多元函数的泰勒公式
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常用泰勒公式
简介 在数学上, 一个定义在开区间(a-r, a+r)上的无穷可微的实变函数或复变函数f的泰勒级数是如下的幂级数 这里，n!表示n的阶乘而f(n)(a) 表示函数f在点a处的n阶导数。如果泰勒级数对于区间(a-r, a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x)为解析的。当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时，它才是解析的。为了检查级数是否收敛于f(x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的余项。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。 如果a = 0, 那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。 泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。第三，泰勒级数可以用来近似计算函数的值。 对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函数f(x) = exp(?1/x2) 当x≠ 0 且f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在x = 0 处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时 exp(?1/z2) 并不趋于零。 一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，f(x) = exp(?1/x2) 就可以被展开为一个洛朗级数。 Parker-Sockacki theorem是最近发现的一种用泰勒级数来求解微分方程的定理。这个定理是对Picard iterati on一个推广。 [编辑]
第九节多元函数的泰勒公式
第九节 多元函数的泰勒公式 分布图示 ★ 二元函数的泰勒公式 ★ 例1 ★ 关于极值充分条件的证明 ★ 内容小结 ★ 习题8—9 ★ 返回 内容要点 一、二元函数的泰勒公式 我们知道用一个一元函数的泰勒公式可以按任意给定的精度要求来近似表达这个函数. 对多元函数也有类似的结果，即可以用一个多元多项式按任意给定的精度要求来近似表达一个多元函数. 现以二元函数为例叙述如下： 定理1 设),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内连续且有直到1+n 阶的连续偏导数, ),(00k y h x ++为此邻域内任一点, 则有 ),(),(),(000000y x f y k x h y x f h y h x f ???? ????+??+=++),(!21002 y x f y k x h ???? ????+??+ ),(!100y x f y k x h n n ???? ????+??++ ),()!1(1001k y h x f y k x h n n θθ++???? ????+??+++ ).10(<<θ 这个公式称为二元函数),(y x f 在点),(00y x 的n 阶泰勒公式. 推论1 设函数),(y x f 在区域D 上具有连续的一阶偏导数，且在区域D 内，有,0),(≡y x f x 0),(≡y x f y ，则函数),(y x f 在区域D 内为一常数. 二、极值充分条件的证明 例题选讲 例1（E01）求函数)1ln(),(y x y x f ++=的三阶麦克劳林公式. 解 ,11),(y x y x f x ++=,11),(y x y x f y ++= ),(y x f xx 2)1(1y x ++- =),(y x f xy =),,(y x f yy =
函数展开为泰勒级数
函数展开为泰勒级数 设函数00()()n n n f x a x x ∞==?∑，0x x R ?<，已知右端求左端， 这是幂级数求和，已知左端求右端，这是求函数的幂级数展开式，除按定义之外，它们的方法是相同的。 一、 泰勒级数与迈克劳林级数： 设函数 ()f x 在点的某一临域内具有任意阶导数，则级 数： 0x ()000 20000()30000()()!()()()()()1!2! ()()()()3!!n n n n n f x x x n f x f x f x x x x x f x f x x x x x n ∞ =?′′′=+?+?′′′+?+???+?+???∑0 称为函数()f x 在点的泰勒（Taylor ）级数。 0x 特别的，如果，上式变成迈克劳林(Maclaurin)级数: 00x =2()3()0 (0)(0)(0)()()1!2! (0)(0)()()3(! 0)()!!n n n n n f f f f x x f f x x n n x ∞=′′′=++′′′++???++???∑ 此时，这个级数的敛散性不明确。
二、 函数展开称幂级数的条件： 定理1： 设函数()f x 在点0x 的某一临域内具有各阶导数，则函数0()U x ()f x 在该邻域内能展开称泰勒级数的充分必要条件是函数()f x 的泰勒公式的余项()n x R 当n 时的极限为0.即： →∞ ()0lim n n R x →∞=三、 直接法把函数展开成幂级数的步骤： 第一.步： 求出 ()f x 的各阶导数()f x ′，()f x ′′，……()()n f x …… 如果在X=0处导数不存在，就停止进行。 第二.步： 求出函数及其各阶导数在X=0处的值，即： (0)f ′，，………… (0)f ′′()(0)n f 第三.步： 写出幂级数: 2()3(0)(0)(0)()()1!2!(0)(0)()()3!! n n f f f x x f f x x n ′′′++′′′++???++??? 并求出 收敛半径R 。 第四.步： 考察当X 在区间（-R,+R ）内时，余项()n x R 的极限： (1)1()()lim (1)!lim n n n n n f R x x n ξ++→∞→∞=+ ξ 在0与X 之间。 如果极限为0，则函数()f x 在区间（-R,+R ）内的幂级数展
06-函数展开成泰勒级数的方法--间接展开法PPT
函数展开成幂级数的间接展开法
一、基本初等函数的间接展开法根据唯一性，利用常见展开式，通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等 方法，求展开式。 ?基本公式：).,( ,)!12()1(sin ). ,( , !).1,1( 1101 200 +∞-∞∈+-=+∞-∞∈=-∈=-∑∑∑∞=+∞=∞ =x n x x x n x e x x x n n n n n x n n ，
二、典型例题例1. )( 的幂级数展开成将x a x f x =由于令注意到解 . ln , ln a x u e a a x x ==).,( ,! 1!2112+∞-∞∈+++++=u u n u u e n u ),(!ln !2ln ln 122+∞-∞∈+++++=x x n a x a a x a n n x 代入上式得 将 ln a x u =
++-+-+-=+)! 12()1(!51!31sin 1253n x x x x x n n , ),( 时解：当+∞-∞∈x 例2、. cos )( 的幂级数展开成将x x x f =对上式逐项求导得 +-+-+-=)! 2()1(!41!211cos 242n x x x x n n
.11)( )1(:x x f +='解例3、. 的幂级数展开成将下列函数x ∑?? ∞ =-=+=+000)1(1)1ln( n x n n x dt t t dt x 则). 1,1( ,1 )1(10-∈+-=+∞=∑x x n n n n ).1,1( ,)1()(1111 0 -∈-=--=+∑∞=x x x x n n n 又.arctan )()2( ; )1ln()( (1)x x f x x f =+=板书
