2007华南农业大学线性代数期末考试试卷A
华南农业大学期末考试试卷（ A 卷 ）
2006－2007学年第2学期 考试科目：线性代数
考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟
学号 姓名 年级专业
一、 填空题 (本题共有30分, 每小题3分)
二、
1. 已知12011302001A ????=??????
，则1A -= .
2. 设A 为4阶方阵，且1A =,则3A =________.
3. 已知1(2,3,4,5)T α=,2(3,4,5,6)T α=,3(4,5,6,7)T α=,4(5,6,7,8)T α=，则
向量组{}1234,,,αααα的秩为 .
4. 设A 是n 阶方阵，且满足250A A E +-=, 则()1
2A E -+=_________.
5. 已知方程组12312
112323121x a x a x ????????????+=??????
??????-??????
无解，则实数a =___________.
6. 设123(1,1),(2,1,2),(0,1,2)T T T x ααα==-=，当x 时，123,,ααα线性
无关.
7. 设向量(2,3,4,1),(1,3,2,)x αβ==-，且αβ与正交，则x = .
8. 若4阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1111
,,,2345
，则行列式
1B E --= __________ .
9. 二次型()2
123213,,2f x x x x x x =+的负惯性指标为 .
10. 在MA TLAB 软件中，inv(A ) 表示求__________. 二、单项选择题（本题共21分，每小题3分）
1. 设n 维向量α和β的模分别是4和8，α与β
的距离是则α与β的
夹角为 （ ）
（A ）3π （B ）3π- （C ）23π （D ）23
π
-
2. 设A 为5阶方阵，且()4R A =，12,ββ是0Ax =的两个不同的解向量，则
0Ax =的通解为 （ ）
（A ）1k β （B ）2k β （C ）12()k ββ+ （D ）12()k ββ-
3. 下列命题中与命题“n 阶方阵A 可逆”不等价．．．的是 （ ） （A ）0A ≠ （B ）A 的列向量组线性无关 (C ）方程组0Ax =有非零解 （D ）A 的行向量组线性无关
4. 已知12324369Q t ??
??=??????
，P
为3阶非零矩阵，且满足PQ =0,则 （ ） （A ）6t =时P 的秩必为1 （B ）6t =时P 的秩必为2 （C ）6t ≠时P 的秩必为1 （D ）6t ≠时P 的秩必为2
5. 当下列哪一个命题成立时，n 阶方阵A 与B 相似 （ ）
（A ）A B =
（B ）()()R A R B =
（C ）A 与B 有相同的特征值
（D ）A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同
6. 设321 , ,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则下列向量组不能．．
作为0=Ax 的基础解系的是 （ ）
（A ）11213,ααααα++， （B ）123123,αααααα+++， （C ）112123,αααααα+++， （D ）121331,αααααα++-，
7. 设A 与B 均是n 阶正定矩阵，**,A B 分别为A ，B 的伴随矩阵，则下列矩阵必为正定矩阵的是 （ ）
（A ）**3A B + （B ）**A B （C ）**12k A k B +（12k k ，为任意常数） （D ）**A B -
三、计算n 阶行列式211121
112
n D =L
L
M M M M L 的值. (本题8分)
四、设线性方程组1231232123(1)0(1)(1)x x x x x x x x x λλλλλ
?+++=?
+++=??+++=-?，当λ等于何值时，方程组
（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并用基础解系表示方程组的通解. （本题12分）
五、设有向量(0,4,2,5)T α=,1(1,2,3,1)T β=,2(2,3,1,2)T β=,
3(3,1,2,2)T β=-，问α可否表示成1β，2β，3β的线性组合?若可以,请给出一种表达式. （本题9分）
六、证明若n 阶方阵A 满足2430A A E -+=,则A 的特征值只能是1或3.
（本题8分）
七、已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准型222
12325f y y y =++，求参数a 及所用的正交变换矩阵.（本题12
分）