C [解析] 本小题考查共线向量、单位向量、向量的模等基本概念． 因a |a |表示与a 同向的单位向量，b |b |表示与b 同向的单位向量，要使a |a |＝b |b |成立，则必须a 与b 同向共线，所以由a ＝2b 可得出a |a |＝b |b | . [点评] a ＝－b 时，a 与b 方向相反；a ∥b 时，a 与b 方向相同或相反．因此A 、B 、D 都不能推出a |a |＝b |b | . 3．(2013·长春调研)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，－2)，若a ∥b ，则a ＋b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(2,1) C ．(3，－1) D ．(－3,1) [答案] A [解析] 由a ∥b 可得2×(－2)－1×x ＝0，故x ＝－4，所以a ＋b ＝(－2，－1)，故选A. 4．(2013·辽宁五校联考)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC → 2＝16，|AB → ＋AC → |＝|AB → －AC → |，则|AM → |＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 [答案] A [解析] 由|AB → ＋AC →|＝|AB →－AC →|两边平方得AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即AB →·AC → ＝0， 所以AB →⊥AC → ，∴AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，又由BC →2＝16得|BC →|＝4，所以|AM → |＝2. 5．设OA → ＝e 1，OB → ＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|AP PB |＝4，如图所示，则 OP → ＝( )
高中数学教案向量的概念与运算
向量的概念与运算 一、知识网络 二、高考考点 1、对于向量的概念，高考的考点主要是两向量平行（即共线）的判定以及两向量共线的基本定理的运用，多以选择题或填空题的形式出现。 2、对于向量的运算，向量的数量积及其运算是向量的核心内容，对此，高考的考点主
要是： （1）向量的加法、减法的几何意义与坐标表示的应用； （2）向量共线的充要条件的应用；（3）向量垂直的充要条件的应用；（4）向量的夹角的计算与应用； （5）向量的模的计算，关于向量的模的等式的变形与转化，关于向量的模的不等式的认知与转化。 3、线段的定比分点线或平移问题。 4、以向量为载体的三角求值或图象变换问题，以向量为载体的函数或解析几何问题（多以解答题的形式出现）。 三、知识要点 （一）向量的概念 1、定义（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量。 （2）向量的模：向量的大小（即长度）叫做向量的模，记作。 特例：长度为0的向量叫做零向量，记作；长度为1的向量叫做单位向量. （3）平行向量（共线向量）： 一般定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量.特殊规定：与任一向量平行（即共线）. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。零向量与零向量相等。认知：向量的平移具有“保值性”。 2、向量的坐标表示 （1）定义：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量、作为基底，任作一个向量 ,则由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得，将有序实数对（x,y）叫做向量的坐标，记作；并将叫做向量的坐标表示。 （2）认知：相等的向量，其坐标也相同，反之成立。 （二）向量的运算 1、向量的加法 2、向量的减法 3、实数与向量的积 （1）定义（2）实数与向量的积的运算律： （3）平面向量的基本定理： 如果是同一面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使，这两个不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 （4）向量共线的充要条件： （i）向量与非零向量共线有且只有一个实数使 （ii）设则： 4、向量的数量积（内积） （1）定义：（i）向量的夹角：已知两个非零向量和，作叫做向量与的夹角。 （ii）设两个非零向量和的夹角为，则把数量叫做与的数量积（内积），记作，即并且规定：零向量与任一向量的数量积为0. （2）推论设、都是非零向量，则（i）（ii）（iii） (3)坐标表示(i)设非零向量，则 (ii)设(4)运算律（自己总结，认知） 四、经典例题 例1．判断下列命题是否正确： （1）若的方向相同或相反；（2）若
(完整版)平面向量的线性运算测试题
平面向量的线性运算 一、选择题 1．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式①｜a ｜＞｜b ｜；②a ∥b ； ③｜a ｜＞0；④｜b ｜=±1；⑤a =b ，其中正确的有（ ） A ．①④⑤ B ．③ C ．①②③⑤ D ．②③⑤ 2. O 是ABC ?所在平面内一点，D 为BC 边上中点，02=++OC OB OA ,则（） A ．OD AO = B ．OD AO 2= C ．OD AO 3= D ．OD AO =2 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ） A ．一条线段 B ．一个圆面 C ．圆上的一群弧立点 D ．一个圆 4．向量（AB +MB ）+（BO +BC ）+OM 化简后等于（ ） A ． BC B ． AB C ． AC D ．AM 5．在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则（ ） A ．ABCD 是矩形 B ．ABCD 是菱形 C ．ABC D 是正方形 D ．ABCD 是平行四边形 6．已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为（ ） A ．0 B ．3 C ． 2 D ．22 7．如图，正六边形ABCDEF 中，BA uur ＋CD u u u r ＋EF uuu r ＝( ) A ．0 B.BE uu u r C.AD uuu r D.CF u u u r 8．如果两非零向量a 、b 满足：｜a ｜＞｜b ｜,那么a 与b 反向,则（ ） A ．｜a +b ｜=｜a ｜-｜b ｜ B ．｜a -b ｜=｜a ｜-｜b ｜ C ．｜a -b ｜=｜b ｜-｜a ｜ D ．｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜ 二、填空题