一些常用函数及其泰勒(Taylor)展开式的图像
图 1 )exp(x y =及其 Taylor 展开式 其中， 。 ! 4!3!21)(; ! 3!21)(; ! 21)(; 1)(;)exp(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+==== -3 -2-1 0123 -50 5 10 15 20 25 Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation X Y
图 2 )sin(x y =及其 Taylor 展开式 其中， 。 ! 7!5!3)(; !5!3)(; ! 3)(; )();sin(7 53775 35533311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-===== -4 -3-2-1 01234 -8-6-4-202468Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation X Y
图 3 )cos(x y =及其 Taylor 展开式 其中， 。 ! 8!6!4!21)(; !6!4!21)(; ! 4!21)(; !21)(); cos(8 642886 42664 2442 22x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y +-+-==-+-==+-==-=== -4 -3-2-1 01234 -8-6 -4 -2 2 4 Figure 3 y=cos(x) and its Taylor expansion equation X Y
对于多元函数泰勒展开
… 电动力学中的泰勒展开问题 物理系同学们在学习电动力学和量子力学的过程中会碰到对类似()f x y -展开的问题，初学者可能会对此类函数的展开感到困惑，对此，自己课下之余整理了一下，希望能对同学们的学习带来帮助。以下讨论主要针对的是电动力学中的极矩问题，源点与场点统一规定为用x '和x 来表示。 对于多元函数泰勒展开，例如(),f x y ，有 (),f x y ()00,f x y =()()()0000,x x y y f x y x y ????+-+-????? ? ()()()200001,2!x x y y f x y x y ????+-+-+?????? （1） 其中展开中心为()00,x y .对于函数()f x x '-，它是x x '-的函数，展开时需要指出其 展开中心是源点x '还是场点x . 1 若在0x x '=处展开，则 ()f x x '- } ()()()()()(){}()20000012!f x x x x x x f x x x x x x f x x ''=-+---??-+---??-+???????? =()()()()()20000012!f x x x x f x x x x f x x ''-+-??-+ -??-+???? (2) 其中，()()() ???i j k x x y y z z ????=++'''?-?-?-， 下同. 由于()f x x '-是在x '为小量的情况下展开的，为了计算方便，(2)式的0x 可取为原点， 即x '=0，此时，(2)式便成为电势多级展开中常见的形式，即 ()()()()()()212!f x x f x x f x x f x '''-=+-??+-??+ (3) 2 若在0x x =处展开，则同理可得 ()f x x '- ()()()()()(){}()20000012!f x x x x x x f x x x x x x f x x '''''''=-+---??-+ ---??-+???????? ； =()()()()()2 0000012!f x x x x f x x x x f x x '''-+-??-+ -??-+???? (4)
一些常用函数及其泰勒(Taylor)展开式的图像
其中， 。 ! 4!3!21)(; ! 3!21)(; ! 21)(; 1)(;)exp(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+==== -3 -2-1 0123 -50 5 10 15 20 25 Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation X Y
其中， 。 ! 7!5!3)(; !5!3)(; ! 3)(; )();sin(7 53775 35533311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-===== -4 -3-2-1 01234 -8-6-4-202468Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation X Y
其中， 。 ! 8!6!4!21)(; !6!4!21)(; ! 4!21)(; !21)(); cos(8 642886 42664 2442 22x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y +-+-==-+-==+-==-=== -4 -3-2-1 01234 -8-6 -4 -2 2 4 Figure 3 y=cos(x) and its Taylor expansion equation X Y
其中， 。 4 32)(; 3 2)(; 2 )(; )();1ln(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-====+= -1 -0.50 0.51 1.52 -3-2 -1 1 2 3 Figure 4 y=ln(x) and its Taylor expansion equation X Y
二元函数的泰勒公式
§10.4. 二元函数的泰勒公式 一、高阶偏导数 二元函数),(y x f z =的两个（一阶）偏导数y z x z ????,仍是x 与y 的二元函数.若它们存在关于x 和y 的偏导数，即 .,;,??? ? ?????????? ???????? ? ????????? ??????y z y z y z x z x z y z x z x z 称它们是二元函数),(y x f z =的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22个.通常将它们表为： ??? ??????x z x z 表为 22x z ?? 或 ).,(y x f xx '' ?? ? ??????x z y z 表为 y x z ???2 或 ).,(y x f xy '' （混合偏导数） ??? ? ??????y z x z 表为 x y z ???2 或 ).,(y x f yx '' （混合偏导数） ???? ??????y z y z 表为 22y z ?? 或 ).,(y x f yy '' 一般地，二元函数),(y x f z =的1-n 阶偏导函数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数.二元函数的n 阶偏导数至多有n 2个.二元函数),(y x f z =的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如，符号 k k n n y x z ???- 或 ),()(y x f n y x k k n - 表示二元函数),(y x f z =的n 阶偏导数，首先对x 求k n -阶偏导数，其次接着对 y 求k 阶偏导数. 二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数. 例1. 求函数 332233++-=xy y x y x z 的二阶偏导数.