平面向量的概念与线性运算
平面向量的概念及线性运算知识点： 1．向量的有关概念 2.向量的线性运算
3.向量共线的判定定理 a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线． 选择题： 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是( ) A．①B．③C．①③D．①② 解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误． →；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM －CD→，其中结果为零向量的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4 解析由题知结果为零向量的是①④，故选B. 设a0为单位向量，①若a为平面的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a 与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是( ) A．a0＝b0B．a0·b0＝1 C．|a0|＋|b0|＝2 D．|a0＋b0|＝2 解析∵是单位向量，∴|a0|＝1，|b0|＝1 设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a 解析对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小． 设a、b是两个非零向量( ) A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b| 解析对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，∴a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时|a＋b|＝|a|－|b|
平面向量的基本概念及线性运算知识点
平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，
平面向量的线性运算随堂练习(答案)
§平面向量的线性运算 重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件． 考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义． ②掌握向量数乘的运算及其意义。理解两个向量共线的含义． ③了解向量线性运算的性质及其几何意义． 经典例题：如图，已知点,,D E F 分别是ABC ?三边,,AB BC CA 的中点， 求证：0EA FB DC ++=． 当堂练习： 1．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ ） A ．a 与b 方向相同 B ．a =b C ．a =-b D ．a 与b 方向相反 2．设+++=()()AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；② +=a b a ；③+=a b b ；④+<+a b a b ，其中正确的是 （ ） A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③ 3．3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于 （ ） A ．O B ．MD 4 C ．MF 4 D ．M E 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ） A ．||||||b a b a -=- B ．||||b a b a -=+ C ．||||||b a b a -=+ D ．||||||b a b a +=+ 5．若a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （ ） A ．a B ．b C ．c D ． 以上都不对 6．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP =（ ） A ．().(0,1)AB AD λλ+∈ B ．2 ().(0, )AB BC λλ+∈ C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈ D ． 2().(0, )2 AB BC λλ-∈ 7．已知==||||3OA a ，==||||3OB b ，∠AOB=60?，则+=||a b __________。
第32讲 平面向量的概念及线性运算
金题精讲 题一：判断下列命题的真假：[来源学_科_网Z_X_X_K] (1)若非零向量,AB CD 是共线向量，则四点D C B A ,,,共线； (2)若//,//,a b b c 则//a c ； (3)起点不同，但方向相同且长度相等的几条有向线段表示的向量是相等的向量； (4)不相等的向量，则一定不平行； (5)与非零向量a 共线的单位向量是 || a a ． 题二：已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0→，那么（ ） A ．AO → = OD → B ．AO → = 2OD → C ．AO → = 3O D → D ．2AO →＝OD → 题三：已知P 、A 、B 、C 是平面内四个不同的点，且PA →＋PB →＋PC →＝AC →，则（ ） A ．A 、B 、C 三点共线 B ．A 、B 、P 三点共线 C ．A 、C 、P 三点共线 D ．B 、C 、P 三点共线 题四：已知OA →＝a ，OB →＝b ，C 为线段AO 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段C B 上距C 较近 的一个三等分点，则用a 、b 表示OD →的表达式为__________________． 题五：设平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋ d ，则四边形ABCD 为（ ） A ．菱形 B ．梯形 C ．矩形 D ．平行四边形
金题精讲 题一：(1)假命题；(2) 假命题；(3)真命题；(4) 假命题；(5) 假命题． 题二：A ． 题三：B ． 题四：OD → = 49a ＋13b ． 题五：D ．
向量的概念与线性运算
§6.1 向量的概念与线性运算 ● 课前热身 1．下列命题正确的是（ ） A ．若=，则∥ B ．若a ∥b ∥c ，则∥c C =a =b D ．若b a ≠，则b a b a <>或 2．ABC ?中， AB 边上的高为CD ，若=，=，0=? 1= 2=，则= A ． b a 3131- B ．b a 3 2 32- C ． b a 5353- D ．b a 5 4 54- 3．平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ） A ．a ，b 方向相同 B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量 C ．R λ?∈，a b λ= D ．存在不全为零的实数1λ，2λ，021=+b a λλ 4．在平行四边形 ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若μλ+=，其中R ∈μλ,，则 =+μλ ． 5．如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题： ① 2=+； ②22+=； ③?=?；④)()(?=?． 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． ● 知识梳理 1.平面向量的有关概念 （1）向量的定义: 既有大小．．又有方向．．的量叫做向量. （2）向量的表示方法 几何表示：用有向线段表示. 字母表示：用字母 ,等表示；用有向线段的起点与终点字母，如：. 注意：解题时，向量中的箭头不可省． （3）向量的长度：向量 的大小就是向量的长度（或称为模） ，记作||． 向量模的计算方法：||a = 零向量、单位向量概念： 零向量： =?= ；单位向量= e 为单位向量1=?e . （4）平行向量定义 ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②规定0与任一向量平行. （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作a =b . ①零向量与零向量相等； ②任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. （6）共线向量与平行向量关系 ①平行向量可以在同一直线上；②共线向量可以相互平行；③平行向量．．．．就是共线向量．．．．．． . 2.平面向量的线性运算 （1）向量的加法 ①向量加法的三角形法则 ②向量加法的平行四边形法则 =+（两个．． 向量“首尾．．．．．”．相接．． ） A B C A B D E C F
向量的概念、表示和线性运算
向量的概念、表示和线性运算 1．向量的有关概念 2.向量的线性运算 4.中线定理：在中，已知是中 边的中线，则 5.重心定理：在 中， 是 的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）则
，； 6.三点共线的结论：存在实数,等于已知三点共线； 7..在中，则通过的内心； 练习题 1．下列命题中，正确的是（） A. 若|a|=|b|，则a=b B. 若a=b, 则a与b是平行向量 C. 若|a|>|b|, 则a>b D. 若a与b不相等，则向量a与b是不共线向量 2. 以下四个命题中不正确的是（） A. 若a为任意非零向量，则a//0 B. | a+b|=|a|+|b| C. a=b，则|a|=|b|，反之不成立 D. 任一非零向量的方向都是惟一的 3．下列四个命题： ①长度相等的向量是相等向量；②相等向量是共线向量； ③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④在△ABC中，AB BC AC ++≠0. 其中真命题的是() A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④ 4．已知m∈R, 下列说法正确的是（） A. 若m a =0，则必有m=0 B. 若m≠0,a≠0，则m a的方向与a同向 C. 若m≠0,则|m a|=m| a| D. 若m≠0,a≠0，则m a与a共线 5.已知正方形的边长为1，=a，=b，=c,则|a+b+c|等于（） A. 0 B. 3 C. 2 D. 22 6.设（+）+（+）= a, b≠0,则在下列结论中，正确的有（） ①a∥b; ②a + b = a; ③a + b = b; ④｜a + b｜＜｜a｜+｜b｜ A．①②B．③④C．②④D．①③ 7. 已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC. 则 ①CA CB CA CB -=-; -=+;②AB AC BA BC -=-;③CA BA CB AB ④222 +=-+-. 其中正确命题的个数为（） CA CB AB AC BA CA A．1B．2C．3D．4 8. 已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，若点M是ABC +-为（） ?的重心,则MA MB MC A．0B．4ME C．4MD D．4MF
平面向量线性运算教案
适用
高中数学
适用年级
高一
学科
适用区域 苏教版区域
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 向量的加法；向量的减法；向量的数乘.