泰勒级数展开
泰勒级数展开若干方法 何琼（绍兴文理学院 数学系，浙江 绍兴 312000） 摘要： 泰勒级数的各项是由结构简单、性质明了的幂函数组成．把一个函数展开成泰勒级数或幂级数， 有着广泛的应用．本文对泰勒级数的若干展开方法进行探究、综述，有助于我们对这部分知识的深入理解． 关键词： 泰勒级数；幂级数；余项 §１ 引言 泰勒级数是数学分析中级数部分的重要内容，其主要内容包括两个方面：（１）幂 级数的收敛理论；（２）如何把一个函数展开成泰勒级数．本文是对后者进行较全面的归纳和总结．我们知道把一个函数展开成泰勒级数的方法大致上可分为两类，即直接展开法和间接展开法．直接展开法可按下列步骤进行： 第一步：求出函数的各阶导数;),(),("),(') (L L x f x f x f n 第二步：求函数?(χ)及其各阶导数在),(0x f ;),(),("),('0) (00L L x f x f x f n 第三步：写出泰勒级数 L L +?++?+ ?+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(! )()(!2)("))((')(00)(2 00000 第四步：考察余项)(x R n 在0x 的某一领域)(0x U 内极限是否为零. 按照Taylor 定理，直接展开法是一种基本的方法，但有时是比较繁杂的方法，实际应用 中通常利用间接展开法. 1 代换法 这种方法的特点是：进行适当变量替换使得被展函数符合某个已知泰勒展开式．这是一种在实际应用中被广泛使用的间接展开法． 例1 求x e 处1=x 的泰勒级数 解 已知t e 在0=t 处的泰勒级数为 L L +++++=! !212n t t t e n t ， ),(+∞?∞∈x 而 11 1?+??==x x x e e e e 设1?=x t 代入（1）得 ∑∞ =?=0 !)1(n n x n x e e ， ),(+∞?∞∈x 2 等比级数求和法 利用公式 L L +++++=?n x x x x 2111 由于本公式应用广泛，所以专列一条.
对于多元函数泰勒展开
电动力学中的泰勒展开问题 物理系同学们在学习电动力学和量子力学的过程中会碰到对类似()f x y -展开的问题，初学者可能会对此类函数的展开感到困惑，对此，自己课下之余整理了一下，希望能对同学们的学习带来帮助。以下讨论主要针对的是电动力学中的极矩问题，源点与场点统一规定为用x ' 和x 来表示。 对于多元函数泰勒展开，例如(),f x y ，有 (),f x y ()00,f x y =()()()0000,x x y y f x y x y ????+-+-????? ? ()()()2 00001,2!x x y y f x y x y ????+-+-+?????? （1） 其中展开中心为()00,x y .对于函数()f x x '- ，它是x x '- 的函数，展开时需要指出其展 开中心是源点x ' 还是场点x . 1 若在0x x '= 处展开，则 ()f x x '- ()()()()()(){}()20000012!f x x x x x x f x x x x x x f x x ''=-+---??-+---??-+??????? ? =()()()()()20000012!f x x x x f x x x x f x x ''-+-??-+-??-+???? (2) 其中，()()() ???i j k x x y y z z ????=++'''?-?-?-， 下同. 由于()f x x '- 是在x ' 为小量的情况下展开的，为了计算方便，(2)式的0x 可取为原点， 即x ' =0，此时，(2)式便成为电势多级展开中常见的形式，即 ()()()()()()212! f x x f x x f x x f x '''-=+-??+-??+ (3) 2 若在0x x = 处展开，则同理可得 ()f x x '- ()()()()()(){}()20000012!f x x x x x x f x x x x x x f x x '''''''=-+---??-+---??-+???????? =()()()()()20000012!f x x x x f x x x x f x x '''-+-??-+-??-+??? ? (4) 对在0x x = 处展开时， x ' 此时是变化的， ?算符可换为对源点的'?算符.