教学目标
通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。
教学重点 向量的加减法的运算。
教学难点 向量的加减法的几何意义。
【知识导图】
教学过程
一、导入
高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题，一般难度不 大，属于简单题。
二、知识讲解
（考1）点向1量向加量法加的法三法角则形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一 个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0 位移的合成可以看作 向量加法三角形法则的物理模型。
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（2）平行四边形法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 A.B 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的 对角线 OC 就是 a 与 b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平 行四边形法则。
由考于点方2向反向转量两的次减仍法回法到则原来的方向，因此 a 和 a 互为相反向量。 于是 (a) a 。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a (a) (a) a 0 。 所以，如果 a, b 是互为相反的向量，那么 a= b,b= a, a b 0 。
考点 3 实数与向量的积的运算律 设 ， 为实数，那么 (1) ( a) ()a ； (2) ( )a a a ； (3) (a b) a b . 特别地，我们有 ()a (a) (a) ， (a b) a b 。 向量共线的等价条件是：如果 a(a 0) 与 b 共线，那么有且只有一个实数 ，使 b a。
三 、例题精析 类型一 平面向量的坐标表示
例题 1
已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30°角．求点 B 和点 D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标．
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高中 平面向量的概念及其线性运算 知识点+例题
辅导讲义――平面向量的概念及其线性运算
加法 求两个向量和的运算 （1）交换律： a ＋ b ＝b ＋a . （2）结合律： (a ＋b )＋ c ＝a ＋(b ＋c ). 减法 求a 与b 的相反向量－b 的 和的运算叫做a 与b 的差 三角形法则 a － b ＝a ＋(－b ) 数乘 求实数λ与向量a 的积的运算 （1）|λa |＝|λ||a |； （2）当λ>0时， λa 的方向与a 的方向相同； 当λ<0时， λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0 λ(μa )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb [例1] 若OB OA OC =-23，则AB AC ____=.3 1 [巩固] 在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若15e BC =，23e DC =，则.________=OC )35(2 1 21e e + [例2] 如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则._______=-DB AF BE [巩固1] 设M 是△ABC 的重心，记a BC =，b CA =，c AB =，且0=++c b a ，则._______=AM )(3 1 b c - [巩固2] 已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连接AM 、AG 、CD ，则._______)(2 1 =++ BC BD AB AG [例3] 如图，向量a AB =，，b AC =，c CD =，则向量，BD 可以表示为_____________. c a b +- 精典例题透析
平面向量的概念及线性运算
§5.1平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念
向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得______. [难点正本 疑点清源] 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合. 1.化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果为________. 2.在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE → ＝____________. 3.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是________. 4.已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD → ，则实数λ的值为________. 5.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC → ＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD → D.2AO →＝OD →
题型一 平面向量的概念辨析 例1 给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________. 探究提高 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈. (5)非零向量a 与a |a |的关系是：a |a | 是a 方向上的单位向量. 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a>b ； (2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a |＝|b |，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等. 题型二 向量的线性运算 例2 在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边 上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ， 设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →. 探究提高 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化. (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.